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Full text of "Philosophiæ naturalis principia mathematica"

UBHARy 

OF THE 

UNIVERSITY 

^TRONOMY UBR/ 




NEWTONI PEINCIPIA. 



PHILOSOPHI^ NATURALIS 
PRINCIPIA 

MATHEMATICA. 

AUCTORE 

ISAACO NEWTONO, Eq. Aurato. 

PERPETUIS COMMENTARIIS ILLUSTRATA, 

COMMUNI STUDIO 

PP. THOMiE LE SEUR ET FRANCISCI JACQUIER 

EX GALLICANA MINJMOIIUM FAMILIA, 
MATHESEOS PROFESSORUM. 



EDITIO NOVA, 

SUMMA CUKA RECENSITA. 



VOLUMEN TERTIUM. 



' GLASGU^: 

EX PRELO ACADEMICO, 
TYPIS ANDRE^ ET JOANNIS M. DUNCAN. 
VENEUNT APUD LACKINGTON & SOC, R. PRIE&TLEY, G. & W. B. WHriTAKER, 
J. CUTHEL, G. COWIE & SOC, J. COLLINOWOOD, TREUTTEL & WtJRTZ, ET 
TKEUTTEL, JUN. & RICHTER, LONDINI ; NECNON PARISIIS, ET ARGENTORATI 
APUD TREUTTEL & WURTZ. 



182^. 



ASTRONOMYUBRAr Y 



A3 

CONTENTA ,^ ^ 

PARTIS PRIM^ TOMI TERTII. ^"^^^^ 



Pag. 

I. Autoris Epistola Dedicatoria , v 

II. Admonitio Commentatorum vi 

III. Altera Dni. Calandrini viii 

IV. Introductio ad tertium Librum ix 

V. Prcefatio Autoris in eundem de Mundi Systemate 1 

VI. Regulije Philosophandi, S^c 2 

VII. Admonitio Dni, Calandrini de tribus^ quce subsequuntur, Dis^ 

sertationibus 99 

1. Traite sur le Flux et Rejlux de la Mer par Mr, Daniel Ber- 

noulli 101 

2. D. MacLaurin de Causd Physica Ftuxus et Pejiuxus Maris,., 209 

3. D. Euler Inquisitio Physica in causam Fluxus ac Refluxus Maris. 247 

I, Traite du Flux et Rejiux de la Mer par Mr, Daniel Bernoulli 101 

Chap. I. Contenant une Introduction d la Qicestion proposee par 

VAcademie des Sciences 

Chap. II. Contenant quelques Lemmes sur VAttraction des Corps,,. 107 
Chap. III. Contenant quelques Considerations Astronomiques et 
Physiques, preliminaires pour la determination du Flux 

et Rejlux de la Mer '. 115 

Chap. IV. Qui expose en gros la cause des Marees 120 

Chap. V. Contenant quelques Prapositio7is de Geometrie prelimi- 

naires pour Vexplicatioji et le calcul des Marees 135 

Chap. VI. Sur Vheure moyenne des Mareespour toutes les Lunaisons. 
Table Fondamentale pour tromer Vheure moyenne des 

hautes Marees 142 

Chap. VII. Qui contient, d Vegard de plusieurs circonstances vari^ 
ables, les corrections necessaires pour les Theoremes et 
pour la Table du Chapitre precedent, et une explication 
de plusieurs observations faites sur les Marees 155 






CONTENTA. 

Pag. 

Chap. VIII. Sur les Diffh^entes hauteurs des Marees jpour chaque 

jour de la JLune 168 

Chap. IX. Sur les hauteurs des Marees corrzgees, suivant differentes 

circonstances variablcs 174? 

Chap. X. Dans lequel on examine toutes les jproprietes des Marees, 
qui dependent des differentes Decli7iaisons des Luminaires 

et des differentes Latitudes des Lieux 180 

Chap. XI. Qui contient Vexplication et solidion de qnelques l^heno- 
menes et questions dont on n^a pas en occasion de parler 
dans le corps de ce Traite, sur-tout a Vegard des Mers • 
detachees, soit en partie^ soit pour le tout, de VOcean,^-r 194? 
Conclusion 205 

Index Dissert. Z). MacLaurin, 

Sect. I. Phcenomena 209 

Sect. II. Principia , 211 

Sect. III. Dejigurd quam Terra Jiuida cequaliter densa indueret ex 

incequali particidarum gra vitate versus Lunam aut Solem .215 
Sect. IV. De motu Maris quate^ius ex motu Telluris diurno aliisve 

de causis immutatur 237 

Annotanda in Dissert, prcecedentem ^^S 

3. Z). Euler Liquisitio Physica in causam Fluxus ac ItefliixilsMaris**, 2jti1 

Cap. I. De causd Fluxus ac Rejluxus Maris in genere ibid, 

Cap. II. De virihus Solis et Lunce ad Mare movendum 256 

Cap. III. De Jigurd quam vires ciim Solis, tum Lunce, Terrce indu" 

cere conantur 266 

Cap. IV. De Fluxu ac Itejiuxu Maris si aqua omni inertid careret,,. 277 
Cap. V. De tempore Fluxiis ac JReJiuxus Maris in eddem hypothesi, 285 

Cap, VI. De vero ccstu Maris, quatenus a Terris non turhatur 296 

Cap. VII. Explicatio prcecipuorum Phcenomenorum circa cestum Ma- 

ris ohservatorum 318 

Cap. VIII. De jEstus Maris perturhatione a Terris ac littorihus 

oiiundd 328 



SERENISSIMO PRINCIPI 

ARMANDO GASTONI 

DE ROHAN DE SOUBISE 

S. R. E. CARDINALI AMPLISSIMO 

EPISCOPO ET PRINCIPI ARGENTINO 

COMMENTARIUM.PERPETUUM IN HUNC 

. CELEBERR. IS. NEWTONI TRACTATUM 

D. D. D. 

THOMAS LE SEUR ET FRANCISCUS JACQUIER, 



\0L. III. PABS l. 



M O N I T U M. 

JTrincipiorum Mathematicorum Libros tres totidem Voluminibus 
complecti meditabamur, idque jam in altera operis nostri parte fueramus 
polliciti. Cur tertium Newtoni Librum in duas dividamus partes datam- 
que fidem non liberemus, in causa sunt praeclara de Fluxu et Refluxu 
Maris Oper a quee anno 1 740. a celeberrima Parisiensi Academia prsemio 
fuere condecorata. Tot et tam eximia in hisce operibus continentur, quae 
. non ad fluxum refluxumque maris duntaxat, sed etiam ad generales attrac- 
tionis leges universamque astronomiam referuntur, ut clariss. Vir D. 
J. L. Calandrinus cujus consilia impense veneramur, nos optime facturos 
judicaverit, si prasdicta Opuscula iis adjungeremus Propositionibus quas de 
fluxu et refluxu maris habet Newtonus ; quod quidem commode fieri non 
poterat, nisi tertium Librum in duas partes divideremus. Quamvis eam 
religiose servemus legem, sine qua honestus scriptor nemo esse potest, ut 
scilicet nihil insigne ex ahquo autore in usum nostrum convertamus, quin 
ei quod suum est, dum locus occurrit, tribuatur, specialem nihilominus 
grati animi significationem profiteri volumus clarissimis omnique laude 
nostra majoribus viris DD. Cassini, de Mairan, de Maupertuis, quorum 
prasclaris inventis plurimum debent haec nostra Commentaria. Sed tanta 
sunt in universum hocce nostrum Opus praelaudati clariss. D. J. L. Ca- 
landrini beneficia, ut huic doctissimo viro pares meritis gratias referre 
non possimus. 

Jam sub praelo est altera et ultima Commentariorum nostrorum Pars ; 
quia vero nullus est tam mediocris ingenii, quem usus et exercitatio non 
edoceant, hinc factum est ut aUqua nobis in mentem venerint quae brevi 
collecta appendice simul cum reliqua tertii Libri parte justi voluminis 
molem component. 

Datum RomcB 
in Con^'^. SS''. Trinitatis anno 1 742. 
A2 




PP. LE SEUR ET JACQUIER 
DECLARATIO. 



Newtonus in hoc tertio Libro Telluris motae hypothesim assumit. 
Autoris Propositiones aliter explicari non poterant, nisi eadem quoque 
facta hypothesi. Hinc alienam coacti sumus gerere personam. Cae- 
terum latis a summis Pontificibus contra Telluris motum Decretis nos 
obsequi profitemur. 



A3 



EDITORIS MONITUM. 



Intelleximus quosdam maligne interpretari notulas quas adjecimus 
Commentariis P P. Le Seur et Jacquier, quasi saepius Newtoni mentem 
non attigissent ; ne autem ipsis vitio vertatur quod concesserunt ob ipso- 
rum absentiam ab urbe in qua liber edebatur, ut nempe quaecumque 
viderentur corrigenda, ab Editore ipso mutarentur, sive levia sive gravia 
forent, monendum puto, me Autorum deligentiam et doctrinam nusquam 
desiderasse, correctiones quas feci levissimi esse momenti, nec esse tales 
ut propter ipsas quidquam ex debita Autoribus gloria tollatur quod meas 
opellcs tribuatur, et asterisco notatas fuisse, non quod aliquid laudis 
exinde speraverim, sed quia si illic aliquid vitii irrepserit, aequum est ut 
in Editorem, non in Autores ea culpa transferatur ; ne similibus cavilla- 
tionibus occasio in posterum detur, tales distinctionis notulae non adhibe- 
buntur in secunda hujus Voluminis parte, in qua speramus calculos New- 
TONiANos circa Lunam potissimum satis intricatos, in apertam lucem 
expositum iri. 




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TNTRODUCTIO 




AD 

TERTIUM LIBRUM 

PHILOSOPHTJE NATURALIS 

IS. NEWTONI. 



CAPUT PRIMUM. 

Quale oculo nudo appareat mundi systema paiicis exponitury et 
prima Astronomice Elementa breviter revocantur. 

1. Jb iGURA telluris est propemodum sphaerica, et ideo gravium directio 
(ut pote quae aquarum stagnantium superficiei perpendicularis est) ad 
centrum terrae tendit quam proxime. Patet per Eclipses Lunares in 
quibus umbra terrestris, in quamcumque coeli plagam vergat, est semper 
ad sensum circularis. 

2. Spectatori terrestri coelum apparet tanquam superficies sphaerica con- 
cava, stellis plurimis distincta, cujus ipse spectator centrum occupat, 
quaeque circa puncta fixa ceii cardines ab 
ortu ad occasum aequabiliter convertitur, 
et 24^ circiter horis integram revolutionem 
absolvit. Puncta illa opposita P et p 
circa quae rotari videtur sphaera, poli 
mundi dicuntur, quorum is qui nobis con- 
spicuus est, ut P, arcticus vel boreahs 
dicitur, ipsi vero oppositus p antarcticus 
seu australis appellatur. Recta linea P p 
utrumque polum connectens axis mundi 
vocatur. 

Mquator sive ccquinoctialis est circulus sphaerae coelestis maximus cujus 
poli iidem sunt cum polis mundi ; proindeque sphaeram mundanam dividit 



Cjs 




X INTRODUCTIO [Cap. I. 

in duo hemisphseria, boreale ^ P Q, in quo est polus borealis P ; et aus- 
tralc -^ p Q, in quo est poius australis p. 

3. Stellae singulae, ut S, in circulis S S aeqnatori JE Q parallelis, com- 
muni sphaerae coelestis motu revolvi quotidie videntur. Fi^^ nominantur 
quae eandem inter sese distantiam perpetuo servant ; erratica vero S2u 
planetce vocantur quae distantias suas a fixis in dies mutant et motu prc- 
prio ferri conspiciuntur. Planetae sunt septem suis propriis signis 
notati, videlicet Sol 0, Luna D, Mercurius $, Venus ?, Mars (?, 
Jupiter % et Saturnus T? ; Terrae vero signum est hoc 5 . 

4. Ecliptica est circulus sphaerae maximus quem centrum Solis motu 
proprio ab occasu ad ortum singuhs annis describere videtur. Hic cir- 
culus aequatorem oblique intersecat sub 

angulo inclinationis ^ T C, graduum *" '" 

23 J circiter. Puncta duo opposita in 

quibus aequator et ecHptica sese mutuo 

secant, cequinoctialia dicuntur quod Sole 

in iis posito dies ubique terrarum nocti 

aequaUs sit, et inde tempus quo Sol punc- 

tum alterutrum aequinoctiale attingit, vo- 

catur sequinoctium* Punctum aequinoc- 

tiale vernale est unde Sol motu proprio 

versus polum borealem ascendit in ecKp- 

tica, autumnale vero unde Sol ve- sus polum austraiem descendit, ideoque 

aequinoctium est vernale vel autumnale. Puncta solstitialia sunt eclip- 

ticae puncta duo opposita quae a punctis sequinoctialibus toto circuli quad- 

rante distant, quaeque proinde maxime recedunt ab aequatore et in qui- 

bus ascensus SoHs supra aequatorem et descensus infra eundem terminatur. 

Horum punctorum prius aestivum appellatur quo nimirum terminatur 

SoHs ascensus supra aequatorem ; posterius brumale vel hybernum. Di- 

cuntur solstitiaHa quod Sole in iis versante, per rliquot dies ex eodem 

horizontis puncto oriri, et e regione, in eodem puncto occidere videatur. 

Tempus quo Sol puncta solstitiaHa ingreditur, vocatur solstitium, quod 

idec) vel aestivum vel brumale est. 

Signum cceleste est duodeima pars ecHpticae et in 30 gradus rursus 
dividitur. Primi signi principium est in puncto aequinoctiaH vernaH a 
quo signa ab occasu in ortum juxta motum proprium SoHs nimierantur. 
Sex sunt boreaJia per borealem ecHptic£e partem distributa, hisque nomi- 
nibus ac characteribus designata : Aries ^, Taurus ^, Gemini n. 




Cap. L] AD TERTIUM LIBRUM. xi 

Cancer ss, Leo Sl, Virgo ^Ji. Sex etiam australia videlicet Libra ^, 
Scorpius tTt, Sagittarius t, Capricornus <? vel >S, Aquarius ^, 
Pisces K. Aries, Taurus ac Gemini, quae inter punctum asquinoctiale 
vernum et punctum solstitiale aestivum continentur dicuntur, signa verna- 
lia; Cincer, Leo, Virgo a solstitiali aestivo ad eequinoctiale autumnale 
numerata apellantur aestiva ; Libra, Scorpius et Sagittarius autumnalia ; 
Capricornus, Aquarius et Pisces, hyberna. Signa ascendentia a puncto 
solstitiali hyberno ad fEstivum, descendentia vero a solstitiali aestivo ad 
liybernum computantur. 

5. Zodiacus est sphserse coelestis portio seu zona duobus circulis eclip- 
tica3 parallelis et gradibus 8 vel 9 hinc inde ab echptica distantibus ter- 
minata, sub qua planetae omnes motus suos absolvunt. Dum planeta ab 
occasu in ortum seu secundum ordinem signorum, aut quod idem sonat, 
in signa consequentia nimirum ab Ariete ad Taurum, a Tauro ad Geminos, 
&c., motu proprio fertur, ille planeta tunc temporis directus vocatur; 
cum ipsius motus proprius cessare videtur, seu dum planeta in eodem 
coeli puncto morari per ahquot dies cernitur, eumdem situm fixarum re- 
spectu servans, stationarius dicitur; retrogradus tandem appellatur ubi 
contra signorum ordinem seu in antecedentia, ut a Tauro ad Arietem, ab 
Ariete ad Pisces, &c. proprio motu incedit. 

6. Luna et Sol sunt semper directi ; at caeteri planetae tum superiores, 
videKcet, Saturnus, Jupiter et Mars, tum inferiores, nimirum, Venus et 
Mercurius, directi deinde stationarii et postea retrogradi videntur. 
Eorum tempora periodica quibus totum zodiacum in consequentia pera- 
grant, sunt inaequalia. Nam Saturnus 30 circiter annis periodum suam 
absolvit; Jupiter annis circiter 12, Mars annis duobus fere, Luna diebus 
27 et horis 7 circiter, Venus autem et Mercurius cum Sole anno uno. 
Nam hi duo planetse Solem ita constanter comitantur ut Venus nunquam 
ultra 47 circiter gradus, nec Mercurius ultra 28 a Sole digrediatur, id est, 
angulus maximus sub quo distantia Veneris aut Mercurii a Sole e Terra 
conspicitur, gradus 47 vel 28 nunquam superat. 

7. Circuli declinationis, seu circidi horarii, sunt circuli maximi per 
mundi polos transeuntes et proinde aequatori perpendiculares. Sideris 
vel puncti cujuslibet in sphaera mundana declinatio est arcus circuli de- 
cHnationis inter sidus vel datum punctum et aequatorem interceptus. 
Ascemio recta sideris est arcus aequatoris inter punctum sequinoctiale 
vernum et circulum declinationis sideris illius comprehensus ac secun- 
dum ordinem signorum numeratus. Circidi latitudinis siderum sunt cu- 



Xll 



INTRODUCTIO 



[Cap. 1. 



culi spliaeraB maximi per polos eclipticae et per sidera transeuntes, at- 
que ideo eclipticae perpendiculares. Hinc latitudo sideris est arcus cir- 
culi latitudinis inter sidus et eclipticam interceptus. Longitudo sideris est 
nrcus eclipticae ab Arietis initio versus ortum seu in consequentia usque 
ad latitudinis circulum numeratus. Punctum intersectionis eclipticse 
cum circulo latitudinis sideris dicitur locus sideris, eclipticus, sive locus in 
ecliptica, vel locus ad eclipticam reductus. 







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8. Si per locum quemvis S in superficie terrae ducatur per terrae cen- 
trum T linea recta Z S N quae sphaerae coelesti occurrat in Z et N, punc- 
tum Z dicitur loci S ze^iitk seu vertex, et punctum N vocatur ejusdem 
loci nadir, Horizon sensibilis seu apparens loci S, est sphaerae circulus 
h V r X centrum habens in S, et polos in Z et N. Horizon rationalis seu 
verus est circulus H V R X, centrmn habens in T, et polos in Z et N, 
ideoque horizonti sensibili parallelus. 

Circulus verticalis est circulus quilibet maximus Z V N X per zenith 
atque nadir et per aUud quodcumque punctum in sphaera mundana tran- 
siens, ideoque horizonti perpendicularis. 

Meridianus est circulus verticalis P Z N R per polos mundi P et p 
transiens, ac proinde sequatori perpendicularis et circulos omnes aeqiui- 



Up. I.] AD TERTIUM LIBRUM. xiii 

tori parallelos bifariam dividens. Intersectio plani meridiani cum plano 
horizontis H R vel h r dicitur linea meridiana. Circuhis verticalis pri- 
marius est ille verticahs qui per polos meridiani transit. Sit Z V N X 
verticahs primarius horizontem rationalem H V R X intersecans in V et 
X, quem mei idianus etiam secat in H et R. Puncta quatuor R, X, 
H, V, dicuntur cardines mundi ; punctum quidem R in hemispherio 
boreah cardo septentrionis, H cardo meridiei, V ad partes orientis 
cardo orientis et punctum oppositum X cardo occidentis, 

9. Distantia horizontis apparentis ab horizonte vero sive tehuris semi- 
diameter S T, sensibihs non est, si conferatur cum stellarum (Luna fere 
sola excepta) distantiis, et ideo terra respectu sph^erae stellarum tanquam 
punctum, et quihbet terrae locus tanquam hujus sphaerae centrum consi- 
derari potest. Nam omnes fere Astronomorum observationes id sup- 
ponunt et computa inde inita cum phasnomenis ccelestibus quadrant. 
Porro quemadmodum singula terrae loca pro centro sphaerae stellarum 
usurpari potest, ita fingi potest in spatiis coelestibus sphaerica superficies 
cujus tanta sit diameter ut iUius respectu evanescat Sohs vel stellae datae 
a Tehure distantia, et hujus sphaerae centrum poterit coUocari indifFerenter 
vel in terra vel in sole aut in spatio intermedio. 

10. Altitudo poli P suprd Jiarizontem est meridiani arcus P R a polo 
ad horizontem interceptus. Ea semper aequahs est arcui Z ^ a vertice 
Z ad aequatorem lE^ Q intercepto ; Nam si ex circuh quadrantibus Z P R 
et j^il Z P subducatur arcus communis Z P, remanebunt arcus aequales 
^ Z et P R. Altitudo cequatoris suprd horizontem est arcus meridiani 
^ H, inter aequatorem et horizontem interceptus; aequahs est comple- 
mento ahitudinis poh seu arcui Z P, quod, ablato ex quadrantibus 
H ^ Z et jE Z P communi arcu lEi 7j manifestum est. Altitudo apparens 
sideris vel puncti cujushbet L ui sphaera mundana, est angulus L S v, 
sub quo ex centro S horizontis sensibihs videtur arcus L v circuh ver- 
ticahs per L ducti usque ad horizontem sensibilem h v r x. Ahitudo 
vera puncti L est angulus L T V, seu ipsius mensura arcus L V in 
circulo verticah per L ducto usque ad horizontem rationalem H V R X. 
Unde (9) stellarum fixarum et Sohs akitudines apparentes et verae 
coincidunt. 

H. Jam vero qua ratione phaenomena quae supra retuhmus, et aha 
quae deinceps referemus, observari potuerint, paucis exponemus; et 
quidem ab observatione aUitudinis apparentis siderum quae praecipuum 
totius Astronomiae fundamentum est, initium ducemus. Circuh quadrans 



XIV 




INTRODUCTIO 



[Cap. 1. 



S A B cujus limbus A C B in gradus et minuta divisus est ita statuitur 
ut filuin S C D pondere D tensum ideoque verticale, limbum illius tan- 
gat, deinde ita vertitur ut sidus L cujus altitudo observanda est, per diop- 




tras aut per telescopium lateri S B affixum videatur in eodem latere S B 
producto. Quo facto, habetur arcus A C, mensura altitudinis apparentis 
L S h ; nam cum filum e quadrantis centro S, pendens sit semper in 
plano verticali, quadrans A S B erit etiam in eodem plano, (Eucl. 18. 
XI.) ideoque h r ad S D perpendicularis, erit intersectio horizonlis sen- 
sibilis et plani verticaUs per L ducti, atque angulus L S h sideris L aUi- 
tudo apparens. Sed si ab angulis rectis L S A, et h S D, subducatur 
communis h S A, remanent sequales anguli L S h et A S C ; hujus vero 
mensura est arcus A C. 

12. Hinc describi potest linea meridiana supra quam si statuitur per- 
pendiculariter quadrans circuh, observari poterit akitudo meridiana side- 
ris. Nam meridianus portiones illas circulorum aequatori parallelorum, 
quae supra horizontem eminent et qui arcus diurni dicuntur, bifariam 
secat (per EL XI. 19. et 4., et El. III. 30.) cum sit ilhs circuhs et hori- 
zonti eos arcus terminanti perpendicularis, et propterea si in circulo quo- 
libet diurno sumantur puncta duo hinc inde orientem et occidentem 
versus a meridiano ajquidistantia, ea puncta erunt supra horizontem sensi- 
bilem aeq.ue aUa, et contra si aeque alta sint, a meridiano hinc inde aequi- 



Cap. l.J 



AD TERTIUM LIBRUM. 



XV 




dlstabunt. Quare si stellae fixas meridiano vicinas altitudo observetur 

versus orientem, et deinde quadrans circa filum verticale immotum ceu 

circa axem convertatur versus occidentem et expectetur donec stella 

eandem altltudinem habeat, recta quae bifariam dividet angulum inter 

duas quadrantis cum horizonte intersectiones comprehensum, erit linea 

meridiana. 

13. Datis per observationes duabus 

ejusdem stellae nunquam occidentis alti- 

tudinibus merldianis S R, s R, dantur 

poli P et aequatoris JE Q altitudines 

P R et ^ H supra horizontem H R. 

Nam datis arcubus S R et s R datur 

eorum differentia S s; et qula stella S 

circulum describit aequatori parallelum 

(3) cujus P est polus, erit S P= s P; 

unde datur P s, cui si addatur s R, 

habebitur arcus P R altitudo poli. Est 

autem H M aequalis arcui Z P seu complemento altitudinis poU ad rectum 

(10), datur ergo H M altltudo aequatoris. 

14«. Data stellae S altitudine meridiana S R cum aequatoris vel poli al- 

titudine, datur illius declinatio S ^ ; est enim arcus S JE aequalis difFe- 

rentiae arcuum ^ P R et S R. Sic obser- 

vando quotidie altitudinem meridianam cen- 

tri Sohs et inde eruendo ipsius declinatio- 

nem, determinatum est planum ecHpticae et 

ejus ad sequatorem inclinatio seu maxima ab 

aequatore declinatio quae inventa est 23j 

grad. aut verius 23". 29'. Data autem in- 

clinatione eclipticse ad sequatorem cum solis 

decUnatione, datur ascensio recta Solis ac 

longitudo. Sit enim P polus mundl, ^ M =^ sequator, 'Y^ L =^ ecliptlca, 

et P L iE, circuli quadrans aequatori perpendicularis in JE, et datis in 

triangulo sphffirico iE 'Y> L rectangulo in JE, latere seu declinatione 

Solis L lE, et angulo ^ ^ L, 23° 29', dantur latus 'Y^ JE ascensio recta 

solis, ' seu puncti L, et latus 'Y^ L quod est ejusdem longitudo, imo datur 

etiam angulus lE L ""P, quem circulus declinatlonis efficit cum echptica ; 

Cum vcro praeter angulmn ^ ^ L, data fuerit longitudo *Y> L, dabitur 

tum 'Y^ JE ascensio recta, tum JE L, declinatio. 





xvi INTRODUCTIO [Cap. L 

15. Si quotidle observetur meridiana Solis altitudo, atque inde eruan- 
tur ipsius declinatio, ascensio recta et longitudo, dabuntur motus Solis in 
ecliptica, motus puncti declinationis in sequatore et temporis momenta 
quibus declinatio vel nulla est vel maxima, seu dabuntur sequinoctiorum 
et solstitiorum momenta (4). Porro observatum est nec longitudinem 
nec ascensionem rectam Solis uniformiter crescere et proinde dies solares 
esse inaequales. Nam dies solaris est tempus uiiius revolutionis diurnae 
Solis a meridiano ad eundem meridianum ; dics sidereus seu primi mo- 
bilis (qui semper idem manet) est tempus revolutionis diurnse stellae 
fixae a meridiano ad eumdem. Unde cum Sol motu proprio ab occasu 
in ortum feratur, si stella fixa et Sol in eodem meridiano simul observen- 
tur, stella ad eumdem meridianum prius redibit quam Sol qui motu pro- 
prio versus orientem tendit. Attamen si ascensio recta Solis ex ipsius 
motu proprio in ecliptica uniformiter cresceret, dies solares, licet diebus 
sidereis longiores, essent tamen inter se ^quales ; Quare cum Solis 
ascensio recta non augeatur uniformiter, necesse est ut dies solares inae- 
quales sint. Simili modo collatis inter sese sequinoctiorum et solstitio- 
rum obsen^ationibus deprehensum est Solem intervallo 8 fere dierum 
diutius morari in signis borealibus quam in signis australibus ; ac tandem 
comparando antiquas observationes ad determinandum momenta a^qui- 
noctiorum vel solstitiorum cum recentioribus, definita est quantitas anni 
aequinoctialis, sive tempus quo Sol motu proprio ab uno aequinoctio ad 
idem aequinoctium, vel ab uno solstitio ad idem solstitium progreditur et 
ab authoribus Calendarii Gregoriani Lahirio, Cassino et Blanchinio in- 
venta est 365^'^'- 5^°'- 49'. 

16. Data quantitate anni sequinoctialis, datur motus SoHs medius pro 
quoHbet dato tempore, hoc est motus qui Soh competeret si uniformi- 
ter in echptica ferretur. Est enim ut 365^. 5\ 49'. ad tempus datum, 
ita 360° quos Sol anni asquinoctiahs tempore describit proprio motu ad 
arcum echpticae dato** tempore conficiendum. Hac proportione arcus 
ecUpticae anno communi 365'"^''- describendus est XI Signorum 29°. 45' 
40'', die uno est 59' 8" 20"', hora mia est 2' 28", minuto uno est 2" 28'". 

Arcus aequatoris qui dato tempore sub Meridiano transit simih modp 
invenietur; nam quseratur arcus aequatoris dato tempore sidereo sub 
meridiano transiens, dicendum est : ut 24 horae sidereae ad tempus da- 
tum, ita 360 grad. ad arcum quaesitum, is ergo hora una erit 15**; minuto 
uno primo 1 5', minuto secundo 1 5". Cum autem Sol die uno describat 
motu proprio medio ad aequatorem relato arcum 59' 8" 20" ab occasu 



Cap. I.] AD TERTIUM LIBRUM. xvii 

ad ortum, ut' inveniatur arcus aequatoris dato tempore solari medio sub 
meridiano transiens, dicatur ut 24^ horas solares ad datum tempus solare, 
ita 3600 59' s'' 20'^' ad arcum quaesitum. His igitur proportionibus 
tempus solare medium vel tempus sidereum convertitur in gradus aequa- 
toris et contra. Facile autem patet ex dictis diem solarem medium aequa- 
lem esse 24 horis sidereis cum S' 56'' 32'". 

17. Si observetur altitudo meridiana Solis et dato ante vel post meri- 
diem tempore observetur etiam altitudo meridiana stellae alicujus, stellee 
hujus dabuntur declinatio et ascensio recta. Nam ex data altitudine 
meridiana Solis datur ejus ascensio recta (14) et tempore quod inter 
duas observationes intercedit in arcum sequatoris converso (16) datur 
ai'cus aequatoris qui tempore inter duas observationes elapso per meridia:- 
niUTa transit ; hic arcus addatur vel subducatur ascensioni rectse Solis, et 
summa vel difFerentia erit ascensio recta stellae. Declinatio autem stellae 
ex ipsa altitudine ejus meridiana eruitur (14). Quod si centrum Solis et 
centrum stellas in meiidiano simul reperiantur, eadem est utriusque 
ascensio recta. 

18. Datis declmatione et ascensione recta stellae, dantur ipsius longi- 
tudo et latitudo. Sunto JE Q aequator, E L ecliptica, P polus mundi, 
M polus eclipticae, S stelia, P S D 

quadrans circuli declinationis, et 
M S K, quadrans circuli latitudinis. 
Quaemntur arcus 'Y» vel =^ K et K S. 
In triangulo P S M datur latus 
P M seu distantia polorum P et M 
230 29', datur quoque latus P S 
declinationis S D complementum 
et angulus M P S seu ^ P D, 
eujus mensura est arcus JE D datus 
ob datos per ascensionem rectam 
arcum «Y^ D vel ^ D et quadran- 
tem JE ^. Quare (per trig. 
sphaer.) invenitur latus M S latitudinis S K complementum et angulus 
M, cujus mensura est arcus K L ; ex circuli quadrante 'Y^ L vel =^ L 
subducatur K L, et dabitur ^ K longitudo stellae S. Hinc etiam facile 
patet quomodo datis longitudine ^ K et latitudine K S stellffi S inveniri 
possit ipsius ascensio recta et declinatio. Nam dato 'Y^ K datur K L, et 
inde datur angulus S M P, et dato S K, datur S M, unde cum datum 
Voi,. III. j3 




xviii INTRODUCTIC [Cap. I. 

sit M P, dantur in triangulo S M P latus P S complementum declina- 
tionis et angulus JE F D, cujus est mensura JE D, ex qua si auferatur 
quadrans JE ^, dabitur ascensio recta 'Y^ D. 

19. Ex hujusmodi obAervationibus et calculis inventum est fixarum lati- 
tudines immutabiles esse, longitudines vero per singulos annos 50 secundis, 
et per annos 72 gradu uno quamproxime augeri. Unde manifestum fit 
stellas fixas motu proprio sed lentissimo in circulis eclipticas parallelis 
progredi in consequentia, aut si stellas fixae omni proprio motu priventur, 
puncta aequinoctialia singulis annis in antecedentia moveri per arcum 50'', 
atque hasc est praecessio aequinoctiorum ex qua fit ut Sol motu proprio ab 
aequinoctio ad idem aequinoctium citius revertatur quam a stella fixa ad 
eandem. Annus igitur solaris aequinoctiahs brevior est anno solari 
sidereo, hoc est brevior est tempore unius revolutionis Solis a stella fixa 
ad eandem fixam; difFerentia est 20' 17" quo tempore Sol motu proprio 
aixum 50" conficit. Est ergo annus sidereus 365'^'''- 6^""'- 9' 17". 

20. Stellarum distantiam dicimus arcum circuli maximi inter stellarum 
centra comprehensum, aut, quod eodem redit, angulum quem rectae a 
centris stellarum ad oculum specta- 

toris ductae efficiunt. Si ope semi- 

circuH vel quadrantis observentur 

distantiae stellae ahcujus ab aUis dua- 

bus stelHs quarum longitudo et lati- 

tudo notae sunt, iUius quoque longi- 

tudo et latitudo dabuntur. Nam 

esto ecUptica E L, polus ejus M, 

stellae notae longitudinis et latitudinis 

S et F, tertia stella D. Ducantur 

tres circuli latitudinis M D E, M S B 

et M F A, sintque datae distantiae 

D S et D F. Quia dantur latitudines 

S B et F A stellarum S et F, dabuntur earum complementa S M et F M 

cum angulo B M A, cujus mensura est arcus B A, difFerentia longitudinis 

stellarum S et F, et ideo in triangulo S F M, dabitur S F, cum angulo 

M S F. Datis in triangulo D S F, tribus lateribus dabitur angulus 

D S F, et si ex 360° seu quatuor anguHs rectis subducatur summa angu- 

lorum datorum D S F et F S M, dabitur anguhis D S M, cum quo et 

notis lateribus D S et S M, reperientur latus M D complementum quae- 

Bitsd latituctnis stellae D, et angulus E M B cujus mensura est arcus E B, 




Cap. I.] 



AD TERTIUM LIBRUM. 



XIX 



differentia loiigitudiiium stellai'um D et S; ha3 autem observationes 
distantiarum astrorum intcr se propter astrorum continuam conver- 
sionem non facile ad summam acribeiam perducuntur. 

21. Sit n z ae TT q telluris globus per cujus centrum T transit axis 
niundi P p. Loci z sit horizon sensibilis h r, horizon rationalis H R, 
et meridianus P Z H N. His ita constitutis, axis telluris dicitur pars 




n cr, axis mundi P p tdluris superficie terminata in punctis n et <t, quse 
poli terrae vocantur. Polus n polo coelesti P nobis conspicuo subjectus 
borealis vel arcticus, alter t australis vel antarcticus appellatur. Inter- 
sectio plani aequatoris coelestis cujus est diameter lE Q, cum telluris super- 
ficie, sive circulus maximus ae s q x, cujus poli sunt n et a, dicitur asqua- 
tor terrestris aut etiam circulus sequinoctialis vel xar e^o^nv linea. Lati- 
tudo loci cujusvis z in superficie terrae est distantia ejus ab aequatore, 
sive est meridiani terrestris arcus z ae inter locum z et asquatorem ae s q x 
interceptus. Unde patet latitudinem loci z in superficie terrae numero 
graduum aequalem esse declinationi coelesti verticis Z ejusdem loci, seu 
elevationi poli P R. Nam arcus P R et Z ^, sunt aequales (10) et 
arcus Z ^ ac z ae similes ;^ per locum in superficie terrae pro arbitrio de- 
terminatum ducatur meridianus n r t aequatorem ae s q x secans in r ; 

b 2 



XX 



INTRODUCTIO 



[Cap. I. 



dicaturque n r «• primus meridianus, et loci cujusvis alterius z longitudo 
dicetur sequatoris arcus r se inter meridianum primum n r ^ et meridia- 
num z ae cr q loci z interceptus atque ab occasu ad ortum numeratus. 

22. Si per trigonometriam mensuretur distantia z 1 duorum locorum 
z et 1 sub eodem meridiano sitorum et ope quadrantis circuli ex iisdem 
locis observentur distantise S Z et S V, stellae fixse S a locorum vertici- 




bus Z et V, dabitur telluris semidiameter z T. Nam datis arcubus S V 
et S Z, dabitur eorum difFerentia vel summa V Z, et hinc datur arcus 1 z 
qui arcui V Z similis est. Quare per observationes astronomicas notum 
erit quot gradus vel minuta in arcu 1 z contineantur, et per trigonome- 
tricas mensuras ejusdem arcus longitudo hexapedis vel pedibus aut aUis 
mensuris notis data erit, et inde inferendo ut numerus minutorum in arcu 
1 z contentorum ad 360° seu ad 21600', ita longitudo 1 z mensuris notis 
expressa ad circulum telluris maximum, dabitur hic circulus ex quo inve- 
iiietur semidiameter z T. 



Cap. II.] 



AD TERTIUM LIBRUM. 



XXI 



CAPUT 11. 

Siderum refractio et parallovcis hreviter explicantur. 

23. oiT M N plana superficies qua aer rarior M O P N aerem den- 
siorem contingit. Radius lucis per rectam A C propagatus ex aere 



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rariofi in densiorem oblique transeat per punctum C et inde feratur per 
C F, per C ducatur B E ad M N perpendicularis, experientia certum 
est radium A C in aere densiori non propagari per rectam continuam 
A C D, sed in puncto C ita refrangi per C F accedendo ad perpendicu- 
larem B C E, ut sinus anguli cujusvis A C B sit semper ad sinum anguli 
E C F in data ratione. A C dicitur radius incidens, C punctum inci- 
dentia^, C F radius refractus, A C B angulus inclinationis, E C F angulus 
refractus, et D C F angulus refractionis 



b3 



xxu 



[NTRODUCTIO 



Cap. II. 



24. Si atmosphaera C X F O M A TerrjE A D M circumfusa, divisa 
intelligatur in innumeras superficies sphaericas telluris superficiei concen- 
tricas CXFO, BVEN aer inter duas hujusmodi superficies contentus 
et aeris superioris 

pondere compressus 

eo densior erit quo 

minus a telluris cen- 

tro T distabit. Sit 

Z S H circulus verti- 

calis ex centro tellu- 

ris T descriptusj ar- 

cus S H altitudo si- 

deris S supra hori- 

zontem rationalem 

T H, et Z S distan- 

tia sideris a vertice 

Z. Si radius lucis 

S X e sidere S pro- 

pagatus incidat in at- 

mosphaeram in X, is 

refringetur in X per 

X V accedendo ad 

semidiametrum T X superficiei sphaericae C X F O perpenuicdlarem 

(23) et quoniam aeris densitas in V major est quam in X radius iii 

puncto V, superficiei B V E rursus refringetur accedendo ad T V, atque 

ita continuo incujrvabitur et in Uneam X V A versus T cavam flectetur. 

Hanc curvam tangat in A recta A s, circulo verticah Z H occurrens in s, 

et quoniam radius lucis S X V A oculum spectatoris in A ingreditur 

secundum directionem tangentis A s, sidus, quod est revera in S, videbi- 

tur in s, in loco nempe altiore ; notum enim est ex optica objectum videri 

in ea recta secundum quam fit directio radiorum oculos ingredientium. 

25. Producatur T X ad L, ut sit S X L angulus inclinationis radii 
S X in atmosphaeram incidentis, et V X T angulus refractus, data erit 
ratio sinus anguli S X L, ad sinum anguli V X T (23) ac proinde sinus 
angulorum inclinationis erunt semper ut sinus angulorum refractorum. 
Quare sideris in vertice Z constituti, ubi nuUus est angulus inclinationis, 
nulla erit refractio, et siderum in eequaUbus a vertice distantiis sitorum, 
ubi aequales sunt inclinationum anguh, aequales erunt refractiones. Solis 





Cap. II.] AD TERTIUM LIBRUM. xxiii 

igitur, Lunae, fixarum ac siderum omnium extra terrestrem atmosphaeram 
constitutorum, in paribus a vertice distantiis refractiones sunt aequales. 

26. Siderum refractio ad singulos altitudinis gradus, observatione 
definiri potest. Esto H R horizon, P polus mundi, iE Q aequator, 
P Z H meridianus, Z S V circulus verticalis, P S D et P s d, circuli 
declinationis. Stellae fixae F prope 
zenith constitutae observetur altitudo 
meridiana H F, quae a refractione 
Hbera est, et inde eruatur ejus decli- 
natio F lE (14). Deinde observetur 
ejusdem stellae in S positae altitudo 
quaelibet S V, et ope horologii oscilla- 
torii notetur tempus quod inter primam 
et secundam observationem intercedit, 
et inveniatur arcus aequatoris JE D qui 
eo tempore per meridianum transiit 
(16). Stella quae ob refractionem in 

loco altiori s apparet sit revera in S, erit P S D circulus declinationis 
stellae in S constitutae, et in triangulo P Z S, dabitur angulus Z P S, 
cujus mensura est arcus JE D cum hitere P Z quod est distantia poli a 
vertice et latere P S, quod est declinationis D S seu JE F complementum, 
unde invenitur latus Z S cum altitudine S V, complemento lateris Z S. 
Si ergo ex altitudine observata s V, subducatur altitudo inventa S V, 
quae a refractione libera est, dabitur arcus S s, refractio stellae in quolibet 
gradu altitudinis. Hoc modo D. De la Hire in Tabulis Astronomicis 
observavit refractiones siderum diversis anni tempestatibus, in pari altitu- 
dine easdem esse exceptis refractionibus circa horizontem quas nonnullis 
inconstantiis obnoxias expertus est, atque hinc vniicam tabulam refrac- 
tionum ex ipsis observationibus deductam constituit, quam postea correxit 
D. Cassinus, et ea correcta utuntur astronomi. Quoniam vero radio- 
rum lucis in atmosphaeram incidentium obliquitas cum sideris a vertice 
distantia crescit, iisdem observationibus invenit refractiones siderum a 
vertice ad horizontem usque ubi maximae sunt, continuo augeri; at quod 
ex alienis observationibus supponebat, videlicet refractiones borealium 
regionum ipsa etiam aestate, longe majores esse quam in zonis temperatis, 
id minime verum esse ostendunt accuratiores observationes ab acade- 
micis Parisiensibus ad circulum polarem habitae, quibus refractiones 
etiam horizontales Parisiensibus aequalcs invenerunt. Vide Domini De 

b4 



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XXIV INTRODUCTIO [Cap. II. 

Maupertuis nobilissimum opus de figura telluris per observationes ad 
culum polarem definita. 

27. Refractio sideris declinationem, ascensionem rectam, longitudi 

ac latitudinem afficit et arcus circuli maximi quo sideris declinatio, 

ascensio recta, longitudo et latitudo minuitur vel augetur per refractio- 

nem, dicitur refractio declinationis vel 

ascensionis rectae, &c. ; at ex data alti- 

tudinis refractione aliae refractionum 

species inveniri possunt. Nam in figura 

superiori dantur in triangulo s Z P 

latera Z s et Z P cum angulo s Z P et 

inde reperitur latus s P cum angulo 

s P Z cujus mensura est arcus lE d, 

unde cum detur arcus M D, dabitur 

arcus d D refractio ascensionis rectae 

sideris S ; et quia dantur arcus d s et 

D S, dabitur etiam horum arcuum differenfia, qua3 est lefractio declina- 

tionis. Sed datis declinatione et ascensione rect^ : puncti cujusvis in 

sphaera mundana, dantur ipsius latitudo et longitudo (18); patet igitur 

quomodo latitudinis et longitudinis refractiones possint inveniri. 

28. Jam de Parallaxibus pauca nobis delibanda sunt. Caetera, ubi 
opus fuerit, suis locis exponemus. Itaque distantia locorum in sphaer^ 
ccelesti ad quse sidus vel phsenomenon quodvis e superficie telluris et ex 
ejus centro spectatum refertur, sive arcus circuli maximi inter illa duo 
loca interceptus, ipsius sideris aut phaenomeni parallaxis appellatur, quae 
proinde nulla est nisi terrse semidiameter sensibilem habeat rationem ad 
distantiam sideris a terra. Sit T centrum telluris ac cceli; A ocukis m 
superficie terr^; Z zenith loci A; Q sidus vel phaenomenon quodvis; 
C Q P verticaHs per Q transiens; Z S X H verticalis in superficie 
sphaerse coelestis ; A B E verticahs in superficie terrae; T H horizon 
rationahs et A h horizon sensibihs. His ita constitutis, locus physicus 
sideris Q, est punctum iUud in quo sideris centrum haeret. Locus opticus 
apparens seu visus est punctum V in superficie sphaerae ccelestis, m quo 
recta ex oculo A per centrum sideris Q ducta terminatur. Locus opticus 
verus est punctum S in superficie sphaerae coelestis in quo termmatur 
recta hnea T Q S ex terrae centro T per Q ducta. Parallaxis est arcus 
S V sive differentia duorum locorum opticorum. AnguUis parallacttcus 
qui plerumque etiam Paralla:cis vocatur, est angulus A Q T quem m 



Cap. II.] 



AD TERTIUM LIBRUM. 



XXV 



centro sideris efficiunt rectae A Q et T Q ex oculo A et ex centro terraa 
T ad sideris centrum Q ductae. Parallaxis altitudinis quas et parallaxis 
simpliciter dicitur, est dinerentia inter distantiam Z V a zenitli Z ex loco 
A visam et distantiam veram Z S, sive est arcus S V in circulo verticali 
Z S V H, unde manifestum est altitudinem sideris veram per parallaxim 
minui et ejus a vertice distantiam augeri, atque ideo parallaxim esse 
refractioni contrariam. Parallaxis horizontalis est parallaxis X h, sideris 
P in horizonte sensibili A h apparentis. 

29. Parallaxis S V est mensura anguli parallactici A Q T. Jungatur 
T V, et angulus externus A Q T sequalis erit duobus internis oppositis 
Q T V et Q V T; sed angulus Q V T sive A V T, evanesc.ente A T 
respectu T V, nullus est (9), ergo angulus parallacticus A Q T, aequahs 
est angulo Q T V, seu S T V, cujus mensura est arcus S V. 







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30. Manente sideris a centro terrae distantia, sinus parallaxeos est 
ad sinum distantiae visae sideris a vertice in ratione data semidiametri 
telluris ad distantiam sideris a centro terrae. Nam in triangulo A Q T, 
est A T ad Q T, in ratione sinus anguli parallactici A Q T seu sinus 
parallaxeos ad sinum anguli T A Q sive ad sinum distantiae visae Z V 
a vertice, et ideo, datis A T et Q T, data est ratio siiuumi illorum. 



XXVI 



INTRODUCTIO 



[Cap. II. 



Hinc vero sequltur sideris in vertice Z, constituti parallaxim esse 
nullam, eandem crescere cum distantia a vertice et in horizonte fieri 
maximam. Sequitur quoque sinus parallaxium in paribus sideris a 
centro terrae distantiis esse ut sinus distantiarum visarum a vertice, et 
ideo si detur parallaxis sideris in aliqua a vertice distantia, dabitur in alia 
quavis distantia a vertice. 




31. Data sideris Q, parallaxi A Q T, cuiti angulo Z A V seu dis- 
tantia apparente a vertice, datur in semidiametris terrae tum distantia 
Q T sideris Q a centro terrse, tum distantia ejus A Q a loco A. Dato 
enim angulo Z A Q datur T A Q complementum illius ad duos rectos, 
unde, ob datum etiam angulum A Q T, dantur tres anguli trianguli 
Q A T, ex quibus datur ratio laterum inter se. Hinc data sideris P 
parallaxi horizontali, si inferatur ut sinus parallaxeos ad sinum totum, ita 
semidiameter telluris A T ad quartum obtinebitur distantia P T sideris a 
centro terrae ob angulum T A P rectum. 

32. Sinus parallaxeon siderum Q et q in aequalibus distantiis appa- 
rentibus a vertice, sunt in ratione reciproca distantiarum siderum a cen- 
tro terrae. Etenim ut sinus parallaxeos A Q T, ad sinum anguU Z A V, 
ita est A T ad Q T et ut sinus anguU Z A V, ad sinum parallaxeos 



Cap. II.] 



AD TERTIUM LIBRUM. 



XXVll 



A q T, ita q T ad A T, ideoque ex aequo, sinus parallaxeos A Q T est 
ad sinum parallaxeos A q T ut q T ad Q T. Ex quo etiam sequitur 
siderum in eadem altitudine apparente existentium, hujus majorem esse 
parallaxim quod minus distat a centro terrae. 

33. Parallaxis altitudinis, uti de refractione dictum est, sideris de- 
clinationem, ascensionem rectam, longitudinem et latitudinem mutat; 
et eodem modo quo ex refractione altitudinis inveniuntur aliae refrac- 
tionum species, sic ex data parallaxi altitudinis eruuntur parallaxes decli- 
nationis, ascensionis rectae, longitudinis et latitudinis; illud quoque 
observandum est sideris in meridiano existentis nullam esse ascensionis 
rectae refractionem nec parallaxim ; cum enim altitudinis refractio sidus 
attollat, et altitudinis parallaxis illud deprimat, in eodem meridiano 
seu circulo declinationis (per hyp.) ascensio recta inde non mutatur. 
Similiter si circulus verticalis in quo sidus reperitur sit ad echpticam 
perpendicularis, nulla erit longitudinis refractio nullaque parallaxis ; nam 
in hoc casu circulus verticalis est simul circulus latitudinis, et siderum in 
eodem latitudinis circulo existentium longitudo est eadem. 

34. Data differentia longitudinis locorum duorum in superficie terrae, 
seu dato arcu aequatoris inter locorum illorum meridianos intercepto, 
datur tempus quo Sol vel stella fixa ab uno meridiano ad alterum motu 
diurno transit (16); et inde definiri potest utrum observationes in ilHs 
duobus locis habitse, respondeant eidem temporis absoluti momento an 
non. Facile idem innotescit per Lunae et Jovis satellitum eclipses; 
eodem enim momento temporis echpsis ini- 

tium ac finis, et macularum in Luna notarum 
immersio in umbram vel emersio ex umbra 
ex omnibus terrae locis unde conspici pos- 
sunt videntur, atque ex his phaenomenis dif- 
ferentia longitudinis locorum determinatur. 
His positis si ex locis duobus A et B, quorum 
distantia A D B data est, phaenomeni vel 
sideris P in plano verticaU A P B T, exis- 
tentis altitudines apparentes et a refractioni- 
bus Uberae observatae fuerint eodem tempore, 
inveniri poterit puncti P paraUaxis et dis- 
tantia a centro terrae P T. Nam per obser- 
vationem altitudinis apparentis in loco A, 
datur angulus C A P, distantia apparens sideris a vertice et inde datur 




XXVlll 



INTRODUCTIO 



[Cap. II. 



angulus P A T, anguli C A P complementum ad duos rectos, eodemque 

modo per observationem in loco B factam invenitur angulus P B T. Sed 

dato arcu A D B, datur angulus A T B et 

hinc in triangulo isoscele A T B, dantur 

anguli asquales T A B et T B A. Quare 

dantur etiam in triangulo A B P, anguli 

P A B, et P B A quos latera P A et P B 

efficiunt cum chorda A B. Ergo triangula 

duo A B T et A B P dantur specie ac 

proinde datur ratio P B ad B T, et quia 

datis angulis A B T et A B P datur angulus 

P B T, ducta recta P T, dabuntur in trian- 

gulo P T B, angulus T B P, et ratio laterum 

T B et B P, atque ideo triangulum hoc specie 

dabitur. Innotescet igitur tum angulus paral- 

lacticus B P T, tum distantia P T, seu ejus 

ratio ad telluris notam semidiametrum. Hac igitur ratione inveniri 

potest parallaxis sideris aut phasnomeni vel quiescentis vel utlibet moti. 

Verum astronomi recentiores plures invenerunt methodos quibus unicus 

observator in eodem loco manens siderum motu diurno ac proprio agita- 

torum parallaxes potest determinare. De his, ubi e re visum fuerit, 

dicemus. Vid. Keill. in Introductione ad Veram Astronomiam. 




Cap. III.l 



AD TERTIUM LIBRUM. 



XXIX 



CAPUT IIL 

De Telescopii ac Micrometri usu et Phcenomenis horum InstrU' 
mentorum henejicio observatis pauca. 



35, oiT telescopium astronomicum D F G E, 
vitrum objectivum D E, oculare F G; objectum 
A C ; ita remotum ut radii qui ex singulo illius puncto 
in totam vitri objectivi superficiem incidunt pro paral- 
lelis possint usurpari. Radii illi ex eodem puncto 
v. gr. A propagati, a vitro objectivo ita franguntur 
ut post vitrum D E coeant in unum punctum a, quod 
est puncti A imago, et similiter punctum C pingitur 
in c, totumque objectum A C in a c, situ inverso, 
estque c a foci locus in quo proinde oculus O, trans 
vitrum oculare F G, videt objectum A C, seu ipsius 
imaginem a c. Hinc si in foci loco c a positum sit 
corpus aliquod opacum, oculus illud distincte videbit 
tanquam objecto A C, seu potius imagini ejus a c 
contiguum. 

36. Sit B O radius ad A C normalis et per centra 
H et M vitrorum transiens, ideoque irrefractus. Jun- 
gatur recta A O, et objectum A B, oculo nudo vide- 
retur sub angulo A O B, estque proinde angulus 
A O B, magnitudo apparens objecti A B. Quoniam 
vero radii ex punctis imaginis b et a parallele propa- 
gati colliguntur a vitro oculari F G in ejus foco O 
ubi oculus versatur, pars objecti A B, seu ejus imago 
a b, videtur sub angulo M O L, et (per Probl. XXXI. 
Element. Dioptr. Clariss. Wolf.) distantia foci lentis 
objectivae H b, est ad distantiam foci lentis ocularis 
b M, ut angulus M O L ad angulum A O B, seu ut 
magnitudo apparens imaginis a b ad magnitudinem 
apparentem objecti A B nudo oculo visi, ex quo 
patet quod in eodem telescopio magnitudines appa- 
rentes objectorum sunt proportionales magnitudini- 
bus imaginum in foco positarum et trans vitrura ocular 



E 



D: 



^ 



e visarum. 



XXX 



INTRODUCTIO 



[Cap. III. 



37. His positls, facile est micrometri usum intelligere. Est autem 
micrometrum instrumentum quod in foco lentis objectivae telescopii apta- 
tur ad magnitudines apparentes quae gradum unum vel gradum cum 
semisse non superant, dimetiendas. Illius constructionem quam D. De 
la Hire in Tabulis Astronomicis veluti usibus Astronomicis accommo- 
datiorem dedit, referemus. Constat ex duobus quadris rectangulis 
quorum alterum A C B D, ut plurimum longitudinem habet duorum 
pollicum cum semisse et latitudinem unius pollicis cum semisse. Hujus 
quadri, latera longa A D, C B, in partes aequales et tertia parte unius 
pollicis inter se distantes dividuntur, ita tamen ut lineae ductae per singu- 
las divisiones sint ad latera A D, C B, perpendiculares. Hisce divisioni- 
bus fila serica bene tensa applicantur, glutinanturque cera. Additur 



G li 



K 



A 



:a ic le 



111 ;ii : 



:0 



i?i ^! 



B d f 






B 



wvwnJ 



M 



T> 



ir 




K T- 



filum sericum K L, dictum transversaie, quod ad angulos rectos fila 
parallela modo descripta a b, c d, e f, &c. secet et in medio laterum 
A C, B D glutinatur. Alterum quadrum E F H G cujus longitudo 
E F non superat unum pollicem cum semisse, ita priori accommodatur 
ut ejus latera E F, G H, moveantur super latera A D, C B, alterius 
quadri nec ab ipso separentur. Facies hujus secundi quadri quae divisam 
faciem prioris respicit, filo etiam serico et tenso h L, instruitur, qucd, 
cum movetur quadrum ubique prioris quadri filis parallelum maneat, 
eaque superlabitur quam proxime, nec tamen eis occurrit. Cochlea 
deinde M N, lateri B D, longioris quadri affigitur, cujus striatum recep- 
taculum lateri F H alterius adhaeret et in foramine rotundo circumvol- 
vitur. Cochlea ejusque receptaculum auricuHs S, S, instructum ita inter 
se aptari debent ut receptaculum et quadrum E H, ne minimum quidem 
moveri possit, nisi receptaculi motu conversionis. Quadrum A C B D, 
telescopii cujusvis longitudinis tubo in distantia foci objectivae lentis ita 
aptatur ut ipsius quadri planum perpendiculare sit ad telescopii axem. 
His ita constitutis, telescopium in ccelum convertatur et ita disponatur ut 



Cap. III.] AD TERTIUM LIBIIUM. xxxi 

duae stellae fixae quaruni distantia apparens in minutls secundis aiiunde 
nota sit, sint in filo transversali K L, positae verseturque cochlea donec 
fiJum mobile h L, per centrum x, stellae nnius transeat, alterius stellae 
centro m, vel n, existente in ah'o filo a b, vei c d. Hac observatione 
notum erit cuinam distantiae apparenti respondeat longitudo m x, vel n x, 
in hneis et lineae partibus data, et inde per proportionis regulam, obser- 
vata qu'ilibet alia siderum distantia n q, dabitur anguhis sub quo haec 
distantia nudo oculo videretur, inferendo sic : ut m x vel n x ad n q, ita 
distantia apparens stellarum duarum m, vc) n, et x ad distantiam appa- 
rentcm punctorum n et q. Moveatur jam quadrum E F H G ope rccep- 
taculi striati donec filum ejus sericumh LjCxacte convcniat cuilibet ex filis 
parallehs alterius quadri, noteturque positio auricularum receptaculi et 
iterum moveatur receptaculum donec idem filum quadri E F H G proxi- 
mo filo akerius congruat, vel, quod idem est, mqveatur quadrum E F H G, 
per spatium quatuor hnearum, numerenturque revolutiones receptaculi et 
partes unius revolutionis quae filorum intervallo linearum quatuor con- 
veniunt. Condatur tandem tabula revohitionum receptaculi et partium 
ejus quae singuhs minutis primis et secundis ex noto superius toio inter- 
vallo debentur. 

38. Ubi diameter planetarum erit observanda, directo telescopio cum 
micrometro ad planetam ita disponantur fila movendo telescopium ut 
sideris hmbus unum ex filis paraUehs immobilibus percurrat; delndc 
receptacuium convertatur, donec filum mobile llmbum alterum pianetae 
contingat. Manifestum est ex distantia cognita inter fila micrometri 
quae planetam comprehcndunt, notam fieri planetae diametrum appa- 
rentem. 

39. Data dechnatione et ascensione recta stellae fixm, inveniri potest 
alterius stehae declinatlo et ascensio recta, modo tamen duce illa^ stellae 
transire vicissim possint per campum telescopii immoti. Ita enlm dlspo- 
nantur fila paraUela micrometri ut motus dlurnus stehae quac alteram 
prsecedit fiat super unum ex ihis E G. Super a b, in quo sltu filum c d, 
exponet portlonem exiguam paraheli quem stella describit, et filum K L 
illud ad angulos rectos intersecans, circulum allquem dechnationis. 
Notetur temporis momentum quo stella praecedens filo transversali 
occurrlt in m. Simihter immoto telescopio observetur tempus appulsus 
alterlus seu sequentis sideris ad idem filum transversale seu clrculuni 
declinatlonis, et si interea filum parallelum moblle h L, siileri huic 
aptetur, immoto mancnte micromet)'o ope distantiae m x, filorum a b et 



xxxii INTRODUCTIO [Cap. III. 

h L, dlstantiam apparentem inter parallelos siderum duoruna quse est 
diiFerentia declinationis siderum, obtinebimus. Sed si differentia tem- 
poris inter utriusque sideris transitum per filum transversale in minuta 
tam prima quam secunda gradus convertatur (16) differentiam ascen- 
sionalem siderum habebimus. 

40. Haec observatio supponit nullum esse sideris motum proprium 
nullamque parallaxim. Si sidus motum proprium habeat, illum oportet 
ex observationibus determinare quoad decHnationem et ascensionem rec- 
tam illiusque rationem habere. Quo peracto, si aliqua sit sideris paral- 
laxis poterit ita reperiri. Observetur sideris ad meridianum appellentis 
ascensio recta quae parallaxi obnoxia non est (33), et differentia inter 
hanc ascensionem rectam sideris in meridiano existentis et asccnsionem 
rectam ejusdem sideris alibi existentis observatam, erit parallaxis ascen- 
sionis rectae ex qua parallaxis altitudinis inveniri poterit. Sit enim H R 
horizon, H Z R meridianus, Z zenith, P 

polus mundi, Z S E V circulus verticalis, 
S sidus observatum in loco S et deinde in 
meridiano, E locus sideris visus, S locus 
verus, et ideo S E parallaxis altitudinis; 
S P et P E circuli declinationis. Datur, 
(per Hyp.) angulus S P E, cujus mensura 

est parallaxis ascensionis rectae sideris observata. Datur etiam punctum 
illud quod est intersectio aequatoris et meridiani tempore observationis 
sideris in E, apparentis, unde habetur arcus aequatoris inter meridianum 
R Z H et circulum dechnationis P E interceptus qui est mensura anguli 
Z P E. Quare in triangulo Z P E, dantur latus Z P distantia poli a 
vertice, et latus Z E distantia visa sideris a vertice cum angulo Z P E. 
Innotescet igitur angulus P Z E, ab angulo Z P E, subducatur datus 
S P E, et dabitur angulus Z P S. Denique in triangulo Z P S, ex datis 
anguhs P Z S et Z P S, cum latere Z P, dabitur latus Z S, vera sideris 
a vertice distantia quae ex visa Z E, ablata relinquet S E parallaxim 
altitudinis. 

41. Telescopium maculas quamplurimas variabiles quae super corpus 
Solis incedere videntur ostendit, ex earum motu Solem circa proprium 
axem 25J diebus revolvi infertur. In Venere pro varia ejus ad Solem ct 
Terram positione phases diversae conspiciuntur phasibus Lunaribus 
similes ita ut partem illuminatam Soli constanter obvertat. Praeterea 
Mercurius et Venus tanquam maculae nigrae et rotundae discum Sohs 




Cap. IIL] AD TERTIUM LIBRUM. xxxiii 

trajicere vlsi sunt. Uiide notum factum est Planetas illos esse corpora 
opaca a Sole illustrata. In Jove, Marte ac Venere maculoe observatae 
fuerunt quarum motus rotationem illorum planetarum circa proprium axem 
probat, Circa Jovem quatuor revolvi videntur lunulae Jovis corpus per-' 
petuo comitantes. Sunt omnes ut et Jupiter ipse coi^pora opaca lumen 
suum a Sole mutuantia ; nam Jove inter ipsas et Solem diametraliter inter- 
posito, lumine privantur et caelo sereno evanescunt; ubi vero aliqua 
Jovialis Lunula inter Solem et Jovem transit, ejus umbra instar maculse 
nigrae ac rotundae observatur in ipso Jovis disco. Quinque pariter 
LunulfE Saturnmn comitantur et circa eum revolutiones suas agunt lumi- 
neque privantur dum radii Solares a Saturni corpore opaco intercipiun- 
tur. Hugenius ex propriis observationibus intulit Saturnum cingi annulo 
tenui, plano, nusquam cohgerente cum corpore Saturni et ad Eclipticam 
inclinato ; quae hypothesis, si ita nunc potest appeUari, non solum Phae- 
nomenis ab Hugenio observatis, sed et aliis plurimis quae magna dili- 
gentia a Cassino et Maraldo observata fuere satisfacit. Tandem per 
telescopium stellae longe plures quam oculo nudo cernuntur ; Stellae illae 
quas nebulosas dicunt et integra via lactea nihil ahud sunt quam pluri- 
marum stellarum quae oculo non distinguuntur congeries. Novae quoque 
in caelis stellae apparent et quae ante videbantur, nonnunquam incon- 
spicuae fiunt, illarum quaedam apparitionis et disparitionis periodos 
habent quae quamdam regularitatem obtinere videntur, earumque magni- 
tudo sub initio apparitionis crescit et sub finem decrescit. 

42. Si saepius observetur tum motus Sohs in Echptica (15) tum ipsius 
diaraeter apparens (39) quam fieri potest accuratissime, circa datum 
punctum m plano describi poterit curva simihs orbitae quam Sol circa 
terram percurrere videtur. Nam cum diametri Solis apparentes sint 
reciproce ut ipsius a tellure distantias, ex datis diametris apparentibus 
dantur distantiarum rationes et ex dato Solis motu in Echptica, dantur 
anguh inter illas distantias contenti. Si vero ex hujusmodi observationi- 
bus conferantur diametri apparentes Sohs cum ipsius angulari velocitatc 
circa terram, apparet areas quas Sol radio ad terram ducto verrit, esse 
temporibus proportionales, Solisque orbitam non multum difFerre a circulo 
et haberi posse pro elhpsi cujus umbihcum alterum occupat terra. Est 
autem Solis diameter apparens maxima 32' 40", et minima 31' 36" juxta 
D. Cassini in Tabulis Astronomicis et ideo maxima distantia Solis a 
terra est ad distantiam minimam ut 32' 40" ad 31' 36'', sive ut 1960 ad 
1896 circiter, sive 245 ad 237. Ex similibus cbservationibus, tum 

VOL. III. c 



xxxiv INTRODUCTIO [Cap. III. 

diametri apparentis Lunas, tum velocitatis ipsi^ in una revolutione colli- 
gitur hunc planetam radio ad centrum terrae ducto areas describere tem- 
poribus circiter proportionales. 

43. Si itaque observetur locus Solis in Ecliptica quando tum ipsius 
velocitas tum diameter apparens minima est, dabitur tempore dato locus 
Apogaei Solis et collatis plurium annorum observationibus innotescet 
Apogaei motus annuus qui juxta D. Cassini est 1' 2" et inde per propor- 
tionis regulam habetur motus Apogaei pro quolibet dato tempore. Hinc 
si tempore quovis observetur Solis longitudo vera, dabitur eqdem tem- 
pore locus Apogaei Solis et ipsius anomalia vera ex qua eruetur ejusdem 
anomalia media (per Schol. ad Prop. XXXI. Lib. I.) ac proinde longitudo 
media habebitur tempore observationis. Haec longitudo media assuma- 
tur tanquam radix seu principium motuum mediorum Solis et tempus 
observationis tanquam epocha temporum mediorum computandorum et 
dato quolibet alio tempore medio inveniri poterit medius SoUs motus huic 
tempori proportionalis, et inde habebitur ipsius longitudo media et 
distantia ejus media ab Apogaeo seu anomalia media dabitur ex qua 
deinde eruetur anomalia coaequata, ac proinde longitudo vera Solis 
habebitur. 

4.4. Quia vero dies Solares sunt inaequales (15), necesse est ut tempus 
apparens quod diebus solaribus constat, fluat enim inaequabiliter. Dif- 
ferentia quae est inter tempus apparens seu verum et tempus aequabile 
seu medium dicitur aequatio temporis qua indigemus ut terapus medium 
convertatur in tempus apparens et vice versa, ideoque ut invento loco Solis 
pro tempore medio, inveniatur etiam pro tempore vero et contra. 

45. Sit T, CceU et Terrae centrum 
T Z, planum immobile circuli alicujus 
horarii, 9r M =^ N aequator^ t S^s ^ /^ 
ecliptica, S Sol, 'Y^ S Solis longitudo 
vera, ^ s ejusdem longitudo media, cui 
sequalis capiatur arcus aequatoris ^ M, et 
*Y^ D sit Solis ascensio recta vera. Du- 
cantur ad puncta mobilia M et D radii 
aequatoris T M et T D qui semper move- 
antur cum punctis M et D, in consequen- 
lia. Quoniam aequator per circulum 
horarium T Z, motu aequabili diurno 
nempe qui fit ab oriente in occidentem, transit ; si punctum D ascensionis 




Cap. III.] AD TERTIUM LIBRUM. XXXV 

rectae Solis etiam aequabiliter progrederetur in aequatore ab occidente in 
orientem, dies Solares seu revolutiones singulae puncti D a circulo horario 
T Z ad eundem, essent aequales et tempus apparens a medio non differ- 
ret. Sed cum motus ascensionis rectae D, insequabilis sit, dies et horoe 
Solares sunt quoque inaequales. At punctum M, aequabiliter progreditur 
in sequatore ab occasu ad ortum, et ideo motus illius constitui potest pro 
mensura temporis medii. Itaque longitudo Solis media 'Y* s vel aequalis 
est ascensioni rectae 'Y^ D vel ea major est aut minor. In primo casu 
punctum. M coincidit cum puncto D, in secundo casu est ultra D, versus 
orientem et in tertio casu est citra D, versiis occidentem. Temporis 
absoluti momentum quo punctum M, coincidit cum puncto D, sunlatur 
tanquam principium a quo tempus apparens et tempus medium incipiunt 
computari et quo simul coincidunt ; et in aliis casibus tempus apparens a 
medio diiFeret pro quantitate arcus M D in tempus solare conversi (16); 
Nam dum punctum D, est sub meridiano T Z, hora 12^ computatur in 
loco cujus meridianus est T Z, et ubi punctum M distat a puncto D, 
arcus M D, in tempus solare conversus, dabit differentiam inter meridiem 
apparentem et meridiem medium qui contingit quando punctum M est in 
meridiano T Z. 

46. Itaque tempus medium in apparens sic convertitur. Quaeritur 
longitudo Solis tum media, tum vera tempori dato respondens (44) inde 
eruitur longitudinis verae ascensio recta (14), si haec major est media Solis 
longitudine, difFerentia in tempus solare conversa subtrahitur ex tempore 
medio ut fiat apparens, additur si minor est. At tempus apparens in 
medium ita mutatur. Tempus apparens tanquam medium consideratur, 
et inquiritur pro dato tempore longitudo Solis tum media, tum vera, et 
inde eruitur longitudinis verae ascensio recta ; si haec mediam SoHs longi- 
tudinem superat, differentia in tempus solare conversa additur tempori 
apparenti ut fiat medium. Si vero longitudinis verae ascensio recta minor 
est media Solis longitudine, differentia in tempus eolare conversa a tem- 
pore apparente subducitur. Quod si media Solis longitudo aequalis sit 
ascensioni rectae longitudinis verae, tempus apparens congruit cum medio 
nuUaque eget aequatione. Haec omnia ex modo dictis (46) manifesta 
sunt ; si enim punctum D est orientalius puncto M, hoc citius ad meridi- 
anum T Z, pervenit quam illud, ac proinde hora 1 2^ temporis medii com- 
putatur, cum nondum est meridies temporis apparentis, et contrarium 
contingit, si punctum D puncto M fuerit occidentalius. Ubi tempus 
apparens in medium oportet converti, tempore apparente utimur tanquam 

C 2 



xxxvi INTROD. AD TERT. LIB. [Cap. III. 

medio ad locum Solis inveniendum; cum enim tempus apparens non 
multum difFerat a tempore medio, differentia inter ascensionem rectam et 
longitudinem mediam Solis est quam proxime eadem, sive per tempus 
medium, sive per tempus apparens inquiratur. 

47. Jam vero si tempore quovis apparente observetur Solis ascensio et 
longitudo vera, indeque eruatur ipsius longitudo media (44) ac tempus* 
apparens convertatur in tempus medium (47) habebimus locum Solis 
medium pro dato temporis medii momento, et hic locus erit radix motuum 
Solis, momentum vero temporis medii datum epocha temporum compu- 
tandorum; quibus semel constitutis ad quodlibet aliud datum tempus 
medium vel apparens inveniri poterit locus Solis verus vel medius in 
ecliptica et contra. Exposuimus jam (44) quomodo locus Solis dato 
tempore medio inquiratur. Si datum sit tempus apparens, hoc tanquam 
tempus medium usurpetur et quaeratur locus Sohs verus huic correspon- 
dens (44) ; deinde longitudini Sohs sic inventae tantum longitudinis 
addatur vel dematur quantum temporis sequationi debetur et ita prodibit 
locus Solis tempori apparenti respondens. Facile est ex dictis problema 
inversum solvere, seu ex dato loco Solis medio aut vero tempus medium 
aut apparens huic SoHs loco respondens invenire. 

48. Nec opus est ut moneamus easdem esse motuum ccelestium appa- 
rentias, sive coelum omne cum stelUs circa tellurem motu diurno revol- 
vatur ab oriente in occidentem, sive terra circa proprium axem eodem 
tempore ab occidente in orientem converti supponatur immoto coelo ; 
sive etiam terra immota maneat et Sol proprio motu ab occasu ad ortum 
feratur, seu circa Solem immotum terra motu annuo circumvolvatur in 
echptica Nam in utraque suppositione diametri apparentes et veloci- 
tates relativae sunt eaedem. 



DE 



MUNDI SYSTEMATE. 

LIBER TERTIUS. 



IN Libris praecedentibus principia philosopbias tradidi, non tamen 
philosophica sed mathematica tantum, ex quibus videlicet in rebus 
philosophicis disputari possit. Hffic sunt motuum et virium leges et 
conditiones, quae ad philosopliiam maxime spectant. Eadem tamen, ne 
steriUa videantur, illustravi scholiis quibusdam philosophicis, ea tractans 
quas generaUa sunt, et in quibus pliilosophia maxime fundari videtur, uti 
corporum densitatem et resistentiam, spatia corporibus vacua, motumque 
lucis et sonorum. Superest ut ex iisdem principiis doceamus constitu- 
tionem systematis mundani. De hoc argumento composueram librum 
tertium methodo populari, ut a pluribus legeretur. Sed quibus principia 
posita satis intellecta non fuerint, ii vim consequentiarum minime perci- 
pient, neque praejudicia deponent, quibus a multis retro annis insueve- 
runt : et propterea ne res in disputationes trahatur, summam hbri illius 
transtuli in propositiones, more mathematico, ut ab iis solis legantur qui 
principia prius evolverint. Verumtamen quoniam propositiones ibi quam 
plurimae occurrant, quae lectoribus etiam mathematice doctis moram 
nimiam injicere possint, auctor esse nolo ut quisquam eas omnes evolvat; 
sufFecerit siquis definitiones, leges motuum et sectiones tres priores Hbri 
primi sedulo legat, dein transeat ad hunc librum de mundi systemate, et 
rehquas hbrorum priorum propositiones hic citatas pro lubitu consulat. 



C3 



PHILOSOPHIiE NATURALIS [De Mun. Syst, 

REGUL^ PHILOSOPHANDI. 



REGULA L (*) 

Causas rerum naiuralium non plures admitti dehere^ qudm qucc et vene sint 
et earum phcenomenis explicandis siifficiant. 

L/icuNT utique philosophi : Natura nihil agit frustra, et frustra fit per 
pkira quod fieri potest per pauciora. Natura enim simplex est et rerum 
causis superfluis non luxuriat. 

REGULA IL 

Ideoque effectuum naturalium ejusdem generis ecedem assignandce sunt causce, 

qudtenusjieri potest, 

Uti respirationis in homine et in bestia ; desceiisus lapidum in Europa 
et in America ; lucis in igne culinari et in Sole ; reflexionis lucis in terra 
et in planetis, 

REGULA IIL 

Qualitates corporum quce intendi et remitti nequeunt, quceque corpmihus 
omnibus competunt in quihus experimenta instituere licet^ pro qualitatihus 
corporum universorum hahendce sunt, 

Nam quahtates corporum non nisi per experimenta innotescunt, ideo- 
que generales statuendae sunt quotquot cum experimentis generahter 

(^) 49. * Regula prima, Hoec regula duas ad veritatem novis experimentis indagandam, 

habetpartes; prima est, ne pliilosophia in vana quemadmodum astronomi varias adhibuerunt 

abeat opinionum commenta, causae rerum natu- hypotheses ut phaenomena coelestia praedicere et 

ralium non ahaj admitti debent quam quae revera accuratius observare, atque ita veras eorum 

existunt et quae phasnomenis expllcandis suffi- causas conjectando investigare possent. Altera 

ciunt ; unde si velimus cum evidentia ac certi- pars regulae, ea scilicet quae prcEscribit non 

tudine philosophari, omnes hypotheses negligen- plures admittendas esse rerum naturalium causas 

(Ue nobis sunt; hypothesis enim si legitima est, quam quae eorum phaenomenis explicandis suf. 

causae quidem possibilitatem, minime vero exis- ficiunt, manifesta est ; nam cCim vera effectus 

tentiam adstruit, . cum etFectus idem pluribus causa per experientiam semel inventa est, et 

modis produci possit. Verumtamen ubi certi- matheseos ope prcesertim demonstratum est 

tudinis obtinendae ab experimentis et inde causae illius eam esse vim quae ad effectum pro- 

mathematica via procedendo spes non aff ulget duccndum sufficiat, liquet aliam quamlibet cau- 

bypothesibus quibusdam particularibus uti licct sam esse inutilem. 



LiBER Tertius.] PRINCIPIA MATHEMATICA. is 

quadrant ; et quae minui non possunt, non possunt auferri. Certe contra 
experimentorum tenorem somnia temere confingenda non sunt, nec a 
naturae analogia recedendum est, cum ea simplex esse soleat et sibi 
semper consona. Extensio corporum non nisi per sensus innotescit, nec 
in omnibus sentitur : sed quia sensibilibus omnibus competit, de universis 
affirmatur. Corpora plura dura esse experimur. Oritur autem durities 
totius a duritie partium, et inde non horum tantiim corporum quae senti- 
untur, sed aliorum etiam omnium particulas indivisas esse duras merito 
concludimus. Corpora omnia impenetrabilia esse, non ratione sed 
sensu colligimus. Quae tractamus, impenetrabilia inveniuntur, et inde 
concludimus impenetrabilitatem esse proprietatem corporum universorum. 
Corpora omnia mobilia esse, et viribus quibusdam (quas vires inertiae 
vocamus) perseverare in motu vel quiete, ex hisce corporum visorum 
proprietatibus coUigimus. Extensio, durities, impenetrabilitas, mobilitas 
et vis inertiae totius oritur ab extensione, duritie, impenetrabilitate, mobi- 
Htate et viribus inertiae partium: et inde concludimus omnes omnium 
corporum partes minimas extendi et duras esse et impenetrabiles et 
mobiles et viribus inertiae praeditas. Et hoc est fundamentum philosophiae 
totius. Porro corporum partes divisas et sibi mutuo contiguas ab invi- 
cem separari posse, ex phaenomenis novimus, et partes indivisas in partes 
minores ratione distingui posse (^) ex mathematica certum est. Utrum 
vero partes illae distinctae et nondum divisae per vires naturae dividi et ab 
invicem separari possint, incertum est. At si vel unico constaret experi- 
mento quod particula aHqua indivisa, frangendo corpus durum et sohdum, 
divisionem pateretur : (^) concluderemus vi hujus regulae, quod non solum 

(^) 50. * Ex mathematicd certum est. De- agnoscimus qualitates essentiales, doctrina ; ig- 

monstrationes passim reperiuntur apud eos au- noramus plane, inquit ille, qutenam qualitates 

tores qui de materiae divisibilitate tractant, ut ex cum subjecti natura sint conjunctae si rem cncta- 

incommensurabilitate lateris quadrati et ejus physice spectemus ; sed fit ut experientia magis- 

diagonalis, &c. tra, has aliasve qualitates ad universa subjecta 

C^) * Co7icluderemus vi hujus regulce, seu ex quae ad eamdem classem referimus pertinere 

analogia naturse quae simplex esse solet et sibi deprehendamus, aut saltem ad omnia in quae 

semper consona. ♦ Hinc patet difFerentia New- experimenta instituere licuit, et eas essentiales 

tonianismi et Hypotheseos Atomorum ; atomis- dicere lubuit. Hinc infert Newtonus, eadem 

tac necessario et metaphysice atomos esse indi- ista regula qua utimur vulgo ad agnoscendas eas 

visibiles volunt, ut sint corporura unitates ; qualitates, eadem etiam regula in rebus philoso- 

metaphysicam hanc quasstionem missam facit phicis uti debemus ubi experientia quiilem, sed 

Newtonus, et huc redit ejus sententia, si illae minus obvia ac vulgari, similem inductionem 

partes quas Deus condidit indivisas, quaeque instituere dabitur. Adjungit quidem praster 

ideo sunt corporum physica elementa seu phy- eam inductionem, caracterem hunc metaphysi- 

sicae monades, frangendo dividerentur, tunc cum, ut illge qualitates iatendi ac remitti ne- 

exinde edocti, statueremus eas posse dividi, queant, etenim qualitates quae remitterentur, 

ideoque ulterius ulteriusque sine fine divisibiles gradatim eadem ratione qua remittuntur, aboleri 

esse diceremus, omnem hac de re theoriam me- possent, sicque universorum corporum quali • 

taphysicam experimentis facile postponentes. tates non amplius forenl. 
Haec etiam fluunt ex Lockii, de ratione qua 

C4 



4 PHILOSOPHI^ NATURALIS [De Mun. Syst. 

partes divlsae sep^rabiles essent, sed etiam quod indivisae in infinitum 
dividi possent . 

Denique si corpora omnia in circuitu terrae gravia esse in terram, 
idque pro quantitate materia^ in singulis, et lunam gravem esse in terram 
pro quantitate materiae suae, et vicissim mare nostrum grave esse in 
lunam, et planetas omnes graves esse in se mutuo, et cometarum similem 
esse gravitatem in Solem, per experimenta et observationes astronomicas 
universaliter constet : dicendum erit per hanc regulam quod corpora om- 
nia in se mutuo gravitant. Nam et fortius erit argumentum ex pliasno- 
menis de gravitate universali, quam de corporum impenetrabilitate : de 
qua utique in corporibus coelestibus nullum experimentum, nuUam 
prorsus observationem habemus. Attamen gravitatem corporibus essen- 
tialem esse minime affirmo. Per vim insitam intelligo solam vim inertiae. 
Haec immutabilis est. {^) Gravitas recedendo a terra, diminuitur. 

REGULA IV. 

In jphilosophid experimentali^ propositiones ex phcenomenis per inductionem 
collectcE^ non obstantihus contrariis hypothesihus^ pro veris aut accurate 
aut quamproxime haheri dehent, donec alia occwTerint phccnomena, per 
qucB aut accuratiores reddantur aut exceptionihus ohnoxice, < 

(^) Hoc fieri debet ne argumentum inductionis tollatur per hypotheses. 

(^) * Gravitas recedendo a terra dimimdturf ducta ad stabiliendas modo demonstrativo con- 

ut infra demonstrabitur. clusiones generales satis non sint, hic tamen 

(^) * Hoc Jieri debet. Hanc regulam in ratiocinandi modus est omnium quos rerum 

quajstionibus opiicishoc fere modo cxponit New- natura admittere possit optimus, isque eo tutior 

tonus. In physicis non secus ac in mathematicis reputari debet quo generalior est inductio ; si 

scientiis, ad res difficiles inquirendas methodus autem nulla repugnaverint pbasnomena, gene- 

analytica prius est usurpanda quam synthetica ralem conclusionem deducere licebit. Sin vero 

methodus in auxilium vocetur. Ha?c prima deinceps contraria occurrant phicnomena, excep- 

methodus in eo posita est ut adhibeantur experi- tionibus necessariis limitanda erit atque restrin- 

menta atque observationes ex quibus deinde per genda conclusio. Hujus analyseos auxilio a 

inductionem conclusiones generales deducantur, compositis ad simplicia, a motibus ad vires pro- 

non obstantibus contrariis hypofhesibus, nisi eas ducentes, et generatim ab effectibus ad eorum 

aliquoexperimento aut certa aliqua veritatenixas causas perveniri potest. Quod ad synthesim 

esse contigerit. Nam quod hypotheses spectat, pertinet, ha;c causas cognitas atque probatas 

eae in philosophia experimemali locum habere tanquam principia assumit quorum ope phaeno- 

non debent. Quamvis ratiocinia ab experi- nieua inde nota explicantur. 
mentis et observationibus pcr inductioncm de- 



I.IBER Tertius.] PRINCIPIA MATHEMATICA. 



PH^NOMENA. 



PH^NOMENON I. 

(^) Planetas circumjoviales, radiis ad centrum jovis ductis, areas descrihere 
temporibus proportionales, eorumque tempora periodica, stellis Jlxis quieS' 
ce?itibus, esse in ratione sesquiplicata distantiarum ab ipsius centro. 




C) 51. * FlanetcB circumjoviales. 

Lemma Satellitum Jovis et Saturni 

prbes ac motus determinare. 

Sit H F G H Sol, cujus centrum S, T Ter- 
ra; K O Q, Jupiter vel Saturnus circa Solem 
S describens orbitam M P N, A C D E L or- 
bita satellitis ; radii Solis extremi 
G O, H II paulo plusquam dimi- 
dium planetae Pillustrant, etpro- 
ducti umbram conicam R A C O 
terminant, cujus axis est recta 
S P B per Solis et planetae cen- 
tra transiens. Dum satelles in 
orbita sua L C D E girans, co- 
num umbrosum attingit in A, in 
iimbram immergitur et cessat vi_ 
deri; deinde ex umbra emergens 
in C rursus apparet. Attamen 
satellitum Saturni, ob nimiam il- 
lorum a Sole et Tellure distan- 
tiam, eclipses observari huc usque 
non potuerunt, sed omnium satel- 
litum Jovis eclipses e terra conspi- 
ci possunt, cum hoc tamen discri- 
mine quod immersiones et emer- 
siones quarti et tertii et nonnun- 
quam secundi in eadem eclipsi 
cernantur, primi vero immersio 
tantum vel emersio observari pos- 
sit. Sit jam satelles in L, et 
ductis e terra T rectis T P, T L, 
angulus P T L, dicitur elongatio 
seu digressio geocentrica satel- 
litis L a planeta primario P. 
Ducatur etiam recta T K dis- 
cum primarii planetre tangens 
in K, ct angulus P T K erit 
semidiameter primarii e tellure 
visa seu apparens, ideoque elon- 
gatio geocentrica erit ad semi- 
aiamctrum apparentem ut angulus P T L 
ad angulum P T K. Observatis pluribus 
hujusmodi elongationibus geocentricis et sBmi- 
diametris apparentibus, iisque inter se coUa- 
tis, iuveniuntur ulongationcs maxiina) ubi ratio 



anguli P T L ad angulum P T K maxima 
est, et hoc modo observatum est elongationes 
maximas geocentricas ejusdem sateliitis in variis 
orbitee suae locis aequales esse inter se quam 
j)roxime, ideoque satellites describunt circulos 
piancta? primario concentricos. Quia ergo, ubi 




elongatio maxima est, P K est quamproxime ad. 
P L, u£ angulus P T K ad angulum P T L, 
ob datam rationem horum angulorum et datam 
quoque semidiametrum 1' K, datur et P L, seu 
dislantia satellitis a centro prinjarii. Angulus 



PHlLOSOPHIiE NATURALIS [De Mun. Syst. 



P S L sub quo e centro Solis 8 videretur dis- 
tantia satellitis a centro primarii F, dicitur ejus 




elongatio heliocentrica; quae maxima est, ciim 
angulus S P L rectus est. Quia vero P L 
data est, elongationes maximae heliocentrica et 
geocentrica aequales sunt, ubi planeia P a Sole 
et terra aeque distat. 

Cognitis orbitarum Jiametris, tempora perio- 
dica satellitum inveniri possunt per eorum 
ech"p5es maximae durationis, atque etiam per 
transitum satellitis aut umbrae illius per medium 
discum planetae primarii. Nam cum radius 
circuli sit aequahs arcui grad. 57.29578, (Lib. I. 
not. 372.) et data sit ratio radii P L ad diame- 
trum planetae primarii O R, erit quamproxime 
ut P L ad O R, ita gradus 57.29578. ad nu- 
merum graduum arcus exigui C A, qui fere 
aequahs est diametro O R, ob parallelas O C, 
R A. Fiat deinde ut numerus graduum aut 
partium gradiis C A vel O R ad gradus 360, 
ita tempus quo describitur C A vel O R ad 
tempus periodicum satellitis, quod ita dabitur. 
Supposita theoria primarii planetae per obser- 
vationes determinata, tempora periodica inveni- 
untur mensurando intervalla temporis inter duas 
satellitum conjunctiones, vel etiam inter duas 
digressiones maximas. 

52. Satellitum a centro Jovis distantias ob- 
servandi et in diametri partibus aestimandi tripli- 
cem methodnm dL'scribit Clariss. Ca^sinus in 
Elcmentis Astronumio." anno 1740 cditis. 



1°. Sit A R B Jupiter, D S E D orbita 
satellitis, micrometro capiatur diameter Jovis 
A B, deinde ubi satelles in maxi- 
ma elongatione versatur, capiatur 
distantia D C, inter centrum Jo- 
vis C, et satellitem D, quo facto, 
distantia D C, conferatur cum 
diametro Jovis, habebitur distan- 
tia satelHtis a centro Jovis in 
partibus diametri. 

2°. Adhibendum est telesco- 
pium in cujus foco aptantur fila 
quatuor, quorum duo G H,.E I 
sese perpendiculariter secent, reli- 
qua duo N M, P Q, his ad an- 
gulos semirectos insistant in 
communi sectione C. Quibus ita 
paratis dirigatur telescopium et 
continuo vertatur, donec ccntrum 
Jovis C, motu diurno unum ex 
his filis, puta E I, percurrere 
videatur, in quo situ filum G H 
circulum aliquem horarium re- 
praesentabit. Observetur deind^ 
difFerentia temporis inter appul- 
sum centri Jovis et appulsum 
satellitis in maxima sua elonga- 
tione versantis ad eundem circu- 
lum horarium G H, diflerentia 
temporis convertatur in gradus et 
minuta, ita ut quatuor minutis 
horariis respondeat gradus unus, 
habebitur portio D F vel K C, 
circuli paralleli Jovis. Observe- 
tur etiam differentia temporis in- 
ter appulsum satellitis ad L, et ap- 
pulsum ad F, quas difFerentia simili modo in gra- 
dus circuli paralleli graduumque partes converta- 
tur, habebitur L F, cui aequalis est F C, ob angu- 
los L C F, F L C, semirectos. Datis vero D F 



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H 


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et F C, datur D C. Jam conferatur D C, 
cum diametro Jovis A B vel O S, cujus diame- 
tri mensura habebitur, si tempus quo diameter 
per filum horarium G H transit, iu gradus et 
minuta convertatur, utriusquc diamcui D C, 



LiBER TertiusO PRINCIPIA MATHEMATICA. 7 

Constat ex observationibus astronomicis. (^) Orbes norum planetarmn 
non (lifFerunt sensibiliter a circulis Jovi concentricis, et motus eorum in 
his circulis uniformes deprehenduntur. Tempora vero periodica esse in 
sesquiplicata ratione semidiametrorum orbium consentiunt astronomi ; et 
idem ex tabula sequente manifestum est. 

(^) Satellitum Jovialium tempora periodica, 
l\ 18\ 27^ 34^ 3^ 13^. 13'. 42''. 7^^. 3\ 42'. 36". 16^ 16\ 32'. 9". 



(^) Distantice satellitum a centro Jovis, 



Ex ohservationibus 


1 


2 


3 


4 


Borelli 

Townlei jper microm, 
Cassini jper telescop. 
Cassini per eclips. satell. 


5f 
5,52 
5 
5S. 


8f 
8,78 
8 
9 


14 

13,47 

13 


24f 
24,72 
23 
25/o 


(^) Ex temporibus periodicis. 


5,667 


9,017 


14,384 


25,299 



} 



Samidiam* 
Jovis 



O C obtinebitur ratio, et eorumdem absoluta 
magnitudo in gradibus circuli maximi sphaerEB 
habebitur, gradibus circuli paralleli Jovis ad 
gradus circuli maximi reductis, dicendo, ut 
radius circuli maximi ad radium paralleli, ita 
numerus graduum et minutorum in arcu circuli 
paralleli ad numerum graduum et minutorum in 
arcu circuli maximi. Nam in circulis inaequali- 
bus, gradus qui aequalibus arcubus continentur, 
esse reciproce ut circulorum radios, ex elementis 
patet. 

3°. In eclipsibus satelHtum centralibus, dum 
nempe duratio est omnium maxima, observetur 
tempus quod ab ingressu centri satellitis in dis- 
cum Jovis usque ad illius egressum interfluxit. 
Deinde fiat, ut tempus periodicum satellitis ad 
terapus moraa in disco Jovis, ita 360° ad quar- 
tum proportionalem, hoc est, ad gradus quos 
continet arcus aequalis disco Jovis, satellitis 
orbitaB applicato. Iterum (ex trigon. ) inferatur, 
ut sinus semissis ejusdem arciis ad sinum totum, 
ita semidiameter Jovis ad semidiaraetrum orbit^e 
satellitis, ideoque comparari poterit semidiameter 
Jovis cum semidiametro orbitas satellitis, hoc cst, 
cum distantia satelhtis a centro, ac proinde 
habebitur distantia satellitis a centro Jovis in 
partibus semidiametri Jovis. 

Quod Saturnum spectat, solis ocuh's telesco- 
pio adjutis distantias satellitum a centro Saturni 
cum diametro annuli comparare solent astro- 
nomi. 

{^) * Orbcs horum iilaticlarum (51.) 



(^) * Satellitum Jovialium iempora periodica. 
(ibid.) 

* In novissimo Cassini opere supra laudato 
tempora periodica paulo majora constituuntur, 
scilicet, primus satelles 62", 2"^ sat. 4' 12"; 
3"'. sat. 17'; 4"'. sat. l^ 32', 58', tardius 
revolutiones suas absolvere statuuntur ; illae au- 
tem differentiae totius temporis periodici rcspec- 
tu minimse sunt, maximae enim differentiae non 
excedunt trecentesimam partem durationis totius 
revolutionis. 

(») * Distantice satellilum a centro Jovis (52.) 

Q) * Ex temporibus periodicis. Newtonus 
computum iniit hoc modo. Assumpsit distan- 
tiam observatam piimi satellitis 5j, seu 5'667, 
et deinde per tempora periodica etiam observata 
quassivit aliorum satellitum distantias, suppo- 
nendo quadrata temporum periodicorum cubis 
distantiarum proportionalia. Nam si lo- 
garithmi temporum periodicorum primi et 
secundi satellitis dicantur 1 , L, et logarith- 
mi distantiarum d, D, erit 2 1 ad 2 L, arith. 
metice ut 3 d ad 3 D, ideoque 2 1 ^- 3 D 
= 2 L -[- 3 d, unde invenitur D = d -j- 

— I 1. Est autem d = 0,7533532, 

^ L =r 2,324591 , et 1 1 = 2, 1 22851 2, quare ha- 
betur D =: 0,955093, cui respondet numerus 
9,07, uti Newtonus invenit; ct ita inveniuntur 
cceterorum satellitum distantije per eorum tem- 
pora periodica» 



PHlLOSOPHIiE NATURALIS [De Mun. Syst. 



Elongationes satellitum Jovis et diametrum ejus D. Pound micrometris 
optimis determinavit ut sequitur. {^) Elongatio maxima heliocentrica 
satellitis quarti a centro Jovis micrometro in tubo quindecim pedes longo 
capta fuit, et prodiit in mediocri Jovis a Terra distantia 8'. 16" circiter. 
Ea satellitis tertii micrometro in telescopio pedes 123 longo capta fuit, et 
prodiit in eadem Jovis a Terra distantia 4«'. 42'^ Elongationes maximse 
reliquorum satellitum in eadem Jovis a Terra distantia ex temporibus 
periodicis prodeunt 2'. 56". 47'"} et 1'. 5V\ 6". 

Diameter Jovis micrometro in telescopio pedes 123longo saspius captafuit, 
C^) et ad mediocrem Jovis a Sole vel Terra distantiam reducta, semper mi- 
nor prodiit quam 40", nunquam minor quam 38", ssepius 39". In telescopiis 
brevioribus hsec diameter est 40" vel 41". (") Nam lux Jovis per inaequa- 



C") 53. * Elongatio maxima heliocentrica sa- 
tellitis in raediocri Jovis a Sole distantia aqualis 
est ipsius elongationi maximse geocentricjB in 
niediocri distantia ejusdem Jovis a Terra. Sit 
enim A B P G orbUa Jovis, Sol in S, A aphe- 




lium Jovis, P periheliura, T Terra, crit A S 
maxJma distantia Jovis a So!e, S P minima ; 
A T vcro maxinia distantia Jovis a Terra, P T 
minima, et ideo nn-diocris distautia Jovis a Sole 
seu ^ A P = i A S -^ I S P, et mediocris dis- 
tantia Jovis a Terra crit ^ A T -{- r^ T P= | A P. 
Quare dua^ illa; mediocres distantiaj sunt a^quales, 
ide6<^ue elongationes maximtTC hcliocentricaB et 
geocentrica; in mcdiocnbus illis di.:>tantiis sunt 
etiuni u^qiiales. 



(") 54- * Et ad mediocrcm Jovis a Sole. Da- 
tur positio lineae ducta ab oculo spectatoris ad 
Jovem tempore observationis, et per theoriam 
Solis, datur etiam positio lineas ductae ab oculo 
ad Solem (47) eodem tcmpore; unde datur an- 
gulus his duabus lineis interceptus, seu elon- 
gatio Jovis a Sole. Insuper datur, per thcoriam 
Jovis, locus ejus in propria orbita, et ideo notus 
est angulus quem comprehendunt dua; lineae a 
centro Solis ductoe ad Jovem et ad Terram seii 
oculum observatoris. In triangulo igitur ex 
tribus illis lineis facto cujus angulus unus est in 
oculo spectatoris seu in Terra, alter in Sole et 
teitius in Jove, dantur anguli omnes, et exinde 
datur ratio laterum seu ratio distantiae Jovis a 
Sole ad distantiam Jovis a Terra tempore obser- 
vationis. Datur vero, per theoriam Jovis ex 
observationibus constitutam, ratio distantia; Jovis 
a Sole tempore observationis ad ipsius distantiara 
mediocrem a Sole vel a Terra. Quare datur 
ratio distantias Jovis a Terra tempore observa- 
tionis ad distantiam ejus mediocrem a Sole vel a 
Terra. Sed dianielri apparentes Jc.vis e Terra 
visi simt inter se inverse ut distantiae Jovis a 
Terra, dabitur itaque ratio diametri apparentis 
tempore observationis ad diametrum apparcntem 
in mediocri distantia Jovis a Terra vel Sole. 

(°) 55. * Nam lux Jovis. Newtonus Prop. 
VII. Lib. I. Oplices, experimentis et calculo 
jnvenit quod, si ex puncto lucido in axem tele- 
scopii posito ad ingentem distantiam, radii in 
vitrum objectivum incidant axi parallcli, dis- 
tincta et minima hujus puncti imago in vitri 
foco depicta, est circulus, non vero punctum 
ut esse deberet, obstante nimirum non tan- 
tum vitri sphaericitiite, sed prpecipue radio- 
rum inaequali refra«gibilitate qua, lux ea dila 
tatur. Nam in vitro plano convexo cujus 
convexitas puncto lucido obvertitur, cujusque 
spha;ricitas diametrum habet 100 ped. seu 
1200 digit. apertura vero 4 digit diameter cir- 
celli qui ex vitri sphajricitate oritur erit ad dia- 
mctrum ejusdem circelli maximc distincti 



LiBER Tertius.] PRINCIPIA MATHEMATICA. 9 

lem refrangibilitatem nonnihil dilatatur, et hoec dilatatio minorem habet 
rationem ad diametrum Jovis in longioribus et perfectioribus telescopiis 
quam in brevioribus et minus perfectis. Tempora quibus satellites duo, 
primus ac tertius, tninsibant per corpus Jovis, ab initio ingressus ad 
initium exitus, et ab ingressu completo ad exitum completum, observata 
sunt ope telescopii ejusdem longioris. (?) Et diameter Jovis in mediocri 
ejus a Terra distantia prodiit per transitum primi satellitis 374", ^^ P^^ 
transitum tertii 37|''. Tempus etiam quo umbra primi satellitis transiit 



qui ex insequali refrangibilitate provenit ut 

— 2^1 ad — , seu ut 1 ad 1200 ; distincta 

72000000 250' 

siquidem ejus puncti lucidi imago et maxime 
splendida continct partem 250"". aperturae vitri 
objectivi optime elaborad, iioglecta luce dibili 
et subobscura quae imagiuem illam circumdat. 
Unde in telescopio cujus apertura est 4 digit. et 
longitudo 100 ped. hujus imaginis diameter 
trans vitrum oculare visa occupat 2" 4'" vel 3", 
et in telescopio cujus apertura est duorum digi- 
torum et longitudo 20 aut 50 ped. occupabit 
imago 5" vel 6". Itaque in telescopio optimo 
Hugeniano 123 ped. error erit circiter 2" ia 
minoribus major. 

* In telescopiis autem recte constitutis sive 
secundum theoriam Prop. LVI. Dioptrices 
Hughenii, id curatur ut aberratio lucis circa 
imaginem puncti lucidi a?quale occupet spatium 
super retina, sed imago ipsius objecti in tele- 
bcopiis majoribus majus occupat spatrtim in 
retitia, idque secundum rationem radicum 
quadratarum longitudinis telescopiorum. Ergo 
hix erratica quce dilatat objecti imaginem ab 
utraque ejus extremitate , minorem habct ratio- 
nem ad illius objecti apparentiam in majoribus 
telescopiis quam in minoribus, in ratione nempe 
inversa radicum quadratarum longitudinis tele- 
scopiorum, 

Hxc omnia ex doctrina Newtoniana circa 
colores ita jam suntcognita ut ea fusiiis et accu- 
ratius demonstrare necessarium non judicemus. 

56. Hugenius planetarum lucem obstaculo 
quodam intercipiens majores invenit planetarum 
diametros quam ab ahis micrometro definitu«i 
est ; nam lux erratica, ubi tegitur planeta, vivi- 
dioribus radiis minus extenuatur, ideoque latius 
propagari videtur. Contrariam ob causam fit 
quod planetae in Sole visi, dilatata luce non 
parum attenuentur. Mercurius in Sole, Hevelio, 
Galletio et Halleio observantibus, non superavit 
12" vel 15", et Venus Crabirio solum 1' 3", 
Horroxio 1' 12" occupare visa est, quae tamen 
juxta mensuras Hevelii et Hugenii extra dis- 
cum Solis captas implere debuisset 84" ad mini- 
mum. Sic et Lunae diameter apparens qua; 
anno 1682, paucis diebus ante et post ccHpsira 
Solis mensurdta fuit in observatorio Parisi- 
^nsi 31' 30", in ipsd cclipsi non supcrabat 



30' vel 30' 5". Quarepatet diametros plane- 
tarum extra Solem minuendas esse, et intra 
Solem augendas mirmtis aliquot secundis. 

(P) 57. * Et diameter Jovis in mediocri, &c. 
Sit T Tellus, A B diaraeter Jovis, P F G M 
orbita satellitis, ductis e Terra radiis T A, T B 
fere parallelis, dum satelles describit arcum P p ; 
videbitur e Terra describere diametrum Jovis 
A B cui aequalis est arcus P p quamproxime, 
propter distantiae T P magnitudinem. Datis 
autem tempore periodico et tempore quo descri- 
bitur P p, datur ratio P p ad totum circulum, 




seu datur arcus P p, in gradibus vel partibus 
gradus, et inde datur dimidius arcus P H, 
htncque habetur angulus P C H seu A C P- 
Jam vero datur P C ob datas per observationem 
elongationes maximas satellitum a centro Jovis 
in mediocri Jovis a Tellure dislantia ; quare si 
fiat A B ad P C ut duplus sinus anguH dati 
P C H, ad sinum totum, dabitur fex trig.) 
diameter apparens Jovis seu angulus A T B, 
sub quo videtur in mediocri ejus a TeUure dis- 
tantia. Eodem modo patet determinari diarae- 
trum Jovis per transitum umbra; hanc diame- 
trum percurrentis. 



10 PHILOSOPHIiE NATURALIS [De Mun. Syst. 

per coi-pus Jovis, observatum fuit, et inde diameter Jovis in mediocri ejus 
a Terra distantia prodiit 37'' circiter. Assumamus diametrum ejus esse 
37^'' quamproxime; et elongationes maximae satellitis primi, secundi, 
tertii, et quarti aeq-jales erunt semidiametris Jovis 5,965, 9,494, 15,141, et 
26,63 respective. 

PHiENOMENON II. 

Planetas circumsaturmos, radiis ad Saturnum ductis, areas describere tem- 
pwibus proportionales, et eorum tempora periodica, stellis jixis quiescen- 
tibus, esse in ratione sesquiplicatd distantiarum ab ipsius centro, 

(f ) Cassinus utique ex observationibus suis distantias eorum a centro 
Saturni et periodica tempora hujusmodi esse statuit. 

Satellitum Saturniorum tempora periodica. 

W 21\ 18'. 27''. 2^^. 17^ 41'. 22". 4^. 12\ 25'. 12". 

15^ 22^ 41'. 14". 79^*. 7\ 48'. 00'. 



Distantice satelUtum a centro Saturni in semidiametris annuli. 



Ex observationibus 


1 ^9 


2i. 


3i. 


8. 


24. 


Ex temparibus periodicis. 


1,93 


2,47. 


3,45. 


8. 


23,35. 



Quarti satellitis elongatio maxima a centro Saturni ex observationibus 
coUigi solet esse semidiametrorum octo quamproxime. At elongatio 
maxima satellitis hujus a centro Saturni, micrometro optimo in telescopio 
Hugeniano pedes 123 longo capta, prodiit semidiametrorum octo cum 
septem decimis partibus semidiametri. Et ex hac observatione et tem- 

(f ) Cassinus utique, &c. Haec ex Philoso- acciirate nunc cognitis cx unius nempe quarti 

phicis Trans;ictionibus n. 187. sunt deprompta : cogniia distantia 8 serai-diametrorum annuli per 

exigua qua;dam est horum differentia a numeris regulam Kepleri reliquorum distantias posse 

quos in Elementis Astronomiae assignat Cassi- exquiri, atque ita inveniri. 

nus filius; ille ita determinat satellitum Sat. Distantia primi 1. 93, 

tempora periodica, et distantias. Secundi 2. 47. 

Primi !<». 2lK 18'. 27". 1. 933, &c. Terlii 3. 45. 

Secundi 2''. 17''. 44'. 22'. 2. 5. Quarti (ex observat.) 8. 

Terlii 4^. l^"». 25'. 12". 5. 5. Quinti 23. 23. 

Quarti 15''. 22*». 34'. 38". 8. Quae quidem, inquit, adeo congruunt cum 

Quinti 79"*. 7''. 47'. O". 23. paulo plus. observationibus immediatis, ut sine errore sensi- 

Observat autem primi et secundi satellitis bili adhiberi po->sint. JElem, A$lr. Tom. I. pag, 

distantias a Saturno a?siiniatione solummodo 640. et scj, 
potuisse detcrminari ; motibus vero eorum satis 



LieerTertius.] PRINCIPIA MATHEMATICA. 



11 



poribus periodicis, distantioe satellitum a centro Saturni in semi-diametris 
annuli sunt 2,1. 2,69. 3,75. 8,7. et 25,35. Saturni diameter in eodem 
t^elescopio erat ad diametrum annuli ut 3 ad 7, et diameter annuli diebus 
Maii 28 et 29 anni 1719. prodiit 43'^ (i) Et inde diameter annuli in 
mediocri Saturni a Terra distantia est 42''. et diameter Saturni 18''. 
C") Haec ita sunt in telescopiis longissimis et optimis, propterea quod 
magnitudines apparentes corporum ccelestium in longioribus telescopiis 
majorem habeant proportionem ad dilatationem lucis in terminis illorum 
corporum quam in brevioribus. Si rejiciatur lux omnis erratica, manebit 
diameter Saturni haud major quam 16". 

PH^NOMENON III. 

Planetas quinque jprimarios^ Mercurium, Venerem, Martem, Jovem et Satur- 
niim orbihus suis Solem cingei^e, 

Mercurium et Venerem circa Solem revolvi (") ex eorum phasibus 
lunaribus demonstratur. Plena facie lucentes ultra Solem siti sunt ; 



C) * Et inde diameter annuli. Quia dia- 
metri apparentes sunt in distantiarum ratione 
reciprocu, datis diametro annuli diebus Maii 28 
et 29 anno 1719, et distantia Saturni a Terra 
iisdem diebus data (per theoriam planetae) dabi- 
tur quoque diameter annuli in data mediocri 
distantia Saturni a Terra, hc-ec autem diameter 
prodiit 42" ; sed Saturni diameter erat ad dia- 
metrum annuli ut 3 ad 7 (per observ. ) quare dia- 
meter Saturni in mediocri a Terra distantia est 
18". 

(') * HcBc ita sunt {55.) * Si in hoc tele- 
scopio lux erratica subtendat anguhim duorura 
secundorum, fict diameter annuU 40'' et Saturni 
1 6" ut revera sint in ratione 5 ad 2. hinc autem 
ut id obiter notemus, ciim parallaxis Solis in 
distantia Terroe mcdiocri a Sole sit 10" sive dia- 
meter Telluris a Sole tunc visa sit 20", distantia 
vero mediocris Terrce a Sole sit ad mediocrem 
distantiam Saturni a Terra vel a Sole, quod 
idem est (n. 53.) ut 100 ad 954, hinc diameter 
Terrae erit ad diamelrum annuli ut 100 ad 1908, 
sive ut 1 ad 19 et ad diametrum ipsius Saturni 
ut 1 ad 73. 

Pariter, cum diameter Jovis in mediocri ejus 
a Sole distantia sit 37^" sitque mediociis dis- 
tantia Terrae ad mediocrem distantiam Jovis a 
Sole ut 10 ad 52 ; erit diameter Terra?, ad dia- 

23 yC 37— 

nietrum Jovis ut 1 ad — — —> sive ut 1 ad 

200 
9.6S5; sicque diamcter Jovis est circiter dimi- 
dia diaiuctri annuli Saturni, et est ad ipsius Sa- 
turni diametrum ut 5 ad 4. Solis autem dia- 
meter vera est circiler decupla diametri Jovis. 



(*) * Ex eoriim phasihus lunaribus. Si 
Veneris faciem telescopio contemplemur, in una 
ejus conjunctione cuni Sole, plen4 facie fulgcj-e 
cernitur, deinde phases habere phasibus lunari- 




tO 



bus similHmas partemquc inuminatam Soli 
constanter obvertcre videtur. Dum vero ad 
alteram conjunctionem cum Sole pervenit, tene- 
bris obvolvitur, et nonnunquain per discum Solis 



12 



PHILOSOPHIiE NATURALIS [De Mun. Syst. 



dimkliala e regione solis ; falcata cis Solem, per discum ejus ad modum 
macularum nonnunquam transeuntes. Ex Martis quoque plena facie 
prope Solis conjunctioncm, et gibbosa in quadraturis, certum est, quod is 
Solem ambit. . De Jove etiam et Saturno idem ex eorum phasibus semper 
plenis demonstratur : hos enim luce a Sole mutuatfi splendere ex umbris 
satelhtum in ipsos projectis manifestum est. 



ad modum maciilcE nigrse et rotundne transit, 
nunquam voro Soli opponitur, ncque ab eo 
digreditur ultra fjradus 47. Eadom fcre de 
Mercurio observantur quantum licet per cjus 




o 



exiguitatem, cum hoc tamen discrimlnp quod 
ejus elongationes maximae a Sole 28 gradus 
nunquam superent. Sunt igitur Venus et 
Mercurius corpora opaca et rotunda quorum 
pars circiter dimidia Soli obversa illustratur, et 
pars altera a Sole aversa lumine privatur. Uhde 
cum Venus et Meicurius in una conjuncticne 
in E vel M hemisphierium obscurum Telluri T 
obvertant, hemisphajrium vero illustratum SoU 
S, necesse est ut in illa conjunctione inter Solem 
et Tellurem constituantur ; e contia ubi in altera 
proxime sequenti conjunctione in A vel K ver- 
santur, totam faciem illustratam et SoJi obver- 
sam e Tellure T, observamus, hinc necesse est ut 
tunc temporis Sol S, inter ipsos atque Tellurera 
T positus sit. Ubi vero Venus aut Mercurius 
a Sole digreditur, primum gibbosa apparet, tum 
dimidiata facie lucct, postca fiilcata fit et dcni- 



quc tota obscuratur ut in locis B, C, D, F, et 
contraria ratione splendcscere in locis, F, G, H, 
videtur. Si vero ex Tellure T, ad Veneris cen- 
trum ducatur linea recta ad quam ducatur pla- 
num perpendiculare a b, per centrum Veneris 
transiens, ea pars tantum apparet quae est inter 
planum a c, et planum c d, unde cum projectio 
plani C c d, sit ellipsis, hinc gibbosa apparet 
planetas pars visa in B, in C dimidiata, et in D, 
falcata, &c., quia a puncto A, conjunctionis 
superioris cum Sole, elongatio seu angulus 
A T B, crescit usque ad situm C e regione 
Solis, ubi digressio maxima est et deinde decres- 
cit in D, atque evanescit in E, ac postea rursus 
crcscit usque ad G, ac deinde decrcscit et 
denique rursus evanescit in A. Evidtns ergo 
est quod Venus et Mercurius circa Solem revol- 
vantur in orbitis quse Tellurem excludunt. Jam 
cuni maximae elongationes Veneris a Sole ma- 
jores sint elongationibus Mercurii, necesse est 
ut orbita Veneris orbitam Mercurii complec- 
tatur. 

Mars, Jupiter et Satumiis Soli S oppositi, e 
Tellure M in E plena facie lucentes conspiciun 
tur, ideoque Tellus tunc temporis inter Solem et 
planetas illos collocatur. At vero in conjunc- 
tione ut in A, iidem planetae pleno orbe fulgent, 
proindeque partem illustratam Soli ac Terrae ob- 
vertentes, sunt ultra Solem positi ; deinde vero 
digrediuntur a Sole, et Mars quidem in qua- 
drato cum Sole aspectu ut in C, aliquantulum 
gibbosus apparet, quod hemisphaTium ipsius 
jllustratum et Soli obversum non possit totum 
TerrjE sensibiliter obverti, quia non sat)s magna 
est ejus a Tellure distantia. At Jupiter et Satur- 
nus cLim longius a Sole et Tellure distent, hemi- 
sphaerium illuminatum Soli ac Telluri sempef 
obvertunt sensibiliter ; nam cijm (ex obs.) Mars 
Jovem, et Jupiter Saturnum nonnunquani te- 
gant, necesse est ut orbita Saturni orbitam 
Jovi^, et hajc orbitam Marti« complectatur, tres 
vero orbitae illae Terram et Solem ambiant. 
Quia vero diametri apparentes planetaruin 
superiorum multo minores videntur in opposi- 
tionibus quam in conjunctionibus planetarum, 
et distantia? a Terra sunt ut diametri app&rentes 
inverse, necesse est ut orbitae Martis, Jovis et 
Salurni sint Telluri admodum excentricae. 



LiBEK Tertius.] PRINCIPIA MATHEMATICA. IS 



PH^NOMENON IV. 

Planetarum quinque jprimayiorum^ et vel Solis circa Tcrram vcl TcrrcB circa 
Solem tempora periodica, stellis fixis quiescentibus^ csse in ratione sesqui^ 
plicatd mediocrium distantiarum a Sole, 

Haec a Keplero inventa ratio in confesso est apud omnes. (') Eadem 
utique sunt tempora periodica, esedemque orbiuoi dimensioiies, sive Sol 
circa Terram, sive Terra circa Solem revolvatur. Ac de mensura quidem 
temporum periodicorum convenit inter astronomos universos. Magnitu- 
dines autem orbium Keplerus et Bullialdus omnium diligentissime ex 
observationibus determinaverunt : et distantiae mediocres, quae tempori- 
bus periodicis respondent, non difFerunt scnsibiliter a distantiis quas illi 
invenerunt, suntque intcr ipsas ut plurimum intermedias ; uti in tabula 
sequente videre licet. 

Planetarum ac Telluris tempora periodica circa Solem respectujixarum, in 
diehus et partibus deci^nalibus diei, 

h Vr ^ t> $ 5f 

10759,275. 4>332,5U. 686,9785. 865,2565. 224,6176. 87,9692. 

(*) 58. * Eadcm utiqne sunt tejnpora perio- plano ecliptica?, seu in nodo orbitae susc ; inveni- 

cVic.n. Tempora periodica planetarum circa tur autem tcmpus, ubi latitudo nulla est, obser- 

Solem hoc modo possunt inveniri. Observentur vando illam antequam nuUa sit et ubi decrescit, 

planetarura oppositiones et conjunctiones cum aut postquam nulla fuit et ubi crescit, atque per 

Sole, tunc enim planeta e Sole videtur in loco regulam proportionis ex incrementis vel decre- 

qui oppositus est loco Solis e Terra visi, unde mentis, determinatur tempus, quando nulla fuit. 

dato Solis loco datur planetze locus in ccclo. Si itaque observetur hoc modo tcmpus elapsum 

Jam vero observatis pluribus oppositionibus cum inter appulsum planeta? ad nodum, et reditum 

temporum intervallis inter sin^^^ulas oppositiones ejusdem ad eund'jm nodum, hoc erit tempus pc- 

interceptis, datur tempus quo planeta circa riodicum planetre; constat enira planetarum 

Solcm motu vero describit angulos ad So- nodos vix in una revolutione planetaj moveri. 
lem inter oppositiones contentos, et per regu- 59. Longitudo ac latitudo planetas observari 

lam proportionis habetur tempus quo planeta possunt (per not. 17. 18. i^O.) et inde detei-mi- 

560 gradus seu revolutionem unam absolvit. natur tempus syzigiarum, ciim videlicot lon 

Tempore periodico ita crasse detemninato, habe- gitudo planetae non differt a longitudine Solis 

tur numerus revolutionum planeta; tempore quo tempore fit conjunctio, vel differt semicir. 

satis longo peractarum. Si autem capiantur culo ut in oppositione. Quod IMercuriura 

du£E oppositiones valde dissitac iisque addatur spectat, determinatur ipsius conjunctio inferior 

arcus necessarius ut planeta ac idem orbita» sua; cum Sole per ipsius transitum in disco Solis qui 

punctum redeat, totumque tempus dividatur vicibus octo observatus fuit, dum transitus Ve- 

per numerum revolutionum, habebitur tempus neris &emel tantum visus est, in his vero non 

periodicum acruratius, supponendo quod apbelia supponitur Tclluris motus nec quies. Determi- 

planeta; non aliter moveantur quam iixx. Suf- nato tempore periodico planeta;, habetur motus 

ficit vcro in his Newtoni pba;nomenis ut haec ejus medius in orbita, et ex observatis pluribus 

tempora, neglectis minutiis, desiniantur. iocis planetae e Sole visis per oppositiones vel 

Potest etiam tcmpus periodicum determinari conjunctiones aut per digressioncs, dantur etiam 

per observationes latitudinura planeta&. Nam ipsius motus vcri, ac proinde dantur diftcrentiie 

dura latitudo nulla est, planeta versatur in inter raotus veros et motus inedios. Inde \erd 

Voi.. III. D 



u 



PHILOSOPHIiE NATURALIS [De Mund. Syst. 



Planetarum ac Tclluris distantice (") mediocres a Sole. 

j2 -n ^ 5 ? ? 

Secundum Keplerura 951000. 519^50. 152350. 100000. 72400. 38806. 

Secundum Bullialdum 954198. 522520. 152350. 100000. 72398. 38585. 

Secundum tempora periodica 954006. 520096. 152369. 100000. 72333. 38710. 

i^) De distantiis Mercurii et Veneris a Sole disputandi non est locus, 
cum hae per eorum elongationes a Sole determinentur. De distantiis 
etiam superiorum planetarum a Sole tollitur omnis disputatio per eclipses 



determinantur aphelia et perihelia planetarum 
cum ipsorum excentricitate, atque construi pos- 
sunt tabulae per quas tempore quolibet inyeniri 
potest eorum locus in propria orbita. Quae 
omnia quomodo ex observationibus determinari 
possint independenter ab hypothesibus, Tom. I. 
Element. Astronom. exposuit celeberrimus 
Cassinus. 

(") 60. * DistantieB mediocres a Sole. Plane 
tarum distantia; a Sole per observationes possunt 
definiri. Hic autem non quaeruntur absolutas 
distantise plaaetarum a Sole, sed solummodo 
rationes illarum di&tantiarum ad distantias Solis 
a Tellure. Itaquc sit Sol in S, Tcrra quiescens 
vel mota in T, planeta in P, observctur locus 
planetc-e in coelo, et per theoriam Solis, dabitur 
locus Soh*s tcmporc observationis seu positio 




planeta) a Solo ad distantiam mediocrem Soh"s a 
Terra. Ncgligimus autem minutias qu£e ex in- 
clinatione orbium planetarum ad echpticam oriri 
possunt, et prasterea observationes possunt fieri 
dum planeta est prope nodos, ubi fere in plano 
ecHpticae versatur. 

C) 61. * De distantiis Mercurii et Veneris. 
Sit A B P orbita Veneris, S Sol, Terra T, 
Venus P in maxima sua elongatione. Quia 
orbita Veneris est fere circularis, h'nea T P 
tanget orbitam in P, ideoque angulus S P T, 



lineac T S, undc datur anguhis S T P. Quae- 
ratur etiam locus planeta) P, in propria orbita 
pcr theoriam planeta", et quia datur locus Terra; 
T c Sole visus atque locus planetae P, dabitur 
angulus P S T. In^triangulo igitur P S T, 
dantur trcs anguli. ac proinde datur etiam ratio 
laterum P S et S T ; scd, pcr theoriam Solis, 
datur ratio S T ad modiocrem distantiam Solis 
a Trrra, ct pcr theoriam phmetas P, datur ratio 
distatitiae S P, ad mediocrem distantiam planetaj 
u Solc, crgo dabitur ratio distantia; mediocris 




rectus. Unde cst ut smus totus ad sinum elon- 
gationis maxima? scu auguh obscrvati S T P, 
ita distantia Soh's a Terra S T ad distantiam 
S P, Veneris a Sole. Supponitur autem orbita 
circularis, quia Venus nuiiquam digreditur a 
Sole uhra 47° SO' et ejus clongationes maximae 
nunquam minores sunt gradibus 45° 50'. Quare 
angulus S P T est fere rectus. Si vero consi- 
derare velimus incHnationem orbila; ^'^eiicris, sit 



LiBER Tertius.] PRINCIPIA MATHEMATICA. 



15 



satellitum Jovis. p) Etenim per eclipses illas determinatur positio um- 

brae quam Jupiter projicit, et eo nomine habetur Jovis longitudo helio- 

centrica. 

collatis determinatur distantia Jovis. 



Ex longitudinibus autem heiiocentrica et geocentiica inter se 



PHiENOMENON V. 

Planetas primarioSf radiis ad Terram ductis, areas describere temporibus 
minime propoi-tionales ; at radiis ad Solem diictis, areas temporibus pro- 
portionales percurrere. 

Nam respectu Terr^e nunc progrediuntur, nunc stationarii sunt, nunc 
etiam regrediuntur : x\t Solis respectu semper progrediuntur, idque pro- 



latitudo Venerls ex Tellure observata P T E, e 
Sole visa P S E, E punctum in ecliptica, erit 
ut P S ad P T, ita tangens latitudinis P T E, 
ad langentem latitudinis P S E. Nam ob an- 
gulos E P T et E P S rectos, est P T ad P E 
ut sinus totus ad tangentem anguli P T E ; et 
similiter P S ad P E ut sinus totus ad tangen- 
tem anguli P S E, ideoque ut P S ad P T, ita 
tangens anguli P T E ad tangentem anguli 
P S E, quare dabitur angulus iste cum recto 
E P S, et ideo erit S P ad S E ut sinus anguli 
S E P, complementi P S E ad rectum ad 
sinum anguli P S E, dabitur ergo S E, seu 
ratio eju3 ad S T, sicque observatis variis dis- 
tantiis S P, dabitur mediocris ; quia vero datur 
ratio S T ad mediocrem distantiam Solis a Terra 
tempore observationis, dabitur ratio distantia) 
mediocris Veneris ad distantiam mediocrem 
Solis a Terra. Mercurii distantioe a Terra deter- 
minantur etiam per elongationes ejus maximas a 
Sole, std quia orbita Mercurii est admodum 
excentrica, si Mercurius fit in P, in maxima 
digressione, per observationem notus sit oportet 
angulus S T P et per theoriam motuum Mer- 
curii angulus P S T unde deducetur angulus 
T P S, quia angulus ille rectus non est, unde 
tandem caetera determinentur ut in Venere, ne- 
glectis minutiis. 

(^) 62. * Etenim j^er eclipses Jovis determina- 
tur positio umhra; quam Jupiter projlcit, ct eo no- 
mine habetur Jovis longitudo heliocentrica. 

_ * Sit S Sol ; T Terra ; I Jupiter ; L Satelles 
ejus per medium umbrae I L transiens : ex 
Terra T observetur in partibus serai-diametri 
Jovis, distantia centri Jovis a satellite in um- 
hram sese immergente et ex ea emergente, me- 
dium intcr eas distantias erit distantia a centro 
Jovis ad satellitem in medio umbrai immersum 
in partibus semi-diametri Jovis, eadcm distantia 
in minutis et secundis obscrvari potoiit, eritque 
mensura anguli I T L ; ducatur T E tangens 



ad orbitam satellitis, et I E quae erit in E T 
perpendicularis, quia cognoscitur ralio maxiaia? 
elongationis hujus satellitis ad semi-diametrum 
Jovis, et hic habetur in secundis semi-diameter 




Jovis habebitur in secundis angulus I T E 
sub quo apparere deberet linea I E, si satelles 
foret in maxima sua elongatione eo temporis 
momento ; sed ex trigonometricis, est sinus 
anguli I T E, ad sinum totum sive sinum an- 
guli E, ut est I E ad T I, rursus in triangulo 
T I L est I L (sive I E ipsi a^qualis) ad T I 
ut sinus anguli observati I T L ad sinum an- 
guli T L 1 ; itaque ut sinus anguli I T E ad 
sinum totum, ita sinus anguli I T L ad sinum 
anguli T L I sive T L S ; unde in triangulo 
T L S, cognito per observationem angulo S T L 
ct invento ut indicatum est, angulo T L S, 
habetur angulus T S L, qui additus vel detrac- 
tus e longitudine heliocentrica Terra? dat Jovis 
heliocentricam longitudinem. Q. e. i. 



D2 



16 



PHILOSOPHI^ NATURALIS [De Mun. Syst. 



pemodum uniformi cum motu, sed paulo celerius tamen in periheliis ac 
tardius in apheliis, sic ut arearum sequabilis sit descriptio. Propositio 
est astronomis notissima, (^) et in Jove apprime demonstratur per eclipses 
satellitum, quibus eclipsibus heliocentricas planetae hujus longitudines et 
distantias a Sole determinari diximus. 

PH^NOMENON VI. 



Lunam radio ad ccntrum Terrcc ducto, aream tempori proportionalem 

describere. 

Pate/; ex Lunae motu apparente cum ipsius diametro apparente collato. 
Perturbatur j^utem motus lunaris aliquantulum a vi Sohs, sed erro- 

rum * '^-^ :— ^:-~ :_ T-: 1 : 1: — 



uiuatur i^uieiu moius lunaris aiiquaniuiuni a vi 
insensibiles minutias in hisce phaenomenis neghgo. 



(^) Et in Jove apprime devionstratur. Nam Solem, et orbita ipsa describi potest; und^ 

pcr eclipses satellitum determinatur locus Jovis quemadmodum de Sole diximus (43) patet 

e Sole visus cjusque a Sole distantia, et ideo Jovem describere areas temporibus proportio- 

collatis plurium eclipsJum observationibus, ba- nales circa Solera. 
betur motus verus Jovis in propria orbita circa 



LiBER Tertius.] PRINCIPIA MATHEMATICA. 



17 



PROPOSITIONES. 



PROPOSITIO I. THEOREMA I. 

Vires, quibus planctce circumjoviales perpetuo retrahuntur a motihus recti- 
lineis et in orhihus suis retinentur^ respicere centrum Jovis, et esse reci- 
proce ut quadrata distantiarum locorum ah eodcm centro. 

Patet pars prior propositionis per ph«3nomenon primum, et proposi- 
tionem secundam vel tertiam libri primi : et pars posterior per phaDno- 
menon primum, et coroUarium sextum propositionis quartae ejusdem 
libri, 

Idem intellige de planetis qui Saturnum comitantur, per phaenoraenon 
secundum. 

PROPOSITIO II. THEOREMA II. 

Vires, quihus planetce primarii perpetuo retrahuntur a motihus rectilineis, ct 
in orhihus suis retincntur, respicere Solem, et esse reciproce ut quadj'atti 
distantiarum ah ipsius centro, 

Patet pars prior propositionis per phaenomenon quintum, et proposi- 
tionem secundam hbri primi : et pars posterior per phaenomenon quar- 
tum, et propositionem quartam ejusdem libri. Accuratissime autem 
demonstratur haec pars propositionis (^) per quietem aphehorum. Nam 



(*) * Per quietem apheliorum. * Astronomi 
motus ccelestes calculant referendo astra ad 
eclipticam, cujus initium per interseclionem 
requatoris et eclipticjB determinatur ; sed Jllud 
initium fixum non est, et propter axis Terras nu- 
tationem mtersectio illa in antecedentia fertur 
51 circiter secundis singulo anno, hinc fixae toti- 
dcm secundis progredi videntur. Aphelia pla- 
netarum etiam progredi videntur respectu cjus 
initii eclipticae, progreditur ergo singulo anno. 



Aphelium Terrae 
Salurni 
Jovis - 
Martis 
Veneris 
Mercurii 



62' 

78". 

57". 

72". 

86". 

80". 



Sod multum abest quam nt ille apheh'oruin 
motus, certissime determinetur, et uniformis esse' 
deprehendatur, ex observationibus motus aphelii 
Terra3 nunc plus procedere quam 50" nunc mlnus 
deprehenditur, unde quidam astronomi non alium 
esse ejusmotum prscter motmn ipsius inilii eclip- 
ticjc censent. Pariter ex obscrvationibus aphelii 
Saturni, ejus motus irrcgularis videretur, ali- 
quando accelerari, aliquando retrocedere, ex. 
gratia, ab anno 1694 ad finem anni 1708, 
minutis fere 53 retrocessissc testatur Cassinus. 
ApheHum Jovis ad motum fixarum proxime 
accedere videtur, &c. Unde constat, aphelia 
quamproxime quiescerc, et eam quantiiatem exi- 
guam motus ipsis assignati quae excedit moluni 
fixarum, fortc observationum erroribus dcbtri, 



D3 



18 PHILOSOPHI^ NATURALIS [De Mun. Syst. 

aberratio quam minima a ratione duplicata (per Corol. 1. Prop. XJ^V. 
Lib. I.) motum apsidum in singulis revolutionibus notabiiem, in pluribus 
enormem efficere deberet. . 



PROPOSITIO IIL THEOREMA IIL 

Vim, qud Luna retinetur i?i orhe suo, respicere Terram, et esse reciproce ut 
quadratum distanticE locorum ab ipsius centro. 

Patet assertionis pars prior per phaenomenon sextum, et propositionem 
secundam vel tertiam libri primi : et pars posterior per motum tardissi- 
mum lunaris apogaei. Nam motus ille, qui singulis revolutionibus est 
graduum tantum trium et minutorum trium in consequentia, contemni 
potest. Patet enim (per Corol. 1. Prop. XLV. Lib. I.) quod si distantia 
Lunae a centro Terrae sit ad semidiametrum Terras ut D ad 1 ; vis a qua 
motus talis oriatur sit reciproce ut D 2^f ^, id est, reciproce ut ea ipsius 
D dignitas cujus index est 2^ J-, hoc est, in ratione distantias paulo majore 
quam dupUcata inverse, sed quae partibus 59| proprius ad dupHcatam 
quam ad triplicatam accedit. Oritur vero ab actione SoUs (ut posthac 
dicetur) et propterea hic neghgendus est. (^) Actio Sohs quatenus Lu- 
nam distrahit a Terra, ("^) est ut distantia Lunas a Terra quamproxime ; 

forte actioni mutua; vicinorum planetarum inter ('') * Actio Solis quatenus Lunam distrahit a 

sej sic cum anno 1705 Saturnus et Jupitti" Terrd. * Motus apogaei lunaris unilbrmis non 

conjuncti fuerint, et ciim nonnisi quinque annis est, sed aliquando procedit, aliquando recedit, 

nonaginta gradibus a se mutuo discedant, patet aliquando quiescit, sed ita ut omnibus compen- 

quod ab anno 1698 ad annum 1708 Jupiter inter satis progrediatur, et octo aut novem annis 560. 

Solem et Saturnum erat versatus, ejusque actio gr. percurrerit; pariter et actio Solis qua Lu- 

in Saturnum adjuncta fuerat actioni Solis in nam distrahit a Terra non est continua, actio 

Saturnum ; posito autem quod revera vis Solls Solis Lunam a Terra distrabit dum Luna a 

in Saturnum decrescat secundum quadrata dis- syzygia non plus quam 55. gradibus hinc inde 

tantiarum, et Jovis interpositione vim qualem- discessit, circa quadraturas vero actio Solis cum 

cumque illi addi quae X dicatur, ex Propositione Terrre attractione consentit, Lunamque ad Ter- 

XLV. primi Libri habebitur angulum apsidis ram attrahit, sed tunc et debilior est et per 

1 _L X. pauciores gradus agit, quam circa syzygias, 

imse cum summa esse 180^^ ^ 7^^ „' sed hinc effectus qui resultat pendet ex actione Sobs 

, ^ "^^ qua Luna distrahitur. (Lib. I. Prop. LXVL 

• r*" — — est fractio ideoque ille angulus est Cor. 6. 7. 8. cum notis.j 

1 -^ 3 X /c\ « j^^^ ^^ distantia LuncB a Ttrrd quam 

minor ISO^^- regreditur itaque apsis ex his hy- proxime. * Propter motum Telluris cum Luna 

pothesibus plane ut observatione constat : unde ^^^^^ g^i^,j„^ ^^^^^^^ puncta lunaris orbitee suc 

non obscure colligitur apheliorum fixarum re- cessive obvertuntur Soli, et versantur in sy- 

epectu quies (semotis his accidentalibus causis) ^ygia, poBtea vero in quadratura, et cum ea 

ac per consequens quod vires quibus pianetne ad ^rij^a non sit circulus cujus Terra sit cen- 

Solem retrahuntur, sunt in duplicata distantia- t^um, patet puncta syzygiarum et quadratura- 

rum ratione accurate, siquidem si vel una sexa- ^^^^ ^unc viciniora nunc remotiora fore Terrae; 

gesima parte accederet ratio a duplicatu ad tri- j^m vero vis qua Sol distrahit Lunam a Terra, in 

plicatam, apsides tribus ad minimum gradibus syzygiis, sicut et vis quti Sol Lunam attraliit 

progrederentur, ut demonstratum fuit in fine Terram versus in quadraturis, crescit secundum 

primi Coroll. Prop. -l^^- Lib. I. distantias Luna a Terra, in iis autem punciia 



LiBER Tertius.] PRINCIPIA MATHEMATICA. 19 

C^) ideoque (per ea quae dlcuntur in Corol. 2. Prop. XLV. Lib. I.) est 
ad Luna2 vim centripetam ut 2 ad 357,45 circiter, seu 1 ad- 178fg. Et 
neglectii Solis vi tantilla, vis reliqua qua Luna retinetur in orbe erit reci- 
proce ut D". Id quod etiam plenius constabit conferendo hanc vim 
cum vi gravitatis, ut fit in propositione sequente. 

CoroL i^) Si vis centripeta mediocris qua Luna retinetur in orbe aiigea- 
tur primo in ratione 177|§ ad 178|g, deinde etiam in ratione duplicata 
semidiametri Terrae ad mediocrem distantiam centri Lunae a centro 
Terrae : habebitur vis centripeta lunaris ad superficiem* Terroe, posito 
quod vis illa descendendo ad superficiem Terrae perpetuo augeatur in reci- 
proca altitudinis ratione duplicata. 

PROPOSITIO IV. THEOREMA IV. 

Ijunam gravitate in Terram^ et vi gravitatis rctrahi semper a motu rectili?ieo, 

et in orhe suo retineri. 

Lunae distantia mediocris a Terra in syzygiis est semidiametrorum ter- 
restrium, secundura Ptolemaeum et plerosque astronomorum 59, secundum 
Vendelinum et Hugenium 60, secundum Copernicum 60^-, secundum 

praecipua est Solis actio ad apogaeum Lunaa quod si ex vi decrescente secundum quadrata 

inovendum, unde effectus resultans pendebit a distantiarum auferatur vis quse crcscat secundum 

diflferentia earum actionum quae erit sicut dis- ipsas distantias, quae sit ad priorem ut 1 ad 

tantia Lunce a Terra : vel ut melius res concipi- 557.45, motus progressivus apogtci erit I''. 31'. 

atur, fingatur orbitam Lunae cingi undique So- 28" in singula revolutione; motus autem pro- 

libus jequaliter a Terra distantibus, ita ut singu- gressivus apoga?i lunaris est circiter duplo 

lum punctum orbitaa lunaris sit simul in syzy- velocior, hinc vis illa ablatitia debet csse ad vim 

gia et quadratura; ciim actio Solis in syzygia, Luna; centripetam ut 2 ad 357.45 sive ut 1. ad 

sicutetactio Solis in quadraturii, sit ut distantiee 178.725. 
Lunae a Terra, differentia earum actionum erit 

etiam ut distantia Luna3 a Terra, sed effectus dif- (') * ^*^'' ^'^ cenlripetu mediocris. Quoniam 

ferentic-e earum actionum erit idem ac id quod ^'^ "blatitia Sohs est ad vim centripetam Luna; 

resultabit ex translatione dicti puncti per syzy- ut 1 ad 178^-[y, si vis ablatitia Solis sit 1, erit 

giam et postea per quadraturam : hinc si motus vis centripeta Luna; 1 78|g. ideoque detracta vi 

apogaji medius assumatur, is pendebit ab ac- ablatitia Solis, orit vis Luna; qua revera retine- 

tione quae erit ut distantia Terrae a Luna ; tur in orbita sua per vim Terra; minutam actione 

addit autem Newtonus quam proximC^ propter golis 177|§. Quare si vis mediocris qua Luna 
actionem m punctis mter syzygias et quadraturas, *" -29 

sed quje parum hanc rationem turbant ; nam in retinetiar in orbe, augeatur m ratione 177^^ 

punctis intermediis ubi actio qua Luna distrahi- ad 178-|§, obtinebitur vcra vis Lunae centripeta, 

tur a Terra magis recQileret ab hac ratione, ac- qualis foret si nulla esset actio Solis. Hinc 

tiones compositae sese mutuo destruunt et in posito quod vis illa descendendo ad superficiem 

punctis a syzygiis aut a quadraturis non remotis Terrae perpetuo augeatur in reciproca altitudinis 

aclio Solis sequitur proxime easdem rationes ac seu distantiae a centro Terrae ratione duplicata, 

in ipsis Syzygiis ac quadraturis ; hinc actio Solis ut habeatur vis centripeta in superficie Terra;, 

quatenus Lunam distrahit a Terra, est proxime dicendum est ut quadratum semidiametr; Terra; 

ut distantia Terrae a Luna. ad quadratum distantije mediocris centri Lunas 

C) * Icleoque j)cr ea ques dicuntur in Cor. 2. a centro l'errae, ita vis centripeta ad quartum, 

Proj). XL V. Lib, I. * Dicitur in eo CoroUario, quod erit vis in superficie Ttrra. 

D4 



20 



PHILOSOPHI^ NATURALIS [De Mun. Syst 



Streetum GOf, et seciindum Tychonem 56h» Ast Tycho, et quotquot 
ejus tabulas refractionum sequuntur, constituendo refractiones Solis et 
Lunog (^ ) (omnino contra naturam lucis) majores quam fixarum, idque 
scrupulis quasi quatuor vel quinque, (^) auxerunt parallaxin Lunae scru- 
puUs totidem, hoc est, quasi duodecima vel decima quinta parte totius 
parallaxeos. Corrigatur iste error, et (^) distantia evadet quasi 60j 
semidiametrorum terrestrium, fere ut ab aliis assignatum est. Assuma- 
mus distantiam mediocrem sexaginta semidiametrorum in syzygiis; et 
lunarem periodum respectu fixarum compleri diebus 27, horis 7, minu- 
tis primis 43, ut ab astronomis statuitur; atque ambitum Terrae esse 
pedum Parisiensium 123249600, uti (') a GalHs mensurantibus definitum 
est : et si Luna motu omni privari fingatur ac dimitti, ut urgente vi illa 

(f ) * Omnim contra naturam lucis (25.). C') * IHstantia evadet. Sit T centrum Terrae 

(^) * Auxervnt parnllaxim Lunce. Tantum ct angulus A L T parallaxis horizontalis medio- 

augeri parallaxim Lunas quantum augetur re- cris. Ob angulum L A T rectum, erit semi- 

fractio, patet si determinetur parallaxis Lunae, diameter Terrae A T ad distantiam mediocrem 

quod ita prastari potest. Sit A C T, Telius Lunas a TciTa T L, ut sinus parallaxeos mcdio- 




cujus centrum T, observetur altitudo meridiana 
centri Lunae L ex loco A in Q, a refractionibus 
libera, et ex tabulis eruatur pro tempore obser- 
vationis longitudo et latitudo Lunae ; deinde 
(per trigon.) qua;ratur ipsius declinatio, habebi- 
tur ojus distantia a vertice Z seu locus P e 
TerrjB centro T visus, difFerentia P Q, seu angu- 
lus P L Q. aut aequalis A L T est parallaxis 
Luna;. Porro ut habeatur locus Q, e loco A 
visus a refractione liber, quoniam refractio auget 
altitudinem, sit locus visus q, Q q metietur re- 
fractionem, unde arcus Q q addendus cst arcui 
F q ut babeatur parallaxis tota P Q; si vero 
refractio major assumatur ut q R, parallaxis erit 
major, nempe P 11, quasi Luna esset in 1 ; 
unde tantum augetur parallaxis quantum refrac- 
tio ipsa. 




cris ad sirmm totum. Est autem parallaxis ista 
58' circiter. Jam ducatur T 1, sitque anguhis 
A l T 63' vel 6'J', ob refractionem malc consti- 
tutam, erit T 1 ad TLfere ut 58 ad 62 vel C3, 
ideoque ciim sit juxta Tychonem T 1 = 56^ 
semid. Terra, erit ut 58 ad 62 vel 65 ita 56^ ad 
60|^ vel 61-j\^^. Quare si corrigatur error 
qui ex refractione niale ronstituta oritur, distan- 
tia mediocris Lun» a Terra evadet quasi 60^ 
semid. terrestr. 

(') • A Gallis mensuranlibus. A Picartonimi- 
rum inventum est gradui circuli maximi terrestris 
respondere hexapedas 57060 seu ped. Paris. 
342360. . Quare inferatur (22) ut numerus 
graduum arcus distantiai duorum locorum ad 
360°. seu peripheriam integram, ita idem arcus 
in milliaribus aut pedibus expressus ad ambitum 
Telluris in eadem mensura inveniendum, sicque 
definitum est ambitum Telluris esse ped. Paris. 
123249600 ejusque proinde diametcr cst ped. 
Paris. 59231566. 



LiBER Tertius.] PRINCIPIA MATHEMATICA. 



21 



omni, qua (per Corol. Prop. III.) in orbe suo retinetur, descendat in 
Terram ; haec spatio minuti unius primi cadendo describet pedes Parisien- 
ses 15x2- (^) Colligitur hoc ex calculo vel per PropositionemXXXVI. Libri 
primi, vel (quod eodem recidit) per Corollarium nonum Propositionis quar- 
tae ejusdem Libri, confecto. Nam arcus illius quem Luna tempore minuti 
unius primi, medio suo motu, ad distantiam sexaginta semidiametrorum 
terrestrium describat, sinus versus est pedum Parisiensium 15xV circitcr, 
vel magis accurate pedum 15. dig. 1. et lin. 1-J. Uitde cum vis illa acce- 
dendo ad Terram augeatur in duplicata distantiae ratione inversa, ideoque 



(^) 63. * CoUigitur hoc per PropQsitionem 
XXXVI. Lib. I. * In hac Propositione 
XXXVI. sit S centrum Terrae S A distantia 
mediocris Lunae a Terra, S O dimidium ejus 
distantiae mediocris, ve- 
locitas. qua corpus re- 
volvi potest in circulo 
O K H erit ad veloci- 
tatem Luna? in propria 
orbita ut ^ 2 ad 
1, sit X arcus quem 
Luna in propria or- 
bita uno minuto pri- 
mo describit, erit X 
\^ 2 arcus O K eo- 
dem tempore descrip- 
tus in circulo O K H 
et area O K S erit i 
S O X X >v/ 2, aequa- 
lis arece A S D = ^ 
A S X C D (nam ob 
exiguitatem arcus A D 
pro recta sumi potesi, 
sive i S O X X V2 

= S O X C D 

V 

unde est C D = , sed cst S C ad C D ut 

C D 2 X 2 

CDadAC,ergoAC = ^^= ^^ 

sed S C est proxime aequalis S A, ergo A C 

X^ 
= - .-, . ; rursus sit 1 ad p ut radius ad cir- 
2 S A ^ 

cumferentiam, orbitas lunaris peripheria erit 
p S A, et quoniam tota a Luna describitur 
tempore 27^. 7*». 45'. sive minutis 39343 ; erit 

1 2 S A ^. 




bita LuuEe cujus pars L M a Luia« pcrcurritur 
minuti unius primi intervallo. Q.uoniam Luna 
periodum suam respectu fixarum complet diebus 
27, hor. 7. minulis primis 43, ut ab astronomis 
statuitur, hoc est, minutis primis 39343, erit 

L M, — — - totius peripherias. Porrd ambitus 

59343 ^ ^ 

Terroe est ped. Paris. 1 23249600. unde dabitur 
orbitffi lunaris circumferentia quae ejus est 
sexagecupla 73949760000. ped. Paris. quae si 
dividatur per 39443, quotus dabit longitudinem 
arcus a Luna minuto primo descripti pedibus 
Parisiensibus expressam, scih'cet 187964. ped. 
circiter cujus quadrato 35330465296 per diame- 
trum diviso, qua; est pedum 2353S93976 habe- 
bitur sinus vcrsus L D ped. Paris. 15.0093, Scc. 
proxime ut priori calculo. 

* Scd ex CoroUario Propositionis prjeceden- 
tis, vis qua Lur.a retinetur in orbe suo augeri 
debet in ratione 177-|§ ad 178|-§ ut corrigatur 



P S A 



p* S A 



est verd 



2X59343 2XSA 
ambitus Terrae 



3095743298' 60 

qui pedum 1232496000 ex Picarto adsumptus 
fuit ; ideoque p S A = 7394976000 ; unde divi- 
sione facta est A C = 2.588756 p, sed radius est 
ad peripheriam ut 1 ad 6.283185, &c. unde tan- 
dem habetur A C = 15.00878, &c. Alter 
autem calculus ex Cor. 9. Prop. IV. deductus 
ita sc habet. 

Sit R A E Terra, cujus ccntrum T, V L or- 




lA 



^©- 



w 



vis ejus per Solis actionis diminutionem, et 
spatia per diversas vires iisdem temporibus per- 
cursa sunt ut illae vires, ergo linea B C inventa 
15P^'^. 009. est ad spatium quod Luna dempta 
vi Solis describeret ut 177||} ad 178-|§ illud 
ergo spatium est 15p^. 00954. quai ToooD 
pedis efficiunt accurate poUices l lin. l^. 



22 PHILOSOPHI^ NATURALIS [De Mun. Syst, 

ad superficiem Terrae major sit partibus 60 X 60 quam ad Lunam; cor- 
pus vi iUa in regionibus nostris cadendo, describere deberet spatio minuti 
unius primi pedes Parisienses 60 X 60 X l^y^, et spatio minuti unius 
secundi pedes ISjVj vel magis accurate pedes 15. dig. 1. et lin. 1|. Et 
eadem vi gravia revera descendunt in Terram. Nam penduli, in latitu- 
dine Lutetiae Parisiorum ad singula minuta secunda oscillantis, longitudo 
est pedum trium Parisiensium et linearum 8J, ut observavit Hugenius. 
(^) Et altitudo, quam grave tempore minuti unius secundi cadendo descri- 
bit, est ad dimidiam longitudinem penduli hujus in duplicata ratione cir- 
cumferentias circuli ad diametrum ejus (ut indicavit etiam Hugenius) 
(™) ideoque est pedum Parisiensium 15. dig, 1. lin. IJ. Et propterea vis 
qua Luna in orbe suo retinetur, si descendatur in superficiem Terrss, 
sequalis evadit vi gravitatis apud nos, ideoque (per Reg. 1. et 11.) est 
illa ipsa vis quam nos gravitatem dicere solemus. Nam si gravitas ab ea 
diversa esset, corpora viribus utrisque conjunctis Terram petendo duplo 
velocius descenderent, et spatio minuti unius secundi cadendo describe- 
rent pedes Parisienses 30^ : omnino contra experientiam. 

C^) Calculus hic fundatur in hypothesi quod Terra quiescit. Nam si 
Terra et Luna moveantur circum Solem, et interea quoque circum com- 

(') * Et altitudo. (471. Lib. I.) semi-axis ellipseos minoris descriptae circa cor- 

C") * Ideoque est ped. Paris. (ibid.) pus immotum ad cubum semi-axis ellipsis ma- 

(■*) 64. * Calculus hic fundatur in liypothesi joris descripta circa corpus etiam immotum, et 

quod Terra quiescit. * Undecima Sectione quaj ellipsi relativee est ajqualis, sed illa tempora 

Libri I. quffisivit Newtonus qualis oriretar dif- erant in subduplicata ratione massae corporis 

ferentia inter motus corporum attractorum, immoti ad summam massarum duorum corpo- 

quando tota vis uni immoto tribuitur, aut quando rum, ergo, ut massa corporis immoti ad sum- 

(sicut res se habet) attractione mutua in se mam massarum duorum corporum, sic cubus 

agunt, et demonstravit Propositione LVIII. et semi-axis ellipseos minoris descriptae circa cor- 

LIX. Quod si e duobus corporibus se mutuo pus immotum ad cubum semi-axis ellipsis ma- 

attrahentibus et circa commune gravitatis cen- joris revera descriptae ; hinc cum hactenus im- 

trum ellipses similes describentibus, alterutrum motam Terram supposuerimus Lunamque revol- 

sit nostra sedes, ita ut motum totum alteri tri- ventem tempore quo revera revolvitur, et semi- 

buamus quod circa nos ellipsim describere vide- axem orbitae lunaris 60 semi-diametrorum Tcr- 

retur ; illud eiidem vi centripeta eamdem ellip- rae assumserimus, sitque massa Terroe ad raassam 

sim circa nos, si immoti revera foremus, nonnisi Lunae ut 42. ad 1. erit 4'i. ad 43. ut cubus 60. 

longiori tempore describeret, ita ut tempus quo ad cubum semi-axeos ejus elh'pseos quam (ma- 

mutua ajtione gravitatis circa nos motos revolvi nente eadem gravitatis lege eodemque tempore 

videretur, foret ad tempus quo circa nos immotos periodico) Luna relative describet circa Tcrram 

revolveretur, in ratione subduplicata corporis dum ipsa Terra mutua Lunae attractione circa 

centralis immoti ad summam duorum corporum centrum gravitatis commune revera revolvetur ; 

revolventium ; unde, manente ea.dem gravitatis .■,-, . . . 43 X 216000 

1 ,,. . ' j •, ^ . ° . iUe ergo semi-axis ent cuius ra- 

lege, elhpsis quos describeretur circa nos immo- *= 42 •• 

ios eodem tempore quo describitur elHpsis rela- dix cubica est 60.47 fere 60^ ut habet New- 

tiva circa nos motos, minor foret quam ea ellipsis tonus. 

relativa, et ratio axium invenietur dicendo, qua- 65. Eodem modo quo Luna in orbita sua 

dratum temporis quo haec eUipsis describitur, revolvitur circa Tellurem, ita aliud quodvis 

sive (ex Hyp.) quadratum temporis quo descri- grave ex puncto extra Telluris superficicm se- 

bitur ellipsis relativa circa nos, est ad quadratum cundum rcctam horizontalera satis valide pro- 

temporis quo ellipsis relativa^ ellipsi aequalis jectum orbitam describeret, et planetas instar 

circa nos vere immotos describitur, ut cubus pcriodum suam coraplcrct (10. Lib. I.). Scd 



LiBER Tertius.] PRINCIPIA MATHEMATICA. 23 

muae gravitatis centrum revolyantur : manente lege gravitatis, distantla 
centrorum Lunae ac Terrse ab invicem erit 60J semidiametrorum terres- 
trium circiter; uti computationem ineunti patebit, Computatio autem 
iniri potest per Prop. LX. Lib. L 



Scholium, 

Demonstratio Propositionis sic fusius explicari potest. Si Lunse plures 
circum Terram revolverentur, perinde ut fit in systemate Saturni vel 
Jovis ; harum tempora periodica (per argumentum inductionis) observa- 
rent legem planetarum a Keplero detectam, et propterea barum vires 
centripetae forent reciproce ut quadrata distantiarum a centro Terra3, per 
Prop. I. hujus. Et si earum infima esset parva, et vertices altissimorum 
montium prope tangeret: hujus vis centripeta qua retineretur in orbe, 
gravitates corporum in verticibus illorum montium (per computationem 
praecedentem) asquaret quamproxime, efficeretque ut eadem lunula, si 
motu omni quo pergit in orbe suo privaretur, defectu vis centrifugas 
qua in orbe permanserat, descenderet in Terram, idque eadem cum yeloci- 
tate qua gravia cadunt in illorum montium verticibus, propter aequalita- 
tem virium quibus descendunt. Et si vis illa qua lunula illa infima 
descendit, diversa esset a gravitate, et lunula illa etiam gravis esset in 
Terram more corporum in verticibus montium, eadem lunula vi utraque 
conjuncta duplo velocius descenderet. Quare cum vires utrseque, et hse 
corporum gravium, et illae Lunarum, centrum Terrae respiciant, et sint 
inter se similes et aequales, eaedem (per Reg. 1. et 11.) eandem habebunt 
causam. Et propterea vis illa, qua lAuia retinetur in orbe suo, ea ipsa 
erit quam nos gravitatem dicere soiemus : idque maxime ne lunula in 
vertice montis vel gravitate careat, vel duplo velocius cadat quam corpora 
gravia solent cadere. 

qud altius est supra Terram punctum illud cx in suo circulo percurrit est 1 1" si juxta Tellurem 

quo grave projicitur, eo minori opus est vi pro- accedat et eadem celeritate moveatur, ille arcus 

jectili ut projecium in plauetam mutetur, et quo ... ,,, 51 

humilius est eo majori (ibid.) hoc est, celeritas ent 11 ; smus versus arcus II cst ^q^^q^q 

per yim projectiiem impressa erit inverse ut dis- radii, qui radius ciim sit pedum 19615783 erit si- 

tantia, v. gr. Si Luna eadem celeritate qua nus ille versus pedum centum circiter, sed grave 

nunc m orbita sua revolvitur juxta Terram, pro- p^ope Tcrram viginli istis scrupulis secundis 

jiceretur secundum directionem horizontalem, ^^^ ^^^^^^.^ 20 X 20 X 15^'^, sive 6033 

circa rellurem non g.raret, sed terrestnum ^J^^^ ^una in circulo suo non manebit, 

projectuium more m Terram caderet, antequam ^ , , ^ • : 'i- • ^ •• nrx 

^- ^ ,■ , . - ^ xT sed longe prms m lerrdm impegerit quam 20 

per tertiau. partem mmuti esset mota. Nam _„„,,,^i ^,,, f„;.«ont ^ *= ^ 



arcus quem Luna 20 scrupulis secundis horariis 



secunda elapsa fuissent. 



24 . PHILOSOPHIiE NATURALIS [De Mund. Syst. 

PROPOSITIO V. THEOREMA V, 

Planetas circwnjoviales gravitare in Joroem^ circumsaturnios in Saturnum, 
et ciixumsolares in Solem^ et vi gravitatis suce retralii semper a motibus 
rectilineis, et in orbibus curvilineis retineri, 

Nam revolutiones planetarum circumjovialium circa Jovem, circumsa- 
turniorum circa Saturnum, et Mercurii ac Veneris reliquorumque circum- 
solarium circa Solem, sunt phaenomena ejusdem generis cum revolutione 
Lunae circa Terram, et propterea (per. Reg. IL) a causis ejusdem 
generis dependent : praesertim cum demonstratum sit quod vires, a qui- 
bus revolutiones illee dependent, respiciant centra Jovis, Saturni ac Solis, 
et recedendo a Jove, Saturno et Sole, decrescant eadem ratione ac lege, 
qua vis gravitatis decrescit in recessu a Terra. 

Corol. 1. C^) Gravitas igitur datur in planetas universos. Nam Vene- 
rem, Mercurium, caeterosque esse corpora ejusdem generis cum Jove et 
Saturno, nemo dubitat. Et cum attractio omnis per motus legem ter- 
tiam mutua sit, Jupiter in satellites suos omnes, Saturnus in suos, Terra- 
que in Lunam, et Sol in planetas omnes primarios gravitabit. 

Corol. 2. (P) Gravitatem, quae planetam unumquemque respicit, esse 
reciproce ut quadratum distantiae locorum ab ipsius centro. 

Co7'ol. 3. Graves sunt planetae omnes in se mutuo per Corol. 1. et 2. 
(1) Et hinc Jupiter et Saturnus prope conjunctionem se invicem attra- 
hendo, sensibiliter perturbant motus mutuos, Sol perturbat motus 
kmares, Sol et Luna perturbant mare nostrum, ut in sequentibus 
explicabitur. 

(°) 66. * Gravilas igitur datur in inlanetas eveniret ilHs ac Lunae et circumsaturniis aut 

universos ; * Datur gravitas in Terrara et ea circumjovialibus, unde sequitur gravitatem etiam 

gravitate Luna circa eam revolvitur per Prop. dari in illos planetas. Postea propter mutuam 

IV.; datur gravitas in Jovem et Saturnum, attractionem, Tcrrara esse gravem in Lunam, 

nam revolutiones planetarum circumjovialium &c. constabit. 

circa Jovem, et circumsaturniorum circa Satur- (P) * Corol. 2. Patet (ex Reg. L et Prop. 

num sunt ejusdem generis cum revolutione L). 

Lunae cirea Terram, pendentergo (per Reg. 2.) C^) • Et hinc Jupiter. ^ Ha;c mutua planeta- 

ex gravitate eorum satellitum in eos planetas ; rum perturbatio, ut pote cum sequentibus Pro- 

quamvis autem non sint aut non observati sint positionibus conjuncta, deinceps convenicntius 

satellites circa Martem, Venerem et Mercurium, explicabitur, * sufficiant in pr^sentiarum quic de 

attamon Jovi, Saturno, Terraj in caeteris ita ea superius dictum est, occasione quietis aphe- 

sunt similes ut dubitandi locus non relinquatur liorum, vide notam * ad Prop. II. 
quod si satellites juxta ipsos coUocarentur, iJem 



LiBER Tertius. PRINCIPIA MATHEMATICA. 25 



Scholium. 

Hactenus vim illam qua corpora coelestia in orbibus suis retinentur, 
centripetam appellavimus. Eandem jam gravitatem esse constat, et 
propterea gravitatem in posterum vocabimus. Nam causa vis illius cen- 
tripet£e, qua Luna retinetur in orbe, extendi debet ad omnes planetas per 
Reg. 1. 2. et 4. 

PROPOSITIO VI. THEOREMA VL 

Corpora omnia in jplanetas singulos gravitare, et pondera eorum in eundem 
quemvis planetam, jparibus distantiis a centro jplanetce, jproportionalia esse 
quantitati materice in singulis, 

(*■) Descensus gravium omnium in Terram (dempta saltem inaequali 
retardatione quae ex aeris perexigua resistentia oritur) aequalibus tem- 
poribus fieri, jamdudum observarunt alii ; et accuratissime quidem notare 
licet aequalitatem temporum in pendulis. Rem tentavi in auro, argento, 
plumbo, vitro, arena, sale communi, ligno, aqua, tritico. Comparabam 
pyxides duas ligneas rotundas et aequales. Unam implebam ligno, et 
idem auri pondus suspendebam (quam potui exacte) in alterius centro 
oscillationis. Pyxides ab aequalibus pedum undecim filis pendentes, 
constituebant pendula ; quoad pondus, figuram, et aeris resistentiam om- 
nino paria : et paribus oscillationibus, juxta positae, ibant una et redibant 
diutissime. (*) Proinde copia materiae in auro (per Corol. 1. et 6. Prop. 
XXIV. Lib. II.) erat ad copiam materise in ligno, ut vis motricis actio 
in totum aurum ad ejusdem actionem in totum lignum ; hoc est, ut pon- 
dus ad pondus. Et sic in caeteris. In corporibus ejusdem ponderis dif- 
ferentia materiae, quae vel minor esset quam pars millesima materiae totius, 
his experimentis manifesto deprehendi potuit. Jam vero naturam gravi- 
tatis in planetas eandem esse atque in Terram, non est dubium. Elevari 
enim fingantur corpora haec terrestria ad usque orbem Lunae, et una cum 

(■■) * Descensus gravium omnium (3. Lib. I.)- recte. Sed pondus comparativum cst actio vis 

(*) * Proinde copia matericB. Quantitas ma- motricis (per Cor. 6. Prop. XX. Lib. II.). 

teria; in medio non resistente est ut pondus Ergo copia materiae in auro erat ad copiam ma- 

comparativum et quadratum temporis dirccte et teria? in ligno ut vis motricis actio in totum au- 

longitudo pcnduli inverse (per Cor. 6. Prop. rum ad ejusdem actionem in lignum, hoc est, 

XXIV. Lib. IL) ideoquc datis tempore et lon- (per Cor. 1. Prop. XXIV. Lib. II.) ut poii- 

gitudinc pcnduli, ut pondus compaiativum di- dus ad pondus. 



26 PHILOSOPHIiE NATURALIS [De Mund Syst. 

Luna motu omni privata demitti, ut in Terram simul cadant ; et (*) per 
jam ante ostensa certum est quod temporibus sequalibus describent aqua- 
lia spatia cum Luna ; ideoque quod sunt ad quantitatem materifie in Luna, 
ut pondera sua ad ipsius pondus. Porro quoniam satellites Jovis tem- 
poribus revolvuntur quae sunt in ratione sesquiplicata distantiarum a cen- 
tro Jovis, (") erunt eorum gravitates acceleratrices in Jovem reciproce ut 
quadrata distantiarum a centro Jovis ; et propterea in aequalibus a Jove 
distantiis, eorum gravitates acceleratrices evaderent aequales. Proinde 
temporibus aequalibus ab asqualibus altitudinibus cadendo, describerent 
agqualia spatia ; perinde ut fit in gravibus in liac Terra nostra. {^) Et 
eodem argumento planetaa circumsolares, ab aequalibus a Sole distantiis 
demissi, descensu suo in Solem aequalibus temporibus aequalia spatia de- 
scriberent. (^) Vires autem, quibus corpora inaequalia aequaliter accele- 
rantur, sunt ut corpora; hoc est, pondera ut quantitates materiae in 
planetis. Porro Jovis et ejus satellitum pondera in Solem, proportiona- 
lia esse quantitatibus materiae eorum, patet ex motu satellitum quam 
maxime regulari; per Corol. 3. Prop. LXV. Lib. I. Nam si horum 
aliqui magis traherentur in Solem, pro quantitate materiae suae, quam 
caeteri : motus sateUitum (per Corol. 2. Prop. LXV. Lib. I.) ex inaequa- 
litate attractionis perturbarentur. Si, paribus a Sole distantiis, satelles 
ahquis gravior esset in Solem pro quantitate materiae suae, quam Jupiter 
pro quantitate materiae suse, in ratione quacunque data, puta d ad e : dis- 
tantia inter centrum SoUs et centrum orbis satelHtis, major semper foret 
quam distantia inter centrum Solis et centrum Jovis in ratione subdupH- 
cata quam proxime ; (^) uti calculo quodam inito inveni.- Et si satelles 
minus gravis esset in Solem in ratione illa d ad e, distantia centri orbis 



(') * Per jam ante ostensa (Prop. IV. Lib. tempus pefiodlcum planetae ut^ 1 ad 4 >^ 2, 

hujus). idem planeta cadendo Solem attingeret. 

(") * Erunt eorum gravitates acceleratrices. (^) * Vires autem quibus corpora incequalia. 

(Per Cor. 2. Prop. V.). (Def. VIII. et not. 15. Lib. I.) 

C) * Et eodem argumento. Gravitates ac- C) * Uti calculo quodam inito inveni. * Sit 

celeratrices planetarum in Solem sunt reciproce S Sol, I Jupiter, L satelles gravior in Solem 

ut quadrata distantiarum a centro Solis (Cor. 2. quam Jupiter paribus in distantiis in ratione d 

Prop. V.) et propterea in a^ciualibus a Sole dis- ^^ fiat S I ad S i sicut -^ ad -i- et quo- 

tantus eorum gravitates acceleratnces evaderent y' d \/ e 

aequales, proindeque temporibus aequalibus ab ae- niam gravitas est inverse utquadratadistantiarum, 

qualibus altitudinibus cadendo describerent spatia gravitas in Solem ad distantiam S I erit ad gravi- 

Ecqualia. Q,uanto autem tempore planeta quilibet tatem in Solem ad distantiam S i ut d ad e ; unde 

circumsolaris omni motu revolutionis privatus si gravitas Jovis in I positi sit ut e, et gravitas 

sola vi centripeta descendcret et ad Solem usque satellitis gravioris inLetiam poslti sit ut d, cjus- 

perveniret ex data ejus a Sole distantia innotescit dem satellitis gr.avitas in i positi crit ut e, quare 

per not. 401. Lib. I. dimidio sciiicet temporis erit aequalis gravitati Jovis in I positi : fingalur 

periodici quo plancta ad distantiam duplo mino- satelles 1 qui Jove nec gravior nec levior sit, qui 

rem revolvi posset, sive tempore quod est ad circa Jovem I circulum describat A C F D, et 



LiberTertius.] PRINCIPIA MATHEMATICA. 



27 



fingatur in i corpus centrale Jovi simile, circa 
quod, semotA Solis actione, satelles gravior L 
describere poterit orbitam P Q R T priori 
A C B D a qualem ; restituatur Solis actio, actio e- 
jus in utrumque satellitem erit *qualis in sin)ilibu3 
orbitarum punctis ; nam propter ingentem puncti 
S distantiam erit S A ad S P, et S B ad S K 

ut S I ad S i, ideoque ut — - — ; ad — — gravi- 

tates in eis punctis forent ut d ad e, ideoque si 





satellites forent aeque graves, paribus in distantifs 
gravitates in eis punctis forent ut d ad e, sed quia 
gravitas satellitis 1 est ad gravitatemsatellitis L ut e 
ad d, compensatur discrimen gravitatis ex distan- 
tia ortum per discrimen gravitatis ex hypothesi 
constitutum : mutatio autem quaj ex actione Solis 
oritur in orbitam satellitis relate ad ejus prima- 
rium pendet ex discrimine actionis Solis in sa- 
tellitem et in primarium, hoc est in oppositione 
pendet ex residuo actionis Solis in primarium 
dempta actione Solis in satellitem ; et in con- 
junctione ea mutatio pendet ex residuo actionis 
Solis in satellitem dempta, Solis actione in pri- 
marium : CLnn ergo actio Solis in satellites L et 
1, sit eadem ; sed actio Solis in primarium i fit 
minor quam in primarium I, in oppositione 
minus est residuum quod mutationem pariet in 
orbita satellitis L, quam residuum quod mu- 
tationem satellitis 1 parit in orbita, et ma- 
jus e contra est residuum in conjunctione re- 
spectu orbitaj satellitis L quam respectu orbi- 
taj satellitis 1; sed illa residua tam in oppo- 
sitione quam in conjunctione vim centripetam 
minuunt ; ergo vis centripeta major manet in 11 
quam in B, et minor e contra in P quiim in A, 
iindo patet quod ut restituatur similitudo inter 
orbitam sateUitis L, et orbitam satcUitis 1 corpus 



centrale del)eat removeri a puncto R et acce- 
dere versus P, hoc est transferri ex i versus I ; 
ita ut centrum orbitcc satellitis L remotius esse 
debeat a Sole quam ipsius corpus centraie. 

Jam vero dico illud corpus centrale ad I 
transferri debere, nam sit corpus centrale in I, 
semota Solis actione, satelles L eodcm tempore 
periodico ac prius describet ellipsim cujus cen- 
trum i, focus vero I et axis major R P, (per 
(;!or. Prop. XV. Lib. I.) et in mediocri sua 
distantia I Q, (Cor. 4. Prop. XVL Lib. 1.) 
velocitatem eamdeim habebit quam habet satelles 
1 in suo circulo, qualem v. gr. habet in C ubi 
velocitatum illarum directiones sunt parallelas 
tam inter se quam diametro R P, et ob distan- 
tiarum I Q, et I C asqualitatem vires centrales 
sunt aequales directionis obliquitate paulum dif- 
ferentes : addatur jam actio Solis, et ciim sit 
S Q ad S C ut S i ad S I actioncs illaj Solis 
(ex Hyp. et demonstratis) in satellites diversa? 
gravitatis, sed positos in Q et C erunt etiam 
aequales; movehitur ergo satelles L in mediocri- 
bus distantiis Q et T ut satelles 1 movetur in C 
et D quam proxime, tam ratione corporis cen- 
tralis I quarn etiam ex adjuncta actione Solis, 
mutationes vero ex Sole pendentes in A et P, et 
in R et B ;rquales sunt, quia sunt differentia 
ejusdem vis Soiis in I et virium Solis in A et P, 
iit et virium Solis in R et P, vires autem in A 
et P sunt aequales ex Hyp. et dem. utet in R et 
B. Unde ciim vis primarii magna censenda sit 
respectu vis S ; rationes virium centripetarum 
rcsiduarum in P et A, B et R manent inter se 
in eadem ratione ac si nuUa foret actio Solis, et 
ut semota actione Solis curvas suas iisdem tem- 
poribus describere faciebant, celeritate quidem 
majori in P, minori in K, media vero in A et B, 
itaque eadem proxime iis in punctis manebit ratio 
descriptionis curvarum ; cum ergo demoustratum 
sit quod in punctis PQRT, ACBD actio Solis 
non turbet relationcm qure intercedit inter mo- 
dum quo curvfic ill^B P Q R T, A C B D descri- 
buntur, ciim virium rationes ea^dem maneant ac 
prius quamproxime, idem etiam de punctis inter- 
mediis erit intelligendum. Unde sequitur quod 
satelles L in orbila P Q R T revolvi poterit eo- 
dem tempore iisdemque proxime lcgibus ac sa- 
telles L in orbita sua A C B D, si gravior sit 
Jove paribus in distantiis in ratione duplicata dis- 
tantiae Solis a centro suae orbitas ad distantiam 
Solis ab ipso Jove. Q. €. d. 

Eamdem demonstrationem applicari posse ad 
casum ubi satelles supponeretur levior Jove 
paribus in distantiis, illunique tunc descripturura 
ellipsim cujus centrum Sole vicinius erit quam 
Jupiter, ita ut sit gravitas satellitis ad gravita- 
tem Jovis in duplicata ratione distantiaj Solis a 
centro orbita; ad distantiam Solis a Jove. Q. 
alterum e. d. 

Hac ratione satis constare assertum Newtoni 
credimus, idem tamen aliter inito calculo ma- 
gis ad mentem Newtoni demonstrari posse non 
negamus ; sed ratio eum calculum ineundi, ex 
iis qua? postea de motibus lunaribus dicentur, 
erit deduccnda. 



28 PHILOSOPHI^ NATURALIS [De Mund. Syst. 

satellitis a Sole minor foret quam distantia centri Jovis a Sole in ratione 
illa subduplicata. Ideoque si in aequalibus a Sole distantiis, gravitas ac- 
celeratrix satellitis cujusvis in Solem major esset vel minor quam gravitas 
acceleratrix Jovis in Solem; parte tantum millesima gravitatis totius, 
foret distantia centri orbis satellitis a Sole major vel minor quam distan- 
tia Jovis a Sole (^) parte g^/o^j distantiae totius, id est, parte quinta dis- 
tantiae satellitis extimi a centro Jovis : quae quidem orbis eccentricitas 
foret valde sensibilis. Sed orbes satellitum sunt Jovi concentrici, et 
propterea gravitates acceleratrices Jovis et satellitum in Solem aequantur 
inter se. Et eodem argumento pondera Saturni et comitum ejus in So- 
lem, in aequalibus a Sole distantiis, sunt ut quantitates materiae in ipsis : 
ct pondera Lunae ac Terrae in Solem vel nuUa sunt, vel earum massis ac- 
curate proportionalia. Aliqua autem sunt per Corol. 1. et 8. Prop. V. 

Quinetiam pondera partium singularum planetas cujusque in alium. 
quemcunque sunt inter se ut materia in partibus singulis. Nam si partes 
aliquae plus gravitarent, aliae minus, quam pro quantitate materiss, 
planeta totus, pro genere partium quibus maxime abundet, gravitaret 
magis vel minus quam pro quantitate materiae totius. Sed nec refert 
utrum partes illee externae sint vel internae. Nam si, verbi gratia, cor- 
pora terrestria, quae apud nos sunt, in orbem Lunae elevari fingantur, et 
conferantur cum corpore Lunae : si horum pondera essent ad pondera 
partium externarum Lunae ut quantitates materiae in iisdem, ad pondera 
vero partium internarum in majori vel minori ratione, forent eadem ad 

_. 1 ,. . . >-. • diametri Solis, ut supra indicavimus, sive ut 997 

(^ ^''''^' 2000 ^^^^"^^'^ '«^^"^- Gravitas ^^ ^qq^^ distantia extimi satellitis est 26.63 

acceleratrix Jovis sit 1, erit (per Hyp.) gravitas semi.diametrorum Jovis, ergo ea distantia semi- 

1 diametros Solis continebit 2.663 aut accuratius 

acceleratrix satellitis 1 -|- Tp^» ^ed (ex dem.) 2.655. 

distantia inter centrum Solis et centrum orbis Solis semi-diameter mediocrJs e Terru visus, 

satellitis major est quam distantia inter cen- secundum Cassmi Tabulas, est 16 3 vel 16 4 . 

trum Solis et contrum Jovis in ratione illd ^^"^ ^"'"^^" *T^"1° rectangulo cujus angulus 

subduplicata quam proxime, hoc est, ut 1, verUc.s est 16 4 altitudo contmet basim 213.96 

^ ^ vicibus; ergo mter Solem et Terrammtervallum 

ad V 1 4- -^- Quar^ utriusque distantige ^st quod Solis semi-diametros 213.96 contineret, 

1000 sive proxime, Solis diametros 107. 

i 1001 Jovis autem distantia mediocris a Sole est ad 

differentia est >/ 1 + ^^— 1 seu ^ -^^ distantiam mediocrem Terr^^ a Sole, ut 52 ad 

10, ergo ea continebit semi-diametros Solis 

— l — \^ 1.001 — 1 = 1.0004998, &c. — 1 1112.592, ejus numeri bis millesima pars est 

.556296 qu£e est excentricitas Jovis si satelles 

= .0004998, &c. sive = — ~- = , ideo- sit Jove 1000»- parte gravior vel levior paribus 

10000 2000 jn distantiis, ille vero numerus .556296 est quinta 

que distantia centri orbis satellitis a Sole major pars numeri 2.78148 paulo majoris quam 2.655 

erit quam distantia Jovis a Sole parte — dis- ^^^ ^'^^^"f^^ extimi satellitis a Jove continebat So- 

* 2000 lissemi-duimetros 2.655 ; ergocxccntricitasjovis 

tantia; totius, id est parte quinta distantiae satel- si satelles sit Jove lOOO^. parte gravior vel levior 

litis extimi a centro Jovis. paribus in distantiis, est ad minimum quinta pars 

* Nam est diameter Jovis circiter decima pars distantiae satellitis cxtimi a Jove. Q. e. d. 



i 



LiberTertius.] PRINCIPIA MATHEMATICA. 29 

pondus Lunse totius in majori vel minori ratione : coiitra quam supra 
ostensum est. 

Corol. L Hinc pondera corporum non pendent ab eorum formis et 
texturis. Nam si cum formis variari possent, forent majora vel minora, 
pro varietate formarum, in aequali materia : omnino contra experientiam. 

CoroL 2. Corpora universa, quae circa Teriam sunt, gravia sunt in 
Terram; et pondera omnium, quae aequaliter a centro Terrte distant, 
sunt ut quantitates m.ateriae in iisdem. Haec est qualitas omnium in 
quibus experimenta instituere licet, et propterea per Reg. 3. de uni- 
versis affirmanda est. Si aether aut corpus aliud quodcunque vel gravi- 
tate omnino destitueretur, vel pro quantitate materiae suae miims gravita- 
ret : quoniam id (ex mente Aristotelis, Cartesii et aliorum) non diffiirt ab 
aliis corporibus nisi in forma materiae, posset idem per mutationem formas 
gradatim transmutari in corpus ejusdem conditionis cum iis, quae pro 
quantitate materiae quam maxime gravitant, et vicissim corpora maxime 
gravia, formam illius gradatim induendo, possent gravitatem suam gra- 
datim amittere. Ac proinde pondera penderent a formis corpoium, pos- 
sentque cum formis variari, contra quam probatum est in CoroUario 
superiore. 

Corol. 3. Spatia omnia non sunt aequaliter plena. Nam si spatia omnia 
aequaliter plena essent, gravitas specifica fluidi quo regio aeris impleretur, 
ob summam densitatem materias, nil cederet gravitati specificae argenti 
vivi, vel auri, vel corporis alterius cujuscunque densissimi; et propterea 
nec aurum neque aliud quodcunque corpus in aere descendere posset. 
Nam corpora in fluidis, nisi specifice graviora sint, minime descendunt. 
Quod si quantitas materiae in spatio dato per rarefactionem quamcunque 
diminui possit, quidni diminui possit in infinitum ? 

Corol. 4. Si omnes omnium corporum particulae solidae sint ejusdem 
densitatis, neque sine poris rarefieri possint, (^) vacuum datur. Ejusdem 
densitatis esse dico, (*) quarum vires inertiae sunt ut magnitudines. 

Corol. 5. (^) Vis gravitatis diversi est generis a vi magnetica. Nam 
attractio magnetica non est ut materia attracta. Corpora aliqua magis 

(^) * Vacuum datvr. Quibus rcsponsionibus Muscbenbroek In Dissertatione de Magnete 

hoc Newtoni ratiocinium effugiant Cartesiani, plurima atque accuratissima de hujusce lapidis 

jam diximus (Lib. II. num. 187). actione rcfert experimenta. Ex descripta a dili- 

(*) * Qjiarum vires mertia;. Cum enim vis gentissimo viro experimentorum serie palain 

inertia: sit quantitati materiai proportionalis, si quidem fit a?qualcm non esse magnetis in varia 

vires inertiae sunt ut magnitudines, magnitudines corpora actionem, eamque temper.tatum vicissitu- 

sunt ut quantitates materiaa, hoc est, suut ejus- dinibus obnoxiam, et modoremitti modo intendi. 

dem densitatis. At vim magneticam in ratione multo minori 

(") * Vis graviiutis diversi est generis. Clariss. quara triplicata distantiarum decrescere, ©adem 

VoL. III. £ 



so 



PHILOSOPHI^ NATURALIS [De Mund. Syst. 



ostendunt experimenta. Hinc post transcriptum 
hoc ipsum Corollarium 5., subdit Muschen- 
broek : <' Utinam memorias prodita fuissent ex- 
*' perimenta ex quibus Newtonus hcec coUegit; 
" forsitan enim vir stupenda? subtilitatis in ma- 
" thematicis disciplinis methodum invenit sepa- 
" randi attractiones a repulsionibus quarum pro- 
« portionem in distantiae ratione triplicata de- 
" crescere deprehendit, sed quia nihil de hac re 
" ulterius determinavit, nec amplecti ejus sen- 
" tentiam possumus." Ut inteUigantur haec 
Clariss. Muschenbrokii verba, sciendum est, 
virum doctissimum suis experimentis in eam in- 
ductum fuisse suspicionem, quod scilicet magnes 
constaret partibus valde heterogeneis, quarum 
quaedam attraherent, quasdam repellerent, ita ut 
dua? illae vires opposita; vel simpiicis repulsionis 
vel attractionis proportionem turbent. Idque 
non caret verisimiHtudine, cum experimentis 
notissimum^sit, magnetes non soliim sese mutuo 
attrahere, sed etiam alterutro magnete in contra- 
riam partem converso, unum ab al- 
tero repelli. Uterque magnetis po- 
lus vim repellentem atque attrahen- 
tem aque ostendit, et idcirco ex eo- 
dem polo vis attrahens et repel- 
lens emanat. Si amici magnetum 
poli sibi obvertantur, attractio prae- 
poUet repulsioni, si e contra inimici 
poli sese invicem respiciant, prjeva- 
let repulsio. Quamobrem qui so- 
lam attractionem vult cognoscere; 
perspectam habere debet eorumdem 
polorum vim repulsivam, eamque ad- 
dere vi attrahenti experimento cog- 
nitae, summa indicabit vim totam 
attrahentem. Hinc forsan fieri pos- 
set ut separatis ab invicem attrac- 
tionis repulsionisque viribus, constans quam 
Newtonus deprehendit inter attractiones et dis- 
tantias proportio obtineret. At vero ciam ex 
crassis observationibus duntaxat id se animad- 
vertisse fateatur Newtonus, non ita longe 
quaerenda videtur mens nostri autoris. 

* Vim magneticam decrescere in ratione tri- 
plicata distantiarum, ab experimentis staluit 
Wisthonus in egregio opusculo, De Acu^^ Mag- 
netica: Inclinatione : ipse autem Muschenbroe- 
kius in Tomo Primo Physices Sua;, rationem di- 
minutionis vis magneticae esse fcre quadruph'ca- 
tam distantiarum deducit ingeniosissimis experi- 
mentis, scilicet magnetem unum alteri lanci 
bilancis appendit, ponderibus in altera lance ad 
aequilibrium instituendum impositis, tum admo- 
vet magnetem sub eo qui suspensus est, sic vis 
attractionis magnetum aequilibrium tollit, quod 
adjectis ponderibus restituitur, et pondera illa 
addenda varia sunt pro varia distantia magnetum 
inter se, ita ut videantur sequi rationem quadru- 
plicatam inversam spatii vacui inter magnetes in- 
tercepti, quod spatium vacuum non est cylindri- 
x;um aut prismaticum, quia magnetes quibus ute- 
Latur CI. Muschenbroekius, erant sphaerici ; 
unde hacc ratio non est accurate ratio quadrupli- 
cata inversa distantiarum. 



Alia ratione ha;c experimenta possunt institui, 
nempe considerando actionem magnetis in acum 
magneticam, quantum nempe pro varia magnetis 
distantia a magnetico mtridiano acum detor-. 
queat, atque hac ratione, experimenta a Wisthono 
instituta fuisse (nisi memoria falh't) puto, quse 
forte methodus ea est etiam qua Newtonus usus 
fuerat, et sane omnibus probe notatis quje ad 
aestimationem virium requiruntur, vis magnetica; 
diminutionem secundum triplicatam rationem 
procedere experimentis quam accuratissime potui 
institutis deprehendi, quae quidem experimenta 
(cum non sint ad manum ea quae Wisthonus 
hac de re tradidit) referre nostri puto esse insti- 
tuti. 

Sit ergo A C B, meridianus magneticus, 
N C S acus magnetica actione magnetis M, 
extra meridianum magneticum tracta, sitque 
linea C M a centro acus ad centrum magnctis 
ducta ineridiano magnetico perpendicularis, et 
statim supponatur distantiam C M a centro 




M 



acus ad centrum magnetis esse physice infi- 
nitam. 

Vis magnetica Terra; retrahit acum a situ 
S C N ad B C A, sed quia illi situi est obliqua, 
resolvenda est in duas vires, unam lineae S C N 
perpendicularem, alteram ipsi parallelam ; ha?c 
frustra agit ohnitente centro C, iila vero gyratio- 
nem acijs efficit, itaque si in puncto quovis c, 
a c repra;sentet vim magneticam totam, a n re- 
pra;sentabit vim qua convertitur acus, quae ideo 
est ad vim magneticam totam in eo puncto ut 
sinus anguli a c n (declinationis acus a ineridia- 
no magnetico) ad radium ; in omnibus punctis 
C N vim jequalem exerceri supponi potest, sed 
in parte C S vis ea repulsive agit, ideoque con- 
sentit cum vi quae convertit partem C N, et ejus 
efficaciam geminat : notum est vero quod si vires 
aequales in omnibus punctis C N agant asqualiter 
et lerpendiculariter ut eam lineam convertant, 
eariim omnium efficacia eadem erit ac si summa 
omnium virium perpendiculariter ageret in punc- 
to P duabus tertiis partil)us acus C N a centro 
C remoto : hic ergo collecta censeri potest tota 
vis magnetica convertens partem C N, et eodem 
ratiocinio vis repulsiva convertens partem C S, 
in puncto p, duabus tertiis arcus C S a centro 
C remoto, coUecta censeri potest ; et propter 



LiBER Tertius.] PRINCIPIA MATHEMATICA. 



31 



trahunlur, alia miniis, plurima non trahuntur. Et vis magnetica in uno 
et eodem corpore intendi potest et remitti, estque nonnunquam longe 
major pro quantitate materiae quam vis gravitatis, et in recessu a mag- 
nete decrescit in ratione distantiae non dupUcata, sed fere triplicata, 
quantum ex crassis quibusdam observationibus animadvertere potui. 



aequalilatem linearum C N, C S, ideoque par- 
tium C P ac C p, tota vis magnetica tam attrac- 
tiva quam repulsiva acum convertens puncto P 
applicata censeri potest. 

Si magnes M ab acu infinite distaret, pari 
ratiocinio ostenderetur vim totam qua convertit 
acum in puncto P esse coUectam, et pcr resolutio- 
nem virium, vimqua converlit acum, esse ad vim 
totam ejus magnetis M ut sijuis anguli N C M 
(deviationis nempe acus a magnete) ad radium. 

HiAc in casu, in quo acus quiescit, vis mag- 
netica Terrae convertens acum est scqualis vi 
magnetis convertenti acum, siquidem manet 
acus in aequilibrio in situ N C S, cum ergo sit 
vis magnetica Terrae tota, ad vim magneticam 
Terrae convertentem acum ut radius ad sinum 
decUnationis acus a meridiano magnetico; et sit 
vis magnetis convertens acum (aequalis illi vi 
magneticae Terrae convertenti acum) .^ vim to- 
tam magnetis ut sinus deviationis adis a mag- 
nete ad radium ; ex ^equo et per compositionem 
rationum habebitur vis tota magnetica Terrae 
ad vira totam magnetis M ut sinus deviationis 
acils a magnete, ad sinum declinationis acus a 
meridiano magnetico, quod etiam per composi- 
tionem virium demonstrari potuisset. 

Itaque si idem magnes ad aliam distantiam 
ponatur, ut in X, ita ut in alio situ acum con. 
stituat, habebitur etiam vis magnetis in X, ad 
vim totam magneticam Terra-, ut sinus declina- 
tionis acus a meridiano magnetico ad sinum 
deviationis acus a magnete. Quare per compo- 
sitionem rationum erit vis magnetjs in X, ad 
vim magnetis in M, ut sinus declinationis aciis 
a meridiano magnetico cum magnes est in X 
divisus per sinum deviaiionis ab eo magnete in 
X posito, ad sinum declinationis acus a meridi- 
ano magnetico ciim magnes est in M divisum 
per sinum deviationis a magnete, inM posito, hoc 
est, vis magnetis in diversis distantiis, (infinitis, 
respectu magnitudinis acijs) est ut sinus decli- 
nationis acus a magnetico meridiano divisus per 
sinum deviationis ejus a magnete. 

Equidem quando magnes satis est vicinus ab 
acu ut diversa censeri possit ejus distantia a 
diversis punctis aciis, et fortior sit ejus vis in 
puncta viciniora quam in remotiora, simulque 
actio magnetis ad diversa puncta acus diversa 
cum obliquitate applicetur, centrum actionis vis 
magnetis fiet vicinius extremitati N, attamen ob 
figuram vulgarem acus magneticre quae spiculi 
instar formata circa punctum P latior est, cen- 
trum rotationis acus in puncto P manere censeri 
potest nisi nimia sit magnetis vicinia. 



Ideoque distantia magnetis ab acu et angulus 
deviationis acus a magnete determinabuntur 
ducendo lineam a centro magnetis ad id punc- 
tum P atqlie his Principiis per experimenta mox 
recensenda vires magnetum in divers's distantiis 
positorum fuerunt aestimatae. 

In his experimentis adhibita fuit acus magne- 
tlca trium polh'cum, quae ut solet, attingebat 
utraque extremitate circulum divisum in suos 
gradus, ductaque linea perpendiculari in centrum 
acus cum sponte in meridiano magnelico jacebat, 
applicabatur magnes parallelcpipedon super eam 
lineam, ita ut ejus facies polares perpendiculares 
essent ei lineae, polusque ejus meridionah's 
acum spectaret, Borealemque ejus extremum ad 
se traheret, mensurabantur distantia; a centro 
acusad centrum magnetis in poUicibus lineisque 
Parisiensibus, et observabatur quantum in sin- 
gulis magnetis distantiis disccderet acus a meri- 
diano magnetico, tum, primo graphice, postea 
calculo trigonometrico, distantia centri magnetis, 
a centro rotationis aci^s, ut et angulus ejus lineae 
cum acu, determinabantur ; diviso itaque sinu 
dech'nationis acus per sinum istius anguli quotiens 
exprimit rationem vis magneticae in distantia 
singula inventa, sive logarithmis utendo, difFe- 
rentia logarithmorum sinuum angulorum devia- 
tionis a mtridiano magnetico et a magnete erit 
logarithmus vis magneticEe, in distantia in qua 
anguli ilH habentur, et tertia parsejus ditFerentise 
erit logarithmus radicis cubicae vis magneticae, et 
assumptis iis radicibus cubicis in numeris, si per 
eas dividatur numerus aliquis constans (qui hic 
est 57^) quotientes erunt ipsae distantiae; unde 
liquet quod radices cubicae viriummagnetis sunt 
inverse ut distantiee, sive quod vis magnetica sit 
inverse in ratione triplicata distantiarum : se- 
quenti vero Tabella exhibentur haec experimenta 
magna cura instituta, cum calculo indededucto; 
prima columna designat distantias a centro acfis 
ad centrum magneiis ; secunda columna desig- 
nat distantiam a centro rotationis acus ad cen- 
trum magnetis ; tertia dechnationem acus a 
meridiano magnetico cum suo logarithmo et 
tertia ejus parte ; quarta, dechnationem aciJs a 
linea ducta a centro rotationis acus ad centrum 
magnetis cum suo logarithmo et tertia parte ; 
quinta, diff'erentias earum tertiarum partium, 
cum suis numeris qui rationem exprimunt radi- 
cum cubicarum virium magnetis in diversis dis. 
tantiis; sexta denique quotientes numeri 57^ 
per istos numeros divisi, qui quotientes ipsas di&i 
tantias quamproxime requhnt. 



ES 



32 



PHILOSOPHI^ NATURALIS [De Mund. Syst. 



PROPOSITIO VIL THEOREMA VII. 



Gravltatem in corpora universajieri^ eamque proportionalem esse quantitati 

matericB in singulis. 

Planetas omnes in se mutuo graves esse jam ante probavimus, ut et 
gravitatem in unumquemque seorsim spectatum esse reciproce ut qua- 



Distantia a 


Distantia a 


Declin. a 


Declin. a 


Differentia 


Quotientes 


centr. raagn. 


centr. magn. 


merid. mag- 


magnete cum 


tertiar. part. 


numeri 57|: 


ad centrum 


ad cent. rotat. 


netico cum 


logarith. et 


logar. cum 


per 


numer. 


acus. 


acus. 


logar. et ejus 


ejus tert. par- 


suis numeris. 


qui 


radices. 






tertia parte 


te. 




cubicas viri- 






observata. 






um 


marine- 












ticarum exhi- 












bent, 


divisi. 


51.46 - 


- - 40 - - 


75^. 
9.9849438 


19''. 27 
9.5224255 


0.1541734 










3.3283146 


3.1741412 


n. 1.426 


- - 


40.4 


60.16 - 


- - 50 - - 


61 
9.9418193 


35.41» 
9.7658957 


0.2586412 










3.3139398 


3.2552986 


n. 1.144 


. _ 


50.4 


67.49 - 


- . 60 - - 


44". 30'. 
9.8456618 


53d. 42' 
9.9062964 


—1.9797885 










3.2818873 


3.3020988 


n. 0.9545 


- - 


60.5 


83 - 


- - 80 - - 


21 
9.5543292 


77°. 6' 
9.9888982 


—1.8541437 










3.1837764 


3.3296327 


n. 0.7147 


- . 


80.8 


101 - 


- - 100 - - 


lld. 

9.2805988 


85'». 46' 
9.9988135 


—1.7605951 










3.0935329 


3.3329378 


n. 0.5762 


- _ 


100.2 


120.7 - 


- - 120 - - 


6. 20' 
9.0426249 


89' 22. 
9.9999735 


—1.6809838 










3.0143083 


3.3333245 


n. 0.4797 


- - 


120.3 


150.2 - 


- - 150 - - 


3. 20 
8.7645111 


91. 15 
9.9998966 


—1.5882049 










2.9215037 


3.3332988 


n. 0.3874 


. _ 


149. 


160.1 - 


- - 160 - 


2\ 40' 
8.6676893 


91''. 38' 
9.9998235 


— 1.55S9553 










2.8892298 


3.3332745 


n. 0.3597 




160.5 



Eodem modo experimenta instituta sunt, linea 
a centro magnetis ad centrum acus angulum 45 
graduum cum meridiano magnetico constitu- 
ente. 

llepetita fuere ea experimenta cum duobus 
diversis magnetibus, et vires quidem diversae 
sunt roperta', sed decrescere secundum eamdem 
distantiarum rationem deprehensae sunt. 

llepetita fuere cum magnetibus iisdem et ar- 
matis et annalura spoliatis, et quod omnino ob- 
servabile est, idem magnes eamdem declinatio- 
nem acus magneticae produxit, sive armatus 
foret, sive non armatus, in eadem nempe centri 



magnetis a centro acus distantia ac directione ; 
quod quidem paradoxon videbitur, ciam vis qua 
magnes armatus ferrum sustinet, multum diffe- 
rat a vi qua idem magnes non armatus ferrum 
trahit. Idem tamen phaenomenon in utroque 
magnete deprehendi in qualibct distantia ac 
directione, ita ut cum tutius mensurarentur dis. 
tantise centri acus et centri magnetis, magnete 
non armato sum usus in experimentis praeceden- 
tibus, ex quibus satis probari credo ; In reccssu a 
7nagnete vim magneticam decrescere in ratione 
fere triplicatd quantum saltem crassis illis obser- 
vationibus animadverti potest. 



LiBER Tehtius.] PRINCIPIA MATHEMATICA. 



33 



dratum distantiae locorum a centro planetae. Et inde consequens est (per 
Prop. LXIX. Lib. I. et ejus Corollaria) gravitatem in omnes proportio- 
nalem esse materiae in iisdem. 

Porro cum planetae cujusvis A partes omnes graves sint in planetam 
quemvis B, et gravitas partis cujusque sit ad gravitatem totius, ut ma- 
teria partis ad materiam totius ; et actioni omni reactio (per motus legem 
tertiam) aequalis sit ; planeta B in partes omnes planetoe A vicissim gravi- 
tabit, et erit gravitas sua in partem unamquamque ad gravitatem suam in 
totum, ut materia partis ad materiam totius. Q. e. d. 

Corol. \. Oritur igitur et componitur gravitas in planetam totum ex 
gravitate in partes singulas. Cujus rei exempla habemus {^) in attrac- 
tionibus magneticis et electricis. Oritur enim attractio omnis in totum ex 
attractionibus in partes singulas. {^) Res intelligetur in gravitate, conci- 
piendo planetas plures minores in unum globum coire et planetam majo- 
rem componerc. Nam vis totius ex viribus partium componentium oriri 
debebit. (^) Si quis objiciat quod corpora omnia, quae apud nos sunt, 



C^) * In attractionihus magneticis et eleclricis, 
ubi ut pluVinmm quo majus est attrahens, eo, 
ca^teris paribus, major est attractio. 

(•*) * Res inteUigelur in gravitate. Vircs qua^ 
sunt ut materia in omnium formarum corporibus 
atque ideo non mutantur cum formis, reperiri 
debent in corporibus universis singulisque cor- 
porum partiJius, et esse proportionales quantitati 
materias, hinc vis corporis totius ex viribus par- 
tium componentium oriri debebit. Si itaque 
concipiamus Jovem et satellites ejus ad se invi- 
cem accedere ut globum unicum componant, 
pergent singuli sese mutuo trahere, et viceversa 
si corpus Jovis resolveretur in globos plures, hi 
quoque globi, sateUitum instar, sese mutuo tra- 
herent. 

67. Globi cujusque vis absoluta est ut quan- 
titas materiae in eodem globo ; vis autem motrix 
qua globus unusquisque trahitur in aherum, et 
quas ponderis nomine vulgo designatur, est ut 
contentum sub quantitatibus materise in globis 
duobus applicatum ad quadratum distantic-e in- 
ter centra (per Cor. 4. Prop. LXXVI. Lib. L) 
et huic vi proportionaHs est quantitas motiis qu-a 
globus uterque dato tempore movebilur in alte- 
rum (Def. VI IL Lib. I.) vis autem accelera- 
trix qua globus unusquisque pro ratione materiae 
quae attrahitur in alterum est ut quantitas ma- 
teriae in globo altero applicata ad quadratum 
distantiae inter centra (per Cor. 2. Prop. 
LXXVI. Lib. 1.) et huic vi proportionahs est 
velocitas qua globus attractus dato tempore mo- 
vebitur in aherum (Def. VII. Lib. L). Ilinc 
corporum coelestium motus inter se possunt fa- 
eile determinari. Quia vero respectu Terrae to- 
tius exigua admodum sunt corpora terrestria, 

E 



patet minimam quoque esse mutuam horum 
corporum attractionem respectu attractionis in 
Terram totam. Sic sphaera Terrae homogenea 
diametroque pedis unius descripta minus trahet 
corpusculum juxta superficiem suam quam 
Terra juxta suam in ratione diametri sphserae ad 
diametrum Terrae (Prop. LXXII. Lib. I.) 
hoc est in ratione 1 ad 39231566 sive 1 ad 
40000000 circiter, quas tantilla vis sentiri non 
potest. 

(^) * Si (/nis objiciat, &c. Majora etiam quae 
in Terra concipi possunt corpora haud magnos 




efFectus producent. Sit enim E M N R Tel- 
lus, cujus centrum C, eaque ponatur spha^rica et 
homogenea. Sit corpus ubicumque puta in 
loco 13, sublato omni impedimento, ad Telluris 
3 



u 



PHILOSOPHI^ NATURALIS [De Mund. Syst. 



hac lege gravitare deberent in se mutuo, cum tamen ejusmodi gravitas 
neutiquam sentiatur : respondeo quod gravitas in haec corpora, cum sit ad 
gravitatem in Terram totam ut sunt hsec corpora ad Terram totam, longe 
minor est quam quae sentiri possit. 

Corol. 2. Gravitatio in singulas corporis particulas aequales est reci- 
proce ut quadratum distantiae locorum a particulis. Patet per Corol. 3. 
Prop. LXXIV. Lib. I. 



PROPOSITIO VIII. THEOREMA VIIL 

Si glohorum duorum in se mutuo gramtantium materia undique in regionibus, 
quce a centris (jequaliter distant^ homogenea sit : erit pondus glohi alteru- 
trius in alterum recij^roce ut quadratum distantice inter centra. 

Postquam invenissem gravitatem in planetam totum oriri et componi 
ex gravitatibus in partes ; et esse in partes singulas reciproce proportio- 
nalem quadratis distantiarum a partibus : dubitabam an reciproca illa 
proportio duplicata obtineret accurate in vi tota ex viribus pluribus com- 
posita, an vero quam proxime. Nam fieri posset ut proportio, quae in 



superficietn perpendiculariter dirigeretur per 
rectam B E C ; in ipsa Telluris superficie ad- 
datur sphaera T, Telluri homogenea triumque 




milUariuin sive leucae unius marinse diametro 
descripta quam tangat recta B E C ; designet 
E C vim gravitatis in ipsa superficie Terrce, et 
designal)it T B graviiatem in ipsa superficie 
sph;Er;e T (Prop. LXXII. Lib. 1.) gravitas in 
E, in Tellurem erit ad gravitatem in B in ean- 



dem, ut B C 2 ad E C^ (Prop. LXXIV. Lib. 
L). Quare ponendo B C ^ ad E^ ^ ut E C 
ad B D, recta B D exhibebit gravitatem in 
Terram in loco B, ac proinde completo rectan- 
gulo T B D A, gravitatis directio erit per dia- 
gonalem B A (41. Lib. L). Jam in triangulo 
rectangulo B A D, est B D ad A D ut radius 
ad tangentem anguli D B A. Quia vero Tel- 
luris semidiameter mediocris est fere 1145 leu- 
carum marinarum (quarum nempe viginti gra- 
dum complent, uno marino milliari singulo gra- 
dus minuto respondenti) poni etiam potest recta 
B D aequalis E C, ideoque erit ad T B, sive 
B D ad A D ut 2290 ad 1, unde prodit angu- 
lus A B D, minuti primi cum dimidio. Si 
itaque loco sphaerae T, intelligatur mons aliquis 
cujuscumque figurae cujus attractio aequipolleat 
attractioni ipsiusmet sphaerae, pendulum ad ra- 
dicem hujusce montis constitutum vi montis 
attractum deviabit a perpendiculo magis quam 
minuti unius primi intervallo. Ha>c autem 
aberratio minor fiet, si pendulum in partes con- 
trarias ab aliis montibus circumpositis trahitur, 
si densitas partium internarum Tcrrae, major sit 
quam densitas partium montis, denique ex pira- 
midali montium figura, aliisque forte causis, 
hinc admodum difficile ut perturbationes illaB 
sensibiles fiant nisi in maximis montibus ; ut 
eliam D"^""* Bouguer attractionem montis 
Chimboraco in Peruvio sensibilem deprehendit 



LiBER Tertius.] PRINCIPIA MATHEMATICA. 



35 



majoribus distantiis accurate obtineret, prope superficiem planetae ob inae- 
quales particularum distantias et situs dissimiles, notabiliter erraret. 
Tandem vero, (^) per Prop. LXXV. et LXXVI. Libri primi et ipsarum 
Corollaria, intellexi veritatem Propositionis de qua hic agitur. 

Corol, 1. Hinc inveniri et inter se comparari possunt pondera corpo- 
rum in diversos planetas. Nam pondera corporum sequalium circum 
planetas in circulis revoiventium sunt (per Corol. 2. Prop. IV. Lib. I.) 
ut diametri circulorum directe et quadrata temporum periodicorum in- 
verse ; et pondera ad superficies planetarum, aliasve quasvis a centro 
distantias, majora sunt vel minora (per hanc Propositionem) in duplicata 
ratione distantiarum inversa. Sic ex temporibus periodicis Veneris cir- 
cmn Solem dierum 224? et horarum 16|, satellitis extimi circumjovialis 
circum Jovem dierum 16 et horarum IQf.^, satelHtis Hugeniani circum 
Saturnum dierum 15 et horarum 22f, et Lunag circum Terram dierum 
27. hor. 7. min. 43, collatis cum distantia mediocri Veneris a Sole et cum 
elongationibus maximis heliocentricis satelHtis extimi circumjoviaUs a 
centro Jovis 8'. 16'^ satelhtis Hugeniani a centro Saturni 3'. 4'^ et Lunae 
a centro Terrae 10'. 33''. (^) computum ineundo inveni quod corporum 



(f ) * Per Prop. LXXV. et LXXVI. Lib. L 
Ex singularum particularum viribus componitur 
vis planetae totius (Cor. 1. Prop. VII.) et gra- 
vitatio in singulas corporis particulas aequales, 
est reciproce ut quadratum distantise locorum a 
particulis (per Cor. 2. Prop. ejusdem). Hinc 
vis planetae totius decrescit in duplicata ratione 
distantiarum a centro, modo tamen planetae ex 
uniformi materia constare ponantur (Prop. 
LXXV. Lib. I.) et hujusmodi planetae duo se 
mutuo trahent vi decrescente in duplicata ratione 
distantiae inter centra (per CoroUaria ejusdem 
Prop.). Quamvis autem planetae in progressu 
a centro ad circumferentiam non sint uniformes, 
obtinebit idem decrementum in ratione duplicata 
distantiae (Prop. LXXVI. Lib. I.) si secun- 
dum quamcumque legem crescat vel decrescat 
densitas in progressu a centro ad circumferen- 
tiam, et similiter hujusmodi planetae duo sese 
invicem trahent viribus in ratione duplicata dis- 
tantiarum inter centra decrescentibus. 

(^) 68. * Computum ineundo. * Ut haec 
omnia ad algebrica signa revocentur ; sit S cen- 
trum Solis, V centrum Veneris, P centrum aJ- 
terius planetaj primarii, L satelles in maxima 
sua elongatione heliocentrica quam metitur an- 
gulus L S P, unde angulus S L P est rectus. 
Dicatur tempus periodicum Veneris t ; 
tempus periodicum satcllitis L circa primarium 
P dicatur &. 

Distantia S P qualiscumque sit, dicatur z; 
ratio S P ad S V quae datur per Phaenom. 



IV. expriraatur per rationem a ad b, inde erit 

a 

et radio existente 

1 sinus elongationis 

maximae heliocentricae 

satellitis L, sive sinus 

anguli L S P dica- 

tur e ; 

Hinc in triangulo 

S L P rectangulo, 

erit sinus totus an- 

guli S L P (1) ad 

sinum anguli L S P 

(e) ut latus S P (z) 

ad latus P L quod 

erit ergo e z ; 

Quoniam vis Solis in 

Venerem et vis pri- 

marii in satellitem, 

sunt per Cor; 2. Prop. 

IV. Lib. I, ut distan- 

tiae Veneris et satellitis 

a centro Solis et pri- 

marii divisa; per qua- 

drata temporum pe- 

riodicorum, sive ut 

b z , e z , 

— ad — , sive, si vis 

a 1 1 6 6 



aet« 

ent vis pnmaru - 



Solis dicatur 

Sed vis primarii in satollitem in distanlii 



£4 



36 



PHILOSOPHI^ NATURALIS [De Mund. Syst. 



itqualium et a centro Solis, Jovis, Saturiii ac Terrae tequaliter distantium 
pondera sint in Solem, Jovem, Saturnum ac Terram ut 1, j-J^j, 3uVt' 
T^gWa (^) respective, et auctis vel diminutis distantiis, pondera diminu- 



P L, est ad vim qua in ipsura ageret si tan- 
tumdem distaret quantum distat Venus a 
Sole, inverse ut quadrata distantiarum, fiat ergo 
1 . a^ aett , a^e^ . . tt 



ad 



2 K e 1 1 - 

ut - — — ad 



V — et habe- 

b3 ^ ^^ 



e-^z" b^z^ b^^ 

bitur tandem quod vis Solis in Venerem e»t ad 

vim primarii P in satellitem, si tantumdem dis- 

tarct ab ipso quantum 

distat Venus a Sole ut 




, a^e^ ^ t t 

Jam vero transfe- 
rantur Venus et sa- 
telles in alia quacum- 
que distantia, sed ita 
ut ambo iterum aquae- 
liter distent a corpore 
suo centrali ; vires qui- 
dem centralium cor- 
porum in ipsos mufa- 
buntur, sed eodem mo- 
do utrinque mutabun- 
tur ; unde manebunt in 
eadem ratione ac pri- 
us, nam erit ut qua- 
dratum novae distantiae 
ad quadratum prioris 
distantise, ut vis prior 
Solis in Venerem ad 
vim novam ; et in ea- 
dem ratione erit vis 
prior primarii in satel- 
litem ad ejusdem vim 

novam, unde alternando, vis prior Solis in Ve- 
nerem est ad vim priorem primarii in satellitem, 
ut vis nova Solis in Venerem ad vim novam pri- 
marii in satellitem, ergo in qualicumque distan- 
tia, si modo aequaliter distent Venus et satelles a 
suo corpore centrali, vis Solis erit ad vim primarii 
a^ e3 tt 

Denique, cum pondera corporum smt ut vires 
centrales et quantitates materiae quae per eas 
vires urgentur conjunctim, et in hoc Corollario 
Newtonus supponat corpora cequalia et cequaliter 
a corporibus centralibus distantia : pondera ta- 
lium corporum erunt ut vires centrales, ideoque 
pondus in Solem erit ad pondus in primarium 

Computus per logarithmos commode initur, 
exempli gratia sit P centrum Jovis, et L hujus 
extimus satelles, est b ad a ut 72333 ad 520096 
quorum logarithmi sunt 4.8593365 et 5.7 160855 ; 
cst e sinus anguli 8' 1 6" cujus logarithmus est 
— 5.3810609 (radio existente 1) hinc logarith- 



mus ^= — 2.2378099, et logaritl.irus — — 
b b-* 

hujus triplus est — 6.7134297. 

Prasterea logarithmus t (sive 22^^- horar. 1 .'f, 
hoc est, horarum 5392f ) est 3.7318103. loga-ith- 
mus ^ (sive le"^. l^-^j horar, hoc est, horarum 

400y^^) est 2.6026384 ideoque log. — est 
1.1291719 et log. — hujusduplusest 2.2583438. 



qualemcumque ut 1 ad 



Unde tandem lo<^arithmus- 



i3e3 tt 

4.9717735, quse fractio in decimalibus potuisset 
exprimi, sed eam Newtonus exprimit unitate 
divisa. per denominatorem quemdam, cujus lo- 
garithmus obtinebitur hunc logarithmum — 
4.9717735 ex logarithmo unitatis nempe 0. tol- 
lendo, erit ideo 3.0282265 cujus logarithmi nu- 
merus est 1067 ut eum Newtonus invenit. 

(^) * Respectivii, &c. * In praecedentibus 
editionibus (ante Londinensem) indicabat New- 
tonus hic loci elementa ex quibus rationes vera- 
rum diametrorum Jovis, Saturni et Terrae deter- 
minaverit, quae quidem elementa, ex novis obser- 
vationibus, quibusdara minutiis immutavit, illa 
ha?c esse nobi» videntur. 

Primo, diametrum Solis ex mediocri Terrae 
distantia visam, 32' 8" assumit, qualem etiam 
Cassinus in novissimis Astronomicis Tabulis eam 
constituit, cum prius 32.^12" statueretur ; tum 
diametrum Jovis in mediocri ejus a Tellure dis- 
tantia 37" facit qualem eam prodiisse sub finem 
primi phaenomeni dicit, ciim prius fieret 40". 
Ex his, cixm distantia mediocris Solis (sive Tel- 
luris n. 53.) a Jove sit ad mediocrem distantiam 
Solis a Terra ut 520096 ad 100000 (per Phae- 
nom. IV.) et diametri vera» sphaerarum sub par- 
vis angulis visarum sint directe ut anguli sub 
quibus videntur, et ut distantiae ex quibus spec- 
tantur, erit diameter vera Solis ad veram dia- 
metrum Jovis ut 1928" X 100000 ad 37" X 
520096 sive 10.000 ad 997. ut calculo invenitur. 

Secundo, diametrum Saturni in mediocri ejus 
a Sole sive Tellure distantia assumit 16", quera 
22" in prioril)us edit. faciebat: inde cum dis- 
tantia ejus mediocris a Sole sive Tellure, sit ad 
mediocrem distantiam Solis a Terra ut 954006 
(PlijEu. IV.) <id 100000 erit diameter vera Soh's 
ad veram diametrum Saturni ut 1 928" X l OOOOO 
ad 16" X 954006, sive 10000 ad 79L 

Denique parallaxira Solis, in di&taintia ejus 
mediocri 10". 30"' constituit, parallaxis verd 
Solis est ipsa semi-diameter Terrae e Sole visa, 
ergo diametri verae Solis et Terrae sunt ut dia- 
meter Solis apparens ad duplum parallaxeos So- 



LiBER Tertius.] PRINCIPIA MATHEMATICA. 



37 



untur vel augentur in duplicata ratione : pondera aequaliuni corporum in 
Solem, Jovem, Saturnum ac Terram in distantiis 10000, 997, 791, et 109 
ab eorum centris, atque ideo in eorum superficiebus, (^) erunt ut 10000, 
943, 529, et 435 respective. Quanta sint pondera corporum in superficie 
Luiiae, dicetur in sequentibus. 

Corol. 2. Innotescit etiam quantitas materiae in planetis singulis. Nam 
quantitates materiae in planetis sunt ut eorum vires in agqualibus distantiis 
ab eorum centris, id est, in Sole, Jove, Saturno ac Terra sunt ut 1, j-oVtj 
^^j, et xrgW^ respective. Si parallaxis Solis statuatur major vel minor 
quam 10". 30'", (") debebit quantitas materiae in Terra augeri vel diminui 
in triplicata ratione. 



lis, hoc est, 1928, ad 21, sive ut 10000 ad 109 
proxime. 

(") * Erunt ut ; * Ut insistere pergamus 
ei analysi qua Newtonus usus esse videtur, as- 
sumptis omnibus ut in nota 68. 

Tangens semi-diametri apparentis Solis dica- 
tur s, radio existenle I . 

Sinus parallaxeos Solis (quag est semi-diame- 
ter primarii P e Sole visi) dicatur p. 

Vera semi-diameter primarii dicatur d. 

Erit ex natura. parallaxeon p ad 1 sicut d ad 
P S qua; dicebatur z, quaeque ideo dicenda erit 
d 



Pariter sicut 1 ad s, distantia z sivo - ad 

V 
. ,. „ ,. . s d 

semi-diametrum veram Sous quae erit — . 

P 
Rursus parallaxis satellitis L dicatur q. 
Ex natura parallaxeon erit q ad I ut d ad 

P L, quae ideo erit — et numerus semi-diame- 

trorum priraarii P in ea linea P L contentus erit 

— , et cum singula semi-diameter e Sole spec- 

tata, videatur sub angulo cujus sinus est p, prop- 

ter istorum sinuuin parvitatem, anguli erunt ut 

sinus, et sinus elongationis heliocentricae qui 

dicebatur e continebit sinum p numero vicium 

. ,. . . 1 •:, , . P 

qui dici potent — ideoque erit e = — . 

Si autem fingatur corpus in Solis superficie 
positum, quod itaque ab ejus centro distet quan- 

sd . 
titate aequau ejus verae semi-diametro — , vis 

Solis in id corpus, erit ad vim P in corpus aequale 
ad eamdem distantiam a centro ejus primarii 

, , a3 e3 1 1 
positi ut 1 ad . - X Ya P^'" "°*' ^^' ^^^^ 

3 p 3 t t 
3 q3 ^ <;<; 



ejusdem corporis in superficie primarii positi in- 
verse ut quadrata distantiarum, sive inverse u? 
quadrata diametrorum verarum Solis et primarii, 
. p ^ ,1 . a3p3 1 1 ,a3ps2 
sive ent ^^-— ad -- sicut — — - X t", ad - / ■ 
s-d^ d^ b3q3 ^g^ b3q3, 

t t . . 

X — \ qua; quantitas exprunet vim primaru 'm 

corpus in sua superficie positum, dum vis Solis 
in corpus ajquale in sua superficie etiara positum 

erit 1 : qu£B quantitas —^ — j- X 7-; est aqua- 



lis quantitati 



b3q3 
a 3 p 3 1 1 

b3q3 X J~6 



S 6 
(quae vim ia 



p 

a'qualibus distantiis exprimit) divisae per i—.. 

Sed ob aequalitatem corporum vires in corpora 
sunt ut pondera corporum; hinc ergo habetur 
ratio ponderis corporum a-quaUum in superficie- 
bus Solis, Jovis, Saturni ac Terrae. 

Quare si logarithmis utamur; ex logarithmo 
p toUatur logarithmus s, et residui duplum tolla- 
tur ex logarithmo numeri qui exprimebat vim 
primarii in aequahbus distantiis, residuum erit 
logarithmus vis primarii in corpora in ejus super- 
ficie posita. 

Calculus iste respectu Terraj commode fieri 
potest, quia datur ex observatione parallaxis 
Solis p, et apparens Solis semi-diameter : in 
Jove et Saturno parallaxis ipsorum est aequalis 
eorum semi-diametro apparenti in mediocri ipso- 
rum distantia, et semi-diameter apparens Solis in 
ipsis est ad semi-diametrum Solis apparenten) in 
Terra, inverse ut distantiae eorum et Terrae a Sole. 

C^) Debebil quantitas matericc in Terrd augeri 
vel diminui in triplicatd parallaxeon ratione. 
* Nam ciim quantitates materiae in planetis sin- 
gulis, sint ut eorum vires in aequalibus distantiis ; 
quantitas materiae in Sole est ad quantitatem 



materiae in Terra ut 1 ad 



p3 
substitutione facta — , loco 



»3 P 
b3 q 



aX ^^' 



Sed haec vis prlmarii in id coipus, erit ad vim 



ergo ratione a ad b distantiarum nempe Terrae 
et Veneris a Sole, manentibus temporibus perio- 
dicis Veneris et Lvavm t et <*, et sinu parallaxcos 



38 PHILOSOPHI^ NATURALIS [De Mund. Syst. 

Corol. 3. Innotescunt etiam densitates planetarum. Nam pondera 
corporum asqualium et liomogeneorum in sphaeras homogeneas sunt in 
superficiebus sphaerarum ut sphaerarum diametri, per Prop. LXXII. 
Lib. I. ideoque sphaerarum heterogenearum densitates (^) sunt ut pon- 
dera illa appHcata ad sphaerarum diametros. Erant autem verse SoHs, 
Jovis, Saturni ac Terraj diametri ad invicem ut 10000, 997, 791 et 109, 
et pondera in eosdem ut 10000, 943, 529 et 435 respective, et propterea 
derisitates sunt ut 100, 94 J, 67 et 400. i^) Densitas Terrae quae prodit 
ex hoc computo non pendet a parallaxi Solis, sed determinatur per paral- 
laxin Lunae, et propterea hic recte definitur. Est igitur Sol paulx) den- 
sior quam Jupiter, et Jupiter quam Saturnus, et Terra quadruplo densior 
quam Sol. Nam per ingentem suum calorem Sol rarescit. Luna vero 
densior est quam Terra, ut in sequentibus patebit. 

Corol. 4. Densiores igitur sunt planetae qui sunt minores, caeteris pari- 
bus. (") Sic enim vis gravitatis in eorum superficiebus ad aequaUtatem 
magis accedit. Sed et densiores sunt planetae, caeteris paribus, qui sunt 
Soli propiores ; ut Jupiter Saturno, et Terra Jove. In diversis utique 



Lunae q, liquet quod si varietur sinus parallaxeos , ., ,a3ps^^_.tt 

Solis p et ex novis observationibus, puta ex ob- expnmebatur numeris 1 ad -_ X j-^ (deno- 

servatione transitus Veneris super discum Solis, minationibus iisdem adhibitis quje in notis (^) et 

alia parailaxis cujus sinus sit * deprehendatur, (i) assignantur. Densitates vero sunt ut illa 

eo casu iuvenietur quantitas materiae in Sole ad pondera applicata ad sphserarum diametros vel 

quanutatem materi^ in Terra ut 1 ad l^^' X ^7'-dia"^^^ros ; semi-diameter vera SoHs erat 



tt 



^ -^ — •, et semi-diameter vera Terra; erat d ; quare 

----, itaquequantitasmateriaeTerraB inprascedenti P 3 2 

hypothesi parallaxeos p reperta, erit ad eam qu^B densitates Solis et Terr^ erant ut — ad ^f^ 

tunc invenietur ut p ^ ad t ^ sive (ob exiguita- _ 

tem angulorum parallacticorum) ut cubi paral- 3 3 t t 

laxeon. X — sive ut 1 ad X — » in Qu^ quanti- 

^ i 6 b^q^ ^ ^/ . 

{}) * Sunt ut pondera illa. Nam pondera tate parallaxis Solis, quae dubia est, non amplius 

corporum aequalium et homogeneorum in sphce- adhibetur, sed tantum quantitates de quibus con- 

ras homogeneas et inaequales sunt in superficie- stat apud astronomos, parallaxis nempe Luujbj 

bus sphaerarum ut sphaerarum diametri (loco semi-diameter apparens mediocris Solis, ratio 

cit.), et pondera corporum jequalium et homo- distantiarum Terrae et Veneris a Sole, et ratio 

geneorum in sphaeras heterogeneas et aequales in temporum periodicorum Veneris et Lunae, quare 

superficiebus sphaerarum sunt ut quantitates ma- ea densitas TerrcB hic recte dejinitur. 

teriae in sphaeris, hoc est, ut densitates sphaera- (") * Sic enim vis gravitatis. Quoniam sphae- 

rum (2. Lib. L). Unde pondera corporum rarum heterogenearum densitates sunt ut pon- 

tequalium et liomogeneorum in spha^ras hetero- dera in earum superficiebus ad spi)a;rarum dia- 

geneas et inaequales in superficiebus sphaerarum metros applicata, ideoque pondcra ut densitates 
sunt in ratione composita ex ratione dcnsitiitum , et sph«raruni diametri conjunctim, si densiores 

et diametrorum sphaerarum, consequenter densi- sint planctoe qui sunt rainores, minor diamet<?r 

tates sphaerarum sunt pondera illa directe et in variis planetis per majorem densitatem qud- 

sphaerarum diametri inverse. dam ex parte compensabitur, ac proinde vis gra- 

vitatis in varioruin planctarum superficicbiis ad 

("') * Densitas Terrce qiue prodil ex hoc com- aequalitatem magis accedet quam si planet» 

puto non pendcl a parallaxi Solis, hc. * Katio omnes vel densitate aequales forent, vel planctae 

pondcrum ui ipsis supcrficiebus Soiis et Terra; raajores forent minoribus densiores. 



LiBER Tertius.] PRINCIPIA MATHEMATICA. 



39 



distantiis a Sole collocandi erant planetae, ut quilibet pro gradu densitatis 
calore Solis majore vel minore frueretur. Aqua nostra, si Terra locare- 
tur in orbe Saturni, rigesceret ; si in orbe Mercurii, in vapores statim 
abiret. Nam lux Solis, cui calor proportionalis est, (°) septuplo densior 
est in orbe Mercurii quam apud nos : et thermometro expertus sum 
quod septuplo Solis aestivi calore aqua ebullit. Dubium vero non est quin 
materia Mercurii ad calorem accommodetur, et propterea densior sit hac 
nostra; cum materia omnis densior ad operationes naturales obeundas 
majorem calorem requirat. 



(°) * Septuplo densior est. Nam (14. Lib. I.) 
densitas lucis decrescit in ratione duplicata dis- 
tantiarum a Sole, sed (Ph.tn. IV.) distantia 
Terrse est ad distantiam Mercurii ut 1000 ad 
387. proxime. Est igitur densitas lucis in Mer- 
curii ad densitatem lucis in Terra ut 1000000 
ad 149769 seu ut 6,68 ad 1, hoc est fere ut 7 
adl. 

* Addit Newtonus: thermometro expertus 
sum quod septuplo Sclis cestivi calore aqua ebul- 
lit : hgec videntur referri ad n. 270. Transac- 
tionum Philosophicarum, qui continet scalam 
de caloris gradibus, ingeniose sane constructam, 
cujus author non indicatur : " Constructa fuit 
*' haec Tabula ope thermometri et ferri canden- 
" tis. Per thermometrum ex oleo lini construc- 
" tum inveni (inquit author) quod si oleum ubi 
" thermometer in nive liquescente locabatur 
" (computus enim in hac Tabula inchoatur a ca- 
" lore quo aqua incipit rigescere tanquam ab in- 
" fimo caloris gradu seu communi termino ca- 
** loris et frigoris) occupabat spatium partium 
" lOOOO idem oleum calore corporis humani 
" rarefactum occupabat spatium 10256 et calore 
" aquse jamjam ebullire incrpientis spatium 
" 10705 et calore aquge vehementer ebuliientis 
" 10725, et calore stanni liquefacti ubi incipit 
" rigescere 11516, &c. ; rarefactio aeris aequali 
" calore fuit decuplo major quam rarefactio olei 
" quasi quindecim vicibus majorquam rarefactio 
" spiritus vini. Et ex his inventis ponendo ca- 
" lores olei ipsius rarefactioni proportionales et 
" pro calore corporis humani scribendo partes 12 
" prodiit calor aquae ubi vehementer ebulh't par- 
" tium 34." In eadem autem Tabula ponendo 
calorem corporis humani 1 2, ponit calorem aeris 
aestivi 4, 5, vel 6. Quare medium assumendo, 
est ut quinque ad 34 sive proxime ut 1 ad 7, ita 
calor aeris aestivi ad calorem aqua? ebullientis : 
qui ergo septuplus est caloris aeris aestivi secun- 
dum asseitum Newtonianum. 

Uisputari autem posset, quod calor rarefac- 
tioni olei proportionalis supponatur absque suf- 
ficienti ratione, et quod terminus a quo rarefac- 



tio ea numerari incipit (is nempe gradus frigoris 
quo aqua incipit rigescere) sit ad arbitrium as- 
sumptus ; cutn ea rarefactio numerari debuisset 
ab absoluto frigore, eo nempe frigoris et gradu 
quo partes olei nullam ulteriorem compressionem 
per vim frigoris pati possent, qui gradus est ig- 
notus ; at hujus Tabellae constructio, ingeniose 
demonstratur ab eodem Autore per ferri can- 
dentis refrigerationem ; hicavit enim ferrum 
candens in vento uniformiter spirante, ut aer a 
ferro calefactus semper abriperetur a vento, et 
aer frigidus in locum ejus uniformi cum motu 
succederet, sic enim aeris partes aequales £equali- 
bus temporis calefactae sunt et concipiebant ca- 
lorem calori ferri proportionatam ; hinc si divi- 
datur tempus refrigerii ferri in instantia aequalia, 
erit, ut totus calor ferri initio primi instantis, ad 
calorem durante eo instanti amissum : sic calor 
ferri initio secundi instantis ad calorem durante 
eo secundo instanti amissum, &c. ideoque finga- 
tur lineam rectam duci cujus abscissae designent 
tempora ; ordinatae in extremis abscissis erigan- 
tur, quae calores ferri singulis momentis desig- 
nent; difTerentiae earum ordinatarum erunt iis 
ipsis ordinatis proportionales geometrice, ideo- 
que curva per earum ordinatarum vertices tran- 
siens erit logarithmica, crescentibus ergo tera- 
poribus arithmetice, calor ferri geometrice de- 
crescit et ptopterea calorum eorum geometri- 
ca ratio per logarithmorum Tabulam haberi po- 
terit. 

Quo supposito, imponebat Autor candenti 
ferro particulas diversorum metallorum, et alio- 
rum corporum liquabilium, et notavit tempora 
refrigerii donec particulae omnes amissa fluidi- 
tate rigescerent, et tandem calor ferri aequaretur 
calori corporis humani ; hinc calores omnes qui- 
bus cera, bismuthum, stamnum, plumbum, re- 
gulus stibii, eorumque variae miscelae liquescunt, 
innotuere, sive eorum geometricae rationes, ciim- 
que calores ita inventi eamdem habuerint inter 
se rationem cum caloribus per thermometrum 
inventis, propterea recte assumptum fuit, rare- 
factiones olei ipsis caloribus esse proportionales. 



40 PHILOSOPHI^ NATURALIS [De Mund. Syst. 



PROPOSITIO IX. THEOREMA IX. 

Gravitatem pergendo a superjiciebiis planetarum deorsiim decrescere in 
ratione distantiarum a centro quam jproxime. 

Si materia planetae quoad densitatem uniformis esset, obtineret haec 
Propositio accurate : per Prop. LXXIII. Lib. I. Error igitur tantus 
estj quantus ab inaequabiii densitate oriri possit. 

PROPOSITIO X. THEOREMA X. 

Motus jplanetaru7n in ccelis diutissime conservari posse. 

In scholio Propositionis XL. Lib. II. ostensum est quod globus aquae 
congelatse, in aere nostro libere movendo et longitudinem semi-diametri 
suae describendo, ex resistentia aeris amitteret motus sui partem -^jq-^* 
Obtinet autem eadem proportio quam proxime in globis utcunque magnis 
et velocibus. Jam vero globum Terrae nostrae densiorem esse, quam si totus 
ex aqua constaret, sic colligo. Si globus hicce totus esset aqueus, quae- 
cunque rariora essent quam aqua, ob minorem specificam gravitatem 
emergerent et supernatarent. Eaque de causa globus terreus aquis undique 
coopertus, si rarior esset quam aqua, emergeret alicubi, et aqua omnis 
inde defluens congregaretur in regione opposita. Et par est ratio Terrae 
nostrae maribus magna ex parte circumdatae. Haec si densior non esset, 
emergeret ex maribus, et parte sui pro gradu levitatis extaret ex aqua, 
maribus omnibus in regionem oppositam confluentibus. 

Eodem argumento (p) maculae solares leviores sunt quam materia 
lucida solaris cui supernatant. Et in formatione quahcunque planetarum 

C) 69. M^culcB solares. Si radii solares discumque SoHs langens, maculae orbitam secat, 

telescopio duobus vitris instructo excipiantur, et ducta T G C Solem quoque tangente, per 

locusque circumpositus obscuretur, inversa Solis Solis superficiem tantummodo progredi videre- 

imago supra chartam ad axem telescopii norma- tur, quandiu describeret arcum E G qui semi- 

lem pingitur, et maculie conspiciuntur, quae peripheria minor est, ideoque arcus ille tempore 

nunc emergere, nunc evanescere observantur. quod semi- periodo minus est, percurrcretur. Sed 

Macuias illas in materia solari supernatare vel ex observationibus notum est quamplures macu- 

saltem Soli quam proximas esse certum est. las duas aut tres integras periodos absolvisse 27 

Sit enim Sol in S, ex Tellure T visus sub an- dierum spatio atque 13 1 dies impendisse ut a 

gulo D T C 32'. Si macula orbitam aliquam limbo occidentali Solis ad limbum orientalem 

H E G H extra Solis superficiem describeret, pervenirent; illarum ergd macularum orbita 

non videretur Solis discum ingredi antequam ad vel in ipsa superficie solari extiterunt, vel Soli 

E pcrvenisset ubi recta T E D ex Tcrra ducta fuerunt proxima;. 



LiBER Tertius.] PRINCIPIA MATHEMATICA. 



41 



• Newtonus hic loci receptam opinionem se - 
quitur, maculas solares ipsi solari superficiei 
inhaerere; quae opinio his tribus argumentis 
nititur; 1°. Quod illee maculas in medio Solis 




disco latiores videantur quam juxta ejus limbum 
ubi angustissimae apparent ; et quidem hoc de- 
monstrat maculas eas non esse planetas rotun- 
dos, ut quidara volebant, sed esse corpora lata, 
non vero spissa, et a Sole non multum distare : 
nuilomodo tamen exinde probatur eas esse in 
ipsa superficie Solis: 2""^. Argumentum est, 
quod spatium quod maculae emetiuntur in me- 
dio disco Solis diurno spatio, sit proportionatum 
revolutioni ipsarum, quod raajus esse debuisset 
si forent cis Solem, sed rursus hoc arguraentum 
proximitatem macularum superficiei Solis, non 
vero earum ipsi superficiei Solis adhjerentiam 
probat. 

Denique asserit Keillius (Lection. Ast. V.) 
observationibus constare, maculas qua; integram 
revolutionem 27 dierum absolvunt, tredecim 
cum semisse dies impendere ut a limbo occiden- 
tali Solis ad orientalem perveniant, unde meri- 
to concludit quod ciim dimidium tempus periodi 
suae in transcurrendo Solis disco impendant, ip- 
sarum orbita in ipsa superficie solari extet. At 
Wolfius (Ast. n°- 413 ). Quoniam, inquit, ma. 
culae solares tribus circiter diebus diutius post 
Solem latent quam hemispha;rium nobis conspi- 
cuum peragrantes consumunt, Soli quidem 
proximae sunt, non ipsi tamen superficiei solari 
inhccrent, sed aliquam ab ea distantiam habent. 

Et quidem in astronomorum fastis quae in 
manibus venerunt, nunquam deprehendi, macu- 
lam per tredecim super discum Solis actu visam 
fuisse, nuUam reducem ante decimum quintum 
diem observatam; et quidem ciim anno 1739 
plurimae macula; Solis discum percurrerent, 



multasque ab ingressu ad egressum usque perse- 
querer, nuUa integros tredecim dies indiscoper- 
stare mihi visa est; cum autem quaestio haec 
tota, sit de facto, referam observationes duas quae 
accuratissime institutae videntur; desumetur al- 
tera e Transactionibus Fhilosophicis Anglicanis 
n. 294, altera e Diario Eruditorum ad annos 
1676. 1677. . 

" 15. Maii anni 1703 septempedali telescopio 
circa centrum Solis maculam detexit D""*- Stan- 
nyan : eamdem observavit diebus sequentibus, et 
22. Maii mane jam admodum vicinam limbo 
Solis eam vidit ; 23*. Maii hora sexta matutina 
appulerat ad ipsum limbum Solis, angusta et 
tenuis, similis aristse, et ejus distantia a limbo 
Solis non excedebat ipsius maculae parvam dia- 
metrum. Octava, deciraa, duodecimaque hora 
illam adliuc videbat ; secunda hora ipsi circum- 
ferentiae applicata erat, nec visibih's ipsi fuisset 
nisi tota die oculos in ipsam intentos habuisset ; 
quarta denique hora nullum ejus vestigium tele- 
scopio decem et octo pedum optimo apparebat, 
unde statuendum illam omnino e Sole exivisse 
hora 3^' post raeridiem 23«^- diei Maii. 

Tertia Junii et sequentibus diebus ad obser- 
vationes rediit noster, usus telescopio decem et 
octo pedum; tandem die septiraa Junii, hora 
tertia pomeridiana, eamdem maculam (ut postea 
certior ejus factus est) Solis discura subeuntem 
vidit ; hora quarta decem et octo pedura telesco- 
pio Sole lucidissimo eam distincte vidit, sed te- 
nuem admodura et elliptica atmosphaera cinctam, 
sequentibus vero diebus ex via cui institit, eam- 
dem esse quam prius viderat agnovit, et eam est 
persecutus sequentibus diebus, donec tandem 18. 
Junii tenuis apparere incepit, die vero decima 
nona ab hora 5^^' matutina eam observare caepit 
telescopio decem et octo pedum fere singulis 
semi-horis ; hora duodeciraa atmosphaera et sen- 
sibili latitudine spoliatam vidit, et adeo vicinam 
Solis limbo, ut vix inter ipsam et limbum Solis 
lucis radius perciperetur ; hora secunda evan. 
escebat, ita ut hora secunda cum semisse evanu- 
isse censenda sit. 

Ergo a 23. Maii hora tertia pomeridiana ad 
septiraam Junii eadem hora latuit raacula, per 
integros scilicet quindecira dies : ab eo terapore 
ad 1 9 discum pertransivit, per duodecim nempe 
dies." 

Altera observatio III""'* Cassini huic omnino 
congrua exslat in primo Eruditorum Diario anni 
1677., illic exhibet Cassinus figuram maculae 
qu£e 30. Octobris 1676. observari caepit, ev&*iuit 
Novembris 3^ Iterum conspicua facta est 
quindecim post dies, nempe 18^' Novembris ; 
evanuit vero post duodecim dies, nempe hora 
quarta diei 30®- Noverabris, observationibus 
magna cura institutis ad singulas fere horas, 
postea vero 15^*' Decembris hora meridiana cum 
semisse, telescopio 35. pedum in lirabo orientali 
Solis visa est, ut instar lineae obscurae nec aliis 
telescopiis observari poterat, sequentibus vero 
diebus facile videri potuit ; hinc per quindecira 
dies maculas latere, per duodecim dies Solis 
discum transcurrere liquet. 



42 PHILOSOPHL^ NATURALIS [De Mund. Syst. 

ex aqua, materia omnis gravior, quo tempo] e massa fluida erat, centrum 
petebat. Unde cum Terra communis suprema quasi duplo gravior sit 
quam aqua, et paulo inferius in fodinis quasi triplo vel quadruplo aut 
etiam quintuplo gravior reperiatur: verisimile est quod copia materise 
totius in Terra quasi quintuplo vel sextuplo major sit quam si tota ex 
aqua constaret ; praesertim cum Terram quasi quadrupio densiorem esse 
quam Jovem jam ante ostensum sit. Quare si Jupiter paulo densior sit 
quam aqua, hic (*i) spatio dierum triginta, quibus longitudinem 4-59 semi- 
diametrorum suarum describit, {^) amitteret in medio ejusdem densitatis 
cum aere nostro motus sui partem fere decimam. Verum cum resistentia 
mediorum minuatur in ratione ponderis ac densitatis, sic ut aqua, quae 
partibus 13f- levior est quam argentum vivum, minus resistat in eadem 
ratione ; et aer, qui partibus 860 levior est quam aqua, minus resistat in 
eadem ratione : si ascendatur in coelos ubi pondus medii, in quo pla- 
netae moventur, diminuitur in immensum, resistentia prope cessabit. 
Ostendimus utique in scholio ad Prop. XXII. Lib. II. quod si 
ascenderetur ad akitudinem milliarium ducentorum supra Terram, 
(^) aer ibi rarior foret quam ad superficiem Terrae in ratione 30 ad 

Ex quibus sequitur, sequalitatem temporum Si diameter Jovis dicatur D, V velocitas ejus 

occultationis et apparentias macularum, observa- sub initio motus, et T tempus quo velocitate V 

tionibus non constare ; quinimo rectius inaequa- in vacuo describet spatium S quod sit ad spatium 

litatem eorum temporum exinde deduci. Ut » d ut densitas Jovis ad densitatera aeris nostri, 

quardam quantitate a Solis disco distare maculas ^oc est, ut 860 ad 1 circiter Jupiter in aere nos- 

deducatur, et quidem cum difterentia temporum t^o projectus cum velocitate V tempore quovjs 

eorum sit circiter dierum trium, in singulo qua- _ t V 

drante erit horarum decem et octo, quo tempore alio t amittet velocitatis suae partem - . 

decem gradus circa Solis centrum macula. per- q^^^j^^ • -^^^ j -^^, intervallo 50 dier.tn- 

currunt ; sed smus versus decem graduum sunt *■ D 

15. centesimae radii ; hinc tandem deducetur gitudine 459 — describit, et densitas Jovis est 

quod semi-diameter Solis sit ad semi-diametrum ^ 

circull quem describunt maculi» ut 85 ad 100 ^d densitatem aens nostn ut 860 ad 1 circiter, 

sive ut 17 ad 20, et maculae quindecim circiter e^it 1 : 860= -^ D : S = ^^^D et459 H-; 

semi-diametris Terrae supra Solis superficiem " 3 ' 3 ' 'J ' 

emineant : Hinc idem Woifius eas esse nubes in ^ 6880 157600 _.. _. 

Solis atmosphaira elatas, conjectatur; quie qui- ^^ ^^^^> — ~^ D : 1 _ ^^^^ • 'Jnae si 

dem fuerat Kepleri sententia. 151570 

(^) * Spatio dierum trigiiita. Si arcus quem ponatur t = 50 dieb. erit T + t = ^^^ , 

Jupiter motu diurno medio circa Solem descri- j„»^ ^ 

bit, multiplicetur per 30 et factum dividatur per et = ■ = 0,09096 = — fere. 

semi-diametrum apparentem Jovis in mediocri ^^ ^ i ^ ^^"^.^'" ,v , 

ejus distantia a Terra, quotus erit numer.is Cum autem Jup.ter supponatur paulo densu.r 

semi-diametrorum Jovis quas intervallo 30 die- 9"«™ ^qua, mmorem adhuc velocitatis su<s 

rum describit. Potest etiam idem inveniri di- P^rtem amitteret m aere nostro. 

cendo : ut tempus periodicum Jovis ad 360 (') 70. * Acr ibi rarior foret. Si gravitas 

gradus, ita 30 dies ad arcum hoc tempore de- particularum aeris in omnibus a Terra distantiis 

scriptum,hic arcusdividaturper semidiametrum eadem sit, sintque distantiae in progressione 

apparentem Jovis, et quotus erit numerus semi- arithmetica, demonstratum est (in schol. Prop. 

diametrorum quas Jupiter 30 diebus describit. XXII. Lib. II.) densitates fore in progressione 

(J) * Andtteret in medio ejusdem deiisitatis. geometrica. Hinc patet In variis a Terra dis- 

(per schol. Prop. XL. Lib. IL circa sinem.) taniiis per logarithmicam exhiberi posse varias 



LiBER Tertius.] PRINCIPIA MATHEMATICA. 



43 



0,0000000000003998, seu 75000000000000 ad 1 circiter. Et (*) hinc 
stella Jovis in medio ejusdem densitatis cum aere ilio superiore revolven- 
do, tempore annorum 1000000, ex resistentia medii non amitteret motus 
sui partem decimam centesimam millesimam. In spatiis utique Terrae 
proximis, nihil invenitur quod resistentiam creet praeter aerem, exhala- 
tiones et vapores. His ex vitro cavo cylindrico diligentissime exhaustis 
gravia intra vitrum hberrime et sine omni resistentia sensibiU cadunt; 
ipsum aurum et pluma tenuissima simul demissa aequaH cum velocitate 
cadunt, et casu suo describendo altitudinem pedum quatuor, sex vel octo, 
simul incidunt in fundum, ut experientia compertum est. Et propterea 
si in coelos ascendatur aere et exhalationibus vacuos, planetas et cometae 
sine omni resistentia sensibih per spatia ilki diutissime movebuntur. 



aeris densitates. Sit enim F D B logarlthmlca, 
siimptis abscissis A C, A E, in progressione 
arithmetica, ordinataj A B, C D, E F densitates 




aeris in locis A, C, E, repraesentabunt {53. 
Lib. II.). Quare datis altitudinibus A C, A E, 

A B . . A B ^, 

et ratione ^ ^ , mnotescet ratio tr— ^. Nam 
C D E F 

(ex natura logarithmicae, per Cor. 2. Theor. II. 



de logarithmica) A C : A E = L. ^^ : 

tAB. AE_AB ^AB 

L.^, ideoque — L. ^^=L.^. 

Jam quia altitudines Mercurii in barometro 

sunt ut pressiones atmosphaeras in diversis ab 

horizonte distantiis (Prop. XX. Lib. II.). Si 

aeris 'densitas compressioni ponatur proportiona- 

lis, datis ahitudinibus Mercurii in barometro in 

locis A, C, dataque altitudine A E, dabitur alti- 

tudo Mercurii in barometro in loco E, ideoque 

nota erit densitas aeris in E. Ut autem haec 

omnia ad praesentem casum transferamus, sit 

G A H pars superficiei terrestris, altitudo Mer- 

curii in barometro in A = 30 po31. distantia 

A C = 2280 ped. Anglicis et altitudo Mercurii 

in barometro in C = 28 poll. quemadmodura 

Newtonus experimento cognitum supponit. Sit 

altitudo A E = 200 milliaribus hoc est = 

1056000 ped. Anglicis, si milliare sit mensura 

,,„ .AE,AB 105600() - 30 
ped. 5280, ent ^ L. ^^ = -^^ L. - 

= 13.8750613 circiter cui logarithmo fn ta- 
bulis respondet numerus 75000000000000 crit 
ergo densitas aeris in A, hoc est, in superficie 
Terrae ad ejusdem densitatem in distantla 200 
milliarium seu ped. 1056000 ut 75000000000000 
ad 1, circiter. 



(*) * Hinc stella Jovis. Densitas Jovis est ad densitatem aeris illius superioris ut 860 X 
75000000000000 ad 1. Hinc 1 : 860 X 75000000000000= f D : S = 17200000000000000 : 

T^.^D, .,,. lirr. 8600000000000000 
D, et 45 9 — est ad 1 7 200000000000000, ut anni pars duodecima seu — ad T = — , 

annis = 6300000000000 fere. Ponatur t = 1000000 annis, et erit pars motus amissa tempore t = 

_J 1000000. 1 1 , 

T 4- t "" 63000000000000 -f 1000000 ~ 6300000 + 1 "^ 6300000 ^^^' 



44. PHILOSOPHI^ NATURALIS [De Munt). Syst. 

HYPOTHESIS I. 

Centrum systematis mundani quiescere, 

Hoc ab omnibus concessum est, dum aliqui Terram, alii Solem in 
centro systematis quiescere contejidant. Videamus quid inde sequatur. 

PROPOSITIO XI. THEOREMA XI. 

Commune centrum gravitatis Terrce^ Solis et planetarum omnium quiescere. 

Nam centrum illud (per legum Corol. 4.) vel quiescet vel progredietur 
uniformiter in directum. Sed centro illo semper progrediente, centrimi 
mundi quoque movebitur contra hypothesin. 

PROPOSITIO XIL THEOREMA XIL 

Solem motu perpetuo agitari, sed nunquam longe recedere a communi gravi- 
tatis centro planetarum omnium. 

Nam cum (per Cor. 2. Prop. VIII.) materia in Sole sit ad materiam in 
Jove ut 1067 ad 1, et distantia Jovis a Sole fit ad semi-diametrum Solis 
in ratione paulo majore (f); incidet commune centrum gravitatis Jovis et 
Solis in punctum (") paulo supra superficiem Solis. Eodem argumento 
cum materia in Sole sit ad materiam in Saturno ut 3021 ad 1, et distantia 
Saturni a Sole sit ad semi-diametrum Solis in ratione paulo minore : inci- 
det commune centrum gravitatis Saturni et Solis in punctum {"") paulo 
infra . superficiem Solis. {J) Et ejusdem calculi vestigiis insistendo, si 
Terra et planetae omnes ex una Solis parte consisterent, commune om- 
nium centrum gravitatis vix integra Solis diametro a centro Solis distaret. 

(f) * Et distantia Jovis a Sole sit ad semi-dia- erit 3' 5" ; ideoque (per Tabiiliis Tangentium,) 

tnetrum Solis in ratione paulo majore, * cum basis ejus continebitur in ejus altitudine 1115 

semi-diameter Solis e Tellure visa sit 16' 4" et vicibus ; hinc distantia Jovis a Sole est ad semi- 

distantia Terra; a Sole sit ad distantiam Jovis a diametrum Solis, ut 1115 ad 1, idcoque in ra- 

Sole ut 10 ad 52 circiter, sintque anguli sub tione paulo majore quam ratio 1067 ad 1, hoc 

quo idem objectum videtur e diversis distantiis, est, quam ratio materiae in Sole ad materiam in 

reciproce ut illjB distantiae fere, erit 52 : 10 = Jove. 

16' 4" : ad semi-diametrum Solis e Jove visam, (") * Paido suprd svperjicicm Solis (60. 

quas itaque erit 3' 5" circiter: fingatur ergo Lib. !.)• 

triangulum rectangulum cujus vertex sit in Jove C) * Paulo ivfrd superficiem Solis (ibid.). 
et basis sit Solis semi-diameter, angulus verticis (^) * Et cjusdcm calcuU vestigiis (61. Lib. L). 



LiBER Tertius.] PRINCIPIA MATHEMATICA. 45 

(*) Aliis in casibus distantia centrorum semper minor est. Et propterea 
cum centrum illud gravitatis perpetuo quiescit, Sol pro vario plane- 
tarum situ in omnes partes movebitur, sed a centro illo nunquam longe 
recedet. 

CoroL Hinc commune gravitatis centrum Terrae, Solis et planetarum 
omnium pro centro mundi habendum est. Nam cum Terra, Sol et pla- 
netae omnes gravitent in se mutuo, et propterea, pro vi gravitatis suae, 
secundum leges motus perpetuo agitentur : perspicuum est quod horum 
centra mobilia pro mundi centro quiescente haberi nequeunt. Si corpus 
illud in centro locandum esset, in quod corpora omnia maxime gravitant 
(uti vulgi est opinio) privilegium istud concedendum esset Soli. Cum 
autem Sol moveatur, eligendum erit punctum quiescens, a quo centrum 
Solis quam minime discedit, et a quo idem adhuc minus discederet, si 
modo Sol densior esset et major, ut minus moveretur. 

PROPOSITIO XIII. THEOREMA XIII. 

Planetce moventur in ellipsibus umhilicum hahentibus in centro Solis, et 
radiis ad centrum illud ductis areas describunt temporihus proportionales, 

Disputavimus supra de his motibus ex phaenomenis. Jam cognitis mo- 
tuum principiis, ex his colligimus motus coelestes a priori. Quoniam pon- 
dera planetarum in Solem sunt reciproce ut quadrata distantiarum a centro 
Solis; si Sol quiesceret et planetae reliqui non agerent in se mutuo, 
forent orbes eorum elliptici, Solem in umbilico communi habentes, et 
areae describerentur temporibus proportionales (per Prop. I. et XI. et 
Corol. 1. Prop. XIII. Lib. I.) actiones autem planetarum in se mutuo 
perexiguae sunt (ut possint contemni) et motus planetarum in ellipsibus 
circa Solem mobilem minus perturbant (per Prop. LXVI. Lib. I.) quam 
si motus isti circa Solem quiescentem peragerentur. 

Actio quidem Jovis in Saturnum non est omnino contemnenda. Nam 
gravitas in Jovem est ad gravitatem in Solem (paribus distantiis) (^) ut 1 

(^) * Aliis in ccslbus. Si nempe ad diversas sui diametro a centro quiescente systematis totius 

Solis partes planeta; consistant, ccntrum gravita- recedet. Q.uia vero Solis et planetarum ponde- 

tis niodo versusunam partcm, modo versus alte- ribus (per Cor. 1. Prop. VIII.) inventis, datO' 

ram incidit, hinc centrum gravitatis quasi medio que situ omnium ad invicem, datur commune 

loco iis casibus poni debet, minor itaque fit cen- gravitatis centrum (61. Lib. I.) patet quoque 

trorum distantia. dato communi gravitatis centro haberi locum 

71. Quoniam Sol pro diverso planetarum situ Solis ad tempus propositum. 

diversimode agitatur, motu quodam libratorio (^) * Ut \ ad 1067 (Cor. 2. Prop. VIII.). 
lente semper errabit, nunquam tamen integra 

VoL. III. F 



46 PHILOSOPHI^ NATURALIS [De Mund. Syst. 

ad 1067; ideoque in conjunctione Jovis et Saturni, quoniam distantia 
Saturni a Jove est ad distantiam Saturni a Sole fere ut 4 ad 9, {^) erit 
gravitas Saturni in Jovem ad gravitatem Saturni in Solem ut 81 ad 
16 X 1067 seu 1 ad 211 circiter. Et hinc oritur perturbatio orbis 
Saturni in singulis planetas hujus cum Jove conjunctionibus adeo sensi- 
bilis ut ad eandem astronomi haereant. {^) Pro vario situ planetse in his 
conjunctionibus, eccentricitas ejus nunc augetur, nuiic diminuitur, aphe- 
lium nunc promovetur, nunc forte retrahitur, et medius motus per vices 
acceleratur et retardatur. ('^) Error tamen omnis in motu ejus circum 
Solem a tanta vi oriundus (praeterquam in motu medio) evitari fere potest 
constituendo umbilicum inferiorem orbis ejus in communi centro gravi- 
tatis Jovis et Solis (per Prop. LXVII. Lib. I.) et propterea ubi maximus 
est, vix superat minuta duo prima. Et error maximus in motu medio 
vix superat minuta duo prima annuatim. (^) In conjunctione autem 
Jovis et Saturni gravitates acceleratrices Solis in Saturnum, Jovis in 

Saturnum et Jovis in Solem sunt fere ut 16, 81 et 16 X 81 X 3021 ^^^^ 

25 

156609, ideoque differentia gravitatum Solis in Saturnum et Jovis in 

Saturnum est ad gravitatem Jovis in Solem ut 65 ad 156609 seu 1 ad 

2409. Huic autem differentiae proportionalis est maxima Saturni effi- 

cacia ad perturbandum motum Jovis, et propterea perturbatio orbis 

Jovialis longe minor est quam ea Saturnii. Reliquorum orbium pertur- 

bationes sunt adhuc longe minores (^) prL .erquam quod orbis Terrse sen- 

sibiliter perturbatur a Luna. (^) Commune centrum gravitatis Terrae et 

Lunee, ellipsin circum Solem in umbilico positum percurrit, et radio ad 

Solem ducto areas in eadem temporibus proportionales describit, Terra 

vero circum hoc centrum commune motu menstruo revolvitur. 



('') * Erit gravitas Saturni in Joveir (Prop. (*) * In conjunctione autem Jovis. ^ Quoniam 

VI II.). in conjunctione Jovis et Saturni, distantia Sa- 

{^) * Fro vario situ planeta;. Saturnum his turni a Sole, Saturni a Jove, et Jovis a Sole sunt 

perturbationibus obtioxium esse patet (per Cor. inter se ut 9, 4 et 5, circiter, gravitates accelera- 

6. 7. 8. 9. Prop. LXVI. Lib. L). trices Solis in Saturnum, Jovis in Saturnum et 

fA\ * Error tamen omvis. Si ad evitandum ^ . . „ , * . 4. ^ ^ „*^^-^ /^ni.r^^^ 

omnim fere errorem, orbis Saturni umbilicus Jov.s m Solem erunt ut -, - et — (per Cor. 

(per Prop. LXVII. Lib. I.) locetur in com- j^ p^op. VIII.) hoc cst, ut 16, 81 et 

muni centro gravitatis Jovis et Solis, theoria if, y^ 81 X 3^21 

Saturni juxta hanc liypothesim constituta satis — • 

accurate congruit cum pha?nomenis, ita ut error " 

qui ex hac hypothesi oritur, ubi maximus est, (^) * Prcptcrquam quod orbis Terra». Urbem 

vix superet minula duo prima, et error maximus Terrae scnsibihter perturbari a Luna ostendetur 

in motu medio vix minutis duobus primis annu- deinceps ubi vis Lunac defimetur. 

atim major observetur. Ilinc non parum con- . . 

firmantur ea qUa; de mutua planetarum pertur- («) * Commune crntruni gravitatis lerra et 

batione hactenus dicta sunt. Lunce. (Prop. LXV. Lib. I.) 



LiBER Tertius.] PRINCIPIA MATHEMATICA. 



47 



PROPOSITIO XIV. THEOREMA XIV. 

Orbium aphelia et nodi quiescunt. 

Aphelia quiescunt, per Prop. XI. Lib. I. ut et orbium plana, per ejus- 
dem Libri Prop. I. et quiescentibus planis quiescunt iiodi. Attamen a 
planetarum revolventium (^) et cometarum actionibus in se invicem orien- 
tur inaequalitates aliquae, sed quae ob parvitatem hic contemni possunt. 

Corol. l. Quiescunt etiam stellas fixae, propterea quod datas ad aphelia 
modosque positiones servant. 

Corol. 2. Ideoque (') cum nulla sit earum parallaxis sensibiHs ex Terrae 
motu annuo oriunda, vires earum ob immensam cotporum distantiam 



C^) * Et cometarum actionihus. Eodera 
prorsus modo quo planetae in se invicem agunt ; 
patet quoque cometas in alios planetas agere 
similesque effectus producere, sed cum observa- 
tiones astronomicae ostendant apbeliorum nodo- 
rumque motum esse tardissimum, ob parvitatem 
contemni possunt insqualitates quaj ex planeta- 
rum et cometarum actionibus in se invicem ori- 
untur. 

(*) * 72. Cum nulla sit earum parallaris. In 
hypothesi TerrEe motae, quiescentibus Sole et 
stellis, Tellus integram revolutionem absolvit 



ticae plano ad distantiam quamlibet constituta; 
sit A B C D orbis annuus, ponaturque Teilus 
primiim in loco A, deinde.post sex menses per- 
veniat ad locum C in quo distet a loco A tota 
dlametro orbis annui ; hoc est, 20000 'lerrae 
diametris cjrciter, ita ut anguli F S A, F S C 
sint recti, stella F ex Tellure A visa respondebit 
puncto E, quod ad distantiam infinitam a Terra 
removeri supponitur. Deinde eadem stella ob 
motum Terras ab A versijs B, progredi videbitur 
ab E versiis G, donec Tellure perveniente ad C 
stoHa videatur in H, distans scilicet e loco inquo 
ante sex menses versabatur, toto arcu E H, cu- 
jus mensura est angulus E F H vel A F C. 
Hujus anguli semissis A F S, est parallaxis or- 
bis annui ex Terrje motu annuo oriunda. Dato 
autem angulo A F S, facile invenitur distantia 
stellae fixic a Terra A F, si fiat, ut sinus anguli 
A F S, ad sinum totum, ita, A S semi-diameter 
orbis annui, quae est 10000 diametrorum Terr£B 
circiter ad A F, Jam vero patet cx Telluris 
annuo motu oriri debcre translationem fixarum 
inter se parallaxi duplicatae circiter aqualem. At 
stellae majores et propiores respectu remotiorura 
quae telescopiorum ope duntaxat conspici possunt, 
moveri non observantur. Nulla est itaque fixa- 
rum parallaxis sensibilis ex Terraj motu annuo 
oriunda, ideoque immensa est fixarum a Tellure 
distantia. Sive autem Terra moveatur, sive 
quiescat, stellas fixas immensis intervallis a Ter- 
ra distare certissimum est, nam parallaxim an- 
nuam minuto primo longe minorem esse con- 
sentiunt omnes astronomi. Fingamus vero an- 
nuam fixae alicujus proximioris parallaxim esse 
uniiis minuti primi, a Tellure distabit stella iila 
3437 senii-diametris orbitae quam describit Ter- 
ra, siquidem sinus unius minuti est ad radium ut 
1 ad 5457, et si semi-diameter orbita; sit 20000 

spatio 23. hor. 56'. 4''. clrciter, et circa Solem semi-diametrorumTerra?, adminimum G8 740000 

revolvitur unius arini intervallo ; circulumque Terrae ipsius semi-diametris distabit iixa a Tel- 

describit qui ecliptica vel orbis annuus appella- lure. 

tur Referat S Solem, sit F stella fixa in eclip- 75. Christianus Hugenius in Cosmotheoriae Lib. 

F2 




48 



PHILOSOPHIiE NATURALIS [De Mund. Syst. 



luillos edent sensiblles efFectus in regione systematis nostri. Quinimo 
fixae in omnes cceli partes sequaliter dispersae contrariis attractionibus 
vires mutuas destruunt, per Prop. LXX. Lib. I. 

Scholium, 

Cum planetae Soli propiores (nempe Mercurius, Venus, Terra, et Mars) 
ob corporum parvitatem parum agant in se invicem; horum aphelia et 
nodi quiescent, nisi quatenus a viribus Jovis, Saturni et corporum superi- 
orum turbentur. (*) Et inde colligi potest per theoriam gravitatis, quod 



/E 



^i:::::... 



II. aliam excogitavit methodum qua rationem 
distantia; fixarum ad distantiara Solis conjectan- 
tando investigaret. Supponit itaque Sirium, 
quae stella est inter alias fulgentissima, Soli cir- 
citer aequalem esse. Deinde tentavit qua ratione 
Solis diametrum ita imminuere posset ut non ma- 
jor aut splendidior Sirio appareret. Quod ut 
assequeretur, tubi vacui duodecim circiter pedes 
longi aperturam alteram occlusit lamclla tenuis- 
sima in cujus medio tam 
exiguum erat foramen ut 
lineae partem duodecimam 
non excederet ; oculoque 
alteri aperturje admoto, ca 
videretur Solis particula 
cujus diameter erat ad dia- 
metrum totius ut 1 ad 
1 82. Ciim vero particula 
illa Sirio splendidior adhuc 
appareret, foramine glo- 

bulum vitreum ejusdem cum foramine diametri 
objecit, talisque foci globuhim selegit ut lux 
Soiis ad oculum transmissa non major aut splen- 
didior videretur ea quam a Sirio emissam nudis 
oculis intuemur. Quo facto, hujus particulae 

Solis diametrum invenit partem - diame- 

tri totius. Quare Sol instar Sirii appareret, si 
conspicua foret pars diametri totius solaris tan- 

tiim , distantia autem Solis a Terra, in qua 

27664' 
tantillus videretur, foret ad distantiam m qua 
ejus diametrum apparentem intuemur ut 27664 
ad 1, divisaque apparente SoUs diametro medio- 
cri per 27664, foret diameter Solis 4"' circiter. 
Hinc Sirii quoque distantia a Terra est ad dis- 
tantiam Solis ab eadem ut 27664 ad 1 et diame- 
ter apparens Sir.ii 4'". Jam dislantia Solis a 
Terra, si parallaxis Solis ponatur 10" 30'" est 
fere 20000 semid. terrestrium, erit ergo distantia 
Sirii 553280000 semid. terrestr. Si vero dis- 
tantiam mediam Saturni a Terra constitu- 
amus 190800 semid. terrestr. prodit distantia 
inter Saturnum et Sirium 553089200 semid. 
terrestr. 

(*) 74. * Et mde coUigi potest. Dcsignet S 



planetam aliquem superiorem, puta Jovem, cu- 
jus orbita E S E ; sit T Sol, P planeta aliquis 
mfcrior ; ponaturque corporam S, P, ah*orumve 
plurium systema revolvi circa corpus T manen- 
tibus orbium E S E et P A B forma, propor- 
tionibus et inclinatione ad invicem, mutentur 
vero utcumque magnitudines, et per Tlieoriam 
gravitatis coIHgitur (Cor. 15. et 16. Prop. 
LXVL et not, in eadem Corollaria) errores an- 




gulares corporis P in quavis revolutione genitos, 
ideoque et motus aphelii in qualibet revolutione 
corporis P esse ut quadratum temporis periodici 
quam proxime. Si itaque numerentur illi er- 
rores, in variis planetis P durante eodem deter- 
minato tempore, per centum v. gr. annos, ut 
hic assumit Newtonus, errores integri^ eo tem- 
pore descripti erunt ut errores singula revolu- 
tione commissi et ut numerus revolutionum sa^- 
culo integro peractarum, ille numerus rWoIutio- 
num est inverse ut tempus periodicum, et errores 
(qui sunt, ut dictum est, directe ut quadratum 
temporis periodici) ergo errores apheliorum du- 
rantibus centum annis erunt in simplici tempo- 
rum periodicorum ratione. Sed tempora perio^- 
dica planetarum P sunt in ratione sesquiplicata 
distantiarum a centro T (per Phaen. 4.). Sunt 
ergo errores planetarum inferiorum in hac 
ratione sesquiplicata distantiarum a centro 
Solis. Quare si ponalur eum esse aphelii 
Martis progressum ut in annis centum con- 
ficiat 55' 20" in consequentia respectu fixa- 
rum, invenietur motus aphelii aliorum plane- 
tarum qualis a Newtono definitur, dicendo : ut 
radix quadrata cubi distanliae Martis ad radi- 
cem quadratam cubi distantiae Terra; a Sole, ita 
3S' 20" ad motum aphelii Terrae annis centum. 



LiBER Tertius.] PRINCIPIA MATHEMATICA. 



49 



horum aphelia moventur aliquantulum in consequentia respectu fixarum, 
iclque in proportione sesquiplicata distantiarum horum planetaruin a Sole. 



Quamvis autem ex ipsa gravitatis th^oria coUiga- 
tur planetarum infericrum aphelia nunc promo- 
veri, nunc retrahi, medios tamen apheliorum 
motus notabili aliquo tempore in consequentia 
iieri, patet ratiocinio simili illi quod de Luna 
factum est in nota {^) pag. 18. hujusce, unde facile 
constabit revera medium motum resultantem 
post centum annos esse ut ipsa tempora periodi- 
ca, ideoque iu ratione sesquiplicata distantiarum 
a Sole, secundum ea quae dicuntur in Cor. 16. 
Prop. LXVI. Lib. 1., &c. De prcesenti scho- 
lio haec dicta sint. Sed proetermittenda non sunt 
verba doctissimi viri Joannis IBernoullii cujus 
autlioritatem maxime veneramur. Sic fere ha- 
bet clariss. autor in Dissertatione de Syste- 
mate Cartesiano quae anno 1730. ab Academia 
llegia Scientiarum praemio condecorata fuit, 
Paragrapho XLI. *' (Nevvtonus supponit mo- 
" tum aphelii Martis in consequentia eum esse 
" ut centum annorum spatio 33' 20". conficiat. 
*' Hinc coUigit per theoriam giavitatis quod 
" aliorum planetarum inferiorum apheha mo- 
" ventur in consequentia respectu fixarum, id- 
" que in proportione sesquiplicata distantiarum 
*' horum planetarum a Sole. NuUo fundamento 
*' meraque apparentia nixus videtur Newtonus 
" in constiuienda hac ratione sesquipUcata. 
" Neque enim inteUigo, neque ut arbitror, plures 
" aUi me ipso perspicaciores inteUigunt, quare 
*' mutua planetarum gravitatio, etiamsi conce- 
" deretur, hanc proportionem postulet. Et certe 
" haec eadem gravitatio plane irregularem efFec- 
** tum et suae regulae contrarium producit re- 
*' spectu apheUi Saturni, ciam Newtonus ipse 
" statuat in conjunctione Jovis et Saturni aphe- 
" Uum illud nunc promoveri, nunc retrahi. 
" Numquid de singuUs planetis inferioribus idem 
** quoque statuendum videretur. Nam si taUs 
*' admittenda foret attractio, TeUus v. gr. ubi in 
*' apheUo versatur, Jovemque respectu zodiaci 
*' praecedit, retraheretur, et contra promoveretur 
" ubi Jupiter TeUurem praecederet. Unde haec 
*' gravitqj^o contrarios omnino effectus ante et 
" post conjunctionem TeUuns et Jovis produ- 
'* ceret. Sed nil tale observatur, idque ex sua 
'* hypothesi Newtonus minime coUigit, sicut fa- 
** cere deberet.") 

* Ex praedictis autem facile responderi posse 
videtur viri doctissimi quajsitis. 

1°. Enim concessa planetarum gravitatione, 
motum apheUorum planetarum inferiorum se- 
cundijm proportionem sesquipUcatam distantia- 
rum fieri debere, mathemaUce sequitur ex Corol. 
16. Prop. LXVI. Lib. I. ut supra ostensum 
est, iUud autem CoroUarium 16. tam ex sec- 
tione nota Lib. I. quam ex ipsa Prop. LXVI. 
legitime deduci, ex ipso Newtono notisque iUis 
locis adjectis probatum credimus. 

2°. Quod queritur V. D. earadem gravitatio- 
ncm contrarium efiectum regulae suaj produ- 

F 



cere respectu apheh'i Saturni, id vitio vcrtendum 
non est systemati Newtoniano, quin e contra 
egregia procul dubio est ejus confirmatio. 
Quippe eo ipso quod Saturnus caeteris planetis 
sit exterior, ex systemate Newtoniano fluit vim 
SoUs in Saturnum agentem augeri per vim pla- 
netarum interiorum in conjunctione, unde aphe- 
Uum ejus debet regredi per Prop. XLV. (quod 
in Saturno observari, cx ipso Cassino didicimus, 
ut superius nota (^) pag. 17. retuUmus) dum e 
contra apheUa planetarum interiorum per vim 
exteriorum in conjunctione positorum progredi 
debeant. 

3°. Queritur denique quod apheUa planeta- 
rum inferiorum nunc retrahi, nunc promoveri 
debeant, quod tamen non observatur ; sciUcet 
Newtonus statuit quidem apheUa planetarum in- 
feriorum in syzygiis promoveri, in quadraturis 
retardari, plus promoveri vero quam retardari, 
unde in totum progredi videntur; apheUi autem 
ea veluti Ubratio observabilis non est; etenim 
qui praxi astronomicae operam dant, facile sen- 
tiunt loca apheUorum ita non determinari, ut 
nutatio apheUi in singuUs orbitae partibus obser- 
vatione obtineatur ; imo post plures duntaxat re- 
volutiones satis tuto apheUi progressum inveniri, 
ipsae methodi ad eas observationes adhibitse do- 
cent ; hinc, ad observationes provocare non Ucet 
ut illam nutationem vel veram vel fictitiam esse 
probetur, siquidem observationes hac de re nihil 
docere nos possunt. 

Addit vero, Tellus nhi in aphelb versatur 
Jovemque respectu zodiaci prcecedit, retraherelurj 
et contra promoveretur ubi Jupiter Tellurem prts- 
ccderet, unde gravitas contrarios cffectus produ- 
ceret ante et post conjunctionem Telluris et 
Jovis : si in hoc exemplo agatur de motu Tel- 
luris in longum, haec revera fluunt ex gravita- 
tionis systemate, et revera in Luna inde produci- 
tur ea inaequaUtas quae variatio dicitur, astrono- 
mis notissima ; similem injequaUtatem in Terra 
non quidem observarunt astronomi quia minima 
esse debet per ipsam gravitationis naturam, et 
cum sese utrinque compenset, nuUum sui reUn- 
quit vestigium ; quod si in hoc exemplo de motu 
apheUi Terrae agatur ut ex sermonis serie quis 
forte suspicaretur, res fieri non debet ut hic indi- 
catur, nam in tota syzygia apheUum TeUuris 
progredi debere, et in quadratura duntaxat re- 
gredi, Uquet per Prop. XLV. et XLVI. Primi 
Libri. 

Quas quidem adnotationes ca mente non 
adjungimus ut quidquam derogetur summ£c 
viri iUustrissimi apud omnes (piXof/.u.inf/.a.TtKov; 
authoritati. Sed cum Newtonus brevitaie sua 
occasionem dederit V. lU. dicendi, eum nuUo 
fundamento meraque apparentia proportionem 
moliis apheUorum statuisse, hac nota ipsi inusta 
eum purgare et veritas et Commentatoris of- 
ticium pobtulabant. 



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PHILOSOPHI^ NATURALIS [De Mund. Syst. 



Ut si aphelium Martis in annis centum conficiat 33'. 20'^ in consequentia 
.respectu fixarum, aphelia Terrae, Veneris, et Mercurii in annis centum 
conficient 17'. 40'', 10', 53", et 4'. 16" respective. Et hi motus, ob 
parvitatem, negliguntur in hac Propositione. 

PROPOSITIO XV. PROBLEMA I. 

Invenire orbium prijtcipales diametros. 

Capiendae sunt hae in ratione subsesquiplicata temporum periodicorum, 
per Prop. XV. Lib. I. (^) Deinde sigillatim augendae in ratione summae 
massarum Solis et planetse cujusque revolventis ad primam duarum 
medie proportionaHum inter summam illam et Solem, per Prop. LX. 
Lib. I. 

PROPOSITIO XVI. PROBLEMA IL 

Invenire orhium eccentricitates et aphelia. 



(^) Problema confit per Prop. XVIII. Lib. L 



(*•) Deinde sigillatim. Jam capti sunt orbium 
axes majores in ratione subsesquiplicata tempo- 
rum periodicorum, nempe nulla habita ratione 
massarum, planetae spectati sunt tanquam toti- 
dem puncta in ellipsibus circa immotum in ura- 
bilico Solis centrum revolventia. Quoniam vero 
fit ut propter Solis et planetae actiones mutuas, 
planeta ellipsim describat cujus focus est com- 
mune gravitatis centrum planetae et Solis, major 
axis ellipseos quam planeta describit circa Solem 
qui ipse simul revolvitur circa commune cen- 
trum gravitatis, est ad axem majorem ellipseos 
quam idem planeta circa Solem quiescentem eo- 
dem tempore periodico describere posset, in ra- 
tione summae massarum Solis et planetae ad 
primam duarum medie proportionalium inter 
summam illam et Solem (Prop. LX. Lib. L) 
ideoque ut axis major orbitae corrigatur, augen- 
dus est in dicta ratione. Datur autem ratio in- 
ter massas Solis et planetarum, ac proinde datur 
ratio in qua orbitarum axes majores sunt augen- 
di. Vide de his not. 64. hujus Libri. 

(*=) 75. * Problema confit. Sit S Sol, sintque 
planetae loca tria P, p, ?r e Sole visa, et data sit 
recta B A axis major ellipseos, describatur (per 
Prop. XVIII. Lib. I.) ellipsis cujus umbilicus 
est S et axis major A B, quod fit, si ex axe B A 
demantur longitudines S P, Sp, S t et cum re- 
siduis arcus ex punctis P, p, -r describantur, in- 



tersectio horum trium arcuum erit alter focus 
ellipseos, quo invento orbita planetae determina- 
bitur, simulque dabitur distantia Solis a centro 




ellipseos, hoc est, excciitricitas, notumque erit 
ellipseos punctum a Sole remotissimum, id est, 
aphelium. 



LiBER Tertius.] PRINCIPIA MATHEMATICA. 



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PROPOSITIO XVII. THEOREMA XV. 

Planetarum /motus diurnos uniformes esse, et librationem Lunce cx ijjsius 

motu diurno oriri. 

Patet per motus legem 1. et Corol. 22. Prop. LXVI. Lib. I. Jupi- 
ter utique respectu fixarum revolvitur horis 9. 56' , Mars horis 24«. 39'. 
Venus horis 23. circiter, Terra horis 23. 5Q', Sol diebus 25J et Luna 
diebus 27. 7. hor. 43'. Haec ita se habere, ex phaenomenis manifestum 
est. C^) Maculae in corpore Solis ad eundem situm in disco SoUs redeunt 



Quia vero problema illud supponit data esse 
tria planetae loca centrica, hoc est, ex Sole visa, 
datasque eorum a Sole distantias, hie adjunge- 
mus methodum qu» clariss. Halleius ex dato 
tempore periodico, planetas locum centricum 
ejusque a Sole distantias invenire docuit. Re- 
ferat T t A orbitam Telluris, S Solem, sitque P 




planeta seu potius locus planetse ad eclipticam 
reductus, sive punctum ubi perpendicularis ex 
planeta in planam eclipticac demissu incidit. 
Ponatur Tellus. ia T, observeturque planetae 
longitudo geocentrica, ex data theoria Telluris, 
dabilur longitudo apparens Solis, ideoque dabi- 
tnr angulus P T S. Post integram planetae re- 
volutionem, planeta rursus erit in P, quo tem- 
pore Tellus sit in t, ex eo puncto iterum obser- 
vetur planeta, inveniaturque angulus P t S 
elongatio planetae a Sole. Ex datis observa- 
tionum momentis, dantur loca Telluris in eclip- 
tica e Sole visa ejusque a So)e distantiae, ac pro- 
inde in triangulo t S T, dantur latera t S, S T 
et angulus t S T, quare invenientur anguli S t T, 



S T t et latus t T. Si itaque ab angulis datis 
P T S et P t S, auferantur anguli noti t T S, 
T t S, dabuntur anguli P T t et P t T ; unde in 
triangulo P t T ex datis angulis una cum latere 
T t, innotescet P T. Deinde in triangulo 
P T S, dantur latera P T, T S cum angulo in- 
tercepto P T S, ideoque dabitur S P, qua; dis- 
tanlia planetae a Sole curtata appellatur, et notus 
fiet angulus T S P, ex quo dabitur locus plane- 
tae heliocentricus. Est autem (ex trigon.) tan- 
gens latitudinis gcocentricae planetae ad tangen- 
tem latitudinis heliocentricae ut distantia planet£e 
a Sole curtata ad distantiam ejusdem a Tellure 
curtatam, sed per observationem, nota est latitu- 
do geocentrica planetae, quare innotescet planetae 
latitudo heliocentrica ex qua simul et distantia a 
Sole curtata elicietur planetae a Sole vera dis- 
tantia, et simili modo vera distantia planetaj a 
Terra, unde tandem in triangulo cujus tria 
puncta suut Sol, Terra et planeta, omnia latera 
sunt cognita. Hac ratione obtineri possunt 
varia loca centrica planetee, varioeque a Sole dis- 
tantias. 

Cajterum haec fuse variisque adhibitis metho- 
dis, explicata reperiuntur in Introductione ad 
Veram Physicani Joannis Keill, in Astronomia 
Physica Davidis Gregorii, et potissimum in 
Elementis Astronomicis a clariss. Cassino nu- 
per editis. 

(<*) * MaculcB in corpore Solls. Cum revolutio 
macularum circa Solem sit admodum regularis, 
et macul£E ipsae vel Soli supernatent vel a Sole 
parum distent (69) non maculae circa Solem, 
sed Sol ipse '25| dierum spatio circiier, circa 
proprium axem motu vertiginis movetur. Jo- 
vem, Venerem et Martem circa axem suum gy- 
rare ex maculis quoque in horumce planetarum 
corporibus per vices in conspectum redeuntibus 
colligitur. In Mercurio autem qui Soli proxi- 
mus est, ob nimium luminis splendorem, et in 
Saturno ob maximam ejus a 'lerra distautiam 
maculae nullae hactenus deprehendi potuerunt 
quibus determinaretur eorum vertigo. Attamen 
nil obstat quominus ex analogiae lege colligamus 
Mercurium quoque et Saturnum circa axem 



F4 



52 



PHILOSOPHI.E NATURALIS [De Mund. Syst. 



diebus 27 J circiter, respectu Terrae ; ideoque respectu fixarum Sol revol- 
vitur diebus 25 J circiter. Quoniam vero Lunas circa axem suum unifor- 
miter revolventis dies menstruus est, hujus facies eadem ulteriorem 
umbilicum orbis ejus (^) semper respiciet quamproxime, et propterea pro 



suum gyrare. Macularum solarium theoriam 
elegantissime exposuerunt clariss. D. De Ljsle 
in Libro cui titulus, Monumenta quae ad Astro- 
nomiaj Physicae et Geographiae progressum con- 
ducunt, saepeque laudatus D. Cassinus in Ele- 
mentis Astronomicis. De macuhs Veneris, ejus- 
que circa axem revolutione, quaedam inter astro- 
nomos est lis ; a Cassino parte 23 horis et 20' 
absolvi, ex macula sive potius splendore quodam 
in disco Veneris notabili annis 1666, 1667 com- 
pertum fuerat, non ita tamen tuto, ipse enim 
scribebat de motu Veneris, referente ipsius filio ; 
debiles adeo et confusas esse Veneris maculas ut 
earum terminos accurate notare non liceat, unde 
utrum aliquis sit Veneris motus, per eas determi- 
narefrustra quceritur. Anno vero 1726. D°"*. 
Bianchinus maculas Veneris lunaribus similes 
diu est persecutus, earumque rcvolutionem 24 
diebus 8. horis absolvi deduxit, circa axem ad- 
modum obliquum eclipticae ; in suam autem sen- 
tentiam D""'". Cassinum filium non adduxit, 
quia apparenti£e a D"°. Bianchino observatae per 
motum 23 horarum explicari poterant, dum pa- 
rentis observationes, cum hypothesi revolutionis 
24 dierum et 8. horarum consentire non pos- 
sent ; hinc quaestio in medio remansit non facile 
solvenda, maculae enim Veneris nonnisi coelo 
purissimoobservari possunt, etLutetice nequidem 
cum maximis telescopiis videri potuisse narrat 
idem ill. Cassinus fihus. 

(^) 76. Semper respiciet quamproxime. Sit 
orbita Lunae ellipsis A L B A, in cujus umbi- 
lico T locatur Terra, ductus ex umbilico radius 
vector areas ellipticas temporibus proportionales 
describit (Prop. I. Lib. I.); demissis autem a 
duobus quibusvis in ellipseos peripheria punctis 
ad alterum umbilicum F rectis L F, 1 F, angu- 
lus L F 1 erit quamproxime ad quatuor rectos 
sicut tempus quo arcus L 1 a Luna describitur 
ad integrum tempus periodicum Lunas, si elHp- 
sis sit parum excentrica. Jam referat L M me- 
ridiani lunaris, hoc est, circuli per axem conver- 
sionis Lunae plaimm, quod productum transeat 
per F, idem planum in quocumque orbitse ellip- 
ticas puncto locetur Luna, productum quoque 
per F transibit. Quoniam enim Luna circa 
axem suum uniformiter revolvit eodem tempore 
quo circa Tellurem periodum suam absoivit, 
patet meridiani planum quod Lima existente in 
L situm L M obtinebat, dum Lunae centrum 
aliud quodvis punctum 1 attigit, ad talem situm 
1 E pervenisse, ut posita 1 m parallela ad L M, 
angulus m 1 li sit ad quatuor rectos sicut tem- 
pus quo Luna arcum L I percurrit ad integrum 
tempus periodicum Luna;, ideoque (Prop. XI. 
Lib. V. Elem.) angulus m 1 E est ad quatuor 



rectos sicut L F 1 ad quatuor rectos, ac proinde 
angulus m 1 E ajqualjs est angulo L F 1, et ob 
rectas L F, I m parallelas jacebit 1 E in dircc- 
tura ipsi 1 F, hoc est, ubi Luna in 1 versatur, 




ejusdem meridiani planum quod in priori situ L 
productum etiamnum transit per F. Quare in 
quocumque lunaris orbitae puncto centrum Lunae 
occurrat, productum ejusdem meridiani planum 
transit per F. 

His praemissis patet eandem fere Lunae faciem 
semper ad Terram converti easdemque fere lu- 
nares maculas observatori terrestri apparere. 
Cum enim productum ejusdem meridiani pla- 
num per alterum orbitae lunaris focum F tran 
seat, sitque lunaris orbita parum excentrica, hoc 
est, non multum distent umbilici F et T, eadem 
quamproxime Lunae facies Terrag obvertuur. Si 
vero accurate observatis lunaribus macuhs, Lu- 
nae facies ad Terram conversa diligentius consi- 
deretur, non eadem praecise facies a nobis vide- 
bitur. Quoniam enim ejusdem meridiani pla- 
num L M non ad Terram T, sed ad alterum 
focum F dirigitur, patet Lunae in L existentis 
hemisphaerium e Tellure T visum, aliquantulum 
esse diversum ab illo quod videtur, dum Luna 
reperitur in 1 ; nam pars hcmisphaerii lunaris 
versus plagam B quae antea occultabatur fit con- 
spicua, et contra pars hemisphaerii alterius ver- 
siis R quae antea apparebat, oculis evanescit; 
motus hic Lunae e Terra apparens, quo fit ut 
quaedam maculae in partem a Terra aversam se 
recipiant, dum aliae ex parte aversa in conspec- 
tum prodeunt, libratio Lunae in longitudinem 
appellatur. Librationem hanc bis in quolibet 



LiberTertius.] PRINCIPIA MATHEMATICA. 



53 



situ umbilici illius deviabit hiiic inde a Terra. Haec est libratio Lunse in 
longitudinem : Nam (^) libratio in latitudinem orta est ex latitudine Lunae 
et inclinatione axis ejus ad planum eclipticae. Hanc librationis lunaris 
theoriam (^) D. N. Mercator in Astronomia Sua, initio anni 1676 edita, 



mense periodico restitui manifesttlm est, quando 
nempe Luna in apogaeo A aut perigaeo B versa- 
tur; in utroque enim situ ejusdem meridiani 
planum quod protensum in F incidit, transit 
etiam per T. Cajterum ha;c libratio omnibus 
inaequalitatibus obnoxia est quibus aflficitur mo- 
tus in longitudinem. (Vid. Coroliaria Prop. 
LXVI. Lib. L) 

(^) 77. * Libratio in latitudinem. Quoniam 
axis circa quem Luna revolvitur, non est ad lu- 
narem orbitam normalis, sed ad illam inclinatus, 
manifestum est Lunae polos per vices ad Terram 
vergere ; ideoque Lunas maculas nunc huic nunc 
illi polo vicinas e Terra spectari. Quia vero 
axis Lunae est fere ad planum eclipticae norma- 
lis, patet hanc librationem pendere a situ Lunoe 
respectu nodorum orbitfe lunaris cum ecliptica, 
seu ab ipsa latitudine Lunse. Ex illa libratione 
oritur, ut dum Luna versus austrum ab ecliptica 
maxime recedit, hoc est, dum in limite australi 
versatur, Lunae polus borealis et aliquas ultra 
polum lunaris globi partes a Sole illustrentur, 
intereadum polus australis et aliquje citra hunc 
polum regiones lunares in tenebris immergun- 
tur ; si ergo in hoc situ contingat Solem in ea- 
dem plaga cum limite australi versari, Luna a 
conjunCLiooe cum Sole ad nodum ascendentera, 
hoc est, versiis boream progredien^, bas regiones 
maculasque polo boreali vicinas oculis subducet, 
dum interim ab opposita plaga aliae cum polo 
australi regiones e tenebris emergunt ; contrari- 
umque accidet descendente Luna nova a limite 
boreali ; borealiores nempe Lunae partes paula- 
tim in lucem e tenebris prorepent, dum australi- 
ores evanescunt. 

(^) 78. D. N. Mercator. Hic transcribemus 
N. Mercatoris verba. " Harum tamen varia- 
" rum atque implicitarum librationum (Lunae 
*' sciiicet) causas, hypothesi elegantissima expli- 
•* cavit nobis vir cl. Isaac. Newton cujus hu- 
•' manitati hoc et aliis nominibus phirimum de- 
** bere me lubens profiteor. Hanc igitur hypo- 
" thesim lectori gratificaturus, exponam verbis, 
■" ut potero, nam delineationes in plano vix suf- 
" ficiunt hwe negotio. Itaque reversus ad glo- 
*' bum, cogita nunc illum repraesentare sphaeram 
" in qua movetur Luna cujus centrum occupet 
** Tellus, ipsum vero Lunae globum credito 
** polis et axe suo instructum circa quem revol- 
** vatur motu asquabili semel mense sydereo, 
«* dum a fixa aliqua digressa ad eandem reverti- 
*' tur, et a^quator lunaris ad firmaraentum con- 
** tinuatus intelligatur congruere plano horizon- 
*• tis lignei, et polus acquatoris lunaris in firma- 
•* mento immincat polo Boreo globi ad zenith 
«• elevato. Orbitam vero Luna^ concipito partim 



** supni horizontem ligneum attollf, partim vero 

*' infra eundem deprimi, quemadmodum in hoc 

** situ globi conspicitur ecliptica, licet angulus 

*' aequatoris lunaris et ejus orbitae non sit forte 

•* aeque magnus atque hic quem globus exhibet. 

" Deinde finge tibi globulos duos a?quales 

*• quorum uterque polis, aequatore et meridiano 

** unico primario insigniatur et uterque filo sus- 

'« pendatur alterutri polorum alligato. Horum 

** alter referat Lunam fictitiam motu aequabili 

" secundum horizontis lignei circumlatam, at- 

*• que eodem terapore circa axem suum revolu- 

*' tam respectu firmamenti, ita ut planum meri- 

•' diani primarii lunaris perpetuo transeat per 

" centrum Terr^e. Alter vero globulus veram 

" Lunam imitatus in orbita sua feratur motu 

" inaequali, nunc supra horizontem ligneum 

*' emergens, nunc infra eundem descendens, ita 

" ut planum asquatoris hujus Lunas verae sem- 

" per parallelum maneat plano horizontis lignei, 

" et planum meridiani primarii ejusdem Lunae 

" vera? semper parallelum plano meridiani pri- 

** marii Lunae fictae. Ita fit ut Luna ficta ean- 

" dem nobis faciem obvertens semper nuili pror- 

<• sus librationi sit obnoxia. At Luna vera, 

" dum a perigaeo pergit ad apogaion prsecedens 

" Lunam fictam, meridianum suum primarium 

" ostendit in medietate sinistra sui disci tot gra- 

" dihus abeuntem a medio quot sunt inter lon- 

•' gitudinem Lunae verae et tictae. Ab apogaio 

*' vero ad perigaeon descendens Luna vera sequi- 

*• tur ficlam, atque tum meridianus primus verae 

•• Lunae recedit ab ejus medio ad dextram, hoc 

•' est, maculae omnes vergunt in occasum, et 

•' ciam diflferentia inter mediam et veram Luna 

•' longitudinem in quadraturis evadat major, 

" propter evectionem systematis lunaris a centro 

" Telluris, hinc est quod in quadraturis libra- 

" tiones in longum cernuntur raajores. Siraili- 

" ter ititelligitur causa librationis in latum, 

•' quando Luna superato nodo ascendente, sive 

•• sectione horizonti lignei et orbita» suae, tendit 

•• ad limitem boreura, tum enim nobis in centro 

" sphaerae positis, polus Lunje boreus et quae 

" sunt circa eum maculae absconduntur, et polus 

" australis cum suis raaculis in conspectura ve- 

" nit, unde raacuUc oranes conspicuae in boream 

" tendere videntur ; contrarium accidit, Luna 

" ad limitem australem accedcnte. Ab iisdem 

*' causis procedit macularum ex parte lucida in 

" obscuram transitus et vicissim. Nam in li- 

" raite australi polus Lunae boreus a Sole illus- 

•• tratur, et quidquid est zonae frigidae arctico 

•' lunari inclusum, dum frigida australis in tene- 

*' bris versatur. Quod si igitur Solem concipias 

" in eadera plaga cum limitc australi et Lunam 



54. 



PHILOSOPHI^ NATURALIS [De Mund. Syst. 



ex literis meis plenius exposuit. Simili motu (^) extimus Saturni satelles 
circa axem suum revolvi videtur, eadem sui facie Saturnum perpetuo re- 
spiciens. Nam circum Saturnum revolvendo, quoties ad orbis sui par- 
tem orientalem accedit, aegerrime videtur, et plerumque videri cessat : id 
quod evenire potest per maculas quasdam in ea corporis parte quae Terrae 
lunc obvertitur, ut Cassinus notavit. Simili etiam motu satelles extimus 
Joviali? circa axem suum revolvi videtur, propterea quod in parte cor- 
poris Jovi aversa maculam habeat quae tanquam in corpore Jovis cernitur 
ubicumque satelles inter Jovem et oculos nostros transit. 

PROPOSITIO XVIII. THEOREMA XVL 

Aj:cs planetarum diametris quce ad eosdem axes normaliter ducuntur mino- 

res esse, 

(') Planetae sublato omni motu circulari diurno figuram sphaericam, ob 
sequaiem undique partium gravitatem, affectare deberent. {^) Per motum 
illum circularem fit ut partes ab axe recedentes juxta aequatorem ascen- 
dere conentur. Ideoque materia si fluida sit, ascensu suo ad aequatorem 



" post conjunctlonem inde procedere ad nodum 
*' ascendentcm, tum macul» supcriores apud 
" polum boreum sifce, paulatim cum suo polo a 
" luce in tenebras concedunt, dum inferiores 
*' maculae cum polo australi ex tenebris in lu- 
" cem prorepunt. Contrarium evenit semestri 
" post, cum Sol accessit ad limitem Luna^ bo- 
" reum." Hactenus N. Mercator : sed plenior 
librationum lunarium expositio habetur in Ele- 
mentis Astronomicis clariss. Cassini, ul>i vir 
doctiss. varias harumce librationum apparentias 
respectu fixarum et Solis determinat, docetque 
methodum qua ad quodlibet tempus datum possit 
definiri apparens macularum lunarium situs. 

C^) * Extimus Saturni satelles, tertio satellite 
saepe majrr apparet, posteaque decrescit ac tan- 
dem juxta periodum nondum probe notam eva- 
nescit; id tamen ut plurimum contingit dum 
satelles in orbitas suae orientali parte respectu 
Saturni versatur, rursus deinde in conspectum 
redit. Causa hasc esse videtur, quod scilicet 
hemisphsErii satellitis pars quse ad nos conversa 
est, maculis obscurata prae luminis tenuitate cerni 
non possit, revolvente autem circa axem satellite, 
ad hemisphserium oppositum transeunt maculae, 
iterumque satelles fit conspicuus. Cumque in 
ea orbis sui parte quae orientem spectat, obscura- 
tus satclles semper observetur, in altera vero 
parte nunquam, valde probabile est eandem hu- 
jus satcUitis faciem plar.fcljB primario semper ob- 



verti. Idem quoque simili argumento patet in 
extimo Jovis satelhte, nisi dicatur illas satellitum 
maculae fuliginum instar modo nasci, modo dis- 
sipari; sed ubi apparentiae ah"quae ex duplici 
causa ortum habere possunt, anteponend^e sunt 
explicationes qu« a motu locali repetuntur. 
AHo3 Saturni Jovisque satellites, Lunas instar, 
planetis primariis invariatam manifestare faciem 
ex analogise lege coHigunt multi. Rem aliter 
se habore censet clariss. Daniel BernouUius in 
Disquisitionibus Physico-Astronomicis an. 1734. 
ab Academia Regia Scientiarum prjBmio conde- 
coratis. Has consulat lector. 

(') * Flanetce subloto omni motu circulari. 
Patet (per not. 172. Lib. II.). Si planetarum 
materia ponatur fluida, visque gravitatis ad unum 
centrum dirigatur. 

(^) * Per tiiotum illum circularem. Quoniam 
planetae circa axem suum revolvuntur, planeta- 
rum partes a centris circulorum in quibus nio- 
ventur, recedere conantur, eoque major est vis 
illa centrifuga quo majores sunt circulorum quas 
describunt peripheriae (Cor. 3. Prop. IV. Lib. 
L). Sed aequator est circuhis maximus, circuli 
autem versiis polos continuo decrescunt, quare 
planetarum partes magis a centro aequatoris 
quam a centris parallelorum recedere conantur, 
ideoque si fluida sit planetarum materia, ascensu 
suo ad aequatorem diametros adaugebit, axesa 
vero descensu suo ad polos diminuet. 



LiBER Tertius.] PRINCIPIA MATHEMATICA. 



55 



diametros adaugebit, axem vero descensu suo ad polos diminuet. Sic 
Jovis diameter (consentientibus astronomorum observationibus) brevior 
deprehenditur inter polos quam ab oriente in occidcntem. Eodem argu- 
^ mento, nisi Terra nostra paulo aitior esset sub aequatore quam ad polos, 
*maria ad polos subsiderent, et juxta aequatorem ascendendo, ibi omnia 
inuiidarent. 



PROPOSITIO XIX. PROBLEMA IIL 

Invenire proportionem axis planetce ad diametros eidem perpendiculares. 

Norwoodus noster circa annum 1635 mensurando distantiam pedum 
Londinensium 905751 inter Londinum et Eboracum, ac observando dif- 
ferentiam latitudinum 2 gr. 28'. collegit mensurapi gradus unius esse 
pedum Londinensium 367196, id est hexapedarum Parisiensium 57300. 

(f) Picartus mensurando arcum gradus unius et 22'. 55", in meridiano 
inter Ambianum et Malvoisinam, invenit arcum gradus unius esse hexa- 



(f ) * Picartus mensurando arcum .... invenit 
arcum ^radus unius esse hexap. 57060. * Circa 
hanc Picarti mensuram observandum, ill. Cassi- 
num juniorem distantiam terrestrem inter paral- 
lelos Malvoisinae et Ambiani 42 hex. imminu- 
endam statuisse, ipsum vero arcum coelestem 
propter refractiones l^" esse augendum ; unde 
arcus gradijs unius evadit hexap. 57010. No- 
vissime vero D. de Maupertuis arcum coelestem 
inter Lutetias et Ambianum metitus, multo mi- 
norem eum deprehendit quam esse debuisset se- 
cundum observationes Picarti, quare servatis 
mensuris terrestribus Picarti, arcum unius gra- 
dus 57183 hex. determinavit. Haee paulo fusius 
sunt diducenda. 

I. Ciim mensura Picarti a Malvoisina ad 
Sourdonem procedat, et hinc ad Ambianum ; 
Picartus distantiam a Malvoisina ad Sourdonem 
per duas triangulorum series determinat ; unam 
praecipuam vocat quoniam ea ipsa erat qua uti 
primum constituerat, sed cum aliquid dubii in 
ea observasset, alteram instituit, quam priori an- 
teposuit quia observationum in ea factarum cer- 
tior sibi videbatur et accurate consentiebat cum 
basi proxima actu mensurata : 111. vero Cassinus 
distantiam inter parallelos Malvoisinae et Sour- 
donis ex priori serie determinat 68325j hex. 
dum eamdem distantiam Picartus, cui ill. de 
Maupertius suffragatur, facit hex. 68347. 

Difterunt iterum Picartus et illustrissimus 
Cassinus in distantia inter Sourdonem et Ambi- 
anura, eam euim distantiam Picartus ex suis 



mensuris hex. llieif invenit, Cassinus verd 
hex. 11135^: discriminis autem hujus ratio 
duplex est, nam cum uterque triangulos formare 
incipiat in linea quae intercipitur inter Sourdo- 
nem et Montcm Desiderium, ill. Cassinus eam 
lineam assumit hex. 7116^ juxta priorem seriem 
triangulorum Picarti, et Picartus alteram seriem 
verificatam per basim proximam actu mensura- 
tam anteponens, eam iineam 7122^ hex. facit: 
cum yero diversis triangulis inde ad Ambianum 
iisi sint, in iis triangulis occurrit sensibilis diffe- 
rentia quae sese prodit in angulo Sourdoni facto 
inter lineas inde ad Ambianum et Montem De- 
siderium protensas, nam is Picartoest 137°. 56'. 
10". angulus autem idem a Cassino delerminatur 
137°. 53'. 30", ex qua differentia 2'. 40". et ex 
baseos inter Sourdonem et Montem Desiderium 
diversitate, oriri potuit discrimen illud in dis- 
tantia inter Sourdonem et Ambianum. 

In arcu autem ccelesti a Picarto mensurato, 
refractionis correctionem adhibet Cassinus quam 
neglexerat Picartus; cum ergo invenisset dis- 
tantiam genu Cassiopeae a zenith loci in quo ob- 
servabat, et qui erat 18 hex. Malvoisina meridi- 
onalior 9°. 59'. 5". versus septentrionem, et cum 
ejus stellae distantiam a zenith loci 75 hex. meri- 
(iionaliori quam aedes Ambiai!i 8°. 36'. 10". inve- 
nisset, arcum inter zenith eorum locorum juxta 
Malvoisinam et Ambianum interceptum fecit 
Picartus 1°. 22'. 55". ut reftrt Newtonus. 

Verum propter refractionem augendas esse 
jhas distantias a zenith statuit Cassinus, ita ut 



66 



PHILOSOPHIiE NATURALIS [De Mund. Syst. 



pedarum Parisiensium 57060. (§) Cassirms senior mensuravit distantiam 
in meridiano a villa CoUioure in Roussillon ad observatorium Parisiense ; 



prima distantia 10", altera sf". fiat ; cum ergo 
prior fiat - - - - - 9^ - 59 - 15 
Altera - - -. - 8 - 36 - isf 
Arcus interceptus inter 

zenith locorum observatio- 

nis fit 1 - 22 - 56f 

Ex his ergo correctionibus tam in arcu ccelesti 
quam in mensuris terrestribus, a Picarto obser- 
vatis, deducit ill. Cassinus arcum unius gradus 
esse 57010 hex. 

II. 111. de Maupertuis mensuras terrestres, 
quas Picartus adoptavit, admittens, arcum coe- 
lestem mensuravit instrumento, a solertissimo 
Graham accuratissime constructo; cum autem 
priores sectores circa axem immotum, ex quo 
filum verticale pendet, revolverentur, et divisio- 
nes subtiliores in sectoris limbo per lineas trans- 
versas signarentur, in hoc instrumento telesco- 
pium in sua summitate duos cylindros adjunctos 
habet, circa quos cum sectore inferius adfixo re- 
volvitur, et ex quorum centro pendet filum ver- 
ticale quo notentur gradus in limbo sectoris; 
divisiones in eo limbo gradus et eorum partes 
octavas tenuissimis punctis indicant, nihilque 
prajterea, et ad observationem faciendam ita con- 
stituitur instrumentum, ut filum pendulum ali- 
cui e divisionibus accurate applicetur, idque mi- 
croscopio cum lumine juxta limbum collocato 
agnoscitur ; tum cochlea pellitur instrumentum 
donec objectum in axe telescopii cernatur, et 
numerus gyrorum cochleae, partesque singuli 
gyri numerantur in limbo circuli horologii instar 
cochleae adnexi, ita ut minimi cochleae progres- 
sus maxime sensibiles fiant. Tali itaque instru- 
mento cujus radius est octo pedum una. uncia 
dempta, observationes instituit ill. de Mauper- 
tuis Lutetiae in loco 1105 hex. magis septentrio- 
nali quam sedes B. Virginis, et Anibiani in loco 
98^ meridionaliori aede ejus urbis. Inde ex 
stellis et Persei, et Draconis, arcum ccelestem 
inter zenith eorum locorum interceptum 1°. 1'. 
12". deterrainavit, correctionibus prascessionis 
aequinoxiorum et aberrationis lucis adhibitis. 
Hinc ciim juxta Picartum inter parallelos Mal- 
voisina; et Ambiani sint 78907 hex. inter Mal- 
voisinam et aedes B. Virginis Lutetiis sint 
19376^ hex. roanent inter utramque aedem 
59530^ hex. ex quibus detractis 1203| hex. 
propter observationum loca, invenilur arcum 1°. 
J'. 1 2". respondere mensurae 58327. hex. ideoque 
arcum unius gradus hexapedas 57183. in ea la- 
titudine continere. 

Verum hic non^dissimulandum qualis quan- 
tusque eiTor observationi Picarti adscribatur, ex 
hac novissima ill. de Maupertuis observatione ; 
et ut ille error recte aestimetur, corrigend* sunt 
ejus observationes coelestes non tantum per re- 
fractionem, sed etiam pcr aiquiuoctiorum prae- 
cessionem ct aberrationem lucis; etenim cum 



eodem tempore factse non fuerint observationes a 
Picarto Malvoisinae et Ambiano, sed inter eas< 
mensis intervallum effluxerit, interea per prae- 
cessionem aequinoctiorum augebatur stellae genu 
Cassiopeae declinatio l^". ut ipse Picartus obser- 
vat, simulque propter aberrationem lucis 8". cir- 
citer augcri eam declinationem nunc constat, 
quaie stella quae Ambiani observabatur non erat 
in eodem coeli puncto quo fuerat cum Malvoisi- 
nae observaretur, sed erat 10 fere secundis ad 
septentrionem provectior; dum ergo observaba- 
tur eam stellam distare a zenith Ambiani 8°. 
56'. 1 8 j". (adhibita refractionis correctione) punc- 
tum fixum quod fuerat Malvoisinse observatum 
8°. 36'. 83-". a zenith duntaxat distabat, et cum id 
punctum Malvoisinae 9°. 59'. 15". a zenith distas- 
set, arcus inter duo zenith interceptus erat 1°. 
23'. 6 j '. (non l°.23'.56f ".) qui respondet 78850. 
hex. unde gradus unius raensura fiet duntaxat 
56926-g- hexapedarum ; sive ut conferatur haec 
observatio cum observat, il. de Maupert. fiatque 
si 58315^ hex. respondeant 1°. 1'. 12". Quot 
gradibus respondebunt 78850. Invenietur 1°. 
22'. 453". loco 1°. 23'. 6j". ita ut error in observa- 
tione coelesti Picarti sit 20". 

Singulare quid occurrit in ipsa Picarti narra- 
tione ; postquam enira differentias inter zenidi 
Malvoisinae et Sourdonis, Malvoisinae et Ambi- 
ani dedit, addit : " Differentia temporis quod 
*' effluxit inter observationes, requireret ut ex 
" priori differentia 1". demerelvr, ex posteriori 
*' l^'. (propter aequinoctiorum praecessionem ;) 
" sed hanc correctionem, ne minutias sectari 
" videamur, omisimus." Si mutatio declinatio- 
nis per praecessionem aequinoctiorum orta ex iis 
differentiis demenda foret, mutatio declinationis 
propter aberrationem pariter foret demenda si- 
quidem fit in eamdem partem, itaque cum arcus 
inter Malvoisinam et Ambianum adhibita cor- 
reetione refraetionis, sit 1°. 22'. 56f-". dempta 
praecessionis et aberrationis variatione 10". circi- 
ter, maneret is arcus 1°. 22'. 46f ". ad unam se- 
cundam, qualis secundum d"'. de Maupertius 
observationem inveniri debuisset. 

Veriim ut correctio praecessionis et aberratia- 
nis demenda foret, ut vult Picartus, oportcret ut 
observationes primum Ambiano, postea Malvoi-" 
sinae fuissent factoe, sed ita notantur illae obser- 
vationes, Septembri Malvoisinae et Octobri Am- 
biano : si itaque recte ratiocinatus sit, sed male 
tempora notaverit, elegantissime consentient ejus 
observationes cum accuratissimis postea factis; 
sin bene tempora notaverit, sed male fuerit rati- 
ocinatus, fatendum erit errorem circiter 20". in- 
ter duas ejus observationes esse distribuendum, 
stantibus observationibus ill. de Maupertius 6". 
aut 7". secundis propius accederent ad has obser- 



LiBER Tertius.] PRINCIPIA MATHEMATICA. 



57 



et filius ejus addidit distantiam ab observatorio ad turrem urbis Dunkirk. 
Distantia tota erat hexapedarum 486 156^ et difFerentia latitudinum villae 



vationes iWse quas instituit Picartus a Malvoisina 
ad Sourdonem, ita ut error 12". duntaxat, inter 
duas observaliones distribuendus superesset. 

(§) * Cassinus senior mensuravit distantiavi in 
meridiano a villa CoUioure ad observatorium Pa- 
risiense ; etjilius addidit distantiam ab observatorio 
ad turrim iirbis Dunkirk. 

* Has duas mensuras in unam summam con- 
jicit Newtonus, quia ciim Cassinus senior gra- 
dum majorem quam Picartus invenerit, Cassinus 
fiiius minorem, conjunctis mensuris obtinetur 
gradus mediocris proxime tequalis mensuriE gra- 
dus a Picarto assignatae, quem ut gradum Tel- 
luris, ut spheericaD consideratae, assumit New- 
tonus, verum hic duo sunt notando, 1°. utitur 
Newtonus isto gradu mediocri quasi foret aequa- 
toris gradus, qui quidem isto major est, sed inde 
parum mutatur sequens calculus ut liquebit si 
eumdem instituamus assumpto gradu aequatoris 
isto majore, v. gr. 57226 hex. ut deduceretur ex 
theoria ipsius Newtoni ; et gradum in 45. gradu 
faciendo 57100 hex. • 

2°. Distinguendai sunt observationes Cassini 
senioris et fiUi ; haec enim propter aberffetionem 
lucis correctione indiget, mensura vero ill. Cas- 
sini Patris a villa CoUioure ad observatorium, 
arcum coelestem 6°. 18'. 57". continet et respon- 
det hexapedis 360614. (ad maris libellam reduc- 
tis mensuris) unde gradus fit 57097 hex. verifi- 
catae sunt mensurae in utroque extremo, nec in 
iis gravis error est metuendus, cum apte consen- 
serint triangulorum calculi cum ultimis lineis 
£eu basibus actu mensuratis ; error vero qui in 
observatione coelesti occurrere potest, singuli 
gradus mensuram pariim immutat, quia in sex 
gradus et ultra distribuitur ; cum vero iisdem 
anni temporibus tam Lutetiae quam in villa. Col- 
lioure observationes institutas fuerint, aberratio 
lucis calculum arciis ccelestis non immutavit : 
hinc in numeris proximis rotundis gradus in lati- 
tudine graduum 45.57100 hexapedarum assurai 
potest satis tuto. 

3°. Quoad observationes ill. Cassini filii, cum 
inter 15. Julii et 4. Sept. factae fuerint observa- 
tiones coelestes quibus determinaretur arcus inter 
zenith urb'.s Dunkirk et observatorii interceptus, 
aberrationis correctio illis est adhibenda quae 
tunc temporis nondum erat cognita ; veriim il- 
lam correctionem necessariam esse tanto minus 
dubium est, quod cum is arcus per observationes 
stellae y Draconis fuerit deter.minatus, ejus ipsius 
stellae aberratio ab ill. Bradleio fuerit observata 
(vid. Trans. Phil. Vol. XXXV. pag. 637.) et 
nuperrime a D. le Monnier.; immediatis ergo 
experimentis constat ejus stellae declinationem 
augeri a mense Julio ad Septembrem, ita ut 
cum Lutetia; seriias observata sit, ll^ secundis 
polo tunc vicinior esse potuit quam cuui in uibe 
Dunkirk observata fuerat, ideoque totidem se- 
cundis zenith remotior apparebat quam punctura 



fixum quod in urbe Dunkirkfuerat observatumj 
unde cum ex distantia a zenith Lutetiae detra- 
hatur distantia ejusdem stellje a zenith urbis 
Dunkirk, arcus residuus illis 11:| sec. est mu 
tandus, et cmn residuum invenerit ill. Cassinus 
2°. 12'. 9|". est reducendus ad 2°. 11'. 58", et 
cum is arcus 125454 hexapedis respondere ab 
ill. Autore statuatur, arcus unius gradus fiet 
hex. 57038. 5 ped. 

Veriim minor dissensus inter observationes 
ill. Cassini filii et d"'. de Maupertuis apparebit 
si attendatur, partem illius dissensus oriri ex eo 
quod, dum mensuris Picarli uterentur, diversas 
ejus triangulorum series adoptaverint ; quare ut 
conferantur eorum inventa, reducendae sunt eo- 
rum supputationes quasi eadem serie triangulo- 
rura Picarti uterentur ambo : v. gr. supponatur 
utrumque assumpsisse eam seriem triangulorum 
quam ipse Picartus admisit, sed ad Sourdonem 
usque, et inde (quia ill. Cassinus propriis suis 
triangulis distantiam a Sourdone ad Ambianum 
determinavit) assumatur ea distantia qualis ex 
triangulis ill. Cassini deduceretur si modo pri- 
ori serie usus fuisset, et reliqua ejus triangula 
usque ad urbera Dunkirk in eadem proportione 
augeantur ; hinc iste emerget calculus. 

Primo tota distantia inter parallelos observato- 
rii et Sourdonis erit ex Picarto - 49926 hex. 3 ped. 

Secundo ; distantia inter 
parallelos Sourdonis et Am- 
biani est ex Cassino 10539^ 
hex. assumpta basi 7116^; 
sed in altera serie triangulo- 
rum eadem basis erat 7122^^ 
hinc assumpta hac mensura, 
distantia parall. inter Sour- 
donem et Ambianum ex tri- 
ungulis ill. Cassini erit - - 10547 hex. 4 ped. 

Tota ergo distantia inter 

parallelos Sourdonis et Am- 

bianierit 60474 - 1_ 

Tertio distantia inter parallelos Ambiani et 
urbis Dunkirk est ex Cassino 65109 hex. 1 ped., 
suppositS basi 711 63-, si ergo supponatur ea 
linea 7122j fiet distantia inter parallelos Am- 
biani et urbis Dunkirk ex tri- 
angulis ill. Cassini. - - 65162 hex. 3 ped 
Tota crgo distantia in- 

lcr Observatorium et pa- — — — 

rallelum urbis Dunkirk fiet 125636 - 4 
et detractis 98. hex. pro locis 
obscrvationum ccelestium et 2^ hex. pro libcIlA 
supersunt 125556 hex. -^, quae respondent 2°. 
11'. 58". unde arcus unius gradus invenitur 
57076 : 2. 

Pariter in observatione d"'. de Maupertuis 
cum sint inter parallelum observatorii et aedis 
Ambiani 60474 : 1. et propter observationum 
ccelestiura loca 2159 hex. sint dctrahendae, arcus 



58 



PHILOSOPHI^ NATURALIS [De Mund. Syst. 



Collioure et urbis Dunkirk erat graduum octo et 31'. 12|^". Unde arcus 
gradus unius prodit hexapedarum Parisiensium 57061. Et ex his men- 
suris colligitur ambitus Terras pedum Parisiensium 123249600, et semi- 
diameter ejus pedum 19615800, et hypothesi quod Terra sit sphaerica. 

In latitudine Lutetiae Parisiorum corpus grave tempore minuti unius 
secundi cadendo describit pedes Parisienses 15. dig. 1. hn. IJ ut supra, 
(ff) id est, lineas 21735« Pondus corporis diminuitur per pondus aeris 
ambientis. (^) Ponamus pondus amissum esse partem undecimam mille- 
simam ponderis totius, et corpus illud grave cadendo in vacuo describet 
altitudinem linearum 2174 tempore minuti unius secundi. 

Corpus in circulo ad distantiam pedum 19615800 a centro, singulig 
diebus sidereis horarum 23. 56\ 4'^ uniformiter revolvens tempore minuti 
unius secundi ("^) describet arcum pedum 1433,46, cujus sinus versus est 
pedum 0,0523656, seu linearum 7,54064. (") Ideoque vis, qua gravia 



inter observationes d"'. de Maupertuis observa- 
tus qui est 1°. 1'. 12". rcspondebithex. 58515 : 1. 
Unde gradus erit 57171 ^_ 

Ut itaque verus dissensus inter observationem 
ill. Cassini et d"'. de Maupertuis habeatur, 
fiat sicut S^T/lfi-ad 125536-g- ita unus gradus 
ad quartum, invenietur arcus 2°. 11'. 45", qui 
13". duntaxatdiffertab arcu 2°. 11'. 58". quem 
ill. Cassinus observavit ; quae differentia inter 
quatuor observationes coelestes et mensuras ter- 
restres distributa, efficeret conclusiones uni- 
formes : ergo ilbe observationes nedum inter se 
pugnent, iis differentiolis tantiim discrepent, 
qu3e inevitabilibus accidentibus debentur. 

Interea satis bquet quod si in unam summam 
conjicerentur mensurae ill. Cassini patris et filii, 
diminuendus esset arcus totalis 12". propter cor- 
rectionem aberrationis iucis, cui obnoxia est ob- 
servatio ill. Cassini filii, et mensurae terrestres 
forent augendae, quia ex observatione d"'. de 
Maupertuis additur pondus rationibus quibus 
inter duas series trianguiorum d"'. Picarti ea 
praeponenda censeatur quam Picartus prastulerat, 
et quam ill. Cassinus neglexerat, imo et proba- 
bile fit errores minimos inevitabiles, eam in par- 
tem conspirasse ut arcus ccelestis major vero vi- 
deretur ill. Cassino et mensurae terrestres vero 
minores ; quibus omnibus perpensis, magnitudi- 
nem unius gradus in 45°. lat. gradu, circa me- 
dium mensurae a Cassino patre institutse rotun- 
dis numeris satis tuto 27100. hex. assumi posse 
Uquet. 

(ff ) Id est, lineas 2173g-. Ex accuratissimis 
observationibus d"^'. de Mairan (Cap. VI. Lib. 
III. fig. Terrae determ, a D. de Maupertuis) 
longitudo pcnduli ad singulas secundas vibrans 
est liiiearum 440. 57. hinc, ciim juxta Prop. 
XXVI. Horol. Oscill. Hugh. sit circuli 
circumfcrentia ad diametrum ut 1". ad tem- 



pus descensus per dimidiam ahitudinem pen- 
duli, sive per lineas 220. 28^, sint vero quadrata 
temporum ut spatia descensu verticaU iis tempo- 
ribus deicripta, erit 9.8696 ad 1 (Quadratum 
circumferentia; ad quadratum diametri I.) sicut 
spatium uno secundo descriptum ad 220. 28^ 
lin. Ergo corpus grave in latitudine Lutetiaa 
tempore minuti unius secundi describit lineas 
2173. 631356. paulo minus quam Newtonus 
assignat, ejus undecima millesima pars foret 
.197602. Quare id grave in vacuo cadendo 
describeret altitudinem 2173. 828958. 

(^) * Ponamus pondus amissum. Quoniam 
corpus quodlibet ponderis sui parlem amittit in 
aere aequalem ponderi paris voluminis aliris, et 
plumbum est ad aquae gravitatem specificam ut 
1 1,345 ad 1000 ; aqua vero ad aerem paulo mi- 
nus quam 1000 ad 1, hinc gravitas plumbi est 
ad gravitatem aeris fere ut 11000 ad 1, hinc 
ergo plumbum amittit in aere ponderis sui par- 
tem undecimam millesimam, itaque in vacuo 
augetur pondus plumbi parte undecima millesi- 
ma ponderis totius, hoc est spatia eodem tem- 
pore descripta undecima millesima totius spatii 
descripti parte augeri debent : fiat ergo 11000 
ad 11001 ut 2175g ad quartum, illud quartum 
erit 2173.966 ergo poni potest quam proxime 
spatium tempore minuti unius secundi descrip- 
tum in vacuo a plumbo, ideoque a quovis alio 
corpore gravi (nam omnia gravia aequali celeri- 
tate in vacuo cadunt) linearum 2174. 

('") * Describet arcum ped. Computum ini- 
tur eodem plane modo ac not. 63. 

(") * Ideoque vis. Vires uniformes sunt ut 
spatia dato tempore descripta, sed est spatium vi 
gravitatis tempore unius minuti secundi descrip- 
tum 2174. lin. spatium autem vi centrifuga de- 
scriptum ut sinus versus, hoc est, lin. 7, 54U64. 

* Si gradus aequatoris sit raajor 57061 hex., 



LiBER Tertius.] PRINCIPIA MATHEMATICA. 



59 



descendunt in latitudine Lutetiae, est ad vim centrifugam corporum in 
jequatore a Terra? motu diurno oriundam, ut 2174 ad 7,54064. 

Vis centrifuga corporum iii aequatore Terrae est ad vim centrifugam, 
qua corpora directe tendunt a Terra in latitudine Lutetiae graduum 48. 
50'. 10", (°) in duplicata ratione radii ad sinum complementi latitudinis 
illius, id est, ut 7,54064 ad 3,267. Addatur haec vis ad vim qua gravia 
descendunt in JatiXudine illa Lutetiae, et corpus in latitudine illa vi tota gra- 
vitatis cadendo, tempore minuti unius secundi describet lineas 2177,267, 
seu pedes Parisienses 15 dig. 1. et lin. 5.267. Et vis tota gravitatis in 
latitudine illa erit ad vim centrifugam corporum in aequatore Terrae ut 
2177,267 ad 7,54064 seu 289 ad 1. 



V. gr. 51 57226 hex." sumatur, erit iste sinus ver- 
sus linearum 7. 56244, ideoque vis qua gravia 
descendunt in latitudine Lutetiaj, est ad vim 
centrifugam corporum in aequdtore ut 2175. 
828958 ad 7. 56244. 

(°) 81. * In duplicatd ratione railii. Qua- 
drans circuli A E D revolvatur circa radium 
A C, ducatur radius C D ad A C normalis, ip- 




sique parallela agatur ordinata E F, erit vis cen- 
trifiiga in D secundum directionem D C sive 
E F, ad vini centrifugam in E secundum direc- 
tionem C E, in ratione duplicata radii C D ad 
ordinatam E F quae est sinus complementi arciis 
seu latitudinis E D. Exprimat cnim D v 
vim centrifugam in D secundum directionem 
D C, et recta E y, exprimat vim centrifugam in 
E secundum directionem E F, ducta p^pendi- 
culari y x ad rectam E C, exprimet E x, vim 
centrifugam in E, secundum directionem E x, 
sed est, Dv: Ey=DC: EF (Cor. 3. 
Prop. IV. Lib. I.) et ob triangula rectangula 
E X y, E F C similia, E y : E x == E C vel 
D C : E F. Quare, componendo D v : E x 
= D C\ E F^ Q. e. d. 

* Verum si mcridianus Terroe sit alia curva 



quam circulus v. gr. sit cUipsis, vis centrifuga 
corporum in aquatore Terrae est ad vim centri- 
fugam qua corpora perpendiculariter a Teri-a re- 
cedunt in latitudine data, in ratione composita 
ex ratione radii ad sinum complementi latitudinis 
illius, et ex ratione radii aequatoris, ad ordinatam 
ejus ellipseos in ea latitudine data; hinc pro el- 
lipsi ratio vis centrifuga? in sequatore ad vim 
centrifugam in latitudine data exprimetur hoc 
modo : sit m axis major, n axis minor, r radius, 
c sinus complementi latitudinis quassitae, erit 
vis in a;quatore ad vim in ea latitudine, ut 

m r -^ m ^ X r * — c ^ -f n ^ c ^ ad n ^ c ^ ut 
facile deducetur ex ellipseos natura ; quare si 
fingatur m = 2oO et n= 229 juxta Newtonum 
invenietur calculo eas vires esse inter se ut 
7.56244 ad 3.09660, addatur hacc vis ad vim 
qua gravia descendunt in latitudine Lutetiae, et 
vis tota gravitatis (in Hyp. assumptis) efficeret 
ut gravia cadendo describerent lineas 2176. 
92558. Unde vis tota gravitatis in latitudine 
Lutetiae erit ad vim centrifugam corporum in 
aequatore Terrje ut 2176. 92558 ad 7.56244 
sive ut 287. 86 ad 1. 

Haec autem vis gravitatis in latitudine Lutetiae 
non est vis ipsa gravitatis in aequatore, de qua 
agitur in reliqua hac Propositione, sed parum ab 
ea difFert, ita ut calculo quodam inito inveniatur 
quod ha3C vis gravitatis in latitudine Lutetia; sit 
ad vim gravitatis in {«quatore (Terra uniformiter 
densa supposita), ut 1552 ad 1551 ideoque sit 
vis gravitatis in tequatore ad vim ejus centrifu- 
gam ut 287.67 ad I. Quas quidem varias cor- 
rectiones, Newtonianis numeris adplicamus, ut 
inde liqueat, quod quamvis numeris ut ita dicam 
mediocribus sit usus Newtonus et saepe ex hypo- 
thesi Terrae spha?ricae ductis, parum mutationis 
tamen adfuturum sit, etsi assumantur alii nu- 
meri qui ex veriorc Tcrrae figura deduceren- 
tur. 




60 PHILOSOPHI^ NATURALIS [De Mund. Syst, 

Unde si A P B Q figiiram Terrae designet (p) jam non amplius sphae- 
ricam, sed revolutione ellipseos circum axem minorem P Q genitam; 
sitque A C Q q c a canalis aquae plena, a polo Q q ad centrum C c, 
et inde ad sequatorem A a pergens : (*i) de- 
bebit pondus aquas in canalis crure 
A C c a, esse ad pondus aquae in crure al- 
£ero Q C c q ut 289 ad 288, eo quod vis 
centrifuga ex circulari motu orta partem 
unam e ponderis partibus 289 sustinebit ac 
detrahet, et pondus 288 in altero crure sus- 
tinebit reliquas. Porro (ex Propositionis 
XCI. Corol. 2. Lib. I.) computationem ine- 
undo, invenio quod si Terra constaret ex 
uniformi materia, motuque omni privaretur, C) et esset ejus axls P Q ad 
diametrum A B ut 100 ad 101 : gravitas in loco Q in Terram foret ad 



C) * Jam non amplius fpharicanii sed revolu- hlc enim ad calculum Newtonianum inteiligen- 

tione ellipseos circum axem minorem P Q geni- dum, sufficit assumere eam curvam ad ellipsim 

tam. * Terram non multum a figura sphEerica satis accedere, ut ellipsis pro ea assumi possit. 

discedere ex eclipsibus Lunte patet ; magis ad- (^) * Debebit pondus aquce. Si fluidum in 

buc ad formam ejus ellipseos accedere cujus canale contentura quiescere supponatur, fluidi 

axes forent jequales diametro sequatoris, et dis- partes in canalis crure A C debent esse in sequi- 

tantiae polorum Terrae respective, satis h'quet; librio cum partibus fluidi in ejusdem canalis 

utrum vero curva illa quae singulum meridianum crure Q C. Cum itaque vis centrifuga ex cir- 

TerraB constituit et quae convolutione arcus culari motu orta partem unam ponderis detra- 

P A Q, circa axem minorem P Q generatur sit hat e ponderis partibus 2S9, oportet ut pondus 

ellipsis ApoUoniana, utrum tantixm curva ad in altero crure sit 288 (sive ex inventis ut 

eam accedens, non determinat Newtonus; paulo 288.67. ad 287.67), eic enim pondera in utro- 

fusius de hujus curvae natura inferius disseremus; que canalis crure erunt aequalia. 

(') * £t esset ejus axis P Q ad diametrum A B ut 100 ad 101, gravitas in loco Q in Terram 
foret ad gravilatem in spheeram centro C radio Q C descriptam, ut 126 ad 125 et eodem argumento 
gravitas in loco A in sphcEroidem circa axem A B descriptam est ad gravitatem in spharam centro C 
radio A C descriptam, ut 125 ad 126. 

* Utrumque simul probari potest : sit P A Q B, in utraque figura, Terroe meridianus ; in 
prima figura sit Q D P Q sphaera centro C radio Q C descripta et in secunda figura P A Q B 
repraesentat sphaeroidem quam revolutione meridiani Terrae circa apquatorem describi fingit New- 
tonus et A E D sphaeram radio A C descriptam. Constat Corollario 2. Prop. XC. Lib. \. quod 
si ducantur circuli ad axes revolutionum perpendiculares quorum radii sunt F G, f g (in utraque 

QFQFAFAF 

figura) attractio punctorum Q et A ab illis circulis erit l — -^^-7^» 1 7=: — > 1 r-7^ » 1 ;; — 

Q tr Qg A (j A g 

respective. Quare si dicatur C Q sive C D, b, et A C sive C E, r, dicaturque abscissa Q F, 
A F, in utraque figura, x ; erit in prima figura F G ^ =» ^-j X^bx — xx; Fg^=2bx 



b* 



— XX, et in secunda figura est FG^= — X^"^^ — xxetFg^ = 2rx — xx, quibus 

quadratis si addatur quadratum Q F ^ vel A F * sive x x, habebuntur quadrata linearum Q G ^, 

— — r* r* b^ b^ 

Qg ^, A G », Ag S respective, quas erunt jri X 2 b x —~ x2;2bx;— X2rx-f- 

r ^ _ b '^ 

X 2 ; et 2 r X ; unde (si compendii gratia loco r ^ — b ^ scnbatur m) attractioncs isto- 

rum circulorum evadcnt 



LiBER Tertius.] PRINCIPIA MATHEMATICA. 



61 



gravitatem in eodem loco Q in sphaeram centro C radio P C vel Q C 
descriptam, ut 126 ad 125. Et eodem argumento gravitas in loco A in 
sphaeroidem, convolutione ellipseos A P B Q circa axem A B descrip- 



bx 



X rx 



,. 1 



-V/2r*bx_mx-' V2bx ^ 2b ^ r x + rnX^^- ^ 2rx 

Sit vero F f = d x et multiplicetur attractio singuli circuli per d x habebunlur eleraenta attrac- 
tionis spha?roide6n et sphaerarum, quae elementa erunt 
d — hxdx ^ xdx rxdx xdx 



^ 2 r ^bx — m X 



V 2bx 



V 2b*rx-|-mx 



V 2rx 






^l 


V 


zff^' 


^17 


\ 


E 


fl 


\\ 


^ 0, 







D 



B 



Facile revocabuntur ad fluentes suas ea elementa attractionis sphasrarum, quippe fluen- 

3 ' , „ 



tes quantitatum d x — 



et d X 



sunt X 



X ii 



et X — 



X 2 



et ub: 



f y 2r 



V^bx V2rx tV2b 

Q F vel A F diametros Q P vel A B aequant, ideoque x fit ajqualis 2 Iv vel 2 r, evadunt 

2 b a/ *^ b 2 r \/ 2 r 

illjB fluentes 2 b ^ "— et 2 r — - ^ sive 5- b et ^ >"• 

f V 2 b I- V 2 r ^ ^ 

b X d X . bx dx 

Ut obtineatur fluens quantitatis d x — — ,-^ - -.i^ . - quantitas — ^-r — ' ' v 

^ V^^r^bx — mx^^ ^Sr^bx — mx^ 

resolvatur in seiiem (eam considerando ut bxdxX 2r^bx — mx*| *) sumaturjuxtafor- 
mulam Newtonianam quotiens secundi termini — m x * per primum 2 r ^ b x divisi, qui quotiens 

erit -: ! — rfi primi termini 2 r ^ b x sumatur dignitas — ^, quae est — — r» ^""^ ^' 



hibitis coefiicientibus secundum formulam ; tota quantitas evadet 

bxJdx IVbmxtdx iXSbm^xadx IX^XSbm^xadx 
dx — = — -^ __ __ — y, &c. 

rxX2b|^ 2Xr3X2b|2 2X4rSX2b|2 2X4X6r7Xb2l2" 

j , ^. 2bx2^ 2brax2 ' lX3X2bm*x2 1.5.5.2bm3x2 

et mtegrando dabitur x ^ 5 ZZ- 1_ 

3rX2b|2 10r3X2b|2 SX^X^r^X^blg 2.4.6. 9 r 7.2 b| 2 



,&c. 



Quando vero x = 2 b, series fit 2 b- 



2b2 2b^m 1X3X2 b 2 m^ IXSX^^X^ b ^ m 3 



3r 10 r^ 2X4X7rS 2X.4X6X9r7 

Sive dividendo per 2 b et ad terminos praecedentes revocando ; attractio Terra?, in coipusculum 
Q in extremitate minoris axis positi circa quem revolvi censetur, exprimitur per hanc seriem | 

JD X (l— ^ — jT-T-T-T- ^— r^TTTi ^ fi V 9r* SXHr* ' ' 



4X7r^ 6X91 

r X d X 



3 r 2. 5 r ^ 

Siraili modo obtinebitur fluens quantitatis d x ' . * " "[^ nempe secundam partem 

^ -y^^b^rx + mx* 

considerando ut r X d x X 2 b ^ r x -f m x 2| ~" ^, quae in serie resolvatur, quotiens secundi termini 
Vor. II r. G 



62 



PHILOSOPHI^ NATURALIS [De Mund. Syst. 



per primum djvisi erit -f- - — — ; primi termmi digmtas 
cundum formulara tota quantitas 
evadet d x 



b X 2 X 'i r| 2 



et calculando se- 



X2 dx 



lX3X5rm3x2dx 



2rl2 



Inteffrandoliabctur x ■ 



3 

2 r X 2 

Hl 

3bX2rl2 



Sive 




3 5 

lXrnix2dx l X5rm^x2dx 

bX2r|2 2Xb3X2rl2 SX-Jb^XSrp 

5 
1 X 2rmx 2 

2X5b3X'2rl2 2X4><7bSX2r|2 2X4X6X9b7X2r|2 

X3X5X2rl^m3 
X4X7b5 ' 2X4X6X9b7 
5X7m_^ 7X9ni 



_7_ 
2X4X6b7X2r|2 

Z 5 

2X5X2rm2x2 lX3X5X2rm3x2 



:,&c 



2r|^ Srl^Xm IX^X^rpXm^ , 1 
Quandox = 2rsenesfit,2r-_4.^^^^ ___.+_ 

5X5m p . 5X7m ^ 
2X5b^ 4X7b^ 'T"6X9b=' SXHb 

A 



,&c. 

,&c. 
-. E, &c.) 




Cum ergosit r=101, etb= lOOestr* — b^^r + bXr — b= 201 = m,estr* = 10201. 
Hinc substitutionibus factis prima series evadit 
2 b X 1 — .66006600 

— .0039017.7 

— .00004118 

— .00000052 
— .00000001. 



2b 
noc est, 2 b X (1— .66400948), sive 2 b X .33599052 ; sed sphaerae attractio erat — ; ergo gra- 

vitas in loco Q, in Terram foret ad gravitatem in sphaerae centro C radio Q C descriptam ut 
1.00797156 ad 2 (multiplicando utrumque terminum per 3 et dividendo per 2 b) sive ut 1008 fere 
ad 1000, qui numeri sunt accurate ut 126 ad 125, ut h"quet utrumque per 8 dividendo. Q. e. 
1°. d. 

Pariter substitutionibus factis in serie sccunda, evadit 
2 r X 1 — .67333333 + .00406020 

CO0O4372 4- .00000057 

.00000001. 



2r 



Sive 2 r X (1— .67337706 + .00406077) hoc est 2 r X 33068371, sed sphaerae attractio erat 

ergo utrumque terminum multiplicando per 3 et dividendo per 2 r ; gravitas in loco A in el- 

lipsoidem, convolutione circa majorem axem genitum, erit ad gravitatem in sphaeram radio A C 
descriptam ut 99205113 ad l ; multiplicetur uterque terminus per 1008, et evadent 999.987589 et 
1008 ; proxime 1000 et 1008 qui numeri sunt ut 125 ad 126. Q. e. 2<^. d. 

79- Levirna. Sphasrois comprcssa convolutione ellipseos A P B Q circa axem minorem P C 
genita, est media proportionalis inter sphaeram circumscriptam cujus radius est A C, et sphaRroidem 
oblongatam convolutione ellipseos circa axem A C genitam. Nam ductis ordinatis M E, m e, 
infinite prnpinquis, tum sphasra circumscripta tum sphaerois oblongata dividi intelligantur in cylin- 
drulos ordinafarum M E et m e, G E et g e convolutione descriptos, erit cylindrulus E G g e in 
spbaeroide ad cylindrulum E M m c in sphxra, ut altitudo E e ducta in circulum radio G £ 



LiBER Tertius.] PRINCIPIA MATHEMATICA. 



63 



Aa 



tam, est ad gravitatem in eodem loco A in sphseram centro C radio A C 

descriptam, ut 125 ad 126. (') Est autem gravitas in loco A in Terram 

media proportionalis inter gravitates in dic- 

tam sphaeroidem et sphaeram : propterea 

quod sphasra, diminuendo diametrum P Q 

in ratione 101 ad 100, vertitur in figuram 

Terrse; et haec figura diminuendo in ea- 

dem ratione diametrum tertiam, quae dia- 

metris duabus A B, P Q perpendicularis 

est, vertitur in dictam sphaeroidem ; et gra- 

vitas in A, in casu utroque, diminuitur in 

eadem ratione quam proxime. (*) Est igi- 

tur gravitas in A in sphaeram centro C radio A C descriptam, ad gravi- 

tatem in A in Terram ut 126 ad 125^, et gravitas in loco Q in sphaeram 




rotando descriptum, ad altitudinem E e, ductam 
in circulum cujus ezt radius M E, sive quia 
circuli sunt ut quadrata radiorum et utriusque 
cylindruli coramunis est altitudo, erit cylindrulus 




E G g e, ad cylindrulum E M m e, ut G E * 
ad M E ^. Sed G E 2 ad M E 2 semper est 
ut P C * ad R C ^ vel A C 2, ideoque in datS 
ratione, erit itaque summa tota cylindrulorum in 
sphaeroide ad summam totam cylindrulorum in 
sphaera, hoc est, sphajrois ipsa ad spha^ram ut 
P C ^ ad A C ^, jam vero sphaera radio R C de- 
scripta et sphaerois compressa ellipseos A G P 
circa axem P C convolutione genita, simili 
modo dividi intelligantur in tubulos innumeros 
ordinatarum M E et m c, G E et g e, circa 
axem P C convolutione genitos, ob radiorum 
C E et rectarum E e aequalitatem, erunt tubul 
illi ut M E, G E, sive ut A C ad P C, hoc est, 
in data ratione ; ideoque sphaera est ad sphaeroi- 
dem compressam ut A C ad P C. Quarc si 

G 



sphaera dicatur S sphnerois compressa s, et sphav- 
rois oblongata <r, sitque AC = b, PC = a 
erit S ^ : s 2 = b 2 : a ^, ac proinde S : <r = 
S^ : s^ unde s = a/ S~X~^ Q. e. d. 

(*) 80. Est autem gravitas. Diameter P Q, 
in figura Newtoni respondeat diametro R N, 
minuatur diameter illa R N in ratione 101 ad 
100 ut fiat P Q =: 100, tunc sphaera quae cen- 
tro C radio A C descripta erat, vertetur in figu- 
ram Terrae. Jani vero concipiatur tertia diame- 
ter quae in revolutione sphserae duabus diametris 
A B, P Q, fit perpendicularis, haecque diameter 
diminuatur in eadem ratione 101 ad 100, patet 
figuram Terrae verti in sphaeroidem oblongatam. 
Quia vero utraque sphaerois sive compressa sive 
oblongata ad sphaeram quam proxime accedit, 
sphaeroides illae pro sphaeris quae eandem respec- 
tive contineant materiae quantitatem, quam prox- 
ime haberi possunt. Sunt autem attractiones 
sphaerarum in distantiis aequalibus ut quantitates 
materiae (Cor. 1. Prop. LXXIV. Lib. I.) ideo- 
que gravitas in utroque casu praedicto diminuitur 
in eadcm ratione materiae detractae quam proxi- 
me, ac proinde attractiones sphaerae sphaeroidis 
compressje et sphaeroidis obJongatae sunt respec- 
tive ut quantitates materiae in illis corporibus 
conteRtae quam proxime. Sed sphaerois com- 
pressa convolutione ellipseos A P B Q, circa 
axem P C Q genita est media proportionah's in- 
ter sphaeram circumscriptam cujus radius est 
A C, et sphaeroidem oblongatam convolutione 
ellipscos circa axem A C B genitam (82.). 
Quare gravitas in loco A, in Terram est media 
proportionalis inter gravitates in dictam spharoi- 
dem, oblongatam scilicet, et sphaeram. 

(*) * Est igitur gravilas. Gravitas in loco A 
in Terram dicatur G, gravitas in loco Q, in 
Terram sit g, gravitas in loco Q, in sphaTam 
radio P C, descriptam dicatur y, gravitas in Iocq 
2 



64. 



PHILOSOPHLE NATURALIS [De Mund. Syst. 



Aa 



centro C radio Q C descriptam, est ad gravitatem in loco A in sphaeram 

centro C radio A C descriptam, in ratione diametrorum (per Prop. 

LXXIL Lib. I.) id est, ut 100 ad lOL 

(") Conjungantur jam hae tres rationes, 126 

ad 125, 126 ad 125^, et 100 ad 101: et 

fiet gravitas in loco Q in Terram ad gravi- 

tatem in loco A in Terram, ut 126 X 126 X 

100 ad 125 X 125^ X 101, seu ut 501 ad 
500. 

Jam cum (per Corol. 3. Prop. XCI. Lib. 
I.) gravitas in canalis crure utrovis A C c a 
vel Q C c q sit ut distantia locorum a cen- 
tro Terrae ; si crura illa superficiebus transversis et aequidistantibus dis- 
tinguantur in partes totis proportionales, erunt pondera partium singu- 
larum in crure A C c a ad pondera partium totidem in crure altero, 
(^) ut magnitudines et gravitates acceleratnces conjunctim ; id est, ut 

101 ad 100 et 500 ad 501, hoc est, ut 505 ad 501. {') Ac proinde si vis 
centrifuga partis cujusque in crure A C c a ex motu diurno oriunda, fuis- 
set ad pondus partis ejusdem ut 4 ad 505, eo ut de pondere partis cujus- 




A, in sphaeroidem convolutione ellipseos APBQ, 
circa axem A B genitam dicatur V, ac tandem 
gravitas iu loco A in sphaeram radio A C de- 
ecriptam sit r, erit (ex dem.). 
g : y = 126 : 125 

V : r = 125 : 126 praeterea 

V : G = G : r, ideoque inter V et r, hoc cst, 
inter 125 et 126 sumpto medio termino propor- 
tionali erit 

V: G= G:r = 125: 125^= 125|: 126. 

(") * Conjungantur jam h(e tres rationes, 
scilicet 

g: y = 126: 125 

r: G= 126: 125^ 

y : r = 100 : 101 erit per compositionem ra- 
tionum et ex aequo. 

g: G=126X126X100: 125X125^ X 101 
vel g : G = 1587600 : 1584437^ = 501 : 500 
ideoque gravitas in loco Q, in 'lerram fiet ad 
gravitatera in loco A, in Terram ut 501 ad 
500. 

(*) 81. * Ut viagnitudines et gravitates. Crura 
A C, Q C ita distinguantur superficiehus trans- 
versis et aequidistantibus ut crura illa aequalem 
contineant particularum E e, H h numerum, 
sintque singulje particulae in crure A C ad sin- 
gulas particulas in crure C Q ut crus A C ad 
crus alterum C Q, sive ut 101 ad 100; quoniam 
gravitas in loco A est 500 et gravitas in loco Q, 
est 501 propter figuram sphaeroidis et omnium 
particularum in cruribua A C et C Q similium 



et similiter positarum, gravitates acceleratrices 
erunt in eadem ratione ; earum itaque pondera, 
(sive facta gravitati» acceleratricis per quantita- 




tem materiae) erunt in ratione composita 101 ad 
100 et 500 ad 501 sive 505 ad 501, et totorum 
crurum A C et C Q gravitates erunt in ea ra- 
tione 505 ad 501. 

(^) 82. * Ac proiyide si vis centrifuga. Ex 
motu diurno circa axem Q C, oritur vis centri- 
fuga qua fit ut partes quae sunt in crure A C, 
versus C, vi gravitatis attractae, simul etiam vi 
centrifuga repellantur, * iUa autem vis centri- 



I LiBER Tertius.] PRINCIPIA MATHEMATICA. 



65 



que, in partes 505 diviso, partes quatuor detraheret ; manerent pondera 
in utroque crure aequalia, et propterea fluidum consisteret in aaquilibrio. 
Verum vis centrifuga partis cujusque est ad pondus ejusdem ut 1 ad 289, 
lioc est, vis centrifuga, quae deberet esse ponderis pars j^ j, est tantum pars 
2^-g. (^) Et propterea dico, secundum regulam auream, quod si vis 



fuga in singuHs punctis cruris A C est in ratione 
distantiae eorum punctorum a centro C E (per 
Cor. 3. Prop. IV. Lib. I.) sed est etiam gravi- 
tas acceleratrix in ratione distantiae a centro (per 
Cor. o. Prop. XCI. Lib. 1.) ergo si alicubi 
data sit ratio vis gravitatis ad vini centrifugam, 
eadem erit in omnibus punctis : sit ergo alicubi 
ut 505 ad 4 gravitas acceleratrix tota singula- 
rum et omnium partium cruris A C erit ad gra- 
vitatem rcsiduam in singulis et omnibus partibus 
ejusdem cruris ut 505 ad 501, sed in eadem ra- 
tione erat tota gravitas cruris A C (absque de- 
tractione vis centrifugae ad gravitatem cruris 
C Q, quod ciim sit axis, vim centrifugam nul- 
lam habet) ergo residuum vis gravitatis in crure 
A C sublata vi centrifuga in aequilibrio est cum 
gravitate cruris C Q. 

(^) * Et propterea dico secundum regulam 
auream. * Vix crediderim Newtonum ad ap- 
plicandam regulam auream hic loci, alio nixum 
non fuisse fundamento quam ista confusa no- 
tione, quod ciim excessus ponderum in longiori- 
bus cruribus spha-roidcon pendcant ex inaequali- 
tate crurum, sive ab excessu unius cruris supra 
aherum, idto rationes excessuum crurum majo- 
rum ad minora crura eaedem esse debeant ac ra- 
tiones excessuum ponderum ad pondera mino- 
rum crurum ; quae quidem uitimae rationes (sive 
ipsis proximae rationes excessuum ponderum ad 
pondera raajorum crurum) aequantur rationibus 
yirium centrifugarum ad gravitatem totam, quia 
illae vires centrifugie ex gravitate detractae eos 
excessus ponderum accurate compensant. Sed 
mihi videtur ipsum deduxisse hanc proportionem 
ex ipsa serie ab ipso adhibita, et quam assequi 
sumus conati in nota ("^) proxima; quod ut con- 
cipiatur, resumantur quae in ea nota dicta sunt, 
et ad ratiocinium Newtonianum applicentur, 
supponendo quaestionem esse de duobus spha;ro- 
idibus, quorum unus sit assumptiiius ille cujus 
axes sunt ut 101 ad 100 alterum vero ipsa 
Terra, ita ut semi-diameter aequatoris quae in 
sphaeroide fictitio in nota praedicta per r designa- 
batur, Terrae respectu designetur per ^, semi- 
axis verd P Q qui in serie assumpta dicius fue. 
rat b et applicatus fictitio sphaeroidi, ubi vero 
ipsum semi-axem Terrae designat dicatur B. 
Assumptis ergo duobus primis terminis serie- 
rum, sed mutatis r in ^ et b in B, ubi agetur de 
Terra, 1°. Gravitas in loco Q in sphaeroidem 
erit ad gravitatem in eodem loco in spha;ram 



ram erit ad gravitatem in eodem loco in sphae- 



6 B « — 4 B2 



ram quae radio B describetur ut 

j 2B .^ , . . . . , 

ad — ; ideoque rationes gravitatis m loco Q m 

sphaeroidem vel Terram ad gravitatem in sphae- 

5r — 2 b 



ras radiis b et B descriptas erunt ut 

ad — i . 2°. Gravitas in sphaeras qua- 

rum sunt radii b et B est ad gravitatem in sphas- 
ras radiis A C descriptas ut radius b ad r, et B 
ad ^, ideoque rationes gravitatis in sphaeras radiis 
P Q descriptas ad gravitates in sphaeras radiis 

A C descriptas erunt ut — ad — . 

3°. Gravitas in sphoeras radiis A C descriptas 

est ad gravitatem in ellipsoides convolutione el- 

2 r 
lipsium A P B Q circa A C descriptas ut — 

6rb— 4rr. .y.-- . 

ad , si agatur de nctitio sphaeroide, 

^2^6eB-— 4^^ . , 

aut 1 1 -^ ad — ^ — ^ ubi agitur de 1 erra: 

et quoniam attractio spha;roidisfictitii aut Terrae 
est media proportionalis inter has attractiones, 
erit gravitas in sphaeram ad gravitatem in A in 



sJ)haBroidem, ut y'-^ ad \/ 
5 



6 r b — 4 r • 



5 b 



et gm- 



vitas in sphaeram ad gravitatem quae est in A 
^ 2^,,6^B — 4 ee 

Terram ipsam ut >v/ — ad v — ^ — ,13 — » 

ideoque rationes gravitatum in spliasras ad gra- 

vitates in sphaeroidem et in Ter ram erunt ut 
_ 



V 



ad \/ 



reductis frac- 



3 b — 2 r " ^' 3 B — 2 ^ 
tionibus ad minimos terminos. 

Hinc tandem compositis omnibus rationibus, 
rationes gravitatum, in punctis Q tam sphaeroi- 
deos fictitii quam Terrae, ad gravitates in punc- 
. * 3r — 2b ^ b ^ 
tis A eorum erunt ut X — X 



Vr. 



ad 



3-__2B _B 



T^T 



3b — 2r f "^'3B — 2^ 

Rursus in fictitio sphaeroide ratio magnitudi- 

nis crurum exprlmitur per — et in Terra per 



6br — 4b^ ,2b B 



radio b descriptam erit ut ^-^ 1-^ ad 

3 r 3 

et si agatur de Terra, gravitas in loco Q in Ter- 

G 



per quas quantitates ducantur rationes gra- 
vitalis, ct habebuntur rationcs ponderum qu;c 



66 



PHILOSOPHIiE NATURALIS [De Mund. Syst. 



centrifuga j^j faciat ut altitudo aquae in crure A C c a superet altitudi- 
nem aquas in crure Q C c q parte centesima totius altitudinis : vis centri- 
fuga 2A9 faciet ut excessus altitudinis in crure A C c a sit altitudinis in 
crure altero Q C c q pars tantum -^is- Est igitur diameter Terrse se- 
cundum aequatorem ad ipsius diametrum per polos ut 230 ad 229. Ideoque 
cuni Terrae semi-diameter mediocris, juxta mensuram Picarti, sit pedum 
Parisiensium 19615800, seu milliarium 3923,16 (posito quod milliare sit 
mensura pedum 5000) Terra altior erit ad aequatorem quam ad polos 
excessu pedum 85472, seu milliarium 17i\y Et altitudo ejus ad aequa- 
torem erit 19658600 pedum circiter, et ad polos 19573000 pedum. 

(*) Si planeta major sit vel minor quam Terra manente ejus densitate 
ac tempore periodico revolutionis diurnae, manebit proportio vis centri- 



jdeo crunt ut X — :, V z-, ad 






B 



inde ciim dif- 



3B — 2^ 
ferentia quantitatum r et b, j et B non sit mag- 
ua, numeratores 3 r — 2 b aut 3 e — 2 B ; pro 
r ac ^ sumi possunt, et denominatures 3 b — ^ r, 
3 B — 2 o pro b et B, ideoque rationes ponde- 

rum fiunt ut - X ^ X V T"' ^^ " X ^^ 
r r^ '^b g g^ 

B b ^ B ^ 

X V "5 sive iit — ad -y. Vel, invertendo, 

rationes ponderum in crure C A ad pondus iu 
crure C Q, sunt in sphccroide fictitio et in Terra 

r 2 p^ 
ut — ad -^ ; quod si difFerentia diametri r et 

axis fictitii b dicatur f ; differentia diametri ^ et 
axis TerroB B dicatur g hoc raodo exprimentur 
rationes ponderum crurum C A et C Q, 
b2_l-2bf4-ff B^4-2Bg-fgg 

^ bb ~^/ ''""' 

ergo rationes excessus ponderis in crure A C ad 

-l.2bf-f- ff j 

pondus totum cruris C Q, ut . . ad 

b b 

— ^ J*" ° - sive deletis f f et g g quas evan- 

cscunt respectu 2 r f et 2 ^ g ; cijm differentiae 

Jnter diametros et axes minimae supponantur 

respectu earum diamelrorum ; erunt iilje ratio- 

2bf ,2Bg . 2fj2g j 

nes ut ^ ad ^ , sive ut — ad — , sed ra- 

tiones excessus ponderum ad pondus cruris C Q 
sive ad pondus cruris A C (quod perinde est ob 
magnitudinem crurum et parvitatem excessijs) 
aequales esse debent (ut jam dictum est) rationi- 
bus virium centrifugarum ad gravitatem ipsam : 
quare, rationes ill» virium cenlrifugarum ad 

2f 2 g 
gravitatem aebent esse ut -— • ad -^— , sive ut ra- 

b B 

tiones excessuum diametri asquatoris supra axes 
nd axes, quae quidem est proportio quam New ■ 



tonus assumit, cujus fundamentum ita depre- 

4 
hensum est: hinc vis centrifuga quas est — :. pon- 



505 



deris totius, est ad vlm centrifugam quae est 

1 . . . 2f , 2 g . f 

sive ut — 

b 



ponderis totius ut — ad _ 
289 ^ b B 



ad 



J^, sed dum b est 100 est f : 
B 



1, ergo est -g = 



100 ^ 289 . 505 1 

— — sive " = — . 

4 115600 229 

505 

(^) 86. Si planeta viajor sit vel minor quam 
Terra ynanente ejiis densitate ac tempore periodi- 
co revolutionis diurncE, manet proportio vis centri- 
fugtv ad gravitatem. * Manere rationem yis 
centrifugEE ad gravitatem liquet ex nota 85. sive 
ex Cor. 2. Prop. IV. Lib. I. ; nam manente 
tempore periodico crescit vis centrifuga in ra- 
tione distantiarum, sed crescit etiam gravitas ac- 
celeratrix in ratione distantiarum (Cor. 3. Prop. 
XCI. Lib. I.) ergo in eadem ratione crescunt 
vis centrifuga et gravitas, ideoque in eadem ra- 
tione manent ac prius. 

Propterea manebit proportio diametri inter 
polos ad diamctrum secundum cequatorem : 
quippe, per notam prajcedentem z, ratio vis cen- 
trifugfe ad gravitatem est ut ratio excessus dia- 
metri acquatoris super longitudinem axeos ; ma- 
nente ergo priori ratione per hypothesim mane- 
bit et ista. 

Si acceleretur vel retardetur motus diurnus : 
ut tempus periodicum fit majus vel minus, vis 
centrifuga crescit reciproce ut quadrata tempo- 
rum periodicorum manentibus radiis (Cor. 2 
Prop. IV. Lib. I.) inde manentibusgravitatibuset 
diametris majoribus vel minoribus, liquet (ex nota 

f g 
illa z.) numeratores fractionum — et — , nempe 

excessiis diametrorum, crescere secundum ratio- 
nem virium centrifugarum, hoc est, ut quadrata 



LiBER Tertius.] PRINCIPIA MATHEMATICA. 



67 



fugae ad gravitatem, et propterea manebit etiam proportio «diametri inter 
polos ad diametrum secundum SDquatorem. At si motus diurnus in ra- 
tione quacunque acceleretur vel retardetur, augebitur vel minuetur vis 
centrifuga in duplicata illa ratione, et propterea diiferentia diametrorum 
augebitur vel minuetur in eadem duplicata ratione quamproxime. Et si 
densitas planetse augeatur vel minuatur in ratione quavis, gravitas etiam 
in ipsum tendens augebitur vel minuetur in eadem ratione, et differentia 
diametrorum vicissim minuetur in ratione gravitatis auctae, vel augebitur 
in ratione gravitatis diminutae. Unde cum Terra respectu fixarum revol- 
vatur horis 23. 56', Jupiter autem horis 9. 56', sintque temporum qua- 
drata ut 29 ad 5, (^) et revolventium densitates ut 400 ad 94^ : differen- 

tia diametrorum Jovis erit ad ipsius diametrum minorem ut __ x X 

5 94i 

ad 1, seu 1 ad 9^ quamproxime. Est igitur diameter Jovis ab ori- 

ente in occidentem ducta, ad ejus diametrum inter polos ut lO^ ad 9J 
quamprbxime. Unde cum ejus diameter major sit S?''', ejus diameter 
nnnor quae polis interjacet, erit 33". 25'^'. C^) Pro luce erratica addantur 
3". circiter, et hujus planetas diametri apparentes evadent 40" et 36". 
25''': quae sunt ad invicem ut 11-J- ad lO^ quamproxime. Hoc ita se 
habet ex hypothesi quod corpus Jovis sit uniformiter densum. (^) At si 



temporum periodicorum inverse, aut ut quadrata minuitur diametrorura differentia (ut patct ex 
celfritatum directe : hinc ait Newtonus : di^c- notis prjeced.). 
rcvtia dinmetrorum (quae differentiae exprimun- 
tur per f et g) augebilur vel minuetur in cd ra- 
tione duplicatd celeritatum quampraodme. 

Et si deusitas planet^e augeatur, gravitas avge- 
bitur in eddem ratione : hinc ratio vis centrifugaB 
manente radio et celeritate manentis, ad gravita- 
tem minuetur; ideoque minuetur ratio differen- 
tiae diametrorum ad ipsas diametros. 

Et in genere dicatur radius Terrae R, ejus 
densitas D, tempus periodicum T, in altero 
planeta litteris iisdem sed minoribus eadem expri- 
R T_ 

. TT , t t . 1 , ^.^ 

mantur, ent -rT-rr ad r- sicut — ad differen- 

D R dr 229 

tiam inter diametros aquatoris et axis planetae, 

.1 , D X T T 

qua; itaque erit — X -^ . 

^ ^ 22y ^ dX tt 

(^) * Et revolventium densitates. (Prop. VIII. 
Lib. hujus,). 

C^) * Pro luce erraticd. (5-3). 

C) * At si corpus ejus. Ille enim excessus 84. Lubet hic referre formulam qua, in hypo- 

densitatis in plano aequatoris facit ut ibi major thesi gravitatis proportionalis cuilibet dignitati 

sit gravitas, ac proinde ibi minor requiratur alti distantiarum a centro, simulque quod ejus actio 

tudo ad compensandam vim centrifugam, unde ad id centrum dirigatur, diamptrorum proportio 

G4 




68 



PHILOSOPHIiE NATURALIS [De Mund. Syst. 



corpus ejus sit densius versus planum eequatoris quam versus polos, dia- 
metri ejus possunt esse ad invicem ut 12 ad 11, vel 13 ad 12, vel forte 
14 ad 13. Et Cassinus quidem anno 1691 observavit, quod Jovis dia- 
meter ab oriente in occidentem porrecta diametrum alteram superaret 
paile sui circiter decima quinta : Poundus autem noster telescopio pedum 
123 longitudinis et optimo micrometro, diametros Jovis anno 1719 men- 
suravit ut sequitur. 



Tempora. 


Diam. max. 


Diam. min. 


Diametri ad ifivicem. 


dies hor, 
Jan. 28 6 
Mar. 6 7 
Mar. 9 7 
Apr. 9 


part. 
13,40 
13,12 
13,12 
12,32 


part. 
12,28 
12,20 
12,08 
11,48 


ut 12 adll 
13| 12i 
12f llS 
14^ 13i^ 



Congruit igitur theoria cum phaenomenis. Nam planetse magfs incal- 
escunt ad lucem Solis versus aequatores suos, et propterea paulo magis 
ibi decoquuntur quam versus polos. 



inveniri potest. Sit semi-diameter secundum 
sequatorem A C = a, radius variabilis C D = r 
sinus anguli D C P = h, posito sinu toto = 1 . 
Sit gravitas in loco A = p vis centrifuga in 




codem loco = f, ponaturque gravitas versus 
centrum C tendcns dignitati cuilibet n distantia- 
Tum a centro proportionalis, erit gravitas in A 
ad gravitatem in D ut a " ad r ", ideoque gravi- 

pr "* 
tas in D = — —. Quoniam vires centrifugce 

in locis A et G, sunt in ratione distantiarum 



£w T Q. 

C A, L G, erit vis centrifuga in G= ~ p a — » 

sed L G : C G = h : I ideoque L G = 
C G X h. unde vis centrifuga in G, fit = 

— ~- ; sit autem vis illa = G H. Quo- 

C A 

niam vis centrifuga quae agit secundum direc- 

tionem G H, non minuit gravitatem versus cen- 

trum C, nisi in quantijm agit secundum direc- 

tionem D C, resolvatur vis centrifuga G H in 

vires laterales K H, G K, est autem G H : G K 

vel 1 : h = ^- y ? ^ : G K, quar^ G K = 



fhh X r 

a 
p r " d r 



C A 

ideoque pondus cylindruli G g = 

fhhrdr„ . - 

. Sumptisque fluentibus, 

a 

pr«+i 



pondus totum fluidi in crure D C = 



f h h X r r 

2 a 



(n+l)a' 



Simili argumento, quia gravi- 

tas in A = p, erit gravitas in alio quolibet loco 

p X " 
cruris C A = - — —y si nempe distantia a cen- 

f X 

tro dicatur x ; vis autem centrifuga = — , et 

j ,. ,,. ^. px^^dx fxdx 

pondus cyhndruli manebit 



cujus fluens 



a 
f X » 



px "+ 

(,r+~i)a« 2» 



unde pondus to- 



LiBER Tertius.] PRINCIPIA MATHEMATICA. 



69 



Quinetiam gravitatem per rotationem diurnam Terrae nostrse minui 
sub aequatore, atque ideo Terram ibi altius surgere quam ad polos (si 
materia ejus uniformiter densa sit) patebit per experimenta pendulorum 
quae recensentur in Propositione sequente. 



fa^ 



tiim fluidi in crure C A, est — — , ,, 

n -(- 1 ) a " 2a 

jam vero quia fluidum in utroque crure C A, 

C D consistere debet in aequilibrio, oportet ut 

• jv pa " + I 
pondera smt aequalia, ac promde, 



fa 
2" 



pr ° + I 



fhhrr 



(n+ i)a« 

(2+l)a" 2a ' ""^e eruitur 

2 p r " + I — (n -f 1) f h h a °— » r r = (2 p 
— n f — f ) a " + ^. Ope hujus a;quationis fa- 
cile invenitur diametrorum proportio ; si enim 
fiat h = o, radius r abit in C P, habeturque 
2 p r ° + ^ = (2 p — n f — f ) a ° + S hoc est, 

1 
C A : C P = (2 p) -inri- : (2 p — n f-f)+ 

1 



n + 1' 

In hypothesi gravitatis uniformis, fit n = o, 
ideoque CA : CP = 2p:2p — f. Quo- 
niam vero in Terra gravitas est ad vim centrifu- 
gam ut 289 ad 1, erit C A : C P = 578 : 577, 
prout Hugenius invenit At in hypothesi gra- 
vitatis in ratione duplicata distantiarum a centro 
decrescentis, erit n = — 2, ideoque C A : C P 
= 2 p -f- f : 2 p = 579 : 578. 

* 85. Verum ha; hypotheses in hac formula 
invenienda assumptae cum rei natura et New- 
toniano systemate neutiquam quadrant, ideoque 
locum habere nequeunt : primum enim gravita- 
tem ad centrum Terrae dirigi verum non est si 
Terra sit sphaerois qualiscumque, quippe ex ipso 
facto constat gravitatis directionem esse perpen- 
dicularem superficiei aquarum, sive esse perpen- 
dicularem curvjB quam meridianus quilibet affec- 
tat; sed perpendiculares ad curvam a circulo 
diversam ad ejus curvae centrum neutiquam ten- 
dunt nisi in sola axium extremitate. 

2°. Gravitatis quantitas in variis punctis su- 
perficiei solidi ratione curvae alicujus geniti non 
sequitur rationem ullius dignitatis distantiarum a 
centro, sed aliam omnino legem juxta formam 
solidi, hoc est, juxta naturam curvae illius quam 
tneridianus affectat, et locum in quo corpuscu- 
lum attrahendum locatur, ut satis h'quet ex eo 
artificio quo Newtonus usus est ad determinan- 
dam rationem gravitatis in puncto A ad gravita- 
tem in puncto Q, unde gravitatis in variis locis 
proportio non per dignitatem aliquam distantia- 
rum, sed per rationes serierum, quales eas in 
nota C) invenimus, sunt exhibendae ; quamvis 
ergo verum sit in systemate Newtoniano gravita- 
tera decrescere ut quadrata distantiarum a quo- 
cumque corpore coUecto in centro suae gravitatis 
quasi in uno puncto, idem verum non erit si id 
corpus figura sphaerica non donetur, ct corpus- 



culum attrahendum juxta diversas partes ejus 
solidi collocetur; hinc ubi in formanda generali 
formula assumitur quod gravitas in A sit ad gra- 
vitatem in D ut a " ad r " ideoque gravitatem in 

p r " . 
D esse — j-, id omnino adversus theoriam gravi- 

tatis Newtonianam deducitur ; quod autera haec 
formula non multum a vero aberret, oritur ex 
eo quodrevera figura Terrae a sphaera perpa- 
rum discrepet. 

86. Vis centripeta vel centrifuga corporis cir- 
culum describentis est in ratione directa radii et 
duplicata inversa temporis periodici (Cor. 2. 
Prop. IV. Lib. I.). Quare si distantia planetas 
a centro Solis vel distantia satellitis a centro pla- 
netae primarii dicatur D, tempus periodicum T, 
radius ipsius planetae circa quem motu diurno 
revolvitur K, gravitas versus centrum revolutio- 

nis erit ; si autem haec gravitas crescat in 

ratione duplicata inversa distantiarum, erit gravi- 
tas planetse in eo in quo nunc versari supponitur 
loco, ad illius gravitatem, si positus fingeretur in 
superficie corporis centralis circa quod revolvitur, 
ut R R ad D D, ideoque foret gravitas planetae 

D 3 
in superficie hujus corporis ut . Jam 

R R 1 1 

vero cum vis centrifuga planetae positi in aequa- 
tore corporis circa quod revolvitur, sit in ratione 
directa radii hujus planetae et inversa duplicata 
temporis revolutionis circa axem, si tempus peri- 
odicum circa axem dicatur t vis centrifuga F, 

R 

erit F = — unde si vis gravitatis in superfi- 

cie corporis centralis dicatur P, erit P : F = 

90. Distantia D, quarti satellitis Joviah's a 
centro planetcB primarii sit 26.63 semid. Jovis, 
prout a Newtono in tine Phaenomeni II. deter- 
minantur, et tempus periodicum T = 16 dieb. 
18^. 5'. 7". prout a Cassino in novis Elementis 
Astron. traduntur. Semi-diameter Jovis R = 1, 
tempus periodicum Jovis circa axem t = 9^. 
55'. 52". posito in formula generali (87) n = 
— 2, habetur C A : C P = 2 p -f f : 2 p, vel 
CA — CP:CP = f:2p, autCA— CP: 
C P = R 3 T T : 2 D 3 1 1, erit itaque in hac 
hypothesi gravitatis pro Jove C A — C P : C P 

2 D3V 1 1 

= 1 : ttttt; — = 1 *• 1 1^. quae differentia 

inter semi-diametrum secundum aequatorem Jo- 
vis et semi-diametrum inter polos quamproxime 
aequalis est differentiae quam Newtonus ex sua 
methodo derivavit. 



70 



PHILOSOPHIiE NATURALIS [De Mund. Syst. 



Sit mediocris distantia Lunae a Terra D = 60 
semid. terrestr. tempus periodicum Lunse = 27 
dieb. 7 hor. 43'. semid. Terrae = 1, tempus revo- 
lutionis Terrae circa axem = 23 hor. 56'. 4". erit 
gravitas ad vin> centrifugam ut 288 ad 1. Unde 
pro Terra foret CA — CP: CP=1:576: 
Terra itaque minus compressa foret quam a 
Newtono definitum est, magis tamen quam de- 
terminatura est ab Hugenio, verum ob actionem 
Solis in Lunam, tempus ejus periodicum 
non respondet accurate vi centrifugaj Ter- 
rae; alias correctiones hujus calculi invenies 
Trans. Philos. Num. 438. quibus ad New- 
tonianum proportionem magis accurate re- 
vocatur. De hac qua;stione nobilissima 
procul dubio legantur quae de Telluris 
figura dederunt clarissimi viri D. de Mai- 
ran in Monumentis Paris. an. 1720. D. 
de Maupertuis ibid. an. 1733. 1734. 
1 735. 1 736. et in duobus opusculis quorum 
unum de Figuris Corporum Ccelestium, al- 
terum de Figura Telluris inscribitur. Prae- 
clara quoque de eodem argumento edide- 
runt D. Clairaut in Monumentis Parisi- 
ensibus an. 1735. et in Transactionibus 
Philosophicis Num. 445. et 449. D. Bou- 
guer ibid. an. 1736. D. Eustachius Man- 
fredius ibid. an. 1734. et D. Stirling in 
Transactionibus Anglicis an. 1755. 

^ * Viam sternet ad determinandam figuram 
Terra; ortam ex necessitate sequilibrii vis centri- 
fugae et vis gravitatis singularum ejus partium, 



nam ducantur ubivis in axe, duo puncta infmite 
proxima, ducanturque per ea superficies duae, 
parallelae basi pyramidis, sive, quod idem est, 
parallelae superficiei sphasrae circa P descriptee, 
exiguum solidum inter eas superficies contentura 
crescet ut illae superficies, sive ut quadratura 
portionis axeos abscissae, sed cum attractio sin- 
gulae particulae decrescat ut quadratum distan- 
tiae a puncto P, sive decrescat ut quadratum ab- 




LU 

z 



scissae; ideoque crescat particularum quantitas 
ut decrescit singulae particulae vis, evenit ut at- 
tractio ejus solidi ubivis in axe P Z sumpti ea- 
si generalissime solvatur Probl. XLV. (Prop. dem semper sit; ajqualis erit v. gr. attractioni 
XCI. Lib. I.) Newtoni, nempe, si inveniatur solidi cujus basis foret portio superficiei sphaerae 
attractio corpusculi non soliam slti in axe solidi intra pyramidem contentae, et altitudo illa quara 
rotundi, sed siti ubivis in ejus superficie, cujus minima aseos P Z portio assumpta, Hinc at- 
Problematis analysim hic in compendium tra- tractio totius pyramidis erit altractio ejus parvi 
demus» solidi, toties repetita quot sunt axeos P Z porti- 

unculae; cum itaque portio superficiei sphaerae 

PROBLEMA. intra pyramides contenta, sit ubivis eadem, ex 

const., attractiones singularum pyramidum erunt 

Data aequatione curvae cujuscumque qua? circa ut numerus particularum aequalium in singulo 

axim revolvendo solidum describat, invenire at- axe P Z assumendarum, sive quod idem est, ut 



tractionera corpusculi siti in quodumque puncto 
superficiei ejus solidi. 

Constructio. Fingatur planum tangens id 
solidum in P, et super eo plano, e puncto P ut 
centro descripta intelligatur sphc-Era radio infinite 
parvo, dividatur tota superficies hemisph£erii 
versus solidura conversi in portiunculas acquales; 
et concipiantur pyramides (quarum vertices sint 
in centro sphaerac) illis portiunculis insistentes et 
inde ad solidi ipsius oppositam superficiem con- 
tinuata?, puta in Z, Z, tcrminentur illae pyra- 
mides in eo solido per bases parallelas basibus 
ipsarum spha^ra; circumscriptis ; corpusculi in 



singuli axes P Z. 

His positis: sit M D N E unus e circulis 
genitis in solido proposito per revolutionem or- 
dinatae C M circa axim A B. Dico quod at- 
tractio puncti P ab omnibus pyramidibus qua- 
rum axes in circumferentia circuli ]M D N E 
terminantur, (quae est ut summa omnium axium 
P Z ad eara circuraferentiam terminatorum) est 
Jt linea P C a puncto P ad centrum ejus circuli 
C ductae, multiplicata per numerura axium P Z 
ad circumferentiam M D N E pervenientium, 
(missis nempe singularum P Z longitudinibus). 

Assumatur enim in circumferentia M D N E 



puncto P siti attractio ab omnibus illis pyrarai- punctum quodlibet Z, et ducta per centrum C 



dibus, concipi poterit ut attractio a toto solido , 
exiguae enim ejus solidi porticnes, quae in extre- 
mitate unius cujusque pyramidis negliguntur, 
sunt ubique totius pyramidis respectu infinite 
parvae. 

Attractio autem corpusculi P a singula pyra- 
mide erit ubique ut axis P Z ejus pyramidis ; 



linea Z C ^, ducatur P ^, ex demonstratis 
tractiones pyramidum ad Z et ^ pervenientium 
erunt ut P Z ad P ^ ; ducatur ex P in circulum 
M D N E perpendiculum P R et per R et cen- 
trum C ducatur diameter M R N, sumptaque 
N r = M R demittatur perpendiculum r p, sit- 
que r p = R P, linea M N, P R et r p sunt in 



LiBER Tertius.] PRINCIPIA MATHEMATICA. 



71 



eodem plano (per 6. XI. Elem.) ideoque linea 
P p secabit lineam M N, et cum triangula 
P il C, p r C sint ffiqualia propter r p = R P, 
angulos rectos, et aiigulos per verticem opposi- 
tos, sitque N r = M R linea P p transibit per 
centruni C ; erit etiam linea P p in plano trian- 
guli Z P ^ cum habeat puncta P et C in eo 
plano; inde si jungantur lineae Z p, ^ p, tota 
figura P Z p ^ erit in eodem plano, et propter 
ajquales P C, p C, Z C, C ^ Gt angulos intercep- 
tos per verticem oppositos lineas P Z, p 2^ erunt 
aaquales, ut et lineiE P ^, p Z, hinc figura 
P Z p ^ est parallelogramma cujus P p sive 
2 P Q est diagonalis ; quare cum pyramides 
trahant secundum directiones P Z, P ^, viribus 
qux sunt ut P Z ad P ^, vis inde resultans diri- 
getur secundiim diagonalem P p, sive 2 P C, 
eique erit proportionalis. 

Quod ciim ita sit de omnibus punctis Z in 
circumferentia M D N E sumendis, attractio 
puncti P ab omnibus paribus pyramidum in cir- 
cumferentia ejus circuli terminatarum, erit ut 



Ut longitudo seu rectificatio ejus curvae obti- 
neatur, ducantur a puncto P ad duo puncta 
proxima peripheriae M D N E linese P Z, Pz ; 
abscissa circuli sccundum diametrum a puncto N 
remotiori a puncto P sumatur, sintque N r et 
r Z abscissa et ordinata circuli respondentes 
puncto Z, dicatur N r, x, r Z, y ; Z z, d v; 
tota diameter M N, f, duplum ordinata? P Q sit 
g, denique si centro P radio P S describatur 
arcus S s, ille arcus S s erit elementum curvas 
quaesiias respondens elemento circuli d v. Ex 
l\ ut prius, demittatur in circulum M D N E 

perpendiculum P R, erit R C = P Q = -|-,ex 

R ducantur lineaa R Z et R z, et centro C radio 
R Z describatur arcus Z K ut sit R K = R Z, 
ex centro C ducatur ad Z radius C Z, et per- 
pendicuhim C Y in lineam R Z, dico 1°. quod 
triangulus R C Y est similistriangulo R Z r, ob 
angulum in R communem, et rectos r et Y, un- 

de est R Z ad Z r (y) sicut R C ^|-) ad C Y 




2 P C multiph'cata per numerum parium earutti 
pyramidum ; sive erit ut P C ipsa multiplicata 
per numerum omnium P Z ad circumferentiam 
M D N E terminatarum. 

Denique ut obtineatur numerus earum linea- 
rum P Z ad circumferentiam quamhbet M D N E 
terminatarum, observandum est, eas lineas egre- 
dientes ab hemisphaerio circa P dcscripto, in 
ejus superficie signare lineam curvam (dupHcis 
quidem curvatura^ quando P non imminet per- 
pendiculariter centro C, isto enim in casu signa- 
rent circulum) et propter a-qualitatem distantiee 
concursus eorum axium cum superficie hemi- 
sphasrii (cx constructione) numerus earum line- 
arum erit ut longitudo ejus lineae curvEe in su- 
perficie hemisphaerii signatce; huc ergo redit 
tota qu^stio, ut, dato puncto P ejusque ordinata 
P Q ad axem solidi rotundi, sumptaque ut libet 
abscissa A C, ejus ordinata C M, et circulo 
M D N E ejus ordinatae convolutione descripto, 
inveniatur longitudo curvae descriptaB in super- 
ficie sphajra (cujus radius P S ad lubitum assu- 
mitur) per intersectionem coni inclinati cujus 
venex est P, basis vero M D N E. 



cr y 

quod erit ergo —/-y^ ; 2°. triangulus C Z Y 
2 R Z 

est similis triangulo Z K z ; nam angulus R Z K 

est rectus per constr. quoniam triangulus R Z K 

est isosceles, angulus vero C Z z est etiam rec- 

tus per naturam circuli, unde dempto commuiii 

C Z K manent aequales anguli C Z Y et K Z z, 

praeterea anguli in Y et K sunt recti : erit ergo 

radius C Z f-^^ ad C Y (^-^f^) ^'^"' ^^ 

g V 

(d v) ad K Z quod erit ergo ?^' d v. 
K Z X I 

3°. Ducatur ex P linea P K, ea erit acqualis 
lineae P Z, nam trianguli P R Z, P R K erunt 
aequales ob communem P R, aequales per constr. 
R Z et R K, et angulos in R rectos (per 4. 
XI. Elem.); hinc si radio P K, centro P de- 
scribatur arcus K a>, erit P « = P Z et arcus 
Z co siniilis erit eiemeiito qucBsito S s, et trian- 
gulus Z z u rcctangulus erit in eu. 

Porro, triangulus K <i; z crit simii:s triangulo 
P R z ob angulum coinmunem in z, et rectos in 



72 



PHILOSOPHI^ NATURALIS [De Mund. Syst. 



R et «, sive similis erit triangulo P R Z, ideoque fiat ut P Z ad R Z iti K Z sive ^^^^^ d v ad 

2 V 
m z quod erit itaque ^^ ~ — -. d v. 

4°. In triangulo Z z «, rectangulo in u cum Z z sit d v et a» z sit p-|-rT£ ^ ^ ^^'^^ quadratum 

Z^siveZri^^dv^ — pA!^__dv*et 
cixm sit P Z ad P S sicut Z <y ad S s trit 
P Z * ad PS * sicut Z;;]^ give l-^^^^X 
d V * ad S s ^ ergo quadratum elementi curvae 

p s^ F^T^ 

quaesitae est ^ X 1 - pfr^ dv^: 

quod erat inveniendum. 

Ut autem integretur, primo notandum quod 
ex natura circuli elementum d v sit aequale 

f 
elemento d x X t— ' ^deoque quadratum ele- 

mentt mventum evadet ^^ X ^ — 4^ 

X d X * : praeterea est PZ2= PR^^J. 
RZ S et est RZ»= Rr* + r Z^ est autem, 
ex constructione, Rr= RN — Nr = 

^-i^ xide6queRr* = ^-ii — gx — f x 4-xxestque r Z 2 = f x~xx, ideo (R Z » = 

Rr* + rZ*) = ?±^| — gxetPZ^ = PR* + ^ — gx; sedestPR^+^i^ 

= PR2 + RN*=PN2, ergo P Z * = P N ^ — g x, et si ad compendium tertia proportiona- 
lis ad 2 P Q (sive g) et P N dicatur 1 ut sit P N * = g 1 fiet P Z ^ = g 1 — g x sicque, quadratum 

p g 2 f 2 fj 
elementi quaesiti cvadet —r^ — X (^ — l — ) X d x *, sive cum y^fitfx — xx, erit 

iUud qaadratum , ^^^^~ i-^X ( — ^ " =•) 
Dividatur autem f ^ per x X f — x fit ^ 1 4. -|. + |_ -|. 1_, &c. 




Dividatur g per 1 — x fit 
Di£ferentia serierum fiet 



g^_gx__gxj gxj 

1 12 l 3 T^ 1 4 ' ^"^* 



+ *-T^ + *-rT^ x + ^-rT^^^ + '-™^ '^ ^' ^^- 



>-f3 g 
14f3 



£ 1-g l^-jj 13_-f^g 

Divid. ea differ. perl - x fi. ^^+'J±:I+ "+7/;-^^« .+ ''+''^+'::t^^-'''^ ^ '. *- 
Unde quadratum elementi S s 

e.a.»x^V:iV±t=i+iy^tt£i=!%. + >i±I!a^^^ 

quae series ad lubitum continuari potest. 

Exprimatur autem curv» qusesitae longitudo per hanc seriem cujus coefficientes sunt in- 

determinati Ax2+Bx2 4- C x 2 + D x 2 4. E x.2 -|_, &c. 

ejusfluxioeritdxX(^Ax-i4-fBx^4-|Cxf 4-|Dx2 4.fEx2 4., &g) cujus quadratum 

fcrit dx*X(i A»x-^4-|AB4-JACx4- JADx*4.|AEx34-lLAFxS 

4-| B/ x+ IJ BCx^4-2_i BDX34. 27 BEx4, &c. 

4.!2^5CCx3 4-3^CDx*,) 



LiBER Tertius.] PRINCIPIA MATHEMATICA. 



73 



Collat 
nietur A = 



verd terminis seriei inventas cum terminis con-espondentibus hujus seriei fictitiae, inve- 
PSj/f 

si^ + ^if + sf^ 

+ 2lg — 6fg ^ 

- g ^ 



C=AX 



D=AX 



2. 4. 5l^f^ 



10I34- 6 fl^ + 6f M-f-IOfa 
4- 2 gl2-fl2fgl — SOf*i 



+ 6gM-10fg^ 
2 S^ 



2. 4, 4. 7 P f 3 
55l+-|-20fl3-f 18fM^+ 20 f3l4- 35f4, 
-|-4gl3-|L I2fgl2-f-^0f^S^— l^^Of^g, 

4-20g3 1 _ 28fg3, 
— 5g*, 



E=AX 



2. 4. 4. 4. 9 1 4 f 4-. 



Hinc series quas exprirait longitudinem curva; quaesitEe fit 

3l2_f 2lf -f 5f% 
Jl|,^fX(J , l + f-g,,! . -|-2lg-6fgxf+, &c.- 

Vgi 2. 3lt ^ — gg, 



2. 4. 5 1 2 f 2 

Si autcm talis sit curva, ut P N sit ubique major quam g, scribatur loco x longitudo f, sive dia- 
meter circuli, et habebitur valor dimidii curvte qu£esit£e, quod respondet semi-circulo M D N : est 
ergo ea semi-curva, 

31^4-21^4-3^2, 

-f 2lg— 6fg, &c. 
— gg» 



PS 14_f— jr 



Vgi 



In hoc autem casu quantitas 1 sive 



2. 4. 5 ] 
PN 



g 



est major quam f, mijorem esse quam g ex Hy- 



A. 



^othesi hujus casus sequitur, cum P N supponatur 
inajor quam g ; majorem autem esse 1 quam f hinc 
liquet, ducta in trapezio P q N M diagonali P N fiat 
in P super P N a parte linece P M angulus N P L 
sequalis angulo q, ita ut occurrat P L linea^ N M, 

dico lineam N L esse longiorem quam N M, nam anguli Jj/ l_ ' '^''■---^ lNr 

M P q et q sunt asquales, sed angulus N P L est aequalis 

angulo q ; ergo angulus N P L cum angulo N P q major 

est angulo q P M, cadit ergo L ultra M ; sive N L est 

major N M ; est autem N L sequale 1, nam trianguli P q N 

et P N L sunt similes ob angulos q et N P L aequales per 

const., angulosque N P q et P N L sequales ob parallelas 

P q, M N, hinc ergo est P q ad P N ut P N ad N L, sed 

est P q sive g ad P N ut P N ad 1, ergo est N L aequalis 1 Bl 

et major quam f. 

Hinc, ut ista series convergat, debent ita disponi termini hujus seriei ut remotiores a primo po- 
nantur ii in quibus crescunt in numeratore dimensiones quantitatum f autg, et in denominatore di- 
mensiones quantitatis 1, ideoque hanc habet formam. 





oNa 






m/ 


y 



74 PHILOSOPHL^ NATURALIS [De Mund. Syst. 

P N ^ 

+ 271-1 ><^'+^^^^ 
1 



2.4. 5 



— X (3l- + 2fl+2gl + 3f--6fg--g^) 



^ L_^X(lOl3+6fl^+2gl2+6fM+12fgl+6gM+10f3— SOf^g—lOfg^— 2g3) 

l X (35l*+20fl3+4gl3+ l8PF+12JiI^=6i^+ 20f 3i+60f\rl+60fg^l+20g31+,&c.) 



2.4.4.4.91+ 



4. i X{l26l5 + 70fl* + 10gl + + 60f2l3 + 24fgl3 — 4g2l3^&c.) 

^2.4.4.4.4.1115'^^ ^ T o 1 

J l X (462 1 «5 + '252fl5 + 28gl5, &c.) 

^2.4.4.4.4.4.131«'^^ ^ 

j l — X cnie 1 7 +, &c.) 

^2.4.4.4.4.4.4. 15 17 '^ ^ ^ 

Ut autem h£ec forma ad simpliciorem revocetur, notandum quod ubl est g = o tunc 1 = qq , 

ideoque omnes termini hujus seriei prjeter primam columnam evanescunt, quoniam continet altissi- 

mam dignitatem quantitatis 1 ; sed ubi g = o tunc conus P M D N E fit rectus; et curva inscripta 

spliaerse cujus radius est P S, est circulus cujus diameter est ad f sicut P S ad P N, unde is dia- 

P S X f 
meter est - ; ideoque prima columna seriei quae eo in casu dimidium curvae exprimit, conti- 

net rationem semi-circuli ad diametrum 1. 

Ideo summa tota ejus columnae 1 + + -— — - + --, &c. est 1.57079, &c. idque 

in quocumque valore quantitatis g, siquidera ea quantitas in ea columna eliminatur. 

Ad inveniendam summam secundae columnse, ea in duas dividatur partes, quarum prior multi- 
f g . f 

plicet -p, altera -y- ut habeatur summa? columnae multiplicatae per — observandum quod singuli 

coefficientes prim» columnse (primo termino 1 secluso) sunt ad coefficientes singulos secundae 
columnae ut numeri 1 ad 1, 3 ad 2, 5 ad 3, 7 ad 4, 9 ad 5, 11 ad 6, 13 ad 7, &c. qua^ ratio tan- 
dem abjt in rationem duplam, itaque hi coefficientes secundae columnas simul sumpti dimidium 
efficiunt quantitatis .57079 addita insuper ea quantitate qua primi coefficientes secundas columnae 
excedunt dimidium coefficientium piimae, qui excessus celcrrime convergunt, suntque 

i_ , _i_ j l__ , i , 7__ 21 66 

1.3 ' 2.4.5 "*" 2.4.4.7 ' 2.4.4.4.9 * 2.4.4.4.4.11 •" 2. 4. 4. 4.^1. 4. 13 ^" 2.4.4.4.4.4.4.15' 

qui termini sunt .08353 ^^ termini roliqui habeantur, fingi potest sequentes terminos 

.01250 decrescere in ratione duorum ultimo inventorum, unde summa 

.00446 omnium terminorum adjiciendorum erit .001 12 proxime, hinc 

.00-17 gg p^fg secundae columna est .39152 — proxime. 

.00124 ^ 1 ^ 

.00078 Hujus autem primae partis secundae columnae coefficientes 

.000.53 sunt ad coefficientes alterius partis ut — 1 ad I, + 1 ad 1, 

■ 3 ad 1, 5 ad 1, 7 ad I, 9 ad 1, &c. singuli autem erant ad suos 

.10613 excessus supra dimidium termini columnae prim» ut 2 ad 1, 

summa reliquornm. 001 12 4 ad 1, 6 ad 1, 8 ad 1, 10 ad 1, 12 ad 1, &c. ergo coefficientes 

dimidium .57079 .28539 alterius partes istius columnae sunt ad eos excessus ut 2 ad — 1 , 

' ■■ 4 ad 1, 6 ad 3, 8 ad 5, 10 ad 7, quse ratio tandem ad a^quali- 

.39152 tatem desinit; ergo summa istius columna^ sumatur aequalis 

diffiirentiolis supra inventis .10613, et insuper quantitatibus 
quibus inventi termini hujus columnae excedunt eas diffijren- 
tiolas, quae sunt 

rzli 4. ii_ 4. _i L t * 3 7 18 

2.3 "• 2.4.5 "^" 2.4.4. 7 "*" 2.4.4.4.9 "*" 2.4.4.4.4.11 ^* 2.4.4.4.4.4.13 "^ 2.4.4.4.4.4,4. l^ 



LiBER Tertius.1 PRINCIPIA MATHEMATICA. 



75 



-\- .03750 Unde summa tenninorum ejus columnae est — .09952 — proxime 
-f- .00446 ^ 

OOiSO 

+ .00053 
-j- .00026 
00014 



— .20531 
sum re'iq. 16 

sum. diiier. -|-. 106 13 



— .09952-|- 

f i f ff ff * 

Terminl tertiae columnEe summati evadunt 4- 0.1379 — — 0.0621 —f •{• 0.0057 pj 

f3 f 2 g f g2 (,3 



Termini quartae sunt -f- 0.07265 1-^ — 0.071 19 -rf- — 0.0082 -^ + 0.03353 2- 

Term. quintae sunt -|- 0.04965 j-^ — 0.00444 -r-^ — 0.05586 ^ 
f5 f+g 



g_ 
1; 

fg3 



T. sext» sunt -f 0.07469 — — 0.14589 y^ — 0.1 1563 



^^ + 0.06380 -^-1-0.015^^ 



f3fr2 

-j^ 0.06938 — 



fff4 
.0.01376-T^ 



— 0.00385 



In hoc casu ubi 1 est raajor quam g aut f, ex istis terminis sufficiens convergentia obtinetur, ut 
pro vero valore curvae, hi termini, imo et pauciores assumi possint reliquis omissis ; quoniam ergo 
invenimus attractionem puncti P a circulo M D N E esse ut P C ductum in numerum lincarum 
P Z in circumferentia M D N E terminatarum, sive ut P C ductum in curvam quae in superficie 
sphaeriB intercipitur inter lineas P Z, si in singulo puncto C, axeos A B erigatur ordinata quae 
sit ut 

^-^ X M N X(I.57079 -f 0.59125 — -{- 0.1379 ^ + 0.0726 — 

— 0.09952 4 — 0.0621 -^^ — 0.0722 -r^, &c. 



4- 0.0057 — p- — 0, 
1 •' 



.0032 



l 
fg 



-1- 0.03353 y-3 

et per vertices earum ordinatarum curva ducta intelligatur, expriraet ejus area attractionem puncti 
P, si modo in hoc valore inserantur quantitates ad curvam revolventem pertinentes ; abscissa con- 

itans A Q dicatur a, ejus ordinata P Q = -|- sit c, abscissa A C sit x, ordinata C M sit y, erit 

P N 2 = Jr:^ ^ + y~V^\ S ideoque 1 = ^^^+f'^^'^ et P C = V T^^^~+^* 

Ex his et aequatione curvae, determinari potent punctum axeos in quo transibit circulus talis 
ut attractio cis eum circulum aequalis sit attractioni uhra eum circulum, sive punctum axeos 
ad quod tendit media directio gravitatis ; hinc ejus obliquitas ad perpendiculum in curvam 
obtinebitur. 

Sed cum haec duntaxat valeant cum g sive P Q q nunquam major est quam P N, generalior alia 
est solutio, sed cujua calculus paulo prolixior videbitur. 

2. Casus, si talis sit curva ut incertum sit utrum 
P N nunquam sit minor quam P Q q sive g. 

Ducatur per punctum P linea quae angulum N P M 
in duos angulos aequales dividat, et occurrat lineae 
M N in puncto X, erit (per 3. VI. Elem.) P N -^- 
P M ad N M ut P N ad N X quod erit ergo 

P N X f 

.p-— — — -— — ; scribatur is valor loco x in serie quae 

cxprimit longitudinem curvae proposita?, ea evadet 7, T> 




76 



PHILOSOPHIiE NATURALIS [De Mund. Stst, 



PSX f 



^r^=X(l + 



1 + f-g 



2 ^ 2lf +3 f ^ 
+ 2lg— 6fg 



2.3.1X1* N + PM 



P N + - 



l-^XPN-l- PM|2 



l-^PN^&c ) 



V P N X i* N 4- 

q\ine scrics in oinni casu convcrgit proplcr quantitatis P N + P i'I clignitates in denominatore 

positas; quae quantitas sompcr major est quam P N, f et g in mimeratore positas (per 20. I. 

P N ^ . 

Elcm.), imo si loco 1 ponatur cjus valor fialquc reductio, senes evadct 



P sx f 



g 



V i* N X P N 4- P M 



l»N^4-fg — g* 3PN4-f.2PN^gf+3f2 

x(^ + o~ti.i ^p;^.ttt + +2PN^gg_6fg3,&c 



?.5.PNX PN4- PM 



-- g ^ 




Cum autem in triangulo P N q, vel in triangulo 
P M N, P N 4- M N sit summa laterum et P N 
nunquam sit minimum latus, demonstrabitur facile 
quod rectangulum P N per P M -}- P N, est majus 
rectangulis aut quadratis factis ex reliquis lateribus 
P N, P q vel M N, unde in quocumque casu hoec 
series tam respectu litteralium quantitatum quam re- 
spectu numerorum coefficientium erit convergens, id- 
que satis prompte, siquidem duobus gradibus crescunt 
dimensiones ab uno termino ad alterum. 

Portio autem curvae quajsitte respondens tali abscis- 
sx, est accurate quarta pars totius curva^ qusBsitae, 
sumptis enim a puncto P secundum lineas P M, P N 

longitudinibus P S, P Z aequalibus radio sphaerae, ductaque S S ; et secto cono P M D N E se- 
cundum lineam S 2 per planum perpendiculare plano P N M, sectio erit ellipsis et S S unus ex 
ejus ellipseos axibus ; quia vero triangulus P S S est isosceles et linea P X angulum S P 2 bifa- 
riam dividit, ea linea P X secabit axem ellipseos S X in ipso centro K ellipseos ; quoniam autem 
alter axis K A est perpendicularis in axem S S, et est in plano ad planum P N M perpendiculari, 
erit axis A K perpendicularis in lineam P K X ideoque erit parallelus ordinatae X Z, et linea P Z 
transibit per punctum A ; ergo unus ellipseos quadrans intercipietur inter lineas P N, P Z, hoc est 
respondebit portioni N D Z semi-circuli N Z D N, alter vero quadrans ellipseos respondebit reli- 
quae portioni M Z semi-circuli ejusdem ; jam vero evidens est quod si habeatur conus rectus cujus 
basis sit ellipsis quaevis, et ab ejus vertice ut centro, radio quovis describatur curva in ejus coni su- 
perficie, portiones ejus jurvae singulis quadrantibus ellipseos respondentes erunt inter se aequales ; er- 

P N 

go portio curvae respondens abscissae x = g -— : f est accurate quarta pars totius curvae 

quaesitae. 

Ergo ex prius inventis, cum attractio P a pyramidibus in peripheriam M D N E desinentibus, 
exprimi debeat per P C ductum in numerum linearum P Z, quae a puncto P aequalibus angulis 
procedentes ad peripheriam M D N E desinunt, is vero numerus linearum P Z sit ut curva quae 
intercipitur in superficie sphaerae descript£e radio quocumque P S inter eas lineas P Z, eaque curva 
in quatuor sequales quadrantes dividatur, erit etiam is numerus linearum P Z ut unus ex eis qua- 
drantibus ; exprimitur vero is quadrans per seriem supra inventam : ergo (posito P S = 1) attrac- 
tio puncti P a solido est ut 

!• C X f PN^-f-ff—gg , 3PN4-|-2PN*gf-f-3f^gS 



a/ PNX PN-f-PM 



= x(i + — 



2.5.PNxi*N-f-PM 



4-2PN^gg-6f g3,&c. 
- gS 



2. 4. 5. P N ^ X P N -f. P M| 2 

Haec series tunc minimum convergit ciim ex Solis coefficientibus numericis convergit, cum 
nempe punctum M coincidit cum puncto P, tunc enim quantitates omnes N M, sive f, P q 

sive g, P N et P N 4- P M sunt inter se asquales et P C = -|- tunc ergo series redit ad P CX 



^ + 2. 3 + 2. 4. 5 



4-7 



10 



.35 



2. 4. 4. 7 



2. 4. 4. 4. 9 



, &C.) 



Eo autem in casu, ex ipsa constructione liquet, portionem curvae sphaeraj inscriptae esse quadran- 
tem circuli cujus radius est 1, eumque quadrantem exprimi ista serie; hinc totam hanc seriem 
aequipoUere quantitati 1.57079 X I* C. 



LiBER Tertius.] PRINCIPIA MAfHEMATICA. 



77 



Facilior paulo evadet calculus, si loco sumraaB laterum P M -j- P N, adhibeatur quantitas 
-— — ~ ipsi Eequipollens. Prolixior tamen est, quara ut illum applicare sustinuerimus ad ul- 



P N— PM 

teriores consequentias. 

Dixi ex his viara sterni ad determinationem curvoe quam affectat meridianus Telluris ; nam si ex 
aequatione generali y=Ax"-f- Bx^°-|-^^"'"' ^^- ^* ^^ ^^^^^ inventa determinetur attractio 
puncti P a quovis circulo, et erigatur in puncto axis, quod ejus circuli cst centrum, ordinata quae 
ejus circuli attractionem repraesentet, et intelligatur curva per earum ordinatarum vertices transiens, 
quaeratur ejus curvas area per vulgatas methodos, habebiturque gravitas puncti P in solidum ; quoe- 
ratur praeterea punctum axeos Y in quo si erigeretur ordinata illi curvae qufe gravitatcm puncti 
P exprimit, ejus curvae area bifariam divideretur, erit Y punctum axeos ad quod attractio puncti P 
dirigetur. 

Pariter ex aequatione generali curvae habebitur punctum axeos Z ad 
quod pertinget perpendiculum in curvae punctum P, habebuntur ergo 
intervalla Z Y et Y Q,, ex Z ducatur Z V parallela P Q quae con- 
currat cum P Y producta in V, producatur P Q in F ut fiat P F = 
Z V, ducaturque F Z, quoniam curva circa axem revolvitur, P F erit 
directio vis centrifugae agentis in puncto P, P V directio gravitatis, 
P Z vero curvae perpendicularis erit directio media nata ex utriusque 
vis compositione (ut constat facto cijm agatur de Tellure ipsa) ; sed 
quia habentur Z Y, Y Q, P Q et P Y habebuntur Z V et V Y, ideo- 
que habebitur V P, ergo habebuntur latera et diagonah's parallelo- 
grammi F P V Z sive habebuntur rationes vis centrifugae puncti P, 
vis ejus gravitatis et vis mediae P Z ex utraque resultantis, fiat ergo ut 
P V ad P Z ita gravitas puncti P ex attractione sohdi nata et per 
aream curvae inventa ad residuuni ejus gravitatis, dempta vi cen- 
trifuga. 

Tandem inscripta intelligatur in curva qiue quaeritur, alia curva ipsi omnino similis, ita ut earum 
sit idem centrum, et axes supra se mutuo jaceant, aecjuatoris prioris curvae semi-diameter dicatur m, 
et differentia ejus a semi-diametro alterius, quae quamminima assumi potest, dicatur d 
C Q prioris curvae sit z, erit ejus differentia ab abscissa cor- 

respondenti alterius curvse = Q n = r p ; ordina- 

m 

ta P Q sit y, ejus differentia ab ordinata correspondenti erit 

ydm ^ . . . 

= P p ; quoniam r t potest sumi ut portio tangen- 

tis curvae, triangulum r p t erit simile triangulo fluxionali 

in puncto r sive etiam in puncto P ob similitudinem cur- 

. . . n ■, C' dm\ 
varum et abscissarum erit: ergo dz: dy = rp(j I 

zdy^^dm ^ ^ , ,2dy 

laris ad curvam in P erit etiam triang. P ^ t simile triang. r p t ideoque triang. fluxionali ; nam 
ob similitudinem curvarum, tangens r t est parallela curvae in P ; idtoque angulus g est rectus, e^ 

; d y dm,_ , . ydz-f-zdy^,dm 

-^y X — ad P e quod ent ergo ^ /^ X — «»vc 




m, abscissa 




sed si ducatur P g perpendicu. 



- ergo d V ad d z ut P t sive y -[- 



d ra 



deleta ratione quae data est, perpendiculi portio inter duas curvas similes intercepU ent ui 

m 

~ i, multiplicetur id perpendiculum per y d v, factum erit ut annulus solidus inter cur- 

vas interceptus tandem ergo multiplicetur y*dz-j-zydy per valorem gravitatis acceleratricis 
secundum P Z quas prius inventa fuit, factum erit ut pondus fluidi inter curvas similes intercepti 
in puncto P, sumantur ejus facti fluxiones facta d z constanti, et nihilo aequentur illae fluxiones, sic 
pondera omnium partium inter duas curvas conientarum fient aequalia, et habebitur aequatio fluxi- 
onalis curvjB quam meridianus Terrae affectat. 

Ah"a etiam est in hoc Problemate conditio quae brevius aequationem suppeditare posset, nempe 
\ (fig. praeced. ) cum sit P Q ad Z V ut Z Y ad Y Q, et Z V sit ubique ut vis centrifuga puncti P 
quae est semper proportionalis ordinatae P Q, ratio Z Y ad Y Q constans esse debet. Bene ergo 
res se habet si utroque modo eadem obtineatur curva, sin minus, oportet ut inter has hypotheses 
aliqua sit repugnantia, nempe dari soHdum, uniformiter densum, rotans circa axcm et in aequihbrio 
constitutum, in quo media actio inter gravitatcm et vim centrifugam sit perpendicularis ad cur- 
vam ; quac quidem dicta non putentur ut praeripiam pahnam et laudem illi qui majori patientia aut 

VoL. III. H 



78 



PHILOSOPHI^ NATURALIS [De Mund. Syst. 



PROPOSITIO XX. PROBLEMA IV. 

Invenire et inter se comparare pondera corporum in Tence Jiujus regionihus 

diversis. 



Aa 



(*) Quoniam pondera inaequalium crurum canalis aqueas A C Q q c a 
aequalia sunt ; et pondera partium, cruribus totis proportionalium et simi- 
liter in totis sitarum, sunt ad invicem ut pon- 
dera totorum, ideoque etiam aequantur inter 
se ; erunt pondera aequalium ct in cruribus 
similiter sitarum partium reciprocc ut crura, 
id est, reciproce ut 230 ad 229. Et par est 
ratio homogeneorum et aequalium quorum- 
vis et in canalis cruribus similiter sitorum 
corporum. Horum pondera sunt reciproce 
ut crura, id est, reciproce ut distantiae cor- 
porum a centro Terrae. Proinde si corpora 
in supremis canalium partibus, sive in superficie Terras consistant, erunt 
pondera eorum ad invicem reciproce ut distantiae eorum a centro. Et 




industria determinabit generalissime raeridiani 
figuram ex genuinis Newtonianis Principiis, nul- 
la pra^supposita ad circulum, ellipsim, aliamve 
curvam affinitate, sive his calculis ipsis felicius 
tractatis sive aliis. 

(') * Quoniam pondera. Concipiatur (ut 
supra Prop. XIX.) canalis aquaj plcna a polo 
Q q ad centrum C c et inde ad sequatorem A a 
pergens. Quia oportet fluidum quiescere (cx 
Hyp.) erit fluidum in canalis crure A C in ae- 
quilibrio cum fluido in ejusdem canalis crure 
Q C, et portio quaelibet fluidi in crure C A con- 
sistet in ffquilibrio cum simili et similiter posita 
fluidi portione in crure C Q (ex demonstratis, 
in Prop. praeced.) idem quoque simili argumento 
coUigitur de corporibus quibusvis homogeneis 
etiamsi fluida non sint. Quare corpora hornoge- 
nca qua? sunt ut A C, Q C in locis A et Q con- 
stituta a;(jue gravia sunt versus centrum C. Sed 
gravitas corporis in A positi quod est ut Q C 
est ad gravitatem alterius corporis homogenei 
ibidem constituti quod est ut A C sicut Q C ad 
A C. Sunt enim corporum homogcneorum in 
eodem loco consistentium pondera ut ipsamet 
corpora, ergo corporum homogeneorum in A et 
Q positorvuTi gravitates simt ut Q C ad A C. 
Eodem modo ostendetur gravitatem corporis in 
loco E, in altura quacumque canali C E, esse ad 
gravitatem corporis a^quaHs et homogenei in loco 
Q, ut C Q ad C E ; fluidum enim .in canali 
A C E quiescere Uebet eicut in priori canali 



A C Q (per Hyp. ) unde, ex aequo, asqualium et 
homogeneorum corporum in Telluris superficie 
ubivis consistentium gravitates absolutae sunt ut 
diatautiae a centro reciproce. 




* Gravitntem corporis in E esse ad gravita- 
tem corporis in Q ut C Q ad C E verum est 
non mathematice, sed quam proxime; directio 
enim gravitatis corporis positi in E non est se- 
cundum E C, ita ut ad contrum C tendat, sed 
cst perpendicularis superficiei Q E A (ut ex 
facto liquet) liinc gravitates in singulis punctis 



Ltber Tertius.] PRINCIPIA MATHEMATICA. 



eodem argumento pondera, in aliis quibuscunque per totam Terrae super- 
ficiem regionibus, sunt reciproce ut distantiae locorum a centro : {^) et 
propterea, ex hypothesi quod Terra sphaerois sit, dantur proportiones. 

Unde tale confit Theorema, quod incrementum ponderis pergendo ab 
sequatore ad polos, sit quam proxime ut sinus versus latitudinis dupUca- 
tae, vfel quod perinde est, ut quadratum sinus recti latitudinis. {^) Et in 

forei>t reciproce ut radii osculatores curvae, ve- es.t, arcus M e, sive quia A M exhibet latitudi- 

rum ob figuram Terrce prope s,pha;ricam id sub- nem (10) erit e m, sinus versus latitudinis dupli- 

tilius scctari videtur superfluum, tanto magis catoe ; sed est e m X e F = e M ^ (ex proprie- 

quod calculorum consequentiaa cum experimen- tate circuli). Quare ob datam e F, est e m ut 

tis sint cojiferenda?, in quibus semper deficiet « ivi ^ „^i ^ 



mathematica «x^/jSs/a. 

91. (^) * J£t propterea. Ex hypothesi enim 
quod Teria sit sphaerois, qualem vult New- 
tonus, hoc confit Theorema ; quod scilicet incre- 
mentuTn ponderis pergendo ab c^qtiatore ad polos 
sit quamproxime ut sinus versus latitudinis dupli- 
catcc, vel quod perinde eat, ut quadratum sinus 
rccti latitudinis. Sit enim A P B A, ellipcis qua; 



fit M D, ut 




e M ^, vel etiam ut M E ^ ideoque M D, est ut 

RPXem , , , R P 

_— ^,velobdatas^ 

e m, sive ut M E ^. Quia vero pondera in 
locis A et D sunt ut distantise locorum a centro 
reciproce (ex dem.) erit incrementum ponderis 

in D, ut ' — TTT* ^^^ ^^*» "' ^ ^ — C D, 
C D L/ A 

vel ut C M — C D ideoque ut M D. Quare 

incrementum ponderis, &c. 

(^) 92. * Et in eAdem circiter ratione. Mini- 

mus arcus circuli curvam aliquam in dato puncto 

osculantis pro arcu infinitesimo curvae in hoc 

puncto usurpari potest (121. Lib. I.). Sed in- 

tegri gradus sunt ut minimi arcus similes, arcus 

autem illi sunt ut radii circulorum curvara oscu- 

lantium ; quare gradus integri erunt ut iidem 

radii. Erit itaque gradus in loco D, ut radius 

circuli ellipsim ibidem osculantis, et gradus in 

loco A, itidem ut radius circuli ellipsim oscu- 

lantis in eodem puncto A. Jam vero ducta per- 

pendiculari C N, ad tangentem D N, sumptoque 

D r, pro radio osculatore in D, erit Dr ut D k •', 

sive quia estCP2==CNX D^ (ibid.) ob 

datam C P ^ erit D k ut ,, j^ , ideoque radius 
C N 

circuli qui est ut D k 3, erit ut 



referat meridianum Terrae et A R B L A, cir- 

culus radio C A, descriptus ad quem eUipsis 

A P B A proxime accedit, sitque radius C A 

semi-diameter sjquatoris terrestris, erit (ex natu- 

ra ellipsis 247. Lib. I.) R P : M G = C R : 

x^ T»T -j ' ,, ^ R P X E M 

E M, ideoque M G = ■ tVtt Sed — 

propter triangula D M G, E M C, similia, ubi 
ellipsis ad circulum proxime accedit (tunc enim 
D G, sumi potest pro recta tangente ellipsim in 
puncto D, et ea tangens est quam proxime per- 
pendicularis radio D C) est M G : M D = 

M C : M E ac proinde M G = HJl>yL9, 

M Xi 

RPXME MDXMC ._ 
cnt crgo -^^- = -f^ jundefit 



MD 



C R "~" 
R P X M E ^ 



ME 
Jam vero ex puncto 



C R^ 

M, ducatur perpcndicularis M m ad rectam Fe, 
erit em sinus versusarcusduplicatis A M, hoc 

H 



^^,hocest,ra. 

dius circuli ellipsim osculantis est reciproce ut 
cubus perpendiculi ex centro C in tangentem 
D N demissi. Quare incrementa graduum in 

D, pergendo ab aequatoread polos erunt ut ^- 

■— — hoc est, ut C A 3 — C N ^, sive ut 
C A^ 

C M 3 _ C N 3, vel etiam ut C M 3 — C D 3 

quoniam diflTerentia rectarurn C N, C D admo- 

dum exigua est. Sed est C M 3 = (C D -f- 

D M) 3 = C D34-3 C D ^ X D M -I- 3 D M ^ 

X C D -f D M 3, ideoque C M 3 _ C D 3 = 

3 C D ^ X D M 4- 3 D M 2 X C D + D M 3 

= 3 C D * X D M, ob quantitates D M ^, 

D M 3, fere evanescentes respectu 3 C D * X 

D M, sunt igitur incrementa graduum ut 

3 C D 2 X D M, sive ut D M, ob rectam C D 

proxime constantcm. Quare incrementa gra- 

duum sunt ut ponderum incrementa. 

93. Idem analytice praestari potest quemad- 

modum elegantissime, pro morc suo, fecit clariss. 

2 



80 



PHILOSOPHI^ NATURALIS [De Mund. Syst. 



eadem circiter raltone augentur arcus graduum latitudinis in meridiano. 
Ideoque cum latitudo Lutetiae Parisiorum sit 48 gr. 50'. ea locorum sub 



D. de Maupcrtuis in Monumentis Paris. an. 
1734. etin Libro de Figura Terrae. Semi-ellipsis 
P A p, referat meridianum sphaeroidis cujus est 
axis P p, diameter vero secundum aequatorem 
A a. Ponatur C A= 1, CP=m, CN = x, 
E N = y erit (ex natura ellipseos per Lem. IV. 




de Conicis) EN*: CP^^ANXNa: 

A C ^ ideoquey* = m * X (1 — x x) et y 
= m /y/ 1 — XX. Sit G E, radius circuli 
ellipsim osculantis in E, is erit (214. Lib. I.) 

= — (1 — XX 4-inmxx) ^. Quia vero 

"R (t V P P 4 

E K 3 = j^Qz (259. Lib. I. ) erit E K 



(r 



L)eritE = A_X(l— f (mm— l)ss4.y 
X (mm~ l)ssj2— ,&c.)velA — E=f X 
(m m — 1) A S * — V (m m — . I) » A S 4 
-j-, &c. Quia vero sphjerois Terrae ad sph?firam 
proxime accedit, erit fere m = 1, ideoque in 
superiori formula negligi poterunt termini in 
quibus quantitas m m — 1 , ad altiorem potfcsta- 
tem evecta occumt, unde fit pro Tellure 2 A — 
2 E = 3 (m m — 1 ) X A S S. Si Terra ponatur 
versiis polos compressa, erit 1 >> m et E >• A, 
hincque prodit E — A, AS S=3X(1-- 
m m) : 2. Quare iterum patet id quod jam de- 
monstravimus (92.) arcus scilicet graduum lati- 
tudinis in meridiano augeri in duplicata ratione 
sinus recti latitudinis. 

95. Si gradus A D, non computetur ab ipso 
aequatore, sed ubivis inter A et E sumatur, sit- 
que S sinus anguli latitudinis, patet (94.) fore 
m m 



= my 1 — x^-J-m^x^. Jam sinus anguli 

latitudinis A K E, dicatur s, posito sinu toto 

= 1, erit 1 : s = m y' 1 — x^-j-m^x^ : 

, 'i • jv i — s s 

m V 1 — ^x» ac promde x x = : 

' *^ 1 — ss-J-mmss 

quo valore substituto, loco x x in expres- 

sione radii osculatoris, fiet E G = 

i I ^. Nunc confcrantur si- 

ss -|- mmss/ 

mul duo gradus meridiani A D, E F, quorum 

unus incipiat ab aequatore, alter vero sumatur 

ubivis in arcu A P, sumpto A B, pro radio cir- 

culi ellipsim osculantis in A, erit (92) A D : 

E F= A B : E G, sed est A B= ^^ (241. 

Lib. I.) = m m, quare si gradus A D dicatur 
A et gradus E F dicatur E,fiet A : E = m m : 
m m _ . ,v -„ . 

r, i r g ac promde E = A X 

(l — ss-f-mmss)2 ^ ^ 

(1— ss-f-mms s) — f. Haec formula ex- 
primit relationem inter primum gradum latitudi- 
nis et ab'um quemhbet gradum, atque inter dia- 
metrum et axem. 

94. Si quantifas 1 -|- m m — s s, evehatur ad 
dignitatem cujus exponens e»t — f (550. Lib. 



BD 



(l__SS-}-mmSS) 



2 idcoque A : E=: 



(l_SS-f-mmSS)2'(i_ss-f-mmss)2 
ac proinde AX(^ — ss-i-mmss)f=E X 
(1 — SS-f-mmSS)f* Jam vero evectis ter- 
minis ut supra ad dignitatem cujus exponens f , 
neglectisque quantitatibus evanescentibus (95.), 

2(E — A) 
fietl-mm = 3^^^^^_3g y 

Si gradus unus ab aequatore, alter a polo 
numeretur, erit s = 1, et S = o, ideoque 
formula praecedens abit in hanc 1 — m m = 
2(E- A) 
3 E * 

96'. Si loco semi-diametrorum C A, C P, 
et sinus latitudinis s s, in aequatione x x = 

~, , (93.) substituantur expres- 

1 — ss-j-mmss 

siones qua;libet indeterminatae, aequatio praEce- 

dens quatuor continebit variabiles, quarum tri- 

bus cognitis quarta innotescet. Quare datis 

semi-diametro aequatoris C A, semi-diame- 

tro paralleli N C vel E Q, x, aut quod idem 

est, datis gradu aequatoris et gradu paral- 

leli (sunt enim gradus illi ut ipsimet cir- 

culi, ideoque ut radii) et sitnul cognita la- 

titudine, cujus sinus s, dabitur axis ellipsoi- 

dis. Simili prorsus modo ducta qualibet alia 

ordinata E Q, quae sit alterius paralleli semi-dia- 

meter, et mutata utcumque latitudine, institui 

poterit alia aequatio quatuor variabiles continens 

ac proinde duplex obtinebitur acquatio. Jam 

vero quia haec utraque aequatio duas continet in- 

determinatas communes, nempe semi-diametros 

ellipsis, patet datis duorum parallelorum gradi- 

bus, datisque latitudinibus, per vulgares algebra; 

regulas collata simul utraque aequatione, deter- 

minari posse semi-diametrorum rationem. Cse. 

teium iiaec omnia constructionibus geometricis 



LiberTertius.] PRINCIPIA MATHEMATICA 81 

aequatore 00 gr. 00', et ea locorum ad polos 90 gr, et duplorum sinus 
versi sint 1134,00000 et 20000, existente radio 10000, et gravitas ad 
polum sit ad gravitatem sub aequatore ut 230 et 229, et excessus gravita- 
tis ad polum ad gravitatem sub aequatore ut 1 ad 229 : {^) erit excessus 
gravitatis in latitudine Lutetiae ad gravitatem sub aequatore, ut liiS-^J ad 
229, seu 5667 ad 2290000. Et propterea gravitates totae in his locis 
erunt ad invicem ut 2295667 ad 2290000. (^) Quare cum longitudines 
pendulorum aequalibus temporibus oscillantium sint ut gravitates, et in 
latitudine Lutetise Parisiorum longitudo penduli singulis minutis secundis 
oscillantis sit pedum trium Parisiensium et linearum S^, vel potius (^) ob 
pondus aeris 8f : longitudo penduli sub aequatore superabitur a longitudine 
synchroni penduli Parisiensis, (^) excessu lineae unius et 87 partium mil- 
lesimarum lineas. Et simili computo confit tabula sequens. 



facile absolvi possunt, verum in prasenti mate- longitudo penduli eadem ratione qua augetur 
ria praestat calculum adhibere. . , . ^ 1 . , 

C') * Erit excessus graoitatis. Excessus gra- g^avitas: hmc cum j-^ parte plumbi pondus 

yitatis ad polum dicatur E, excessus gravitatis in in vacuo augeatur, tantumdem augeri debet pen- 

latitudme Lutetiae dicatur e, sitque G gravitas duli longitudoquje erit ergo ad 440^ lin. ut 1 1001 

sub aequatore, erit . . . 5 , ^ •■ t x s 

E : G = 1 • S'?^ ^^ 11000, mvenieturque 440^ (289. Lib II.)- 

e • E = 1 1 334 • 20000 ideoque ^^"^ '" latitudine Lutetice Parisiorum longitudo 

per compositionera rationum et ex sequo e : G P^"^"^^ ^^ "^"^"^^ «'^'^^^^* oscillantis in vacuo 

1X11334 hic ponitur pedum trium Paris. et lin. 8^ 

= 1)^11334:229X20000=-^^^ : 229, ^,J^^^ ^ 

hoc est, excessus graviiatis in latitudine Lutetise (^) * Excessii linece uniiis et 87 partium mil- 

1 X 11334 lesimarum. Cijm longitudines pendulorum sc- 

est ad gravitatem sub aequatore = — ^^ ' — : quahbus temporibus oscillantium sint ut gravi- 

229 = 5G67 : 229000O, et proptered addendo ^^'^J ^?' /^^^,'^.^^ ad 2290000 ut longitudo 

5667 num. 2290000, gravitates tot» in his locis P^"^"l^ ^" ^^'^^^^'^^ ^utetia., hoc est. ut 3 ped. 

erunt ad invicem ut 2295567 ad 2290000. g-^ lin.vel ut " lin. ad quartum proportiona- 

C) * Q.iuire cum longitudines pendulorum. 9 

(Cor. 4. Prop. XXIV. Lib. IL) ^,^ 9079850000 ^ ^^^^^^^^ ^^. ^^^ ^^^^^j. 

(n * Ob pondus aeris. Corpus oscillans in , 20661003 , . 

aere ponderis sui partem amittit isqualem pon- longitudo sub a^quatore. Hac autem dempta 

deris paris voluminis adris; quare si idem cor- «x long.tudme penduh m latitudme Lutet.aj 

pus ponatur moveri in vacuo, pauluhim augeri ped. 3. et sf lin., seu Hn. 440. 555, remanet 

debet ilHus pondus, ideoque celeriiis vibrabit, et excessus linea; uniuset 87 partium miUcsimarum 

ut ad isochroneitatem reducatur, augeri debcbit Hneae. 



H3 



82 



PHILOSOPHI^ NATURALIS [De Mund. Syst. 



Latitudo 


Longitudo 


Mensura gradus uniiis 


loci. 


penduli. 


in meridiano. 


grad. 


ped. lin. 


hexapcdce. 





3 7,468 


56637 


5 


3 7,482 


56642 


10 


3 7,526 


56659 


15 


3 7,596 


56687 


20 


3 7,692 


56724 


25 


3 7,812 


56769 


30. 


3 7,948 


56823 


35* 


3 8,099 


56882 


4.0 


3 8,261 


56945 


1 


3 8,2^4 


56958 


2 


3 8,327 


56971 


3 


3 8,361 


56984 


4 


3 8,394 


56997 


45 


3 8,428 


57010 


6 


3 8,461 


57022 


7 


3 8,494 


57035 


8 


3 8,528 


57048 


9 


3 8,561 


57061 


50 


3 8,594 


57074 


55 


3 8,756 


57137 


60 


3 8,907 


57196 


65 


3 9,044 


57250 


70 


3 9,162 


' 57295 


75 


3 9,258 


57332 


80 


3 9,329 


57360 


85 


3 9,372 


57377 


90 


3 9,387 


59382 



Constat autem per lianc tabulam, quod graduum inaequalltas tam 
parva sit, ut in rebus geographicis figura Terrae pro spliaerica haberi 
possit : (^) praesertim si Terra paulo densior sit versus planum asquatoris 
quam versus polos. 

Jam vero astronomi aliqui in longinquas regiones ad observationes as- 
tronomicas faciendas missi, observarunt quod horologia oscillatoria tar- 
diiis moverentur prope sequatorem quam in regionibus nostris. Et 
primo quidem D. Richer hoc observavit anno 1672. in insula Cayennse. 
Nani duin observarct transitum fixarum per meridianum mense Augusto, 
reperit horologium suum tardius movcri quam pro medio motu Solis, exis- 



(•>) * rra^srrlim si 2'erra. In co siquidem casu minui dJnmctrorum differcntiam ostcndimus 
(in Prop. i)ra.'cc>d.). 



LiBER Tertius.] PRINCIPIA MATHEMATICA. 83 

tente differentia 2'. 28'' singulis diebus. Deinde faciendo ut pendulum sim- 
plex ad minuta singula secunda per horologium optimum mensurata oscil- 
laret, notavit longitudinem penduli simplicis, et lioc fecit saepius singulis 
septimanis per menses decem. Tum in Galliam redux contulit longitudi- 
nem hujus penduli cum longitudine penduli Parisiensis (quae erat trium 
pedum Parisiensium, et octo linearum cum tribus quintis partibus li- 
neae) ct reperit breviorem esse, existente differentia lineae unius cum 
quadrante. 

Postea Halleius noster circa annum 1677 ad insulam Sanctae Helenas 
navigans, reperit horologium suum oscillatorium ibi tardius moveri quam 
Londini, sed differentiam non notavit. Pendulum vero brevius reddidit 
plusquam octava parte digiti, seu linea una cum semisse. Et ad hoc 
efficiendum, cum longitudo cochleae in ima parte penduli ncn sufficeret, 
annulum ligneum thecae cochleae et ponderi pendulo interposu.it. 

Deinde anno 1682. D. Varin et D. des Hayes invenerunt longitudinem 
penduli singulis minutis secundis oscillantis in Observatorio Regio Parisi- 
ensi esse ped. 3. lin. 8|. Et in insula Gorea eadem methodo longitudi- 
nem penduli synchroni invenerunt esse ped. 3. lin. 6|. existente longitu- 
dinum differentia lin. 2. Et eodem anno ad insulas Guadaloupam et 
Martinicam navigantes, invenerunt longitudinem penduli synchroni in his 
insulis esse ped. 3. lin. 6J. 

Posthac D. Couplet filius anno 1697 mense Julio, horologium suum 
oscillatorium ad motum Solis medium in Observatorio Regio Parisiensi sic 
aptavit, ut tempore satis longo horologium cum motu Solis congrueret. 
Deinde Ulyssipponem navigans invenit quod mense Novembri proximo 
horologium tardius iret quam prius, existente differentia 2'. 1 3". in horis 
24. Et mense Martio sequente Paraibam navigans invenit ibi horologium 
suum tardiuE ire quam Parisiis, existente differentia 4'. 12". in horis 24. 
Et affirmat pendulum ad minuta secunda oscillans brevius fuisse Ulyssip- 
poni lineis 2j, et Paraibae lineis 3f . quam Parisiis. (') Rectius posuisset 

(') * Rcctius posuisset. Horologium tardius L, seu 67184640000 : 29507491312885 = 5965 

ibat UlyssipponiquamParisiis, existentedifFeren- • j^ t 29507491312885 

tia 2'. 15". seu 133". ideoque horologium illud ' ^ ^^ promde J^ _ —^7X^4^4^^ = 439 

Parisiis conficiens 24 hor. spatio 86400'. Ulys- i.'5434352885 5 . 

sipponi conficiebat tantum 86400" — 133". hoc QfYs464odoO ~ ^^^^ ^'"' ^^^*^'*®'"' "^^* autera 

est, 86267". Sed est longitudo pendu^li Parisiis i^^gjt^do penduli Parisiis ad minuta secunda 

ad minuta secunda oscillantis lin. ±^. Quare ^,^^^^^,^, !;„. £|£ ^^ ^^^^555^ ,,1 44O ^^ 

si longitudo penduli ad minuta secunda Ulyssip- . differentia p^endulorum Parisiis et Ulyssip- 

poni osciUantis dicatur L, ent fCor. 4. Prop. ^ . . ._• . ' , •11 ^- 1 t . 

'^ * ^ ^ l poni ad mmuta secunda oscillantium debet esse 

XXIV. Lib. 11.) (86400) ^ : (86267) '=^^ : 440^- — 489^ = 1 J. llectius itaque posuisset 

H4 



84 PHILOSOPHI^ NATURALIS [De Mund. Syst. 

differentiajs esse 1 J. et 2|. Nam hae difFerentiae difFerentiis temporum 2'. 
13". et 4?'. 12". respondent. Crassioribus hujus observationibus minus 
fidendum est. 

Annis proximis (1699 et 1700) D. des Hayes ad Americam denuo 
navigans determinavit quod in insulis Cayejmae et Granadae longitudo 
penduli ad minuta secunda oscillantis, esset paulo minor quam ped. 3. 
lin. 6j. qu()dque in insula S. Christophori longitudo illa esset ped. 3. lin. 
6|, et quod in insula S. Dominici eadem esset ped. 3. lin. 7. 

Annoque 1704?. P. Feuilleus invenit in Porto-bello in America longitudi- 
nem penduli ad minuta secunda oscillantis, esse pedum trium Parisiensium 
et linearum tantum Syg, id est, tribus fere lineis breviorem quam Lutetiae 
Parisiorum, (^) sed errante observatione. Nam deinde ad insulam Mar- 
tinicam navigans, invenit iongitudinem penduH isochroni esse pedum tan- 
tum trium Parisiensium et linearum ojS. 

Latitudo autem Paraibae est .6^'. 38'. ad austrum, et ea Porto-belli 9^. 
33'. ad boream, et latitudines insularum Cayennae, Goreae, Guadaloupae, 
Martiuicae, Granadae, Sancti Cliristophori, et Sancti Dominici sunt re- 
spective 4^'. 55\ U^^ 40', 15^^ 00', 14^^ 44', 12«^ 6 , 17^"^. 19', et 19^^ 48', 
ad boream. Et excessus longitudinis penduli Parisiensis supra longitu- 
dines pendulorum isochronorum in his latitudinibus observatas sunt paulo 
majores quam pro tabula longitudinum penduli superius computata. Et 
propterea (^) Terra aliquanto altior est sub aequatore quam pro superiore 

D. Couplet differentiam ecse if Simili coni- posterior verb eandem longitudinem summo con- 

puto patet, differentiam pendulorum Parisiis et sensu determinavit 36 poU. 7 lin. -g^. 

Paraibee esse 2^. 97. Terra aliquantd allior est Materia ad 

^ , . T .-. j centnim redundans qua densitas ibi major ht, 

C^) * Sed erranle observattone. Latitudo ^^^^^.^ ^ ^^^. . .p^j,^^^ uniformitcr densa spec- 

Porto-bell. est 9°. 33. ad boream, et latitudo .^^^^ .^ ^,^^^^^ uniformiter densam 

Martmica: est 14°. 44 . Hmc differentia lat.tu- ^^.^ .eclproc^ ut distantia a centro (ex demon. 

dinume8t5°'. 11'. Lst autem latitudo Lutet.te stratis in Prop. XIX.). Gravitas autem in 

48°^ 50'. quare differentia lat.tudinum Lutet.» ^^^^^-^^ redundantem erit reciproce ut quadra- 

etPorto-belhest39°.17. Sed praeten^uam quod ^^^ distanti^ a materia illd quam proximd 

observationes ieuillai a labula Newtomana p lxXVI Lib. L). Cum igitur in casu 

maxim^ discrepai.t, secum mvicem non sat.s ^^^^^^ uniformiter denss, illius superficies ver- 

consenlire videntur. Cum emra d.liere..tia lati- ^^^ ^quatorem elevetur, versiis polum vero de- 

tudmum 39°. 17. ex ..sdem observal.on.bus, .^^^xr, gravitasque ad ^quatorem minor sit 

pr^buent long.tud.nem pendali mH.oren. Porto- ^ ^^ ^^j^^^ j^J ^^^.^^^ distantis poli a cen- 

belii quam Pansus, tnbus fere lineis, d.ffere.nj^a ^^^^ ^^ ^quatoris semi-diametrum, ad pra^dictam 

lat.tud.rmmMart.mca5etPorto-bell.quaee.t5 . ^^^^^^ materiam redundantem circ^ centrura 

1 1 . majorem m h.sce lat.tudimbus prabere de- ^^^^.^^ ^^ ^quatorem minor fit qu^ ad polum 

buisset penduli differentiam quam j^ hn. qua- jn ratione duplicata distantitP poli a centro ad 

lem invenit Feuilla;us. Hunc cceteroquin dili- jequatoris semi-diaraetrum, quae ratio priori ra- 

gentissimum observatorem non satis hac in re tione simplici minor est, patet in casu Telhiris 

accuratum fuisse contirmant observationts an. versus centrum densioris ex utraque simul causa 

1735. Porto-belli habitje a clariss. viris DD. fieri ut gravitas ad aequatorem ex binis prioribus 

Godin et Bouguer, quorum prior penduli lon- composita minor sit gravitatead polum in ratione 

gitudinem Porto-belii invenit 36 polJ. 7 Un./7j, minore quam est ratio distantiae poli a ccntro 



LiBER TertiUs.] PRINCIPIA MATHEMATICA. 85 

calculo, et densior ad centrum quam in fodinis prope superficiem, nisi 
forte calores in zona torrida longitudinem pendulorum aliquantulum 
auxerint. 

Observavit utique D. Picartus quod virga ferrea, quae tempore hyber- 
no, ubi gelabant frigora, erat pedis unius longitudine, ad ignem calefacta 
evasit pedis unius cum quarta parte lineae. ("^) Deinde D. de la Hire 
observavit quod virga ferrea quae tempore consimili hyberno sex erat pe- 
dum longitudinis, ubi Soli sestivo exponebatur, evasit sex pedum longitu- 
dinis cum duabus tertiis partibus lineae. In priore casu calor major fuit 
quam in posteriore, in hoc vero major fuit quam calor externarum par- 
tium corporis humani. Nam metalla ad Solem aestivum valde incales- 
cunt. At virga penduli in horologio oscillatorio nunquam exponi solet 
calori Sohs aestivi, nunquam calorem concipit calori externae superficiei 
corporis huniani aequalem. Et propterea virga penduU in horologio tres 
pedes longa, paulo quidem longior erit tempore aestivo quam hyberno, 
sed excessu quartam partem Hneae unius vix superante. Proinde difFe- 
rentia tota longitudinis pendulorum quae in diversis regionibus isochrona 
sunt, diverso calori attribui non potest. Sed neque erroribus astronomo- 
rum e Gallia missorum tribuenda est haec differentia. Nam quamvis 
eorum observationes non perfecte congruant inter se, tamen errores sunt 
adeo parvi ut contemni possint. Et in hoc concordant omnes, quod iso- 
chrona pendula sunt breviora sub aequatore quam in Observatorio Regio 
Parisiensi, existente differentia non minore quam lineae unius cum qua- 
drante, non majore quam linearum 2f . Per observationes D. Richeri in 
Cayenna factas differentia fuit Hnese unius cum quadrante. Per eas D- 
des Hayes differentia illa correcta' prodiit Hneae unius cum semisse, vel 
unius cum tribus quartis partibus Hneae. Per eas aHorum minus accura- 

ad sequatoris semi-diametrnm, et ideo ob mino- inde laminarum dilatationem circino accurate 

rem hanc gravitatem in a^quatore respectu gravi- capiebat, mensurato prius caloris solaris incre- 

tatis ad polos, Tellus magis ad aequatorem eleva- mento ope thermometri Reaumuriani. Obser- 

bitur quam pro superiori calculo, ac proinde lon- vavit ob majorem Solis calorem respectu loci 

gitudo pendulorum qua? gravitati accelerutrici clausi in quo antea suspensum erat thermome- 

proportionalis est (Cor. 4. Prop. XXIV. Lib. trum, ad 15 vel 20 gradus liquorimi pervenisse 

II.) paulo major esse debet quam pro tabula et ferri laminam 3 ped. 8^ lin. longam dilatari 

longitudinum computata in casu Terrae unifor- ^^^^^^^ ^l. ^^1 ^\ lin. cuprum flavi coloris ma- 

mi r ensa). jorem quam ferrum a radiis solaribus patiebatur 

("') 9. * Deind^ D. de la Hire. Hisce ob- dilatat'<^nem. Experimentum quoque tentavit ia 

servationibus adjungi debent instituta a clariss. ^^"^ ebulliente; immersit nempe in ea cuprum 

viro D. de Mairan experimenta quc-e in Monum. ^*^* ^o'®"" ^^ ^^^rrum, eandem plane m utroque 

Paris. an. 1735. leguntur. Ut caloris solaris "''^^*^^" dilatationem fieri observavit; caHerum 

vim explorarct, laminas ferri et cupri a loco ^*"™'"* «^"P*"^^ ^''^'S P^^^^ ^ ^^"- a ^«"ga» !««"»« 

clauso ac temperato vel etiam frigescente, ad lo- '^"•'^' ascendente thermometro ad altitudmem 

cum solaribus radiis apertum transferebat, ibi- ^^^ §'"^'^- ^"P""^ congelationem, ob aqu* ebulli- 

que plurium horarum spatio relinquebat. Dc- entis calorem dilatabatur 7 h*n, circiter. 



86 



PHILOSOPHI^ NATURALIS [De Mund. Syst. 



tas prodiit eadem quasi duarum linearum. Et haec discrepantia partim 
ab erroribus observationum, (^) partim a dissimilitudine partium inter- 
narum Terrse et altitudine montium, et partim a diversis aeris caloribus, 
oriri potuit. 

Virga lerrea pedes tres longa, tempore hyberno in Anglia, brevior est 
quam tempore aestivo, sexta parte linese unius, quantum sentio. Ob ca- 
Jores sub jequatore auferatur haec quantitas de difFerentia Hneae unius cum 
quadrante a Richero observata, et manebit linea 1 J^ : quae cum linea 
^tSoo P^^ theoriam jam ante collecta probe congruit, Richerus autem 
observationes in Cayenna factas, singulis septimanis per menses decem 
iteravit, et longitudines penduli in virga ferrea ibi notatas cum longitu- 
dinibus ejus in Gallia simihter notatis contulit. Quae diligentia et cautela 
in ahis observatoribus defuisse videtur. Si hujus observationibus fiden- 
dum est, (") Terra ahior erit ad aequatorem quam ad polos excessu mil- 
liarium septendecim circiter, ut supra per theoriam prodiit. 



' (") * Partim a dissimilitudine. Quae de pen- 

diilorum longitudinibus dicta sunt in hac Propo- 

sitione, supponunt homogeneam esse Telluris 

materiam ; si vero homogenea non sit ubique, 

sed aliqua sit in partibus internis Terrae dissimi- 

litudo, patet (96.) hinc quasdam oriri posse in 

pendulorum longitudinibus irregularitates. Si- 

milem ob causam, ex montium altitudine, valli- 

iim cavitate inajqualitates aliquae nasci poterunt, 

pro exceSsu enim vel defectu materiae augebitur 

vel minuetur gravitas. Observationum discre- 

pantiam repeti etiam posse a diversis aeris calori- 

bus manifestum est ex observationibus Picarti, 

la Hirii, et ex nota praecedenti. 

(") * Terra altior erit. Si hujus observationi- 

bus fidendum est, longitudo penduli sub fequa- 

tore superabitur a longitudine penduli synchroni 

Parisiensis excessu lineae unius et 87 partium 

raillesimarum lineae, ideoque longitudo penduli 

4217 
sub £equatore erit 3. ped. - — - lin. seu 3. ped. 

7. 468. lin. proxime, est enim longitudo penduli 

Paris. 5. ped. 8^ lin. sed est incrementum pon- 

deris sive incrementum longitudinis penduli per- 

gendo ab aequatore ad polos ut sinus versus lati- 

,..,,. .IV 1087 

tudmis duphcatae j ac promde t-t— seu 1 nn. 



1000 



87 



r— — erit ad increraentum longltudinis sub polo 



ut 11334 ad 20000, 

10406 

-, seu 1 



Quare increraentum illud 

919 

proxime. Erunt ergo 



est 1 

11534 1000 

pondera seu pcndulorum longitudines sub acqua- 

tore ct siib polo respectivc 5. ped. 7.468 lin. et 

3. ped. 9.387 lin. hoc est proxime ut in tabula 

Newtoniana. Sed pondera sunt reciproce ut 

Uistaulia; a ccntro (ex dcmonslratis in Prop. 



XIX.) ideoque 439468 est ad 441.387 ut dia- 
meter versus polos est ad diametrum secundum 
sequatorem, sive ut 229 ad 230 proxime, ideo- 
que posita semi-diametro Terrte (ut in Prop. 
praeced.) patet (per notas in eandem Prop.) 
Terram altiorem esse ad asquatorem quam ad 
polos excessu milliarium septeradecim circiter. 

99. Clariss. D. Campbell Londini in latitu- 
dine 51°. ^^ et in Jamaica in latitudine 18°. 
accuratissimis observationibus institutis, invenit 
longitudinem penduli simplicis ad minuta secun- 
dae Londini oscillantis esse 59.129. poll. Angl. 
idemque pendulum tardius ire in Jamaica quam 
Londini deprehendit, existente differeniia 1'. 
58". spatio 24. hor. Ex his observationibus, 
eodem quo hactenus usi sumus computo, deler- 
minavit longitudinem penduli sub asquatore esse 
ad longitudinem penduli sub polis ut 39000 
ad 39206, unde prodit diameter aequatoris ad 
diametrum versus polos in ratione 39206 ad 
39000 sive ut 190 ad 189 fere; ideoquc posita 
semi-diametro Terr£e ut in Prop. prajced. Tcrra 
altior erit ad asquatorem quam ad polos excessu 
milliarium 41 circiter. Doctissimi viri DD. 
Godin, Bouguer, de la Condamine surama 
diligentia in latitudine 18°. 27'. observationes 
habuerunt quas cum observationibus D. Camp- 
bell probe congruunt. In id quoque conspirant 
observationes versus polum institutae a celeberri- 
mo D. de Maupertuis clarissimisque sociis ut 
Terram versiis asquatorem magis elatam consti- 
tuant quam pro theoria New^toni. Idem confir- 
mat accurata graduum terrestrium mensura. 
Longitudo gradus meridiani qui circulum pola- 
rem secat, a D. de Maupertuis inventa est 
57457,9 hexaped. et longitudincm gradiis in 
Gallia in 45°. 57100. hexaped. probabiliter as- 
sumi poisc ostcndimus. Ilinc gradus utriusque 



LiBER Tertius.] PRINCIPIA MATHEMATICA. 



8' 



difFerentia est 337. hexapetl. aut ad minimum 
300. hex. sed ex tabula Newtoniana differentia 
inter 45. gr. et 63. est 240. hexapedarum, cres- 
cunt itaque gradus latitudiin"s pergendo ab ae- 
quatore ad polos magis quam juxta tabulam 
Newtonianam, ac proinda non solum Terra est 
elata sub aequatore (94.), sed etiam diametrorum 
differentia ex observationibus major quam ex ipsa 
theoria coHigitur. Consulatur observationum 
series quam Transactionibus Anglicanis an. 
1734. inseruit autor Versionis Gallica?. 

100. SchoUum. Penduli longitudinem RomjB 
detcrminare pluribus experimentis tentavimus 
cum doctissimis et in observando versatissimis 
PF. Boscovik et Maire S. J. mathematicis. 
Usi sumus methodo illa accuratissima quam 
sagacissimus natura; indagator summusque geo- 
metra D. de Mairan tradit in INIonum. Acad. 
Reg. Paris. ad an. 1735., ubi experimenta re- 
censet quae cum incredibili cura adversus omne 
e/rorum genus peregit. Paravimus itaque horo- 
logium oscillatorium a celeber. Graham Londini 
constructum, nobisque ab illustrissimo D. Lep- 
rotti humanissime commodatum, quod per 
appulsum HxcC ad telescopium immotum singulis 
observationum diebus dirigebamus ut tempus 
Solis medium indicaret. In machina quadam 
immota constituimus plana duo horizontalia, e 
quorum altero filura pendebat laminis metallicis 
aple inter se congruentibus compressum coch- 
learum ope, alterum ita sensim elevabatur per 
cochleas ut horizontalera situra servaret, et glo- 
bum e filo suspensum inferius contingeret. Dis- 
tantiam puncti suspensionis a puncto illo infimo 
globi, quo planum horizontale subjectum contin- 
gebat, investigabamus ope mensurse Londinensis 
bipedalis accuratissimae, quam cum pluribus aliis 
consentientem P. Abbas Revillas clariss. vir, 
Publicus Professor Math. et Acad. Londin, So- 
cius exhibuit nobis. Huic mensuras inserta est 
altera regula mobilis quam pro arbitrio educere 
ad altitudinem 4. pedum conficiendam. Hanc 
igitur inter punctum suspensionis et punctum 
globi infimum interponebamus perpendiculariter 
ad plana horizontalia, maximeque cavebamus ne 
in hac mensura error aliqualis irreperet. Plura 
idcirco negleximus experimenla in quibus filum 
extendebatur observationis tempore, aliaque re- 
jecimus facta cum filo serico vel cum globo ebur- 
neo qui nimiam in aere resistentiam patiebatur. 
Sex igitur tantum quse nobis tutissiraa visa sunt 
describemus : facta sunt cum globo cupreo cujus 
quaelibet serai-diameter inventa est partium di- 
giti Londinensis millesimarum 603, pondus vero 
unciarum 4f seu granorum 2520. lllum sus- 
pendebamus e filo ex foliis aloes parato, quod 
Gallice dicitur,Ji; de pite ; hujusmodi filum 21 i 
ped. Londin. longum, aequiponderabat granis 5, 
et propterea pondus fili 44 digit. erat ad poncius 
globi ut 1 ad 2955, pondus verd 35. digit. ad 
pondus ejusdem globi ut 1 ad 5715. Hinc per 
ea quaj D. de JMairan loco citato demonstravit, 
si distantia puncti suspensionis a centro globi sit 
44 digit. Lond. circitor, ex longitudine obscrva- 
ta seu intercepta intor punctum suspensionis et 
punclum iniinium globi subtrahenda erit lonpi- 



tudo 0,6023 digit. ut habeatur vera longitudo 
penduli simplicis pendulo observationis isochro- 
ni. Si vero distantia puncti suspensionis a cen- 
tro globi sit 35 digit. circiter, auferenda erit 
longitudo 0,6004 digit. 

1 . Experimentum 1 3. Julii mane. 
Longitudo observata 45. 1 45 digit. Lond. 
Longit. subtrahenda. 0.6023 
Longitudo vera 44.5427. 

Numeravimus oscillationes globi 3261 eotem- 
pore quo horologium oscillatorium 5479 absolvit, 
hoc est, intervalIo3480.69 secundorum temporis 
medii. Horologium enim tardius movebatur 
quam pro medio motu Solis, et diffurentia erat 
42 secundorum pro horis 24. est igitur 3480.69| ^ 
ad 32611^ ut 44.5427 ad 39.097.36 digit. Lond. 
quic est longitudo penduli simplicis ad singula 
minuta temporis medii oscillantis. 

2. Experimentum eadem die vesperc. Lon- 
gitudo observata 45. 1 8. digit. Lond. longitudo 
vera 44.5777. Numerus oscillationum globi 
3387 tempore medio 3616.75 secund. unde ha- 
betur longitudo penduli simplicis ad singula 
minuta secunda oscillantis 39.0941 digit. Londin. 

5. Experimentum 14. Julii. Longitudo 
observata 36.26. longitudo vera 35.6596 digit. 
Lond. numerus oscillationum globi 3740 tem- 
pore medio 3571.75 secund. longitudo penduli 
quaesita 39.09827. digit. Lond. 

4. Experimentum 16. Julii. Longitudo ob- 
servata 36.97. longitudo vera 36.3696. numerus 
oscillationum globi 3832 tempore medio 3695.88 
secund. longitudo penduli quaesita 39.09703 
digit. Lond. 

5. Experimentum 19. Julii. Longitudo ob- 
servata 35.185. longitudo vera 34.5846. djgit. 
numerus oscillationum globi 3870 tempore me- 
dio 3639.85. secund. penduli qutesita 39.096485. 

6. Experimentum 5. Augusti. Longitudo 
observata 45.427. longitudo vera 44,8247 digit. 
Lond. numerus oscillationum globi 3563 tem- 
pore roedio 3815.03 secund. longitudo quoesita 
39.097872. 

Ex his omnibus experimentis invenitur media 
longitudo penduli 39.09686 digit. Lond. Vc- 
rijm si rejiciatur secundum experimentum quod 
ab aliis quinque inter se probe consentientibus 
nimis differt ; media longitudo prodit 39.0974 
digit. Lond. Hoc autem experimentum secun- 
dum rejici debere, inde etiam concludimus quod 
sextum maxime accuratum nobis visum sit, nam 
omnino invariata fuit fili longitudo toto observa- 
tionis tempore, et omnes concursus diligentissime 
notati inter se congruebant. 

Pes Londinensis vulgo supponitur esse ad 
ped. Paris. ut 135 ad 144 vel etiam ut 1000 ad 
1058, qua ratione cum primiim usi essemus, 
longe minorem, quam par cst, penduli longitudi- 
nem inveniebamus. Sed ratio illa in re adeo 
subtili satis accurata non est. Nam D. Godin 
Monum. Acad. Reg. Scientiarum ad an. 1735. 
pag. 508, scribit se cum D. Bouguer observasse 
pedem Lond. se habere ad ped. Paris. ut 1351 g 
ad 1440. Si hanc adhibeanius rationcm, longi- 
tudo penduli Romu; eiit 3. ped. Paris. 8. liii. 



88 



PHILOSOPHI^ NATURALIS [De Mund. Syst. 



PROPOSITIO XXI. THEOREMA XVIL 

(p) Puncta cequinoctialia regredi, et axem Terrce singulis revolutionibtis 
annuis nutando bis {^) iiiclinari in eclipticam et bis redire ad positionem 
jpriorem, 

Patet per Corol. 20. Prop. LXVI. Llb. I. Motus tamen iste nutandi 
perexiguus esse debet, et vix aut ne vix quidem sensibilis. 



pore aBquinoctiorum. Quare patet, stellis fixis 
quiescentibus, puncta aequinoctialia omniaque 
eclipticae puiicta quae a punctis aequinoctialibus 
numerantur, regredi seu in antecedentia moveri. 
Hic punctorum aquinoctiaiium regressus pendet 
ab actione Solis in materiam ad partes aequatoris 
redundantem, sed et Lunse etiam non leves vires 
esse possunt ; cum enim Luna in eclipticae pla- 
no aut non procul ab eo jaceat, ad eundem cum 
Sole effectum concurret. Sed infra computabi- 
tur motus aequinoctiorum ab utraque vi, Solis 
sciiicet et Lunae oriundus. 

C) 102. Bis inclinari in eclijHicam. In 
semi-revolutione Telluris circa Solem a =0- per 
VJ* ad «Y>, actio Solis inclinationem aequatoris in 
eclipticam minuere conatur cum illa actio eam 
inclinationem augere conetur a 05 ad ^, hinc 
maxima fit inclinatio inter ^ et Vy postea mi- 
nuitur ex Solis actione oriuuda (Cor. 10. et 18. 



\00' Tandem si ratio illa sit numeri 1351 ad 
1440 ut quibusdam mathematicis mensurarum 
peritissimis videtur, major prodit penduli longi- 
tudo, nimirum ped. Paris. 3. lin. 8,3888. 

Haec sunt quae ad Telluris figuram spectant. 
Hac de re nova quamplurima an. 1740. et 1741. 
duph'ci Dissertatione edidit P. Boscowick S. J. 
insignis matheseos professor : maxime autem 
exoptandum ut ad hujusce quaestionis totiusque 
matheseos utilitatem salvi et incolumes redeant 
clariss. Academici qui ad definiendam Telluris 
figuram nobili ardore laboriosum iter versus 
sequatorem susceperunt. Simul enim collatis 
versiis polum et versiis aequatorem institutis ob- 
servationibus, a doctissimis viris pro bono scien- 
tiarum in unum conspirantibus certissima de 
Telluris magnitudine et figura, gravitatis decre- 
mento, aliisque ad astronomiam, geographiam et 
physicam maxime momentosis speranda sunt. 

C) 101. Puncta cequinoctialia. Si Terra 
nullo alio motu praeter motum progressivum 
in sua orbita motumque vertiginis circa axem 
agitaretur, axem suum sibi semper parallelum 
retineret (Cor. 22. Prop. L^J^VL Lib. I.) sed 
ob Telturis figuram versus polos dcpressam 
et versiis aequatorem oblongatam fit ut axis 
situs perturbetur. Referat fy* 05 ^ >J, 
orbitam Teiluris circa Solem S, sitque 
A E B Q, ipsa Tellus cujus poli A et B, 
aequatorE Q. Quoniam (ex Prop. praeced.) 
Terra est sphaerois ad polos A et"B, dcpres- 
sa et versijs aequatorem E Q, elata, instar 
globi annulo inhaerentis speclari poterit, an- 
nulo enim asquivalet materia redundans iu 
regionibus aequatoris. Quare (per Cor. 20. 
Prop. LXVI.) annuli hujus nodi rcgredien. 
tur, hoc est, Tellus digressa a libra =rv, ubi 
communis sectio eclipticae ct aequatoris ver- 
siis Solem S, dirigitur, et per >j> vcrsiis <Y» 
pergens, ad nodum A prius pertinget quara 
ad ty» pervenerit, et Tellus ab <>f> per So 
versus :£i: progrediens priijs alterum nodum 
L atintgel quam ^ ubi in priori revolutione 
erat nodus : id est, asquatoris planuni pro- 

ductum, per Solem prius transibit quam Teiluris Prop. LXVT. Lib. I.) fitque inclinatio illa mi- 
centrum ad jn,. pervenerit, sed tunc contingit nima, ciam Torra cst intcr V^ et of>, ciim vero 
ajquinoctium dum nemy^e Sol in plano aequatoris Tellus inter <y> et 25 pervenir, rursus restituitur 
terrestris versatur (4.) illaque puncta pro aequi- praecedcns inclinatio (ibid.) sicque deinceps si- 
iioctiaiibus habentur in quibus Sol videtur tem- mulque cum acquatore Tclluris axis oscillatur. 



O^ 




LiBER Tertius.] PRINCIPIA MATHEMATICA. 89 



PROPOSITIO XXII. THEOREMA XVIII. ' 

Motus omnes lunares, omnesque motuum inceqalitates ex allatis jprincipiis 

consequi. 

Planetas majores, interea dum circa Solem feruntur, posse alios mino- 
res circum se revolventes planetas deferre, et minores illos in ellipsibus, 
umbilicos in centris majorum habentibus, revolvi debere patet per Prop. 
LXV. Lib. I. Actione autem Solis perturbabuntur eorum motus multi- 
mode, iisque adficientur inaequalitatibus quae in Luna nostra notantur. 
Haec utique (per Cor. 2, 3, 4, et 5. Prop. LXVI.) velocius movetur, ac 
radio ad Terram ducto describit aream pro tempore majorem, orbemque 
habet minus curvum, atque ideo propius accedit ad Terram, in syzygiis 
quam in quadraturis, nisi quatenus impedit motus eccentricitatis. Eccen- 
tricitas enim maxima est (per Corol. 9. Prop. LXVI.) ubi apogaeum 
Lunae in syzygiis versatur, et minima ubi idem in quadraturis consistit ; 
et inde Luna in perigaeo velocior est et nobis propior, in apogaeo autem 
tardior, et remotior in syzygiis quam in quadraturis. Progreditur insuper 
apogaeum, et regrediuntur nodi, sed motu inaequabili. Et apogaeum qui- 
dem (per Cor. 7. et 8. Prop. LXVI.) velocius progreditur in syzygiis 
suis, tardius regreditur in quadraturis, et excessu progressus supra re- 
gressum annuatim fertur in consequentia. Nodi autem (per Corol. 2. 
Prop. LXVI.) quiescunt in syzygiis suis et velocissime regrediuntur in 
quadraturis. Sed et major est Lunae latitudo maxima in ipsius quadra- 

Axis igitur Terrae singulis revolutionibus annuis fixae omnes videntur moveri in consequentia sig- 

nutando bis inclinatur in eclipticam et bis redit norum. Hinc fit quod constellationes omnes 

ad positionem priorem : haec omnia facile in- antiquam sedem mutaverint. Sic constellatio 

telliget qui in mentem revocaverit Prop. LX VI. Arietis quae tempore Hipparchi prope intersec- 

Lib. I. ultimaque ejusdem Corollaria. tionem vernalem eclipticaj et aequatoris visa fuit, 

103. In singulis octantibus inter aequinoctia et nunc ab eadem digressa in signo Tauri moratur, 
solstitia sequentia, inclinatio axis Terrae ad ech*p- sicut et Tauri constellatio in Geminorum locum 
ticam redit ad priorem magnitudinem, plurium- transivit, Geminique in Cancrum promoti sunt, 
que annorum decursu sensibilior non evadit, at ita ut unaquaeque constellatio e suo in proximum 
regressus punctorum eclipticae continuo fit in locum successerit. * Cum autem hic, dum de 
antecedentia, nec ad pristinum locum redeunt inclinatione egimus, nec ad motum ipsum no- 
puncta aequinoctialia, nisi post integrum circu- dorum, nec ad excentricitatem orbitarum quas 
lum. Hinc mutatio quae unius anni spatio in- Terra aut Luna describunt, nec ad apsidum 
sensibilis est, post plurium annorum intervalla motus, nec ad irregularitatem molis Terrae at- 
notabilis evadit. tenderimus, nec denique ad aliorum planetarum 

104. Ciim stellae fixae quiescant et retrocedat actiones, quaedam etiam ech*pticae incHnationi 
communis sectio aequatoris et ecHptica?, necesse mutatio afferri potest, quae forte perseverabit 
est ut mutabilis sit fixarum a punctis aequinoc- satis ut sensibiHs evadat : inchnationis angulum 
tiahbus distantia et stellae ab iisdem punctis ver- 1'. centum annis decrescere volebat Louvillaeus, 
sus orientem quotidie progredi videantur, unde cui non repugnant quae Cassinus in Astronomiae 
ipsarum longitudines quae in ecliptica ab initio Elementis, ex varia astronomorum aestimatione 
Arietis sive intersectione vernali echpticae et ae- inclinationis eclipticae retulit. Scd de iis plura 
quatoris computari solent, continuo crescunt, et in posterum erunt dicenda. 



90 PHILOSOPHI^ NATURALIS [De Mund. Syst. 

turis (per Corol. 10. Prop. LXVI.) quam in syzygiis : et motus medius 
tardior in perihelio Terrae (per Corol. 6. Prop. LXVI.) quam in ipsius 
aphelio. Atque hae sunt inaequaUtates insigniores ab astronomis notatae. 
Sunt etiam aliae quaedam (^) a prioribus astronomis non observatae in- 
aequalitates, quibus motus lunares adeo perturbantur, ut nuUa hactenus 
lege ad regulam aliquam reduci potuerint. Velocitates enim seu motus 
horarii apogaei et nodorum Lunae, et eorundem aequationes, ut et diffe- 
rentia inter eccentricitatem maximam in syzygiis et minimam in quadra- 
turis, et inaequalitas quae variatio dicitur, augentur ac diminuuntur annua- 
tim (per Corol. 14. Prop. LXVI.) in triplicata ratione diametri apparen- 
tis solaris. Et variatio praeterea augetur vel diminuitur in duplicata 
ratione temporis inter quadraturas quam proxime (per Corol. 1. et 2. 
Lem. X. et Corol. 16. Prop. LXVI. Lib. I.) sed haec insequaUtas in 
calculo astronomico ad prostaphaeresin Lunae referri solet, et cum ea 
confundi. 



PROPOSITIO XXIIL PROBLEMA V. 

Motus incEquales satellituir, Jovis et Satur?ii a motibus lunaribus derivare 

Ex motibus Lunae nostrae motus analogi lunarum seu satellitum Jovis 
sic derivantur. Motus medius nodorum satelUtis extimi jovialis, est ad 
motum medium nodorum Lunae nostrae, in ratione composita ex ratione 
duplicata temporis periodici Terrae circa Solem ad tempus periodicum 
Jovis circa Solem, et ratione simplici temporis periodici satelhtis circa 
Jovem ad tempus periodicum Lun^e circa Terram (per Corol. 16. Prop. 
LXVI. Lib. I.) (^) ideoque annis centum conficit nodus iste 8 gr. 24' in 

(*) * A prioribus astronomis non observatfe. Terram dierum 27.521. (Prop. XVII.). Sump- 

Inaequalitates illae quas hic per transennam enu'- tisque logarithmis, erit 
merat Newtonus, gequationesque omnes seu cor. 

rectiones deinceps commodius explicabuntur, et L. {565.2565) ^ = 5.1251956 

quomodo variatio Luna? ad prostraphajresim in L. 16.6880 = 1.2224043 

calculo astronomico referri soleat, exponetur. t— • 

Variatio autem dicitur inaequalitas ilia qua fit ut utriusque summa = 6.3475999 

motus Lun» in primo mensis quadrante sive j^^j^^. ^. (4332,514) - = 7.2734600 

pergente Luna a coniunctione ad quadraturam t o- nm i Acr^^r^^^ 

•^ °- . j X • j 1 * L. , 2<.321 = 1.4364966 

proximam retardetur, in secundo acceleretur ' 

dum tendit a quadratura ad oppositionem, in . . _ ^„^7171 

^ _. ,. j . . • ^ •^ utrius(]ue summa = 8.7099566 

tertio retardetur rursus et m quarto iterum ac- ^ 

celeretur. Ab hac ultima suhtrahatur sum- 

(^) * Ideoque annis centum. Tempus perio- ma superior - _ . 6.3475999 

dicum Terra^ circa Solem est dierum 365. 2565 ; 

tempus periodicum Jovis circa Solem est dicrum residuum erit L. 2.3623567 

4332.514 (per Phaen. IV.) ternpus periodicum 

satellitis circa Jovem est dicrum 16.6880 (per Cui rospondet numerus 230.38. Quare ex 

Phaen. II.) et tempus periodicum Lunae circa hoc calculo et analogia Newtoni patet motura 



LiBER Tertius.] PRINCIPIA MATHEMATICA. 



91 



antecedentia. Motus medii nodorum satellitum interiorum sunt ad mo- 
tum hujus, ut illorum tempora periodica ad tempus periodicum hujus 
(per idem Corollarium) et inde dantur. Motus autem augis satellitis 
cujusque in consequentia est ad motum nodorum ipsius in antecedentia, 
ut motus apogaei Lunae nostrae ad hujus motum nodorum, (per ideni 
Corol.) et inde datur. Diminui tamen debet motus augis sic invcntus in 
ratione 5 ad 9 vel 1 ad 2 circiter, (*=) ob causam quam hic exponere non 
vacat. {^) ^quationes maximae nodorum et augis satellitis cujusque fere 
sunt ad aequationes maximas nodorum et augis Lunae respective, ut 
motus nodorum et augis satellitum tempore unius revolutionis aequationum 
priorum, ad motus nodorum et apogaei Lunae tempore unius revolutionis 
aequationum posteriorum. (^) Variatio satellitis e Jove spectati, est ad 
variationem Lunae, ut sunt ad invicem toti motus nodorum temporibus 
quibus satelles et Luna ad Solem revolvuntur, per idem Corollarium ; 
ideoque in satellite extimo non superat 5'\ \^"'. 

nodorum satellitis extimi Jovis esse partem cir- prodibit motus nodorum satellitis intervallo an- 

citer 230. motus nodorum Lunoe, sed est mo- norum ccntum 8°. 24'. Ab hujus saeculi initio 

tus annuus nodorum Lunae 19°. 21'. 21"., ut di- nuUura in nodis satellitum jovialium sensibilem 

cetur postea. Hisce si multiplicetur motus ille motum fuisse observatura testatur clariss. Cassi- 

annuus per 100 factumque dividatur per 250, nus in Elem. Astr. 




(*) 105. Oh causavi quam hic exponcre non 
vacat. Referat S Solem, sitque P satelles, puta 
Luna revolvens circa planetam primarium T 
scilicet Terram, in ellipseos umbilico positum ; 
erit B apsis summa, A apsis ima, eritque T B, 
distantia maxima et A T distantia minima. 
Jam vero quo minor est distantia A T, respectu 
distantiae T B, c6 celerius apsides progrediuntur, 
(per not. in Cor. 8. Prop. LXVI. Lib. I.). 
Ea est correctionis causa quam autor nostcr non 
exponit. Cum enim satcllites Jovis et Saturni 
rirca suos planetas primarios describant circulos 
fere concentricos (Phaen. I. et II.) Luna vero 
circa TeiTam in orbita elliptica revolvatur, et 
major sit motus nodorum in orbita eHiptica quam 
in circulari, caeteris omnibus manentibus, hinc 
motus augis cu juscumque satellitis per analogiam 
ex motu augis lunaris inventus, diminui debet iu 
ratione paulo minore quara 1 ad 2, calculo noa 
absimili ilii qui XXXI. Prop. instituetur. 

C) * JEquationes viavinuv. Nam errorcs aa- 



gulares in singulis revolutionibus geniti, ideoque 
eorumdem errorem correctiones seu asquationes 
maximae sunt ut satellitum tempora periodica re- 
spective (per Cor. 16. Prop. LXVI. Lib. I.). 
Sed tempora periodica sunt ut motus ipsi angu- 
lares respective (Lib. I.). Quare in eadem quo- 
que ratione sunt sequationcs maxima;. 

(f) * Variatio satcllilis e Jovc spectati, hoc 
est, motus angularis satellitis est ad motum an- 
gularem Lunos ut sunt ad invicem toti motus 
nodorum temporibus quibus satelles et Luna ad 
Solem revolvuntur, sive clarius in ratione nodo- 
rum Lunae ad motum nodorum annuum et tem- 
poris periodici Lunae ad tempus pcriodicum sa- 
tellitis (pcr Cor. 16. Prop. LXVI. Lib. I. et 
not. in idem Corol.). Jam vero motus nodo- 
rum Lunae annuus est 6968i". ut postea statui- 
tur a Newtono, nodus autem satellitis extimi 
jovialis annis centum conticit 8°. 24'. ideoque 
motus ejusdem annuus est 302|-, tempus perio- 
dicum Lunae est dierum 27.321 et satellitis 



92 ^ PHILOSOPHI^ NATURALIS [De MuxNd. Syst. 

PROPOSITIO XXIV. THEOREMA XIX. 

Fluxum et refluxum maris ab adionibus Solis ac Lunce oriri. 

Mare singulis diebus tam lunaribus quam solaribus bis intumescere 
debere ac bis defluere, patet (^ ) per Corol. J 9. et 20. Prop. LXVL Lib. 
I. ut et (^) aquae maximam altitudinem, in maribus profundis et liberis, 
appulsum luminarium ad meridianum loci minori quam sex horarum 
spatio sequi, uti fit in maris Atlantici et ^thiopici tractu toto orientali 
inter Galiiam et Promontorium Bonae Spei ut et in maris Pacifici littore 
Chilensi et Peruviano : in quibus omnibus Httoribus aestus in horam cir- 
citer secundam, tertiam vel quartam, incidit, nisi ubi motus ab oceano 
profundo per loca vadosa propagatus usque ad horam, quintam, sextam, 
septimam aut ultra retardatur. Horas numero ab appulsu luminaris 
utriusque ad meridianum loci, tam infra horizontem quam supra, et per 
horas diei lunaris intelHgo vigesimas quartas partes temporis quo Luna 
motu apparente diurno ad meridianum loci revertitur. Vis SoHs vel 
Lunae ad mare elevandum maxima est in ipso appulsu luminaris ad meri- 
dianum loci. Sed vis eo tempore in mare impressa manet aliquamdiu et 
per vim novam subinde impressam augetur, donec mare ad altitudinem 
maximam ascenderit, id quod fiet spatio horae unius duarumve, sed 

extimi dierum 16.688. Sumptis logarithmis globi contigua, quare fluet in alveo rcfluetque 

erit per vices perpetuo (per Cor. 19. et 20.) idem 

L. - 69.681 = 4.8431144 postea iterum demonstrabitur, viresque Solis et 

L. dierum 27.321 = 1.4364966 Lunae seorsim computabuntur. 

■ (^) * AqucB maxiinam allitudinem. Rem ita 

utriusque log. summa = 6.2796110 se habere patet ex observatis aestibus marinis, ra- 

tio autem hcec est. Vis Solis vel Lunaj ad 

Deinde L. 302 j = 2,4805818 mare elevandum maxima est in ipso appulsu lu- 

Log. dier. 16.688 = 1.2224043 minaris ad meridianum et postea decrescit, atta- 

— — men hujus vis effectus nondum est maximus. 

utriusque summa = 3.7029861 Omnis enim motus semel impressus perseverat 

uniformiter, donec motu contrario destruatur vel 

Haec subtrahatur a summa superiori 6.2796110 saltem retardetur. Hinc fit ut fluxus maris per 

remanet log. 2.5766249, cui respondet numerus sex circiter horas ante-meridianas auctus et cum 

378. fere. Quare ex analogia Newtoni et cal- motu diurno conspirans acceleratus, majori cele- 

culo colligitur variationem satellitis esse partem ritate uUerius pergere debeat et aquas magis 

378 varialionis Lunae circiter. Sed variatio- magisque attoUet, usque dum eadem vis motui 

nem Lunae maximam in apcgaeo Solis deinceps diurno contraria fluidi cursum paulatim sistat et 

determinat Newtonus 33'. 14". sive 1994". aquas cogat refluere. Haec motus retardatio 

Quare pars 378. est 5". 15'" ut Newtonus in- maxime circa octantes sive horam tertiam nota- 

venit, quamproxime. bilis est. Alia non desunt exempla maximorum 

(^) * Per Cor. 19. €t 20. Si fluidum in al- effectuum qui post causas maximas contingunt. 

veo per superficiem cujusvis planetae excavato Non in ipsis solstitiis aestivis maxime fervet aes- 

contineatur, simulque cum planeta motu diurno tas, sicut neque in ipsis solstitiis hybernis maxi- 

periodico uniformiter revolvatur, partes singulae me friget hiems ; sed integro circiter mense post 

hujus fluidi per vices acceleratae et retardatae in solstitia maximus deprehenditur acstatis hyomis- 

syzygiis suis, hoc est, in meridie et media nocte que effectus. Indubitata quoque constat experi- 

velociores erunt ; in quadraturis sive hora sexta entia summum calorem secunda aut tertia post 

matutina, et vespertina tardiores quam superficics meridiera hora fieri. 



LiBER Tertius.] PRINCIPIA MATHEMATICA. 93 

saepius ad littora spatio horarum trium circiter, vel etiam plurium si mare 
sit vadosum. 

(^) Motus autem bini, quos luminaria duo excitant, non cernentur dis- 
tincte, sed motum quendam mixtum efficient. In luminarium conjunc- 
tione vel oppositione conjungentur eormn efFectus, et componetur (') fluxus 
et refluxus maximus. In quadraturis Sol attollet aquam ubi Luna depri- 
mit, deprimetque ubi Luna attoUit ; et ex effectuum differentia aestus om- 
nium minimus orietur. Et quoniam, experientia teste, major est effec- 
tus Lunae quam Solis, incidet aquse maxima altitudo in horam tertiam 
lunarem circiter. Extra syzygias et quadraturas, aestus maximus qui 
sola vi lunari incidere semper deberet in horam tertiam lunarem, et 
sola solari in tertiam solarem, compositis viribus incidet in tempus ali- 
quod intermedium quod tertiae lunari propinquius est ; ideoque in transi- 
tu Lunae a syzygiis ad quadraturas, ubi hora tertia solaris praecedit ter- 
tiam lunarem, maxima aquae altitudo praecedet etiam tertiam lunarem, 
idque maximo intervallo paulo post octantes Lunae, et paribus intervallis 
aestus maximus sequetur horam tertiam lunarem in transitu Lunae a qua- 
draturis ad syzygias. Haec ita sunt in mari aperto. Nam in ostiis fluvi- 
orum fluxus majores caeteris paribus tardius ad dx/ji^riv venient. 

Pendent autem effectus luminarium ex eorum distantiis a Terra. In 
minoribus enim distantiis majores sunt eorum effectus, in majoribus mi- 
nores, idque (^) in triplicata ratione diametrorum apparentium. Igitur 
Sol tempore hyberno, in perigaeo existens, majores edit effectus, efficitque 
ut aestus in syzygiis (^) paulo majores sint, et in quadraturis paulo minores 
(caeteris paribus) quam tempore aestivo ; et Luna in perigaeo singulis 
mensibus majores ciet aestus quam ante vel post dies quindecim, ubi in 
apogaeo versatur. ("^) Unde fit ut aestus duos omnino maximi in syzygiis 
continuis se mutuo non sequantur. 

Pendet etiam effectus utriusque luminaris ex ipsius declinatione seu 
distantia ab aequatore. Nam si luminare in polo constitueretur, traheret 
illud singulas aquae partes constanter, sine actionis intensione et remis- 
sione, ideoque nullam motus reciprocationem cieret. Igitur luminaria 

C^) * Motus autem hini. Quemadmodum (j^) * In triplicatd ratione diametrorum (Cor, 

corpus quodvis duplici vi sollicitatum in lineis 14. Prop. LXVI. Lib. I.). 

duabus progredi nequit, sed conjunctis viribus (•) * Paulb majores si7it, ob majorem virium 

parallelogrammi diagonalem eodem modo de- summam et in quadraturis paulo minores ob mi- 

scribit ac si unica vi juxta diagonalis directionem norem virium differentiam quam tempore lestivo. 

urgeretur (41. Lib. I.) ita motus bini quos lu- ('") * Unde jit ut fcstus. Si enim Luna in 

minaria haec duo excitant non cernentur dis- syzygiarum altera sit circa perigajum, a;stumque 

tincte, sed motum quemdam mixtum eflfi- maximum conjunctis cum Sole viribus tunc 

cient. temporis excitet, necesse est ut in aitera syzygia 

(') * Fluxus et rejiuxus maximiis, ut pote e versetur circa apogBEum minoresque vires ob- 

vinum summa tum temporis oriundus. tineat. 

VoL. IIL I 



94« 



PHILOSOPHI^ NATURALIS [De Mund. Syst. 



recedendo ab aequatore polum versus, effectus suos gradatim amittent, et 
propterea minores ciebunt aestus in syzygiis solstitialibus quam in aequi- 
noctialibus. In quadraturis autem solstitialibus majores ciebunt aestus 
quam in quadraturis aequinoctialibus, eo quod Lunae jam in aequatore 
constitutae effectus maxime superat effectum Solis. Incidunt igitur aestus 
maximi in syzygias et minimi in quadraturas luminarium, circa tempora 
aequinoctii utriusque. Et aestum maximum in syzygiis comitatur semper 
minimus in quadraturis, ut experientia compertum est. Per minorem 
autem distantiam Solis a Terra, tam tempore hyberno quam tempore aes- 
tivo, sit ut aestus maximi et minimi saepius praecedant aequinoctium ver- 
num quam sequantur, et saepius sequantur autumnale quam praecedant. 

Pendent etiam effectus luminarium ex locorum latitudine. Designet 
A p E P Tellurem aquis profundis undique coopertam; C centrum ejus; 
P, p polos ; A E aequatorem ; F locum quem- 
vis extra sequatorem ; F f parallelum loci ; 
D d paralielum ei respondentem ex altera 
parte aequatoris ; L locum quem Luna tribus 
ante lioris occupabat; H locum Telluris ei 
perpendiculariter subjectum; h locum huic 
oppositum; K, k loca inde gradibus 90 dis- 

tantia, C H, C h maris altitudines maximas mensuratas a centro Telluris; 
et C K, C k altitudines minimas: et si axibus H h, K k describatur 
ellipsis, deinde ellipseos hujus revolutione circa axem majorem H h de- 
scribatur sphaerois H P K h p k ; designabit haec (") figuram maris quam 
proxime, et erunt C F, C f, C D, C d altitudines maris in locis F, f, D, d. 




kM.^ 



(") 106. * Figuram maris quam prorime. 
Circukis centro T descriptus Tellurem referat ; 
circulus autem centro L deKcriptus exhibeat 
Lunam. Si nulla esset in Tellurem actio, Tel- 
lus profundis aquis undique cooperta et quies- 
cens (per Hyp. ) in spharam sese componeret. 
At singul.T3 Telluris partes gravitant in Lunam, 
estque gravitas in Lunam in ratione duplicata 
distantiarum a centro reciproce. Jam vero rec- 
ta L T, exponat gravitatem acceleratricem cor- 
poris in centro T positi versixc Lunam, sitque E 
quaelibet fluidi raarini particula. Si in recta 
L E producta sumatur L K a^qualis L T, 
sitque L F ad L K in duph*cata ratione L K ad 
L E, recta L F exponet gravitatem corporis in 
loco E versus Lunam, quae vis dividitur in vires 
vit F G et G L (Prop. LXVL Lib. L). Si 
autem a vi illa qua corpus in E locatum urge- 
tur, qua? est xit G L, auferatur vis ut T L qua 
centrum Telluris urgetur versns Lunam, relin- 
quentur vires ut F G, G T, quibus corpus E 
sollicitatur prater vim proprias gravitatis qua 
tendit veri.us centrum Terra; et vim ipsi commii- 



iiem cum centro ipsius Terra^. Jam sit C 
punctum Telluris cujus zenith Luna immineat, 
A vero punctum oppositum, sintque B ct D 
puncta circumposita, sivc potius e.xhibeant cir- 
culum horizontis in quo Luna versatur, liquet 
punctum G a T maxime distare, ubi punctum 
E est aut in C, aut in A ; in priori casu G 
transeat in M, in posteriori in N ; dum vero 
punctum E versatnr in drculo B D, punctum 
G fere coincidit cum T, nullaque partibus in 
circulo B D locatis relinquitur vis praster vim 
giavitatis propria; atque vim F G ; ipsa vero 
F G, fit B T aut D T, coeuntibus punctis F et 
K ; quare fluidi particula; in locis B et D, prae- 
ter vim gravitatis propria; urgentur etiam versus 
centrum T vi ex Luna procedente, particulae in 
loco C, versus Lunam magis attrahuntur quara 
1'erra integra qua; in centro T locata fingi po- 
test; particula; autem in loco A, versus Lunam 
minus attrahuntur quam Terra integra in T, 
ideoque eodem modo aflficiuntur ac si ad partes 
contrarias urgerentur. At particulae in circulo 
B D, magis gravitant versus T ; in locis inter 



f 



LiBER Tertius.I PRINCIPIA MATHEMATICA. 



95 



Quinetiam si in praefata ellipseos revolutione punctum quodvis N describat 
circulum N M, secantem parallelos F f, D d in locis quibusvis R, T, et 
aequatorem A E in S ; erit C N altitudo maris in Jocis omnibus R, S, T, 
sitis in hoc circulo. Hinc in revolutione diurna loci cujusvis F, affluxus 
erit maximus in F, hora tertia post appulsum Lunae ad meridianum supra 
horizontem, postea defluxus maximus in Q hora tertia post occasum 
Lunse, dein affluxus maximus in f hora tertia post appulsum Lunae ad 
meridianum infra horizontem ; ultimo defluxus maximus in Q hora tertia 
post ortum Lunae; et affluxus posterior in f erit minor quam affluxus 
prior in F. Distinguitur enim mare totum in duos omnino fluctus hemi- 
sphaericos, unum hemisphaerio K H k ad boream vergentem, alterum in 
hemisphaerio opposito K h k; quos igitur fluctum borealem et fluctum 
australem nominare licet. Hi fluctus semper sibi mutuo oppositi veniunt 
per vices ad meridianos locorum singulorum, interposito intervallo hora- 
rum lunarium duodecim. Ciimque regiones boreales magis participant 
fluctum borealem, et australes magis australem, inde oriuntur aestus alter- 
nis vicibus majores et minores, in locis singulis extra aequatorem, in qui- 
bus luminaria oriuntur et occidunt. ^stus autem major, Luna in verti- 
cem loci declinante, incidet in horam circiter tertiam post appulsum' Lunae 
ad meridianum supra horizontem, et Luna declinationem mutante vertetur 



A, vel C, et B vel D, intermediis fluidi particu- 
lae utramque conditionem participant ; quo vici- 
niores sunt fluidi terrestris partes punctis C et A, 
eo minus graves sunt, 
nam actio Lunae sive vis 
ut G T, vim proprise 
gravitatis versus T mi~ 
nuit, et quo propiores 
sunt punctis B et D, eo 
graviores fiunt, eadem 
enim actio lunaris sive 
vis ut F G, gravitatem 
propriam aiiget. Quia 
vero globus A B C D, 
fluido satis profundo un- 
dique coopertus ponitur, 
fluidi autem partes ce- 
dunt vi cuicumque illa- 
tae et cedendo facile mo- 
ventur inter se, fluidum 
illud versus A et C po- 
situm a fluido versus B 
et D, posito expelletur, 
levius scilicet a graviore, 
attolletur ergo fluidum 
versus A et C, deprime- 
turque versus B et D, 

donec scilicet major fluidi moles et altitudo Ina- 
jorem gravitatem compenset, et ubique constitu- 
atur aequilibrium. Quapropter supcrficies ma- 

I 




ris sese componet in figuram sphasroidem cujus 
axis est recta A C, quce producta per liunam 
transibit. Hinc patet figuram maris in sphaeroi- 
dem oblongam formari debere. 

107. Simili argumento patet considerata Solis 
actione fluidum tcrrestre componi in sphjcroidem 
oblongam cujus axis productus per Solem tran- 
sit. Si enim (in fig. pra^ced.) globus L non 
Lunam sed Solem designct, cajtera se habent ut 
supra. At in hoc casu minor erit quam in alte- 
ro axium differentia. Nam fluidi tumor in C 
hine oritur quod fluidum magis gravilct versus 
Lunam quam Telhiris centrum T, tumor autem 
fluidi in A, inde provenit quod Tcrra; ccntrum 
magis quam fluidum versus Lunam gravitet ; 
quare, si haec elevatio Solis actioni tribuatur, 
minor erit effectus quaravis actio Solts in Terram 
major sit quam actio lAincC in camdem, Telluris 
enim semi-diameter T C vel T A fcre evanescit 
respectu immensas Soiis a Terra. distantia^, ideo- 
que fluidi in C locati gravitas versus Solem erit 
insensibilitcr major gravitate Tolluris versus 
cundem, et fluidi in A positi graviias versus So- 
lem erit insensibiliter minor gravitate TelUiris 
vcrsus eundeni, quare figura spliaeroidea inde 
gcnita paruni intumescet ad vertices C et A, 
parunique in circulo B D deprimetur, attameu 
propter immcnsas Solis licet rcmotissimi vires, 
aliquis erit actionis solaris eflTectus. 



96 



PHILOSOPHIiE NATUR ALIS [De Mund. Syst. 



in minorem. Et fluxuum difFerentia maxima incidet (°) in tempora sol- 
stitiorum ; praesertim si Lunae nodus ascendens versatur in principio 
Arietis. Sic experientia compertum est, quod aestus matutini tempore 
hyberno superant vespertinos, et vespertini tempore sestivo matutinos, ad 
Plymuthum quidem altitudine quasi pedis unius, ad Bristoliam vero alti- 
tudine quindecim digitorum : observantibus Colepressio et Sturmio. 

Motus autem hactenus descripti mutantur aliquantulum per vim illam 
reciprocationis aquarum, qua maris aestus, etiam cessantibus luminarium 
actionibus, posset aliquamdiu perseverare. Conservatio haecce motus 
impressi minuit difFerentiam aestuum alternorum ; et aestus proxime post 
syzygias majores reddit, eosque proxime post quadraturas minuit. Unde 
fit ut £estus alterni ad Plymuthum ad Bristoliam non multo magis difFe- 
rant ab invicem quam altitudine pedis unius vel digitorum quindecim ; 
utque sestus omnium maximi in iisdem portubus, non sint primi a syzy- 
giis, sed tertii. Retardantur etiam motus omnes in transitu per vada, 
adeo ut aestus omnium maximi, in fretis quibusdam et fluviorum ostiis, 
(P) sint quarti vel etiam quinti a syzygiis. 



(°) * In tempora solstitiorum. Tunc enim in 
syzygiis utrumque luminare ab aequatore maxi- 
me declinat, alque fluxuum differentia adhuc 
augebitur, si Luna; nodus ascendens versatur in 
principio Arietis ; nam praeter declinationis Solis 
maximam, Luna quoque Soli conjuncta quanti- 
tate lalitudinis maximae in boream aut austrum 
magis declinat. Hinc fit fluctus borealis nobis 
vicinissimus et fluctus australis remotissimus in 
eadem revolutione diurna. 

(P) * Sint (/iiarti vel etiam quinti. In Opus- 

culo de Mundi Systemate quaedam occurrunt 

observationes qua; ad hunc locum pertinent, eas 

itaque exscribemus. Fieri etiam potest, inquit 

autor, ut a;stus omnium maximus sit quartus vel 

quintus a syzygiis vel tardius adveniat, eo quod 

retardantur motus marium in transitu per ioca 

vadosa ad littora. Sic enim aestus accedit ad 

littus occidentale Hiberniae hora tertia lunari, 

et post horam unam et alteram ad portus in lit- 

tore australi ejusdem insulas ut et ad insulas 

Cassiterides vulgo Sorling dictas. Dein succes- 

sive ad Falmuthum, Plymuthum, Portlandiam 

insulam, Vectam, Wincnelseiam, Doveriam, os- 

tium Tamesis et Pontem Londinensem, con- 

sumptis horis duodecim in hoc itinere. Sed et 

oceani ipsius alveis haud satis profundis irapedi- 

tur sestuum propagatio, incidit enim acstus ad 

insulas Fortunatas et ad occidentalia marique 

Atlantico exposita littora Hiberniae, Galliae, 

Hispaniae et Africae totius usque ad Caput Bonae 

Spei in horam tertiam lunarem, praeterquam in 

locis nonnullis vadosis ubi a^stus impeditus tar- 

dius advenit, inque freto Gaditano quod motu ex 

mari Mediterraneo propagato citiiis aestuat ; per- 



gendo vero de his littoribus per oceani latitudi- 
nem ad oras Americ£e, accedit eestus primo ad 
BrasilijE littora maxime orientalia circa horam 
lunarem quartam vel quintam ; deinde ad os- 
tium fluvii Amazonum hora sexta, ad insulas 
vero adjacentes hora quarta, postea ad insulas 
Bermudas hora septima et ad Florida; portum 
S. Augustini hora 1\. Tardius igitur progredi- 
tur aestus per oceanum quam pro ratione motijs 
Lunae ; et pernecessaria est haecce retardatio ut 
mare eodem tempore descendat inter Brasiliam et 
Novam Franciara, ascendatque ad insulas For- 
tunatas et littora Europje et Africa- et vice- 
versa. Namque mare ascendere nequit in uno 
loco quin simul descendat in altero. Lege jam 
descripta agitari quoque mare Pacificum verisi- 
raiie est. Namque «stus altissimi in littore 
Chiliensi et Peruviano incidere dicuntur in ho- 
ram tertiam lunarem, sed qua velocitate propa- 
gantur inde ad littus orientale Japoniae et ad in- 
sulas Philippinas caeterasque regno Sinarum ad- 
jacentes nondum reperi. 

108. In alveis fluminum pendet influxus et 
refluxus a fluminum cursu. Nam cursus ille 
facit aquam tardiiis influere ex mari, et in mare 
citius et velocius refluere atque adeo diutius re- 
fluere quam influere, praesertim si longe in flu- 
men ascenditur ubi minor est vis maris. Sic in 
fluxio Avona; ad tertium lapidem infra Bristo- 
liam refert Sturmius aquam horis quinis influcre, 
septenis refluere supra Bristoliam, ut ad Canes- 
ham vel Bathoniam differentia procul dubio ma- 
jor est. Pendet etiam haec differentia a magni- 
tudine fluxijs et refluxus. Nam prope lumina- 
rium syzygias, vehementior maris motus facilius 



LiBER Tertius.] PRINCIPIA MATHEMATICA. 



97 



Porro fieri potest ut aestus propagetur ob oceano per fret-a diversa ad 
eundem portum, et citius transeat per aliqua freta quam per alia : quo in 
casu aestus idem, in duos vel plures successive advenientes divisus, com- 
ponere possit motus novos diversorum generum. Fingamus aestus duos 
aequales a diversis locis in eundem portum venire, quorum prior prsecedat 
alterum spatio horarum sex, incidatque in horam tertiam ab appulsu 
Lunae ad meridianum portus. Si Luna in hocce suo ad meridianum ap- 
pulsu versabatur in aequatore, venient singulis horis senis asquales affluxus, 
qui in mutuos refluxus incidendo eosdem affluxibus aequabunt, et sic spa- 
tio diei illius efficient ut aqua tranquille stagnet. Si Luna tunc declina- 
bat ab aequatore, fient aestus in oceano vicibus alternis majores et minores, 
uti dictum est; et inde propagabuntur in hunc portum affluxus bini ma- 
jores et bini minores, vicibus alternis. Affluxus autem bini majores com- 
ponent aquam altissimam in medio inter utrumque, affluxus major et mi- 



superando resistentiam fluminum faciet aquam 
citius ac diutius influere, adeoque minuet hanc 
differentiam : interea vero dum Luna ad syzy- 
gias properat, necesse est ut flumina ob cursus 
suos per magnitudinem aestuum impeditos ma- 
gis impleantur et propttrea. maris refluxum pau- 
lo magis impediant proxime post syzygias quam 
proxime ante. Ea de causa a^stus omnium tar- 
dissimi non incident in ipsas syzygias, sed paulo 
praecedent. Dixi acstus etiam ante syzygias re- 
tardari vi Solis. Conjungatur causa utraque, et 
aestuum retardatio et major erit et syzygias ma- 
gis praecedet. Quge omnia ita se habere colligo 
ex tabulis aestuum quas Flamsteedius ex obser- 
vationibus quamplurimis construxit. 

109. iEstuum magnitudo non parum etiam 
pendet a magnitudine marium, ut in Opusculo 
citato observat clariss. autor. Sit C centrum 
Terrae, E A D B oblonga maris figura, C A 
semi-axis major, C B semi-axis minor priori in- 




sistens ad angulos rectos. Sumatur D punctum 
medium inter A et B, sitque E C F, vel ipsi 
aequalis e C f angulus ad centrum Terrse, quem 
subtendit latitudo maris littoribus E, F, vel e, f, 
terminari j versetur autem punctum A, in me- 
dio inter puncta E, F, et punctum D in medio 
inter puncta e, f. Si pcr differentiam altitudi- 
num C A, C B, cxponatur quantitas a>stus in 
mari satis profundo Terram totam cingente, ex- 



cessus altitudinis C A super altitudinem C E 
vel C F designabit maximam quantitatem aestus 
in medio maris E F littoribus E, F terminati, 
et excessus altitudinis C e super altitudinem C f, 
exponet maximam quantitatem aestus ad littora 
ejusdem maris. (Nam, differentia inter diame- 
trum bisecantem angulum datum quem faciunt 
duce diametri ellipseos et alterulram ex illis dia- 
metris major csse non potest ex natura. eUipseos 
quam si illa diameter bisecans sit semi-axis ma- 
jor et diflferentia inter illas duas ipsas diametios 
angulum datum constituentes major esse nequit 
quam si diameter angulum bisecans faciat angu- 
lum cum axe semi-rectum. ) Unde patet ivstus 
ad littora esse propemodum ut maris latitudo 
E F, arcu quadrantali non major. Hinc fit ut 
nullus aut fere nullus cbservetur aquarum 
motus in maribus non satis late patentibus, nisi 
cum oceano ipso libere communicent. Si enim 
nihil aut parum cum oceano communicent, ut 
accidit in mari Mediterraneo, aestus quoque eara 
ob causam minor deprehenditur. Hinc est 
etiam quod prope a;quatorem ubi mare inter 
Africam et Americam angustum est, aestus sint 
multo minores quam hinc inde in zonis tempera- 
tis ubi maria iate patent, et in maris Pacifici lit- 
toribus fere singulis tam Americanis quam Sini- 
cis et intra tropicos et extra. Contingere tamen 
potest ut aestus qui in oceano mediocris est, in 
fluviis evadat maximus propter transitiis augus- 
tias littorumque seorsim coeuntium convergen- 
tiam. Hacc de inaris a-stu pro pracsenti dicta 
sint : de hac nobilissima inter physicos qua^s- 
tione plurima in decursu, ubi recurret occasio, 
adjungemus. Prolixius foret prosequi factas a 
diligentissimis philosophis aestuum observationes; 

legantur quae huc et illuc tum in Transact. Angl. 

tum in Mon. Paris. dispersa inveniuntur, sed ea 

pra^sertim qusc clariss. viri Halleius Num. 226. 

Transact. et Cassinus in Mon. Paris. an. 1712. 

1713. scripta reliquerunt. 
3 



98 PHILOSOPHI^ NATURALIS [De Mund. Syst. 

nor faciet ut aqua ascendat ad mediocrem altitudinem in medio ipsorum> 
et inter affluxus binos minores aqua ascendet ad altitudinem minimam. 
Sic spatio viginti quatuor horarum, aqua non bis ut fieri solet, sed semel 
tantum perveniet ad maximam altitudinem et semel ad minimam : et alti- 
tudo maxima, si Luna declinat in polum supra horizontem loci, incidet in 
horam vel sextam vel tricesimam ab appulsu Lunae ad meridianum, atque 
Lunae declinationem mutante mutabitur in defluxum. Quorum omnium 
exemplum in portu regni Tunquini ad Batsham sub latitudine boreali 
20 gr. 50'. Halleius ex nautarum observationibus patefecit. Ibi aqua 
die transitum Lunae per aequatorem sequente stagnat, dein Luna ad bo- 
ream declinante incipit fluere et refluere, non bis, ut in aliis portubus, sed 
semel singulis diebus ; et aestus incidit in occasum Lunae, defluxus maxi- 
mus in ortum. Cum Lunae declinatione augetur hic aestus, usque ad 
diem septimam vel octavam, dein per alios septem dies iisdem gradibus 
decrescit, quibus antea creverat; et Luna declinationem mutante cessat, 
ac mox mutatur in defluxum. Incidit enim subinde defluxus in occasum 
Lunae et affluxus in ortum, donec Luna iterum mutet declinationem. 
Aditus ad hunc portum fretaque vicina duplex patet, alter ab oceano 
Sinensi inter Continentem et insulam Luconiam, alter a mari Indico inter 
Continentem et insulam Borneo. An aestus spatio horarum duodecim a 
mari Indico, et spatio horarum sex a mari Sinensi per freta illa venientes, 
et sic in horam tertiam et nonam lunarem incidentes, componant hujus- 
modi motus; sitne alia marium illorum conditio, observationibus vicino- 
rum httorum determinandum relinquo. 

Hactenus causas motuum Lunae et marium reddidi. De quantitate 
motuum jam convenit aliqua subjungere. 



EDITOR LECTORI. 



'«^«^'«'W«t 



Jb ELicius commentari non possumus ea quae tradit autor noster de Maris 
^iStu, quam huic propositioni subjungendo eas dissertationes quas pra^mio 
fuere condecoratae a celebri Parisiensi Scientiarum Academia. Id qui- 
dem primum nobis fuerat propositum, ut ea quae in illis dissertationibus 
momentosiora viderentur et ad Newtonianae philosophiae illustrationem 
pertinerent, brevi compendio comprehensa notis adjiceremus; verum 
trunca ac ingenii nostri vitio detrita exhibere h«c illustrissimorum viro- 
rum scripta merito piguit, et non dubitavimus nos meUus consulturos tum 
lectoribus nostris, tum ipsis eorum scriptorum authoribus, si quaha sunt 
edita hic illa insereremus : cumque authorum a typothetis absentia fac- 
tum sit ut in editione Parisina plurima irrepserint menda, nullo errorum 
catalogo correcta, ea demonstrationibus ac calcuHs accurate repetitis 
emendavimus, figurasque ad loca, quibus respondent, aptari curavimus. 

Quatuor quidem dissertationes Parisinis typis fuerunt evulgatae, qua- 
rum prior a Patre Cavallieri Jesuita, secunda a Daniele Bernoulho, ter- 
tia a D. D. Mac-Laurino, quarta a Leonardo Eulero fuere ad Academiam 
missas. Prior in eo occupatur ut Cartesianae hypotheseos circa causam 
aestus marini vitia et hiatus corrigat et resarciat, quod quidem ingeniose 
admodum praestat; tres reHquas ex legibus gravitatis aquarum Maris in 
Solem, Lunam et Terram, omnes phaenomeni propositi circumstantias 
expUcant et calcuHs determinant: has ergo tres, omissa priore, hujus esse 
loci credidimus. 

In dissertatione Mac-Laurini occurrit solutio synthetica Problematis 
de figura Terrae, quale ihud proposueramus in notis nostris ad Prop. 
XIX. quodque parum feHci successu analytice solvere tentaveramus ; ex 
ejus sohitione patet meridianum esse veram eUipsim in hypothesi quod 
Terra sit homogenea : cum autem haec in manus nostras non devenerint, 
nisi cum notae ad eam Propositionem XIX. praelum subnssent, mde fac- 

I 4 



100 EDITOR LECTORI. 

tiiiii est ut in iis notis de illo Problemate ut nondum soluto egerimus : 
quas in his tribus dissertationibus ingeniosa sunt, enumerare longius 
foret ; intelligit lector quae sint ipsi speranda a tantis viris, et quam faci- 
lis, his intellectis et perlectis, futurus sit transitus ad ea quae sequuntur 
de Lunae motu, de praecessione aequinoctiorum, aUisque ; lectorem itaque 
rogamus ut nobis vitio non vertat, quod typographo indulserimus haec qua- 
lia sant edere, ne, et ipse lector et typographus, eam paterentur mo- 
ram quas ad condendam epitomem istarum dissertationum necessaria 
fuisset. 



T R A 1 T E 

SUR 

LE FLUX ET REFLUX 

D E 1. A M E R. 

PAR MR. DANIEL BERNOULLI PROFESSEUR D'ANATOMIE 
ET DE BOTANIQUE A BASLE. 



Devise — Deus nohis hcec otiafecit. 
Pour concourir au Prix de 1740. 



CHAPITRE PREMIER. 

Contenant une introduction d la qiiestion proposee, 

I. — Dans le grand nombre des systemes sur le Flux et Reflux de la 
Mer, qui sont parvenus a notre connoissance depuis 1'antiquite la plus recu- 
lee, il n'y a plus que ceux des Tourbillons et de 1' Attraction ou Gravitation 
mutuelle des corps celestes et de la Terre, qui partagent encore les philo- 
sophes de notre tems : l'un et Tautre de ces systemes ont eu les plus 
grands hommes pour defenseurs, et oiit entraine des nations entieres dans 
leur parti. II semble donc que tout le merite qui nous reste a esperer 
sur cette grande question, est de bien opter entre ces deux systemes, et 
de bien manier celui qu'on aura choisi pour exphquer tous les phenomenes 
qu'on a observes jusqu'ici sur le Flux et Reflux de la Mer, pour en tirer 
de nouvelles proprietes, et pour donner des uns et des autres les calculs 
est le mesures. 

11. — J'ai commence d'abord par l'idee de Kepler, qu'on nomme avec jus- 
tice le Pere de la vraie philosophie. Elle est fondee sur FAttraction ou Gra- 
vitation mutuelle des corps celestes et de la Terre : cet incomprehensible et 
iiicontestable principe, que le grand Newton a si bien etabli, et qu'on ne 
s^auroit pkis revoquer en doute, sans faire tort aux sublimes connoissan- 



102 TRAITE' SUR LE FLUX 

ces et aux heureuses decouvertes de notre siecle. Apres un examen fort 
scrupuleux, j'ai vu que cette gravitation mutuelle, consideree dans les 
globes de la Terre, de la Lune et du Soleil, nonseulement pouvoit pro- 
duire tous les phenomenes du Flux et Reflux de la Mer, mais meme 
qu'elle le devoit necessairement, et qu'elle le devoit : suivant toutes les 
loix qu'on a observees jusqu'ici. Avec ces heureux succes, j'ai pousse 
mes recherches aussi loin qu'il m'a ete possible de les porter. En chemin 
faisant, je suis tombe sur les Theoremes de M. Newton, dont je n'avois 
pu gueres voir la source auparavant ; mais en meme tems j'ai remarque le 
peu de chemin qu'on a encore fait dans cette matiere, et meme rinsuffi- 
sance de la methode usitee, lorsqu'elle est appliquee a des questions un peu 
detaillees. J'ai suivi une toute autre route ; j'ai pousse mes recherches 
bien plus loin, et je suis entre dans un detail tel que TAcademie m'a 
paru le demander; et je dois dire a Favantage des principes que nous 
adopterons, que j'ai trouve par-tout un accord merveilleux entre la 
theorie et les observations, accord qui doit etre d'autant moins suspect, 
que je n'ai consulte les observations, qu'apres avoir acheve tous mes cal- 
culs, de maniere que je puis dire de bonne foi, d'avoir devine la pluspart 
des observations, sur lesquelles je n'etois pas trop bien informe, lorsque 
j'ai entrepris cet ouvrage. 

in. — Quant aux tourbillons, j'avoue qu'il est bien difficile d'en demon- 
trer le faux a ceux qui veulent s'obstiner a les defendre : mais aussi il n'en 
est pas de la physique, comme de la geometrie. Dans celle-ci on n'admet, 
ni ne rejette rien, que ce dont on peut absolument demontrer la verite ou 
la faussete, pendant que dans la physique il faut se rapporter souvent a 
un certain instinct naturel de sentir le faux et le vrai, apres avoir bien 
pese toutes les raisons de part et d'autre. Quant a moi, je ne trouve 
point ce caractere de verite, ni dans Thypothese des tourbillons, ni dans 
les consequences que Ton en tire. Si nous disons que le tourbillon a la 
meme densite, la meme direction et la mcme vitesse que la Lune, ce 
tourbillon ne s^auroit faire aucun effet ; et si au contraire nous supposons 
ces trois choses n'etre pas les memes de part et d'autre, il me paroit bien 
clair et bien certain, que reffet du tourbillon devroit se manifester infini- 
ment davantage dans le mouvement de la Lune, que dans celui des eaux 
de la Terre. Cependant on s^ait parfaitement bien que la Lune, quoique 
subjette a beaucoup d'irregularites dans ses mouvemens, n'en a aucune 
qui puisse etre attribuee a Taction aussi sensible d'un tourbillon. Si 
nous passons par dessus toutes ces diiferentes difficultes, nous en ren- 
contrerons d'autres egalement embarassantes. Cest contre les loix de 



ET REFLUX DE LA MER. 



Ip3 



rhydrostatlque, que la Lune, qui nage dans le tourbillon, puisse causer 
des variations dans la compression des parties du fluide. Cest une pro- 
priete essentielle des fluides de se remettre aussi-tot a l'equilibre, lorsque 
ses parties en sont sorties. Si une colonne de tourbillon, entre la Lune 
et la Terre, etoit plus cornprimee qu'une autre colonne semblable, rien 
ne s^auroit empecher ses parties de s'echaper de cote jusqu'au retablisse- 
ment de requilibre. Qu'on s'imagine, par exemple, Tair de notre atmo- 
sphere tout d'un coup extremement echaufFe ; ce changement feroit en 
meme tems hausser a proportion le mercure dans le barometre, puisque 
Fair chaud a plus de ressort que Tair froid ; mais comme rien n'empeche 
Tair de s'echaper de cote jusqu'a la parfaite conservation de Fequilibre, 
cela fait qu'un tel changement n'en s^auroit faire aucun sur le barometre ; 
aussi n'observe-t-on dans le barometre aucune variation du jour a la nuit, 
qui cependant, par un raisonnement tout-a fait semblable a celui des tour- 
billonnaires pour expliquer les marees, devroit etre tressensible. Pareille- 
ment si les eaux d'une riviere donnent contre un pieu, on ne remarquera 
aucune difFerence dans la surface des eaux, que bien pres du pieu, et le 
fond du lit de la riviere sera toujours egalement presse. En voila assez 
et trop sur cette matiere ; car ce sera toujours aux sectateurs de Des- 
cartes de montrer Tes&et des tourbillons sur 1'ocean, avec la meme clarte 
qu'on peut ie faire, moyennant le principe de Kepler, principe d'ailleurs 
qui n'est plus conteste ; s^avoir, que la,Terre et tous les corps celestes 
ont une tendance mutuelle a s'approcher les uns des autres. Ce principe 
pose, il est facile de faire voir, que la Terre que nous supposerons devoir 
etre sans cette tendance parfaitement ronde, en changera continuellement 
sa figure, et que c'est ce changement de figure qui est la cause du flux et 
reflux de la mer : comme ce changement dans la figure de la surface de 
la Terre est produit de differentes fa^ons, j'en ferai ici un denombrement, 
et je tacherai dans la suite d'en donner la mesure. 
IV. — Si A est le centre de la Lune, ou du Soleil : 
B G D H la Terre ; si l'on tire par les centres 
de la Lune ou du Soleil et de la Terre la 
droite A D, et qu'on prenne au dedans de la 
Terre un point quelconque F, on tirera F E 
perpendiculaire a B D, avec la droite F A, et 
on achevera le rectangle F L A E. Chaque 
point F est tire ou pousse vers A, et cette force 
etant representee par F A, elle sera consideree 
comme composee des deux laterales F L et F E : 







A 


V 




V 



H 



D 




104 TRAITE' SUR LE FLUX 

cela ^tant, on voit que la force F E etant appliquee dans chaque point de 
la Terre, ne scauroit que Pallonger autour de B D : et comme c'est une 
meme raison pour tous les plans qui passent par B D, il est clair que 
la Terre formera ainsi un spheroide produit par la rotation d'une courbe 
B G D autour de B D. 

On remarquera, que cet allongement ne s^au- 
roit etre qu'extremement petit. Premierement, a 
cause de la petitesse des hgnes F E par rap- 
port a F A. En second lieu, a cause du peu de 
rapport qu'il y a entre la pesanteur du point F 
vers A, a la pesanteur du meme point vers le 
centre de la Terre C. Nous verrons dans la 
suite que cet allongement ne peut aller qu'a un 
petit nombre de pieds, ce qui est fort peu consider- 
able, par rapport au diametre de la Terre. 

On remarquera encore, que Fallongement total etant imperceptible par 
rapport au diametre de la Terre, la diiference des allongemens pour 
rhemisphere superieur G B H, et pour Finferieur G D H, doit etre 
insensible par rapport a rallongement total ; a la rigueur, il faudroit dire, 
que les forces exprimees par F E, sont tant soit peu plus grandes dans 
1'hemisphere G B H, que dans 1'hemisphere oppose, dont les parties sont 
plus eloignees du point A, et.qu'ainsi ledit hemisphere G B H sera un 
peu plus allonge que i'autre hemisphere : mais on sent bien que la diffe- 
rence doit etre insensible. On peut donc prevoir que les poles B et D 
resteront egalement eloignes du point C, et que la courbe G B H pourra 
etre censee la meme que G D H. Nous donnerons un calcul juste et 
detaille de tout cela dans la suite de ce traite. 

Venons a une seconde consideration, qui produira le meme resultat, 
que celle dont nous venons de parler. 

V. — Comme la Terre tache continuellement a s'approcher du Soleil et 
de la Lune, il faut qu'il y ait en meme tems d'autres forces qui la reti- 
ennent ; et ce sont les forces centrifuges de la Terre, qu'elle a par son 
mouvement autour du Soleil, et autour du centre de gravite ( je l'appelle 
ainsi, pour me conformer a Trsage) qui est entre la Terre et la Lune. 
Je demontrerai aussi ci-dessous, que cette force centrifuge doit etre sup- 
posee egale dans toutes les parties de la Terre, et parallele a la ligne 
A D, pendant que l'autre force se repand inegalement sur les parties de 
la Terre. Elle est plus grande dans les parties les plus proches de A, 
et plus petite dans les parties qui en sont plus eloignees, et cela en raison 



ET REFLUX DE LA MER. 105 

quarree reciproque des distances. Cette raison supposee, le calcul fait 
voir, que pourvu que les couches concentriques de la Terre autour du 
point C, soient homogenes, la force moyenne, qui pousse les parties de 
la Terre vers A, est precisement celle qui repond au centre de la Terre 
C ; et que c'est dans ce centre C, ou la force oentrifuge est precisement 
egale a la force centripete. Ainsi chaque partie qui est entre C et B, est 
plus poussee vers A, qu^elle n'est repoussee ; et au contraire chaque par- 
tie situee entre C et D, est moins poussee vers A, qu'elle n'est repoussee ; 
de sorte qu'en s'imaginant deux canaux communiquans entre eux G H et 
B D, on voit que chaque goute dans la partie C B, est tlree vers A, 
et que chaque goute dans la partie C D, est poussee dans un sens 
contraire. Cela diminue 1'action de la pesanteur vers le centre de la 
Terre dans le canal B D, pendant que cette meme pesanteur n'est pas 
diminuee dans le canal G H, d'ou il arrivera encore un allongement au~ 
tour de Taxe B D, ce que je m'etois propose de faire voir. 

Le calcul montre que cette raison est en soi-meme de fort peu d'im- 
portance ; qu'elle ne s^auroit allonger Faxe B D considerablement. Mais 
son resultat est assez comparable avec celui de rallongement expose au- 
paravant. On prevoit d'ailleurs encore que Tallongement produit par 
cette raison, doit etre egal dans les canaux B C et C D, la difference ne 
pouvant etre sensible ; et ainsi les points B et D resteront encore egale- 
ment eloignes du centre C. 

VI. — Une troisieme raison, qui peut allonger davantage Taxe B D, est 
que par Tallongement meme, produit par les deux causes precedentes, la 
pesanteur terrestre qui fait descendre tous les corps vers le centre C, est 
changee. Cette pesanteur peut etre consideree comme egale dans les 
canaux G C et B C, ou D C a des distances egales du centre C, tant 
que la Terre est supposee spherique; mais cette sphericite otee, il est 
naturel que cette egalite ne pourra plus subsister. II est aussi vraisem- 
blable que la pesanteur est diminuee dans les canaux C B et C D, et 
qu'ainsi Taxe doit encore etre prolonge. Pour calculer cet allongement, 
nous aurons recours au systeme de M. Newton, qui suppose la pesanteur 
produite par Tattraction commune de la matiere en raison quarree reci- 
proque des distances. Ce n'est pas que je croye cette hypothese bien de- 
montree ; car la conclusion de la gravitation mutuelle des corps du sys- 
teme du monde en raison quarree reciproque des distances, qu'on ne 
s^auroit plus nier, a une semblable attraction universelle de la matiere, 
de laquelle M. Newton deduit la pesanteur ; cette consequence, dis-je, 
demande beaucoup d'indulgence. Mais je Tadopterai pour ce sujet, 




106 TRAITE' SUR LE FLUX 

parce que tous les autres systemes sur la pesanteur me seroient inu- 
tiles : c'est le seul, qui etant du ressort de la geometrie, donne des me- 
sures assurees et fixes ; et il est d'ailleurs digne de Tattention de tous les 
geometres et physiciens. 

VII. — Les trois causes que je viens d^exposer, 
comme pouvant et devant allonger la Terre autour 
de la ligne qui passeroit par le centre du Soleil 
et de la Lune, sont d'une force assez egale; de 
sorte qu'il faudra tenir compte de toutes, quoique 
chacune soit si petite, qu'elle ne scauroit allonger la 
Terre au dela d'un petit nombre de pieds, et peut- 
etre moins d'un pied. II sera bon de remarquer ici 
que ce qui, apres le calcul, exprime les dits allonge- 
mens, est toujours un certain multiple, ou sous-mul- 

tiple de ^ X b, entendant par b le rayon de la Terre, par a la distance du 
a G 

luminaire en question, et par K la raison qui est entre la pesanteur d'un 

G 

corps place en B vers A, et sa pesanteur vers C, laquelle raison est ex- 

tremement petite. 

J'ai juge a propos d'alleguer ici cette formule, que le calcul m'a en- 

seigne, afin que ceux qui voudroient le faire apres mol, s^achcnt d'abord 

quels termes on peut rejetter, comme inutiles, qui rendent les ealculs ex- 

tremement penibles, et qui se trouvent au bout du calcul, n'etre d'aucune 

importance. Ce seroit une chose ridicule, de vouloir faire ici attention a 

des parties d'une ligne qui proviendroient, si la dite quaiitite —&- X b ctoit 

a G 

encore multipliee par , ou par E-, 

a G 

VIII. — Notre dessein est d'abord de chercher et d'exprimer analy- 
tiquement les allongemens dont nous venons de parler. On peut les trou- 
ver par rapport aux deux premieres causes, independamment de la figure 
de la Terre ; mais par rapport a la troisieme cause exposee au fixieme 
article, il faut supposer la Terre, c'est-a-dire, le meridien B G D H 
d'une figure donnee ; et c'est 1'hypothese la plus naturelle, de la supposer 
elliptique, ayant pour axes les lignes B D et G H ; quelle qu'elle soit, 
elle n'en s^auroit etre sensiblement differente, et si elle 1'etoit, cela ne 
s^auroit produire un changement bien considerable sur le rapport des 
deux axes B D et G H, que nous cherchons. Outre cela nous verrons 



ET REFLUX DE LA MER. 107 

que c*est ici un Probleme, qui depencl encore de la loi des changemens 

dans les densites des couches de la Terro. M. Newton suppose la Terre 

par-tout homogene. II ne Ta fait apparemment, que pour faciliter le 

• ProbJeme, qui est affez difficile dans toute autre hypothese. Mais cette 

supposition dc M. Newton n'a aucune vraisemblance ; je dirai meme, 

qu'elle seroit fort peu favorable a notre systeme, comme nous le verrons 

dans la suite. Cest pourquoi je n'ai pas voulu restreindre si fort la so- 

lution du Probleme en question. J'ai cru que je payerois trop cher l'avan- 

tage d'applanir les difficultes du Probleme, et les peines du calcul. J'ai 

donc rendu notre question infiniment plus generale, pour en tirer tous les 

Corollaires, et pour choisir ceux qui conviennent le plus a notre sujet, et 

qui rendront par la meme plus vraisemblables les hypotheses, auxquelles 

ils appartiennent. 

IX. — Voici a present nos hypotheses. Nous considererons la Terre, 
comme naturellement spherique, et composee des couches concentriques : 
nous supposerons ces couches homogenes, chacune dans toute son eten- 
due ; mais qu'elles sont de differentes densites entre elles, et que la loi 
des variations de leur densite soit donnee. Quant a la sphericite de la 
Terre, que nous supposerons, on voit bien qu'il seroit ridicule de s'y ar- 
reter, puisque Televation des eaux de Tocean, causee par les deux lu- 
minaires, ne s^auroit differer sensiblement, que la Terre soit un peu 
applatie, ou un peu allongee. La supposition de rhomogeneite des 
couches concentriques, ne doit pas non plus nous faire de la peine, 
puisqu'on ne s^auroit donner aucune raison, pourquoi elles devroient 
etre heterogenes. 



CHAPITRE IL 

Contenant quelqiies lemmes sur V Attractlon des Corps. 

I. — il E prie encore une fois le lecteur, de ne considerer ce chapitre, que 
commfi hypothetique. Je ne suppose l'attraction universelle de la ma- 
tiere, que parce que c'est la seule hypothese, qui admette des calculs, et 
qu'elle est d'ailleurs assez bien fondee, pour meriter Tattention de tous les 
philosophes du monde. 

On appelle au reste attraction qu'exerce un corps A sur un corps B, 
la force acceleratrice, que le corps B acquiert a chaque instant, en tom- 



108 



TRAITE' SUR LE FLUX 



bant vers A. On voit donc que Feffet de 1'attraction du corps A sur le 
corps B, est de communiquer a celui-ci une pesanteur, qu'on suppose 
proportionnelle a la masse du corps A divisee par le quarre de la dis- 
tance; et cette pesanteur doit encore etre multipliee par la masse du 
corps B, pour avoir la force que ce corps exerce s'il est empeche de s'ap- 
procher du corps A. 

PROBLEME. 

n. — Soit une couche spherique homogene, infiniment mince, et d'une 
epaisseur egale, comprise entre les surfaces spheriques M N O R et 
P L Q S, trouver Tattraction, ou la force acceleratrice, que cette 
couche exercera sur un corps place au point B, pris hors de la surface 
exterieure. 

SOLUTION. 



Qu*on tire la droite B O par le point B et le centre C, dans laquelle 
on prendra deux points infiniment proches J et i : on tirera ensuite les 
deux perpendiculaires J L et i 1, et par les points L 
et 1, on tirera du centre les droites C N et C n. Soit 
a present CB = a; CJ =x;Ji = dx; CP = 
b ; P M ou L N (que nous regardons comme infini- 
ment petite) = C: la densite de la matiere de la 
couche = m. 

On voit que pendant la revolution autoui: de l'axe 
M O, la petite partie N L 1 n garde toujours une 
meme distance du point B, et que cette distance 
sera = V (a a — 2 a x -f b b) : or, comme il faut 
toujours diviser par le quarre des distances, il fau- 
dra pour trouver la force acceleratrice en question d'abord prendre 

. l , , et cette quantite doit etre multipliee par la raison de 

a a — 2 ax -f bb 

B i a B 1, et on aura — 




^ ^ : et cette quantite doit encore 

(aa — 2ax + bb)f 

^tre multipliee par la masse de Tanneau, que la partie N L n 1 forme par 

sa revolution, et la masse doit etre exprirnee par la densite m et la capa- 

cite de ranneau, c'est-a-dire (en nommant n la raison de la circonference 

d'un cercle a son rayon) par mxNLxLlXnXLJ: ou par 



ET REFLUX DE LA MER. 109 

^ m X e X ^ X n X v^ (bb — xx)ouenfin parnmbedx; 

^ V (b b — X x) 

de sorte qu'on a la force acceleratrice absolue produite par le dit anneau = 

\ nmb€(a — x)dx ^^^^ Tinteffrale exprimera Pattraction cherchee de 
: (aa — 2ax + bb)| ^ ^ 

1; toute la couche. Pour trouver cette integrale, nous supposerons a a — 2 a x 

i + b b = y y, et nous aurons rnmbqa-x)dx ^ />-nmbq aa-bb + yy)dy 
■^ "^ '^ -^ (aa— 2ax+bb)| ^ 2aayy 

_ nmb S ^ y"aa — bb — yy , p\ __ nmbS z' 2ax — 2bb i rj\ 
[ 2aa V y / 2aa V V aa— 2ax + bb /' 

entendant par C une constante convenable : pour la trouver il faut re- 
marquer, que Tintegrale doit etre = o, lorsque x == — b, d'ou Ton tire 

C = — — 1_ = 2 b : substituant cette valeur. on obtient pour Finte- 

a + b ^ 

grale en question " "^ ^ ^" /a x-— bb ^ ^\ etmettant enfin b 

aa VVaa — 2ax + bb / 

lE la place de x, on obtient la force acceleratrice cherchee = ^ "^ . 

a a 

C. q.f.t. 

COROLLAIRE. 

III. — Comme la quantite de la matiere de toute la couche (pour 
laquelle nous venons de determiner la force acceleratrice, qu'elle exerce 
sur le corps place au point B) est = 2 n m b b €, nous voyons que cette 
force acceieratrice est exprimee par la quantite de matiere divisee par le 
quarre de la distance du point B au centre C, et par consequent la meme, 
que si cette quantite de matiere etoit concentree au centre. 

SCHOLIE. 

IV. — On remarquera que cette solution n*a lieu, que lorsque le point 
B est place hors de la couche, parce que dans notre calcul nous avons sup- 
pose, que chaque anneau forme par la revolution de la partie N L 1 n pro- 
duit une force acceleratrice du meme cote, ce qui n'a plus lieu, lorsque 
le point B est place entre les deux surfaces, ou au-dedans de la sur- 
face interieure. Je ne dirai rien de ces deux cas, dont chacun demande 
une solution particuliere, parce que nous n'en aurons pas besoin, et qu'ils 
ont deja ete resolus par Tauteur de ces Problemes. Je n'aurois meme rien 

VoL. III. K 




110 TRAITF SUR LE FLUX 

dit du cas que nous venons de resoudre, comme pareillement resolu par 
M. Newton, si je n'avois pas cru, qu'il etoit convenable de suivre toutes 
les traces qui nous menent a rintelligence de notre question principale : 
aussi ces precautions sont-elles necessaires, nour pouvoir toujours exprimer 
d'une meme fa^on les quantites constantes ; et ainsi nous nous souvien- 
drons toujours dans la suite d'exprimer la force acceleratrice d'un corps 
infiniment petit, par la masse divisee par le quarre de la distance, et de 
denoter la masse par le produit de son etendue, et de sa densite. 

PROBLEME. 

V. — Trouver Tattraction pour un corps place en B, causee par une 
sphere solide, composee de couches homogenes ; mais de differentes den- 
sites entr'elles. 



SOLUTION. 

II paroit par le troisieme article, qu'on n'a qu'a concevoir la masse de 
toute la sphere ramassee au centre C, et qu'elle causera la meme attraction, 
tant que le point B est hors de la sphere : nom- 
mant donc M la masse du globe, ou la somme 
des masse£ de toutes les couches, rattraction 

cherchee sera = — . C. q. f. t. 
aa 

PROBLEME. 

VI. — Soit B G D H une ellipse presque cir- 
culaire, c'est-a-dire, dont la difference des axes 
B D et G H soit regardee comme infiniment petite ; et qu'on con^oive 
cette ellipse former par sa rotation autour de Taxe B D, un spheroide 
^^ homogene. On demande la force acceleratrice, ou Tattraction que ce 
spheroide produira sur un corps place aii pole B. 

SOLUTION. 

Soit la densite de la matiere exprimee par ^a ; le petit demi-axe G C 
= b ; le grand demi-axe BC = b + C; BJ = x; Ji=:dx; on aura 




ET REFLUX DE LA MER. 111 

la perpendiculaira L J = zJ— x V 2 ( b + C) x — x x. On voit facile- 

b 

ment * que Tattraction causee par la couche, qui repond au rectangle 

LJil, est = n/Adx — n^dx X , c'est-a-dire, par n ^ d x — 

B L 



nfji.xdx: V XX -{- — . X (2hx + 2Qx — xx) ouparn/^dx — 

(b+€)n/Axdx: V(2bCxx + i:exx + 2b^x + 2bbCx): dans 
cette derniere quantite, nous rejettons le terme £ C x x, comme devant ctre 
compare aux infiniment petits du second ordre, et nous changerons le 
signe radical du denominateur 'en signe exponentiel de numerateur ; et de 
cette maniere nous aurons n/^dx — (b + £)n/Axdx X (2b^x + 

2bCxx + 2bbCx)~"^: or on s^ait par la formation des suites de 
M. Newton, que (2 b ^ x + 2 b C x x + 2 b b : x) ~ ^ est = (2 b ^ x) ~ ^ 

— (2 b ^ x) 2 X (b Cx X + b b C x) : substituant donc cette valeur, on 

(b + C)n/xxdx (b + C^n/AxdxfbCxx + bbCx) 

obtient n /A d X — ^ — , , U > ^ — ^-— '. — ,—,— -, 

V2b^x ^ 2h^x V 2h^x 

qui marque Taction de la couche formee par la rotation du rectangle 

L J i 1 ; a la place de cette quantite, on peut encore, en multipHant les 

quantites a multiplier, et rejettant les termes afFectes de la seconde dimen- 

n/idxVx Cn/^dxVx Cn,axdxVx 

sion de C, poser n /a d x — =; — — i — t-t — + — ^, , — 7-7 , 

'^ ^ V 2h 2bVb^ 2bbVb' 

et 1'integrale de cette quantite (qui doit etre = o, lorsque x = o) est = 

2n/AxVx Cn//<xVx Cn/^xxVx ^. ^ 

n ,0. x — — - — ■ — -~" ; , — — + — -- — : et faisant enfin x = 

3 V 2b 3b V2b ^ 5bb V 2b 

2 b + 2 C, on trouve, en rejettant toujours les infiniment petits du second 
ordre 2n/Ab + 3n/AC — 2n|a b — 2 n //, C — f n /o, C + J n /a C, ou bien enfin 

fn/^b + x^^n/AC, 
qui marque la force acceleratrice causee par Taction de tout 1'ellipsoide 
sur un petit corps place au pole B. C. q. f. t. 

PROBLEME. 

VIL — Les hypotheses etant les memes, que dans la Proposition prece- 
dente, trouver la meme chose pour un petit corps place en G, qui est 
sous ]'equateur de l'ellipsoide, 

* Ceci se Iroure demontre par le Cor. I. de la multlplier par la masse du petit cylindre dont ce 

Prop. XC. du 1*^^ Livre de Mr. Newton ; on y cercle est la ))»se et dont J i est la hauteur, pour 

voit que Tattraction du point B y)ar le cercle avoir rattraclion causee par la coucheoui rcpond 

1 ^ T T . 1 . B J ... - au rectangle L J i 1. 

dcnt L J est le rayon, est 1 — jr—- qu'il faut ° 

15 L , 

K2 



112 



TRAITE' SUR LE FLUX 



SOLUTION. 

II est facile de demontrer par la geometrie, que toute section de 
rellipsoide parallele a l'axe de rotation B D, fait une ellipse semblable a 
Tellipse generatrice B G D H. Considerons rellipsoide comme com- 
posee de la sphere inscrite, ayant pour diametre le petit axe G H, et de 
l'ecorce formant un double menisque : 1'action de la sphere doit etre ex- 
primee par f n /a b, comme nous avons demontre au 5. §. Car la masse 
de cette sphere est f n /^ b ^, et la distance du point G au centre est = b. 
II nous reste donc a chercher quelle action resulte du double menisque. 

Concevons pour cet effet tout rellipsoide partage en couches paralleles 
et perpendiculaires a G H. Soit la distance du centre d'une de ces 
couches au point G = x ; son epaisseur = d x ; il n'est pas difficile de 
voir * que la capacite du bord de cette couche (qui fait partie du double 

menisque en question) est = X (2 b x — x x) d x, et que ce bord 

etant multipUe par la densite ^, en donne la quantite de matiere = — i^ 

X (2 b X — X x) d X. Or toutes les parties de ce bord infiniment 
mince, peuvent etre censees agir egalement, et avec une meme obliquite 
sur le corps place au point G : on n'a donc 
qu'a multiplier cette quantite de matiere par la 
raison de la distance du centre de la couche 
au point G a la distance du bord de la couche 
au meme point G, et diviser par le quarre de 
cette distance, pour avoir Tattraction dubord de 

la couche, qui sera donc ^ X (2 b x — x x) 
' ^ 2 b ^ 

dx X ?U_ X J_, ou bien ,-f ^-^ ff= 
V 2bx 2bx 4 bb V 2b 




X(2bVx — xVx) dont l'integrale est = 



n/A € 



X (fbx Vx 



4 b b V 2 b b 

— ^xx V x) puisqu'il ne faut point ajouter ici de constante ; et pour 
avoir enfin l'attraction de tout le double menisque, il faut mettre x = 2 b, 
apres quoi on aura simplement y^j n iCa C. Si on ajoute a cette quantite 

* Car Taire de rellipse eloignee de G de la Donc otant cette aire du cercle de celle de Ve\- 

quantiie x est ^ X b -f £ (2 b x — x x) et lipse reste — (2 b x — x x) pour Taire de xne- 

. . , , . . n , . . nisque. 

1 aire du cercle inscnt est — (2 b x — x x). 



ET REFLUX DE LA MER. 113 

raction de la sphere inscrite, on aiira 1'attraction cherchee de tout Pellip • 
soide sur un corps place au point G = J n /x b + x*5 n /x Q, C. q. f. t. 

COROLLAIRE. 

VIII. — On voit par ces deux dernieres Propositions, que les forces ac- 
celeratrices au pole, et sous Tequateur dans un eliipsoide homogene, 
sont comme f n //< b + j^j n /-c- C a f n /z. C + y^j n /* C, ou comme 5 b + C a 

5 b + 2 C, laquelle raison peut passer pour celle de 1 a 1 -{- Je 

5 b 

vois que cela est conforme a ce que M. Newton dit a la page 380. * des 

Princip. Math. Phil. Nat. edit. II. pour determiner la proportion de Taxe 

de la Terre au rayon de son equateur. Quant a son raisonnement, il 

n'y a peut-etre que lui, qui put y voir clair ; car ce grand homme voyoit 

a travers d'un voile, ce qu'un autre ne distingue qu'a peine avec un 

microscope. 

LEMME. 

Dans un spheroide elliptique homogene, la force acceleratrice pour un 
point quelconque, est a la force acceleratrice pour un autre point pris 
dans le meme diametre, comme la distance du premier point au centre, a 
la distance pareille du second point. 

f M. Newton a demontre cette Proposition a la 199 page de son Livre, 
que nous venons de citer : et comme il ne s'agit ici que de la proportion 
entre les deux forces acceleratrices, sans qu'il soit question de les exprimer 
analytiquement, il seroit superflu, pour mon dessein, de la demontrer a 
ma fa^on. 

PROBLEME. 

X. — Soit encore le double menisque, tel que nous 1'avons decrit au 
septieme article, compris entre la surface de 1'eIIipsoide G B D PI, et 
G b PI d, qui marque la surface de la sphere inscrite ; il s'agit de trouver 
la force acceleratrice, que ce double menisque produira au point E, pris 
dans Faxe de rotation B D. 



* Ceci se raporte a la page 60. et suiv. de cc f Cest le Cor. 3. de la Prop. XCI. du Livre 
Vol., et nous avons essaye d'eclaircir cet endroit 1*^ Vol. 1*^"". pag. 400. 
de M. Newton dans la note (J) ct suivantes. 

K3 



lU 



TRAITE' SUR LE FLUX 



SOLUTION. 



Nous garderons les denominations de ci-dessus : or on voit qu'on 
trouvera Taction du double menisque, en prenant celle de tout rellipsoide 
considere comme homogene avec les menisques, et en retranchant celle 
de la sphere inscrite. L^action de tout le 
spheroide est en vertu des VI. et IX. Articles = 

C E 

(f n /A b + Yj n /0, C) X , et celle de la sphere 

C B 

C V 

= f n /x b X : de la on tire la force ac- 

C b 

celeratrice, qui convient aux menisques = 



(f n /x b + f j n /x Q) X 



CE 
CB 



f n//-b X 



CE 
Cb' 



CE 



Substituons a la place de Z — cette quantite 




CE 



CB 



5 qui peut etre censee effale a -{- ^. 

Bb^^ "^ CBCB^ 



Bb X CE 



(a cause que 



nous traitons la petite B b, comme infiniment petite, par rapport a C B) 
et nous trouverons la force acceleratrice pour les menisques 

— 2^,, /ov^-'^ 2r,//T^V^^^^-^— 2_„,, (°w^^ 2n„ev^-'^ 

__yj n /A G X -_ — 3 n /^ b X — TJ n /^ t X —^ — s n /a (c x — — 



( 



puisque 



Bb C 



CE 



CB h + Q 



= i-^ = — A n /. C X _. C. q. f. t. 
b/ '^ • CB ^ 



COROLLAIRE. 



XI. — Le signe negatif fait voir, que la gravitation au point E, causee 
par l'action des deux menisques, se fait vers le pole B, et non vers le 
centre C. Au reste on remarquera, que cette Proposition n'est vraie que 
pour les points compris entre C et b, en excluant tous les points, qui sont 
au-dela de b ; et cela a cause que le Lemme duIX«{.ne s^auroit etre ap- 
plique a trouver la force acceleratrice causee par Faction de la sphere 
pour le point E, si ce point est pris hors de la sphere inscrite au sphe- 
roide. Ainsi par exemple, au point B, la gravitation causee par les 
menisques se feroit vers le centre avec une force acceleratrice ff n /a C. 
Je restreins ces Propositions, quoique ma methode suffise pour des solu- 
tions beaucoup plus generales ; et cela pour ne me point engager dans des 
longueurs qui nous meneroient au-deia de notre sujet. 



ET REFLUX DE LA MER. 115 

PROBLEME. 

XII. — Trouver la meme chose que dans TArt. X. pour un point quel- 
conque F, pris dans une ligne G H perpendiculaire a B D. 

SOLUTION. 

On obtient encore Taction des menisques, en retranchant celle de la 

C F 

sphere de celle du spheroide. Or celle de la sphere est = | n /4, b x -^775 

et celle du spheroide = (f n /^ b 4- ^^j n /x Q) x -^ — , en vertu des §. §. VII. 

CG 

et IX. Donc la gravitation au point F se fait vers le centre C par 

la simple action du double menisque, et la force acceleratrice y sera = 

-rVn,.exg|. C.q.f.t. 

XIII. — Voila les Propositions qui nous seront necessaires, pour mesurer 
les haussemens et baissemens des eaux dans la mer libre par Taction de 
Tun des deux luminaires, entant que ces variations repondent a la relation 
qui se trouve entre la pesanteur et la figure de la Terre. Ceux qui 
voudront employer Tanalyse pure pour la solution de nos deux derniers 
Problemes, se plongeront dans des calculs extremement penibles, et ver- 
ront par la Tavantage de notre methode. 



( 



CHAPITRE in. 

Conte7iant qitelqties considerations astronomiques et physiques pre- 
liminaires, jpour la determination du Flux et Rejlua: de la Mer, 

(^OMME le flux et reflux dc la mer dependent de la Lune et du Soleil, 
on voit bien que notre sujet demande une exacte theorie du mouvement 
de ces deux luminaires. Quant au mouvement apparent du Soleil, on le 
connoit avec toute Texactitude requise ici. Mais on est encore bien 
eloigne de s^avoir avec la meme precision la theorie de la Lune, qui est 
cependant d'une plus grande importance. Une idee qui m'est venue la- 
dessus, d'employcr le principe de la conservation de ce que l'on appelle 

K4 



116 TRAITE' SUR LE FLUX 

communement Jbrces vives (principe deja employe sous un autre nom par 
le grand et incomparable M. Huyghens, pour trouver les loix du choc 
des corps parfaitement elastiques, et auquel on est redevable d'une grande 
partie des connoissances nouvelles dans la dynamique, tant des fluides, 
que des solides :) cette idee, dis-je, m'a conduit par un chemin fort 
abrege, a d^terminer beaucoup plus exactement, que Fon n'a fait jusqu'ici, 
les mouvemens de la Lune, que l'on appelle communement irreguliers, 
mais qui sont tous sujets aux loix mechaniques. Je m'etois propose d'in- 
serer ici ma nouvelle theorie sur la Lune ; mais, comme notre sujet n'est 
defa que trop etendu, et qu'il demande des discussions assez penibles, je 
la differerai a une autre occasion, ou je la donnerai en forme d'addition, 
si 1'Academie trouve ce traite digne de son attention. Je ne ferai donc ici 
qu'indiquer en gros les connoissances tirees du systeme du monde, qui 
servent a donner un systeme general du flux et reflux de la mer; et quand 
nous viendrons au detail, nous supposerons les mouvemens de la Lune 
parfaitement connus. 

11. — On scait que la Lune et la Terre font un systeme a part : Tun et 
l'autre de ces corps tournent autour d'un point, et font leur revolution 
dans un meme tems, decrivant chacun une ellipse : l'action du Soleil sur 
Tun et l'autre corps, change un peu ces ellipses, et fait meme que la pro- 
portion des distances du dit point aux centres de la Lune et de la Terre, 
ne demeure pas exactement le meme: mais, comme nous ne pretendons 
jusqu'ici que d'exposer en gros les choses necessaires a notre question, 
nous ne ferons point d'attention a ces inegalites, et considererons la Terre 
et la Lune, comme faisant des ellipses parfaites et semblables entre elles 
autour d'un meme point. 

IIL — Par la dite revolution, les deux corps tachent a s'eloigner Tun 
de Tautre ; et cet effbrt est contrebalance par leur gravitation mutuelle : 
et comme la Terre fait autant d'effbrt pour s'approcher de la Lune, que 
celle-ci en fait pour s'approcher de la Terre, il faut que les forces centri- 
fuges soient aussi egales : d'ou il suit que le point autour duquel ces deux 
corps tournent, doit etre place, en sorte que les forces centrifuges soient 
egales : c'est la la premiere idee. II vaudroit donc mieux appeller ce 
point, centre de forces centrifuges, ou bien, puisque les vitesses gardent 
dans notre hypothese une proportion constante, centre de masses, que 
centre de gravite. II est vrai que ces mots reviennent au meme, a 
prendre celui du centre de gravite dans le sens commun : mais quelle 
idee y peut-on attacher, lorsque la pesanteur est inegale dans les diffe- 
rentes parties du corps ? II n'y a aucun point alors, qu'on puisse nommer 



ET REFLUX DE LA MER. 117 

tel, quelque definition qu'on donne a ce mot. Quoi qu'il en soit, il est cer- 
tain que les distances du point en question aux centres de la Terre et de 
la Lune, sont en raison reciproque des masses ou quantites de matiere de 
ces corps. 

IV. — Si la Lune et la Terre etoient des corps parfaitement homogenes 
dans toute leur etendue, ou du moins chacun compose de couches con- 
centriques parfaitement homogenes, et qu'ils fussent parfaitement sphe- 
riques, sans avoir aucun mouvement, imprime originairement, ou produit 
par une cause physique, autour d'un axe passant par leur propre centre 
de gravite, il est clair, que toutes les parties des corps garderoient 
pendant leur revolation un parallelisme ; de sorte que les deux corps 
vus du centre de gravite commun, paroitroient faire precisement le tour 
en sens contraire autour d'un axe perpendiculaire au plan des orbites, 
pendant chaque revolution des corps. Cependant cela ne se fait point 
dans la Lune : car nous s^avons qu'elle nous montre constamment une 
meme face (je ne fais pas encore attention a quelques legers change- 
mens ;) et cela est contraire au parallelisme, que nous venons d'alleguer : 
quoique ce ne soit pas ici proprement 1'endroit pour expliquer ce phe- 
nomene de la Lune, je ne laisserai pas de le faire, pour nous preparer 
a ce que nous aurons a dire sur la Terre, comme essentiel a notre 
matiere. 

V. — Considerons donc, que la parfaite homogeneite dans les couches 
concentriques de la Lune, aussi bien que sa parfaite sphericite, sont 
moralement impossibles : mais il n'est pas encore explique, comment on 
peut deduire de la, pourquoi la Lune nous montre toujours une meme 
face. II ne suffit pas de dire que le centre de gravite de la Lune pris 
dans le sens commun, tache toujours a s'eloigner, le plus qu'il est pos- 
sible, du centre de revolution, Quelques inegales que fussent les 
couches, et quelque irreguliere que fut la figure, la Lune garderoit 
toujours le parallelisme des faces, s'il n'y avoit pas une autre raison ; 
scavoir, celle de l'inegalite de pesanteur de ses parties vers la Terre : les 
parties ayant d'autant plus de pesanteur, qu'elles sont plus pres de la 
Terre : c'est cette raison, qu'il faut joindre a l'une des deux autres, ou 
a toutes les deux ensemble ; de sorte que quand meme la Lune seroit 
parfaitement homogene, sa seule figure, jointe a 1'inegalite de pesanteur 
de ses parties vers le centre de la Terre, pourroit meme produire le 
phenomene en question. 

Soit A le centre de la Terre : B C F D, par exemple, une ellipse, 
dont Taxe B F soit le plus grand, ct C D le plus petit : que cette ellipse 



118 



TRAITE' SUR LE FLUX 




forme par sa revolution autour de Faxe B F, le corps de la Lune. Sup- 

posons apres cela la Lune homogene et mobile autour de son centre E, 

et servons-nous de Thypothese ordinaire, que la pesanteur de chaque 

partie de la Lune vers A, soit en raison quarree 

reciproque des distances au point A. Cela 

etant, je dis, que la Lune montrera constam- 

ment au point A la face C B D, et que Taxe 

F B passera toujours par le point A, et que 

la Lune reprendroit cette situation, des qu'elle 

en seroit detournee. Comme cette matiere 

est assez interessante, taiit pour Tastronomie, 

que pour la physique, je rexpliquerai par un 

exemple, qui rendra fort sensible tout ce que 

nous venons de dire. Je dis donc qu'on doit 

regarder, a cet egard, la Lune, comme un 

corps flottant dans un fiuide ; car les parties 

d'un tel corps, sont pareillement animees de 

differentes pesanteurs : or on scait qu'un corps 

flottant, qui n'est pas spherique, ou qui etant 

tel, n'est pas homogene, n'est pas indifferent a 

chaque situation ; mais qu'il affecte constamment de certaines situations, 

qu'il reprend aussi-tot qu'ii en a ete detourne. Quelquefois le corps n'a 

quu'ne seule situation d'equilibre; d'autres fois plusieurs, suivant la 

structure du corps : mais on se tromperoit toujours, si l'on croyoit, que 

le centre de gravite du corps tache a se mettre dans Tendroit le plus bas 

qu'il est possible; de meme qu'on se trompe, en disant, que le centre de 

gravite de la Lune, tache a s'eloigner, le plus qu'il est possible, du centre 

de la Terre. On voit donc assez, que la cause principale de ce que la 

Lune nous presente toujours une meme face, est Tinegalite de pesanteur ; 

et a cette cause, il faudra joindre, ou la non-parfaite sphericite, ou la 

non-parfaite homogeneite des couches de la Lune, ou les deux causes a 

la fois. 

VI. — Comme la question que nous venons d'expliquer, entraine celle 
d'une legere nutation de la Lune en longitude, que les astronomes ont 
observee, il ne sera pas hors de propos de faire voir comment cette nuta- 
tion decoule de notre theorie. Nous avons vu que le spheroide C B D F 
mobile autour d'un point E, doit toujours montrer au point A la face 
C B D tant que le point E reste dans sa place. Supposons a present, 
que ce corps s'eloigne un peu de cette situation, en faisant une rotation 



I 



ET REFLUX DE LA MER. 119 

infiniment petlte autour du polnt E, la force qui tend a la remettre dans 
sa situation naturelle, est de mcme infiniment petite ; ce qui fait voir, 
que le point E faisant sa revolution autour du point A, ce ne s^auroit 
plus etre exactement la face C B D, qui regarde vers A, parce qu'a 
chaque petit mouvement du point E, la Lune fait une petite rotation 
autour de ce point, pour garder le parallelisme, et la force qui tache a 
tourner vers le point A la face C B D, etant encore infiniment petite, 
ne s^auroit s*en acquitter assez-tot : et ce sera la meme chose pendant 
que le point E parcourt un second element, et ainsi de suite, jusqu'a-ce 
qu'a la fin la Lune se place assez obliquement, pour que la force, qui 
tache a mettre la Lune dans sa situation naturelle, soit assez grande, pour 
reparer, a chaque moment, une nouvelle petite inclinaison, qui survient 
par la rotation du point E autour du point A. [Cette explication pourra 
nous servir dans la suite, pour demontrer un des principaux phenomenes 
des marees.] La Lune prendra donc la situation oblique c b d f, si sa 
revolution autour du point A est supposee se faire de E vers D. Mais 
cette situation oblique demeureroit encore la meme a l'egard de la ligne 
F A, sans que la Lune eut aucune nutation, si le point E faisoit sa revo- 
lution autour du point A dans un cercle parfait, et avec une vitesse con- 
stante : c'est donc rinegalite des distances A E, et des vitesses du pdint 
E, • qui fait que robUquite de la situation f c b d varie ; et c'est cette 
variation qui fait la nutation de la Lune en longitude. • 

VII. — Venons maintenant a la Terre, et examinons quel mouvement 
elle doit avoir autour du centre de gravite, qui est entre-elle et la Lune ; 
cette recherche est necessaire pour notre question, et elle ne sera plus 
difficile, apres ce que nous avons dit de la Lune dans cette vue. Nous 
remarquerons donc, que si la Terre est parfaitement homogene, soit 
dans toute son etendue, soit seulement dans chacune de ses couches con- 
centriques ; et si elle est en meme tems parfaitement spherique, elle doit 
conserver parfaitement un parallelisme dans la situation de ses parties, 
pendant sa revolution. Pependant cette parfaite homogeneite est morale- 
ment impossible; et la parfaite sphericite a ete refutee par les observations 
les plus exactes. Ce parallelisme seroit donc altere, de meme qu'il Test 
dans la Lune, et la Terre ne manqueroit pas de presenter a la Lune une 
meme face, sans le mouvement journalier de la Terre. Ce mouvement 
empcche 1'action de la Lune ; ct reffet de cette action etant, a cause du 
dit mouvement journalier, tantot d'un cote de la Terre, tantot de Tautre, 
il ne pourroit plus produire qu'une legere nutation journaliere dans Taxe 
de la Terre, et quelque petite inegalite dans le mouvement journalier de 



120 TRAITE' SUR LE FLUX 

la Terre. Mais l'une et 1'autre doiyent etre tout-a-fait insensibles, a cause 
de la grandeur de la masse de la Terre, de Pextreme petitesse de raction 
de la Lune, et de la rapidite du mouvement journalier. 

VIII. — On voit donc que la Terre fera sa revolution autour du centre 
de gravite, qui lui est commun avec la Lune, de telle maniere que son 
axe gardera constamment une situation parallele. Si nous considerons 
donc le mouvement journalier de la Terre a part, il est clair que Fautre 
mouvement doit etre suppose se faire d'une maniere a garder un paral- 
lelisme dans toutes les cections de la Terre. Cela etant, il s'ensuit que 
chaque point de la Terre fait, a l'egard de cet autre mouvement, une 
meme ellipse ; que chaque partie a une meme force centrifuge, et que 
les directions des forces centrifuges sont par-tout paralleles entre elles. 
Et c'est ici le point principal, que je me suis propose d'etablir, et de bien 
demontrer dans ce Chapitre. 

IX. — Ce que nous venons de demontrer du mouvement de la Terre a 
Pegard de la Lune, doit aussi s'entendre a Tegard du Soleil ; en sorte 
que la force centrifuge des parties de la Terre, par rapport a son orbite 
annuelle, doit etre censee la meme, et leurs directions paralleles entre 
elles. Mais cette Proposition n'est pas si essentielle a 1'egard de l'orbite 
annuelle, comme a l'egard de Torbite, qui se fait autour du centre de 
gravite, qui est commun a la Terre et a la Lune, a cause de 1'extreme 
'petitesse de cette derniere orbite. 



CHAPITRE IV. 

Qui eocpose en gros la Cause des Marees. 

I. — Apres avoir explique au premier Chapitre^ trois difFerentes raisons, 
qui peuvent allonger la Terre autour des deux axes, qui passent par les^ 
centres des deux luminaires, il n'est pas difficile de voir comment on doit 
deduire de ces allongemens le flux et reflux de la mer, pourvu qu*on ait 
egard en meme tems au mouvement journalier de la Terre. II est clair 
que ce mouvement journalier doit faire continuellement changer de place 
les deux axes d'allongement. Mais il faut remarquer ici par avance^ que 
Taction composee des deux luminaires, peut toujours etre considerce 
comme une action simple, quoi-qu'a la verite fort irreguiiere. Cepeudant 



ET REFLUX DE LA MER. 121 

cette consideration suffit, pour voir en gros, que la mer doit en chaque 
endroit s'elever et se baisser environ deux fois dans un jour. Mais il 
s'agit de mettre cette cause en tout son jour, d'en d^velopper tous les 
efFets, et de les reduire a leur juste mesure, autant que les circonstances 
peuvent le permettre. 

II. — La question qui se presente d'abord, et qui est en meme tems la 
plus importante pour notre sujet, est de trouver la quantite de Tallonge- 
ment cause par chacun des deux luminaires. Nous ne considererons donc 
qu'un seul luminaire. Voici, avant toutes choses, les suppositions dont 
je me servirai dans les calculs, et que j'ai deja exposees en partie. 

1. Nous supposerons que la Terre est naturellement spherique. Cette 
hypothese n'est que pour abreger le calcul, et on voit bien que FefFet des 
deux luminaires doit etre sensiblement le meme sur une Terre ronde, ou 
un peu applatie, ou un peu allongee. 

2. Que les couches concentriques de la Terre sont d'une meme matiere, 
ou d'une meme densite. Cette supposition est sans doute fort naturelle; 
car les inegahtes ne peuvent qu'etre tout-a-fait insensibles : mais il me 
semble .qu'il n'y a aucune vraisemblance de supposer que la Terre est 
homogene dans toute son etendue, comme M. Newton Ta fait. 

3. Que la Terre, que nous supposons, sans Taction des luminaires, 
ronde, est changee par Taction de Tun des deux luminaires en ellipsoide, 
dont Faxe passe par le centre du luminaire agissant. Cest Thypothese 
de M. Newton ; et quoi qu'on ne puisse pas le demontrer pour le sys- 
teme des attractions, elle ne doit pas nous arreter ; car quelle que soit la 
figure de la Terre apres ce petit changement, on voit assez qu'elle ne 
s^auroit s'eloigner sensiblement de rellipsoide. Aussi trouvons-nous 
cette figure elliptique dans toutes les hypotheses, qu'on pourroit se former 
sur la pesanteur, susceptibles d'un calcul et tant soit peu naturelles. 
D'ailleurs un petit changement dans cette figure exterieure de la Terre, 
n'en s^auroit produire, qui soit sensible, entre Taxe du spheroide, et le 
diametre qui lui est perpendiculaire. 

4. Nous supposerons, que les luminaires ne s^auroient faire changer 
de figure toutes les couches qui composent la Terre jusqu'au centre. 
Car vraisemblablement la Terre est, dans sa plus grande partie, solide ; 
et quand meme elle seroit toute fluide, sa masse seroit trop grande, pour 
etre mise toute entiere en mouvement, et pour obeir assez vite a une 
action aussi petite. Ces reflexions m'ont engage a considerer la Terre, 
comme un noyau spherique, composc de couches parfaitement spheriques 
et inalterables par raction des deux luminaires, et inonde d'un fluidc 



122 TRAITE' SUR LE FLUX 

homogene, tel que sont les eaux de la mer ; et a supposer, qu'il n'y a que 
ce fluide inondant, qui recoive des impressions des luminaires, et que sa 
profondeur n'est pas sensible par rapport au rayon de la Terre. Cette 
hypotliese est sans contredit la plus naturelle, lorsque la Terre n'est pas 
supposee homogene dans toute son etendue, mais, si on la supposoit 
homogene, comme M. Newton Va fait, contre toutes les apparences de 
verite, notre hypothese n'entre plus en ligne de compte. 

5. Enfin nous substituerons a la place des forces centrifuges, qui 
empechent la Terre de tomber vers les luminaires, une autre force qui 
agisse de la meme fa^on, afin que nous puissions considerer d'abord 
la Terre, comme dans un parfait repos, et un entier equilibre dans 
toutes ses parties. Cette force a substituer, doit etre supposee egale 
dans toutes les parties de la Terre (§. VIII. Chap. III.) et parallele a la 
hgne qui passe par les centres de la Terre et du luminau-e, dont il sera 
question. 

III. — La force centrifuge dont nous venons de parler, doit etre prise 
pour notre sujet, precisement telle, qu'elle soit egale a la force totale de 
Tattraction du luminaire, tout comme si la Terre se soutenoit dans sa 
distance, en decrivant un cercle parfait ; et cela est vrai, quelle que soit 
la force centrifuge reelle de la Terre. Cest ici une Proposition, dont 
on ne sent la verite, qu'apres quelque reflexion ; et elle est fondee sur ce 
(jue la difference entre la force centrifuge, telle que nous venons de la 
decrire, et la force centrifuge reelle, n'est employee qu'a pousser ou 
repousser la Terre, et ne s^aumit lui faire changer sa figure, puisque 
nous avons demontre au VIII. Art. du precedent Chapitre, que chaque 
partie est poussee egalement et parallelement. 

IV. — La force centrifuge totale devant ^tre parfaitement egale a la 
gravitation totale de la Terre vers le luminaire, et la premiere force 
etant la meme dans toutes les parties, on voit bien qu'on pourroit sup- 
poser la force centrifuge egale a la gravitation vers le luminaire, telle 
qu'elle est au centre de la Terre. Car la gravitation qui repond au 
centre, peut etre censee la moyenne entre toutes les gravitations du 
globe ; et cela, quelque relation qu'on suppose entre les distances et les 
gravitations, puisque la difference des distances est insensible, par rap- 
port a la distance totale ; et que par consequent la gravitation diminue 
comme egalement pour des egales augmentations de distances, et qu'il 
se fera ainsi une juste compensation pour Themisphere tourne au lumi- 
naire, et pour rhemisphere oppose. Cette Proposition n'est pourtant pas 
geometriquement vraic ; mais la fin du calcul m'a fait voir, qu'elle peut 



ET REFLUX DE LA MER. 



123 



etre censee vraie pour notre sujet : et comme elle abrege fort le calcul, je 
Tai mise ici, pour en faire usage dans la suite. 

PROBLEME. 

V. — Soit A le centre du Soleil, B G D H la Terre ; A D une ligne 
tiree par les centres du Soleil et de la Terre : trouver la difference entre 
B D et sa perpendiculaire G H, qui passe par le centre C. 

W SOLUTION. 



Qu'on s'imagine deux can^ux B C et G C, communiquans entre eux 
au centre C, rempli d'un fluide de difFerentes densites, telles qu'on sup- 
pose dans les couches de la Terre. Pour determiner ces couches, nous 
considererons la spliere inscrite G b H d, et 
nous supposerons tout ce noyau immuable pen- 
dant la revolution journaliere de la Terre, 
fondes, a cet egard, sur ce que nous avons dit 
dans la quatrieme hypothese du IL §. Quand 
meme on feroit attention aux changemens de 
figure dans les couches pres de G b H d, cette 
consideration ne s^auroit changer sensiblement 
le resultat du calcul, parce que ces changemens 
de figure sont tout-a-fait insensibles, et que, 
selon toutes les apparences, ils ne sgauroient se 
faire au-dela d'une certaine profondeur assez 
petite a Tegard du rayon de la Terre. Apres 
cette remarque, nous deduirons la solution de 
notre Probleme, de ce que le fluide doit etre 

en equilibre dans les canaux G C et B C. Pour satisfaire a cette loi, et 
pour observer un ordre, nous diviserons la solution en trois parties : dans 
la premiere, nous chercherons la pression totale du fluide B C au pomt 
C : dans la seconde, nous ferons la meme chose a Tegard du fluide G C; 
et enfin nous ferons le calcul, en faisant les deux pressions totales egales 
entre elles. 

l, Soit A C = a; G C, ou b C = b ; la cherchee B b = C : qu'on tire 
du centre C deux quarts de cercles infiniment proches p n, o m ; soit 
C p ou C n = X ; p o ou n m = d x ; la densite variable en p o ou n m 
= ni, la densite uniforme de Teau (qui couvre le noyau spherique, et qui 




124 



TRAITE' SUR LE FLUX 



forme le double menisque) = /«,. Soit la gravitation au centre C vers le 

centre du Soleil A = g, et la force centrifuge, qui agit parallelement a 

B D, sera par-tout = g (§. VIII. Chap. III. et §. IV. Chap. IV.) qu'on 

nomme G la force acc^leratrice en G ou b, causee par Taction du globe 

G b H d, et Q la meme force acceleratrice 

pour les points p et n. Apres toutes ces pre- 

parations, on voit que la goute p o (dont la 

masse doit etre exprimee par la densite m, et 

par la hauieur d x, c'est a dire m d x) est animee 

par plusieurs forces acceleratrices : la premiere 

force acceleratrice est celle qui resulte de 

Taction du globe G b H d, que nous avons 

nomme Q : la seconde est la force centrifuge de 

A vers C, provenant par la revolution de la 

Terre autour du point A: nous avons demontre, 

que cette force doit etre faite = g : la ttvisieme 

se fait vers A, et provient de la gravitation vers 

le Soleil: celle-ci est nejrative a 1'eirard du 




point C, et doit etre faite = 



a a 



X g : enfin la qmtrieme pro- 



(a-x)2 

vient de Taction du double menisque, compris entre G B H D et 
G b H d, et elle est encore negative a Tegard du point C ; elle est = — 

fjn//<€xii,en vertu des §. X. et XI. Chap. IL En multipliant toutes 

ces pressions acceleratrices de la goute p o par sa masse, on obtient la 
pression absolue qu'elle exerce sur le point C, et cette pression absolue 

^ (a — x)^ 15b J 

On remarquera ici en passant, que comme a est sense infiniment plus 



sera 



grand que x, on peut poser 



2x 



devient 



(a — x^ 



-5=1 + 



et ainsi cette pression 



2x^_ 8n^€x x ^^^^ 



/Q _ ^x g ___ «n^wx \ ^ 
V a 15b / 



dont Tintegrale donnera la pression de la colonne p C ; s^avoir ; 
/"Omdx— /*2__^n^dx_^ 8n//,€mxdx 
^ «^ a ^ 15b 

apres quoi on aura la pression de toute la colonne b C, en substituant 
dans rintegrale b a la place de x. A cette pression, il faut encore 



ET REFLUX DE LA MER. 125 

ajouter celle de la petite colonne B b, dont la gravitation ou pesanteur 
vers C doit etre censee uniforme dans toute sa hauteur, et egale a G : 
il faut aussi remarquer, que toutes les autres forces qui agissent sur cette 
petite colonne B b peuvent etre negligees, comnie infiniment inferieures 
ci Taction G, qui exprime proprement la pesanteur pres la surface de la 
Terre vers son centre ; ainsi donc la pression de la petite colonne B b 
doit etre simplement estimee par sa hauteur Z, sa densite fi et sa pesan- 
teur G, ce qui fait ^ C G. II resulte enfin de tout cela, que la pression 
totale de toute la colonne B C sur le point C est 

^€G+rQmdx-/'^^'"^^^^-~/' ^"'"^""^^^^ 
•^ '^ a ^ 15b 

en prenant apres Tintegration x = b. 

2. Pour trouver a present la pression de la colonne G C, il faut 

chercher toutes les forces qui animent la goute m n, dont la masse est 

encore m d x. La premiere de ces forces provient de 1'attraction (ki 

globe G b H d ; et est encore = Q, puisque cette force est la meme en 

n et en p : la seconde force, provenant de la force centrifuge des parties 

de la Terre, entant qu'elle se tourne autour du point A, est = o, cetle 

force etant par-tout perpendiculaire a G C (§. VIII. Chap. III.). La 

troisieme force provient de la gravitation des parties de la Terre vers 

A, cette gravitation est au point n vers le point A = llliLil—, et 

aa + x X 

etant decomposee, la gravitation resultante vers C doit etre exprimee par 

^ ^^^ : dans cette derniere expression on peut reietter au deno- 

(a a + X x) f X j 

minateur le terme x x, comme le calcul me Ta fait voir ; ainsi il provient 

i — , qui marque la troisieme force vers C resultante de la ffravitation 
a . ° 

vers A. La quatrieme force acceieratrice, qui anime la goute m n a 
descendre vers le centre, provient de 1'action du double menisque, qui 

en vertu du XII. §. Ch. II. est = -j^j n //, C X ii. En prenant la somme 

de toutes ces forces acceleratrices, la force totale sera Q + ii^ + ^"^^^ - 

a 15 b ' 

cette force acceleratrice totale doit etre multipliee par la petite masse m d x ; 

et du produit il faut prendre Tintegrale, qui marquera la pression qu'exerce 

la colonne m C sur le centre C : cette pression est donc /* Q m d x + 

/•gmxdx , /•4n//,Cmxdx , . , . , 

j -f-/ ; et pour avon- la pression, qui re- 

VoL. iir. i^ 



126 TRAITF SUR LE FLUX 

ponde a toute la colonne G C, il faut encore apres rintegration faire 
X = b. 

3. Apres avoir exprime analytiquement les valeurs des pressions 
des colonnes B C et G C, il ne reste plus pour achever la solution de 
noti*e Probleme, qu'a faire une equation entVe les deux dites valeurs 
trouvees dans la premiere et seconde partie. On aura donc ^ G C -f 
/ Q m d X _y 2gmxJx _y .8_n^aSmxdx ^y-Q ^ ^ ^ ^y gmxdx 

, /• 4 n //. m C x d X . , , , , . ^ , 

+ / 1 • et cette equation arranffee donne 

•^ 15b ^ ^ 

5 ^ G a b C — f^i n/a,a£mxdx=yi5gbmxdx, 

et de la on tire la valeur cherchee de £, qui est constante ; savoir, 

C ^/ 15gbmxdx __. C. q. f. t. 

5 /^ G a b — f 4 n /A ii m X d X 

COROLLAIRE. 

VL — On voit par notre solution, que generalement B b doit etre egale 
a D d ; car la valeur de C est la meme, soit que Fon prenne x affirmative- 
ment, soit negativement. Aussi auroit-il ete ridicule de supposer la 
courbe B G D H une eUipse, si les deux parties G B H et G D H 
n'etoient pas devenues par le calcul egalement allongees, et la supposition 
auroit renferme une contradiction. 

Au reste ces deux petites lignes ne seroient pas egales a la rigueur. 
Cette egalite n'est fondee que sur ce que nous avons rejette plusieurs fois 
dans notre solutioii de certaines petites quantites, mais qu'on pouvoit 
negliger reellement, comme tout-a-fait insensibles, non-seulement par 
rapport a la ligne B C, mais meme par rapport a la petite ligne B b, 
qui ne s^auroit etre que d'un petit nombre de pieds. Cependant je crois 
encore necessaire d'avertir ici, qu'il faut etre sur ses gardes, en rejettant 
dans le calcul de certains termes ; car comme dans Tequation resultante, 
plusieurs termes se detruisent, et qu'il n'en reste que des termes d'une 
fort petite valeur, on ne doit rejetter que des quantites qui sont insensibles, 
meme par rapport aux quantites restantes dans Tequation. 

Ce n'est qu'avec une telle precaution, que j'ai neglige dans ma solution 
plusieurs termes, et je ne les aurois point negliges, si la fin du calcul ne 
m'avoit enseigne, qu'ils peuvent et doivent etre negliges. 



ET REFLUX DE LA MER. 127 

SCHOLIE. 

VII. — Pour avoir une juste idee de notre equation, remarquons que //. 
signifie la densite de Teau de la Mer, qui inonde la Terre, et m la 
densite quelconque de la couche, dont la distance au centrc est egale a 
X : n exprime la circonference du cercle, dont le rayon est egal a Tunite : 
b est le rayon de la Terre : a la distance entre les centres du Soleil et de 
la Terre : g exprime la force acceleratrice vers le Soleil, d'un corps place 
au centre de la Terre ; et enfin G exprime la force acceleratrice, ou la 
pesanteur des corps a la surface de la Terre vers son centre. 

Or, pour voir que tous les termes de notre equation sont homogenes 
et comparables entre eux, et en meme tems de quelle maniere il faut faire 
usage de notre equation, il faut remarquer qu'en vertu du III. §. Chap. 
II. G doit etre exprimee par la masse de toute la Terre, divisee par le 

/ ^ Tl TTl ^iT "V (\ "V 

quarre de son rayon ; c'est-a-dire, qu'il faut supposer G = ^- , 

et comme on connolt pour le Soleil le rapport entre g et G, aussi-bien 
que celui d'entre a et b, on voit qu'on peut enfin exprimer C simpkment 
par b: mais il faut pour cet efFet integrer auparavant les quantites m x x d x 
et m X d X : c'est ce que nous allons faire dans quelques hypotheses 
particulieres. 

VIII. — Soit d'abord la densite de la Terre uniforme, et nommement 
celle de l'eau de la mer : c'est ici Thypothese de M. Newton. 

En ce cas m est une constante et egale a /ct ; et ainsi notre cquation 

finale du V. §. est C = lAll^ 



2a(5G — 2n/-tb) 
Mais par le VII. §. on obtient G = | n /a b, ou bien 2 n /^ b r= 3 G, 
et substituant cette valeur pour le second terme du de.iominateur, il 

provient C = HA^ X b. 
^ 4Ga 

Kous verrons dans la suite, que cette expression analytique donne 

precisement la hauteur indiquee par M. Newton (f ) simplement en pieds, 

(f) Cest dans le CoroUaire de la Prop. comme 10000 a 435' Le dcmi-diametre du 

XXXVT. du Liv. III. ; M. Newion dit que Soleil etant vu de la Terre sous Tangle de 16'. 

la hauteur de l'eau de la mer sous le Soleil ou 4". ce diametre est a sa distance du centre de la 

au point oppose au Soleil, surpasse la hauteur 'lerre comme 1 a 214, ainsi la gravite de la 

de Teau de la mer a QO'^. de ces points de 1P'^<». Terre sur le Soleil (qui est g) est a la gravit^ a 

1 1^ pouc, et c-es^ a peu pres a ccla que revient ,3 ^„^^806 de la Terre (qui est G) comme ^^^ 
3'pxpression — -^ — b, car (par Cor. l. Prop. ^^'*i 

iTfTT j T- \ 1 •.' ^ 1 r j ^ ^•^•'^> ^'°" ^'•^" trouve le log. de -§- = — 

VIII. de ce Livre) la gravite a la surface du '^ G 

Soleil cst a la gravite a la surface de la Terre 4.7002107. Le diametre du Soleil etant acelui 

L2 



128 TRAITE' SUR LE FLUX 

pouces et lignes, sans en donner le calcul, ou du moins sans le mettre a la 
portee, je ne dirai pas de tout le monde, mais uniquement de ceux qui 
voudroient bien prendre la peine necessaire pour rapprofondir. Notre 
methode comprend donc le cas tout particulier de M. Newton. Mais ce 
cas donne une si petite quantite, qu'il ne me paroit pas possible d'en 
deduire les phenomenes des marees, tels que les observations les donnent. 
Cest ce que je ferai voir plus au long dans la suite. Je n'ai donc jamais 
pu comprendre, comment M. Newton, et tous ceux de sa nation, qui ont 
ecrit sur cette matiere, ont pu s'y attacher. On voit par la, combien il 
est essentiel d'etendre les hypotheses des densites des couches de la 
Terre. J'ai remarque que la loi de ces densites contribue beaucoup au 
haussement et baissement des eaux dans les marees; qu'on en peut 
deduire tel effet qu'on trouvera necessaire pour rexplication des pheno- 
menes indiques par rexperience ; je ferai meme voir que cet eifet pour- 
roit etre infini dans de certaines hypotheses. Mais ce que je souhaite 
sur-tout que l'on remarque, c'est que les memes hypotheses qui donnent 
plus d'effct aux luminaires, pour hausser et baisser les eaux dans les 
marees, sont d'ailleurs extremement vrai-semblables par plusieurs raisons 
physiques, toutes tres-fortes. Mais venons a d'autres exemples. 

IX. — Supposons la Terre creuse en dedans, jusqu'a une distance 
donnee c depuis le centre, et que la croute (dont Fepaisseur sera = b — c, 
soit encore par-tout d'une densite egale a celle de l'eau de la mer. 

Nous avons en ce cas encore m egale a la constante [i, et ainsi le calcul 
se fera comme dans le precedent Article, avec cette restriction, que les 
integrales des quantites mxxdx, etmxdx doivent etre = o, lorsque 
x = c : de cette maniere on obtient /mxdx = ^/axx — J^cc, ou 
(en faisant x = b) = J ij. hh — J/o-cc; substituant cette valeur dans 
Tequation finale du V. §. il vient 

g__15gb(bb — cc) 

lOGab — 4n/Aa(bb — cc) 

et (par le VII. §.) G est = /^""f^*^^ = |^ X (x ' - c ')= (puis- 

b b 3 b b 

qu'il faut poset x = b) H^ X (b ^ — c ^) : de cette derniere equation, 
3 bb 

de la Terre comme 10000 a 109, on aura que le Terre b en pouces a raison de 1 145 1 lieues de 

rayon de la Terre = b est a la distance du 2855 toises chacune pour le rayon, son log. est 

1 0000 2 b 

Soleil = a comme 1 a 214 X . ainsi le 8.3718709. Ainsi le log. de^ b = 0.7791081 

, d — 5 7070265 et L ^ ^ = ^^^^ ^^ nombre est 6.014 dont les \^ sont 

log. e ^ .7 , ^ ^ 22i pouces, a peu pres comme M. Newton a 

8.407^372. Enfin, reduisant le rayon de la trouve. 



ET REFLUX DE LA MER. 129 

on peut tirer celle-ci /a = ^ ^ ; et enfin 4<n/Aa(bb — cc) = 

^ 2nx(b^ — c^) 

6abbG(bb cc) ^^ substituant cette valeur dans le second 
b 3 — c «^ 

terme du denominateur de notre equation, on a S = — -f X — i — X 
b^ — c^ 



2bb + 2bc + 5cc 

Cette quantite est la meme quc celle du precedent article, lorsque 
c = o ; mais elle devient plus petite, a mesure qu'on suppose la Terre 
plus creusee, et elle deviendroit tout-a-fait nuUe, si on supposoit la Terre 
presque entierement creuse en forme d'une voute spherique, dont Fepais- 
seur fut peu considerable, par rapport au rayon de la Terre. Cette re- 
marque suffit seule, pour refuter le sentiment de ceux qui croyent que la 
Terre pourroit bien n'etre qu'une croute voutee; car ii ne pourroit 
y avoir en ce cas aucun flux et reflux de la mer, au moins dans notre 
systeme. 

X. — Si l'on supposoit la loi des densites des couches de la Terre 

exprimee par cette equation m = ii /x,, c'est-a-dire, que les densites fus- 

b 

sent proportionelles aux distances des couches au centre, on trouveroit la 

hauteur 

e = l^ X b, 

7 G a 

et par consequent beaucoup plus petite, que si la Terre etoit par-tout 
d'une meme densite, s^avoir en raison de 7. a 4. Aussi cette hypothese 
n'est-elle aucunement vraisemblable, y ayant apparence que les couches 
plus denses sont plus bas que les couches plus legeres. 

XL — Si la loi des densites est exprimee par m = —^ c'est-a-dire, si 

x 

Ton suppose les densites, suivre la raison inverse des distances des 

couches au centre, on trouveroit 

C = liS^ X b, 
Ga 

ce qui fait la valeur de Q> quatre fois plus grande, que dans la supposition 

de M. Newton, de la parfaite homogeneite de la Terre. 

b^ 

X 



XIL — Supposons enfin la loi des densites exprimee par m = ( — \ ^ [i, 



L3 



130 TRAITE' SUR LE FLUX 

il faudra mettre | /a b b pour / m x d x, et Pequation du VI. §. divisee 
par ^ sera 

C = !l£^ X b: 

lOGa — 12n^ab 

maisenvertuduVIL§.onaG= /•2nmxxdx^ /' 2n/xxf dx _6n/^xf 

•^ bb -^ bf 5b| 

= (en faisant x = b) f n /a b. D'ou Ton voit que le denominateur de 
notre equation fondamentale devient = o, et par consequent C = oc. 
Ainsi Televation des eaux seroit infinie. 

XIII. — J'ai mis cette derniere hypotliese, non qu'elle soit possible, 
puisque la densite ne s^auroit etre infinie, comme elle devroit etre au 
centre; mais pour faire voir Favantage et la superiorite de notre tbeorie, 
puisqu'elle ne met point de bornes a 1'elevation des eaux : si les marees 
etoient cent ou mille fois plus grandes qu'on ne les observe, nous pourrions 
lui assigner une cause suffisante. Ayant au reste bien examine tous les 
phenomenes du flux et reflux de la mer, je suis entierement convaincu, 
que la force assignee par M. Newton ne s^auroit suffire pour les produire : 
il iaut donc dire dans le systeme meme de ce philosophe, que les densites 
de la Terre ne sont pas uniformes, mais qu'elles croissent vers le centre. 
Cette hypothese n'est-elle pas fort probable d'ailleurs d'elle meme ? L'eau 
est-elle le seul fluide que nous connoissions ? et ne faut-il pas que les 
fluides plus pesants, soient plus proches du centre de la Terre ? le mer- 
cure est pres de quatorze fois plus pesant que Teau : la grande compres- 
sion que souffi-ent les parties proches du centre de la Terre, ne pourroit- 
elle pas contribuer a rendre la matiere plus compacte et plus dense ? 

Si nous considerons outre cela, combien les planetes et la Terre, qui 
nagent sans doute dans un milieu resistant, quoique extremement subtil, 
conservent leur mouvement, sans en perdre la moindre partie considerable 
pendant une longue suite de siecles, nous pourrions facilement croire, 
que tous ces corps ont beaucoup plus de matiere, que Mr. Newton ne 
marque. Enfin de quel cote que j'envisage cette question, tout me fait 
croire, que les couches de la Terre augmentent de densite vers le centre. 
XIV. — Si, tout le noyau ou tout le globe de la Terre ' restant, Feau de 
la mer, qui inonde la Terre, changeoit de densite, la quantite C suivroit 
la raison reciproque des densites des eaux de la mer. , II suit de la que 
si la Terre etoit inondee de mercure, les marecs seroient quatorze fois 
plus petites, qu'elles ne sont actuellement. Et si au contraire Tair etoit 
un fluide homogene pesant, mais sans elasticite, sa hauteur seroit environ 
de 850 C plus grandc a ceux qui ont le Soleil au zenith, qu'a ceux qui 



ET REFLUX DE LA MER. 131 

rauroient a rhorison. Cela feroit 1700 pieds de difFerence dans la 
hauteur de Tatmosphere, a ne donner que deux pieds de valeur a C; et 
cette difference en produiroit une sur le barometre de plus de 20 lignes. 
D'ou vient donc, demandera-t-on, qu'on n'observe point a cet egard 
aucune variation dans le barometre ? Cest Telasticite de l'air qui en est 
la cause, cette elasticite fait que la hauteur du baronietre doit etre con- 
stamment la meme dans toute la surface de la mer, en faisant abstraction 
seulement des causes accidentelles et passageres, qui peuvent survenir 
tout d'un coup, et qui n'agissent sur Pair, que parce que celuici ne 
sgauroit obeir assez promptement, ni se mettre dans un instant dans son 
etat naturel d'cquilibre. On remarquera ici qu'il est faux que la pression 
du mercure soit egale a la pression, ou plutot au poids de la colonne 
d'air verticale couchee dessus, ce que Fon affirme ordinairement ; mais 
la pression du mercure est egale au poids moyen de toutes les colonnes 
d'air verticales, qui environnent la Terre, c'est a-dire, egale au poids de 
tout l'atmosphere (dont la hauteur est consideree comme infiniment 
petite, par rapport au rayon de la Terre) multiplie par la raison de la 
base de la colonne du mercure a toute la surface de la Terre. Cette 
Proposition fait voir que la hauteur moyenne du barometre doit etre la 
meme sous Fequateur et sous le cercle polaire, quoique le poids absolu 
de la colonne d'air verticale sous Fequateur pendant les plus grandes 
chaleurs ne soit pas la moitie si grand que cekii d'une pareille colonne 
d'air sous le cercle polaire en hyver. On voit de tout ce que nous venons 
de dire, pourquoi, ni le Soleil, ni k Lune ne changent pas sensiblement 
la hauteur du barometre, quoi qu'ils elevent les eaux considerablement. 
La veritable raison n'en est que Telasticite de Tair, qui doit faire presser 
egalement tous les endroits de la surface de la Terre; et cette seule 
reflexion demontre entierement Tinsuffisance des inegales compressions 
de la matiere des tourbillons, pour expliquer les marees, comme nous 
avons deja remarque au IIL §. Chap. I. 

XV. — Tous les cas particuliers, que nous venons d'examiner, font voir, 
et il n'est pas difficile de le demontrer generalement par Tequation du 
V. §. que la quantite Q (qui exprime la difference entre la plus grande 
hauteur de la mcr, et la plus petite, entant qu'elle est produite par la 

seule action du Soleil) est toujours = " ^ X b : le coefficient n depend 

Ga 

des differentes densites des couches de la Terre, le rapport _ est connu 

a 

par les observations astronomiques : il ne reste donc qu'a voir comment 

L4 



132 TRAITE' SUR LE FLUX 

on pourra determiner la quantite ^ : c'est en comparant les effets que 

G 

les forces g et G produisent ; la premiere, en retenant la Terre dans son 

orbite annuelle ; la seconde, en retenant la Lune dans celle qu'elle fait 

autour de la Terre. Si la distance moyenne de la Lune au centre de la 

Terre est nommee a, la force centrifuge de la Lune sera = G, et la 

QL a 

force centrifuge de la Terre est = g : or la force centrifuge moyenne de 

la Terre dans son orbite, est a la force centrifuge moyenne de la Lune 

autour de la Terre, ou plutot autour du centre de gravite du systcme de 

la Terre et de la Lime, comme la distance du Soleil divisee par le quarre 

du tems periodique de la Terre autour du Soleil, est a la distance de la 

Lune au centre de gravite commun de la Terre et de la Lune, [M. New- 

ton suppose cette distance = \% «, voyez ses Princ. Math. Phil. Nat. 

Edit. IL pag. 430. ; il fonde cette supposition sur quelques phenomenes 

des marees, mais mal choisis a mon avis ; elle est donc encore fort 

douteuse ; mais comme elle n'est pas de consequence pour notre sujet, je 

ne laisserai pas de Tadopter ici] divisee par le quarre du tems periodique 

de la Lune : on a donc, en nommant le tems periodique de la Terre T, 

et celui de la Lune t, cette analoeie ff : G : : — — - : ; 

^ ^ a a T T 40 t 

ce qui donne A = -f ^ ^^ 3 i^ ^! ? et par consequent 

C = M^ X b = ^Q ^^ ^ ' ^ ^ X b. 
G a 39 a 5 T T 



REMARQUE. 

Pour voir que cette formule s'accorde avec celle de M. Newton pour 
la supposition de 1'homogeneite de la Terre, nous remarquerons, qu'en 

ce cas on a n = V(§. VIII.) et M. Newton suppose _ = — - (Princip. 

a 60^ 

Malh. Phil. Nat. Edit. II. pag. 430.) -IL = -i^. (Princip. Math. pag. 

395.) et enfin b = 19695539 pieds apres la mesure de M. Cassini. De 
tout cela il resulte 

^ _ 40. 15. 1. 1000. 19695539 -^^^ 
39. 4. (60i)^. 178725. 
cela fait C = 1 pied 11. pouces ct un quart. M. Newton trouve 1 pied 



ET REFLUX DE LA MER. ^ 133 

11 pouces et un huitieme. (Princ. Math. pag. 419.) La difference me 
paroit trop petite, pout en rechercher Forigine. 

XVL — Tout ce que nous venons de dire par rapport a Taction du 
Soleil, doit etre entendu aussi de la Lune, sans y rien changer ; de sorte 
que les equations fondamentales des §, V. et VII. servent egalement 
pour la Lune, en entendant par a la distance entre les centres de la 
Terre et de la Lune, et par g la pesanteur d'un corps place au centre de 
la Terre vers la Lune. Et comme nous avons dit au XV. §. que quelque 
hypothese qu'on prenne pour exprimer les difFerentes densites dans les 
couches de la Terre, on trouvera toujours 

e = is^ X b, 

Ga 
nous dirons par rapport a la Lune, qu'on troUvera toujours 

s = "LJLh X b, 

G a 

prenant pour d la difference des hauteurs des eaux a ceux qui ont la 
Lune au zenith, et a l'horison, pour a la distance entre les centres de la 
Lune et de la Terre, et pour y la pesanteur d'un corps place au centre de 
la Terre vers la Lune. 

XVII. — Ce qui m'a engage a ne parler d'abord que de Taction du 
Soleil sur la mer, est qu'on connoit parfaitement bien la valeur de g pour 
le Soleil, comme nous avons vu au XV. §. au lieu que la Lune, qui n'a 
point de satellites, ne s^auroit donner immediatement la force acceleratrice 
qu'elle cause au centre de la Terre, et que nous avons nomme 7. Je 
trouve par ma nouvelle theorie de la Lune, dont j'ai deja fait mention ci- 
dessus, plus generale, plus exacte, et sur-tout infiniment plus facile, que 
celle de M. Newton, qu'on peut determiner la valeur y avec toutes les 
autres qui en dependent ; s^avoir la masse de la Lune, comparee avec 
celle de la Terre, et leur commun centre de gravite, moyennaiit quelques 
irregularites dans les mouvemens de la Lune, pourvu qu'on puisse les 
observer assez exactement. M. Newton a tache de determiner la force 
acceleratrice 7, en comparant les effets de la Lune sur la mer avec ceux 
du Soleil ; cette methode seroit fort bonne, si on s^avoit bien separer les 
effets des deux luminaires. II a pretendu le faire, en comparant les 
marees batardes, qui suivent les quadratures, avec les plus grandes 
marees, qui suivent les syzygies. Nous verrons ci-dessous ce que Ton peut 
trouver a redire a cette methode, et comment on pourra en substituer 
d'autres plus exactes. 

XVIII. — Au reste, il est clair que la Lune et le Soleil produiront leurs 



134 



TRAITE' SUR LE FLUX 



effets independamment l'une de Fautre : tout ce que le Soleil pourroit 
contribuer au moins dans la pure theorie, pour troubler 1'action de la 
Lune, est qu'il allonge un peu la Terre : mais il est aussi bien evident, 
que la Lune changera egalement la surface de la mer sur une Terre par- 
faitement ronde ou allongee d'un petit nombre de pieds : nous avons deja 
dit la meme chose dans la premiere hypothese du second Article. 

Voici donc comment il faudroit determiner la surface de la mer, si les 
deux luminaires pouvoient produire dans un instant tout leur eifet, c'est- 
a-dire, si Teau n'avoit point d'inertie, et qu'elle put prendre incontinent 
sa juste figure ; car c'est de cette inertie, qu'il faudra tirer dans la 
suite plusieurs inegalites, et autres phenomenes, qu'on a observes dans 
les marees. 

Soit b g d h le globe de la Terre parfaitement spherique, et considerons 
d'aboid le Soleil, que nous supposerons place dans la ligne prolongee b d 
passant par le centre de la Terre C : notre globe se changera en spheroide, 
tel que B G D H, les eaux baissant autour 
de g h, et montant autour de b et d. Soit 
ensuite la Lune dans la ligne prolongee 
q p; il est clair qu'elle agira sur le spheroide 
de la meme fa^on qu'elle feroit sur le globe 
parfait, duquel le spheroide diifere d'une 
quantite tout-a fait insensible : ainsi donc 
la Lune fera monter et baisser les eaux par 
dessus la surface du spheroide, tout autant 
qu'elle feroit a Tegard de la surface sphe- 
rique, sans Taction du Soleil. II faut donc 
prendre n q, ou m p, a b B, ou d D en 

raison des forces lunaire et solaire, c'est a~dire, comme Z- a 3., tracer 

a a 

ensuite les courbes q r p s, telles qu'en prenant un angle quelconque 

u C q, egal a un angle y C B, la perpendiculaire u x interceptee entre 

les surfaces des spheroides, ait a la perpendiculaire yz, interceptee entre 

le premier spheroide et le globe, la raison de n q a B b. Voila donc une 

construction geometrique generale, qui montre a chaque moment, et a 

chaque endroit, la hauteur de la mer, et les variations de cette hauteur. 

Mais elle demande des calculs longs ct p^nibles. Nous verrons dans la 

suite, comment on pourra s'y prendre, pour les faire, en commen^ant par 

les circonstances et les hypotheses les plus simples, et en ajoutant des 

corrections et equations a faire pour chaque circonstance changee. 




ET REFLUX DE LA MER. 



135 



XIX. — Voici donc les cas et les hypotheses, par lesquelles nous com- 
mencerons. Nous supposerons d'abord, que la Lune fait des cercles 
parfaits autour de la Terre, et pareillement la Terre autour du Soleil : 
que ces orbites sont dans le plan de 1'equateur de la Terre : que toute la 
Terre est inondee : que la surface de la mer prend dans un instant sa 
juste figure, tout comme si Feau n'avoit point d'inertie, ni resistances; et 
enfin qu'il ne faille determiner les loix des marees, que sous Pequateur. 
Mais avant de faire les calculs, il sera bon d'exposer preliminairement 
quelques Lemmes geometriques. 



CHAPITRE V. 

Contenani quelques Proposhions de geometrie preliminaires pour 
VExplication ei ie Calcul des Marees, 



PROBLEME. 

1. — ooiT, comme ci-devant, le cercle bg d h et 1'ellipse presque circulaire 
B G D H, et supposons la sphere et le spheroide, decrits par la rotation 
du cercle et de Tellipse autour de l'axe B D, 
egaux; trouver le rapport entre les petites 
lignes B b et G g. 

SOLUTION. 

Nous supposerons pour nous servir des 
memes expressions, que nous avons employees 
jusqu'ici, Bb4-Gg = C; Gg = x, etBb 
= C — x; C b ou C g = b; n la circonference 
du cercle, dont le rayon est egal a Tunite. 
Ceci pose, on s^ait que la sphere sera = 
f n b ^ : on s^ait aussi, qu'un ellipsoide (dont le grand axe est = 2 A, 
et le plus petit diametre = 2 B) est = f n B B A ; cela donne notre 
spheroide = fn(b— x)2x(b + e — x) = fn(b^-— 3bbx + bbC) 
si l'on neglige les infiniment petits du second ordre. Faisant a present 
par la condition du Probleme la sphere egale au spheroide, on a f n b' 
= f n (b ^ — 3 b b x + b b C) c'est-a-dire,^ x = ^ €, C. q. f. t. 



/ 


f 


1 \ 




\ 






\\ 




A 


L 




J 


c 


KJ 


K 


^ 


S 


a^ 


/ 



136 TRAItE' SUR LE FLUX 



COROLLAIRE. 

II. — Si G g = ^ C, il faut que B b soit = f C, et par coiisequent double 
de 1'autre. Ainsi donc Feau monte deux fois plus autour de la ligne, 
qui passe par le centre de l'un des luminaires, et celui de la Terre, 
qu'elle ne descend a la distance de 90 degres. 

PROBLEME. 

III. — Si Ton tire du centre C une droite quelconque C y, trouver la 
petite ligne y z, qui marque la hauteur verticale du point y pris dans 
rellipse, par dessus le point z pris dans le cercle. 

SOLUTION. 

Qu'on tire par le point z la droite £ a perpendiculaire a Taxe : on voit 
qu'en consequence de nos hypotheses, 1'angle € y z doit etre pris pour un 
droit, et le petit triangle C y z cense semblable au triangle C a z, d'ou 
ron tire 

y z = -^ X C z. 
•^ C z 



Soit a present Ca = s; za= Vbb — ss;on aura par la nature 
de Tellipse 

a C = £-5 X VBa X aD = ^SZAl X V (b+| C— s) X (b + | £ -fs). 

Si on change cette quantite en suites, et qu'on rejette toujours les in- 
finiment petits du second ordre, on trouvera enfin 

a : = V bb — ss + 3ss — bb _ ^ ^^ 
3bVbb — ss 

De la on tire a£ — az = Cz= . , - X ^, et par consequent 

3b V bb — s s 

y^_ 3ss— bb y g C. q. f.t. 
^ 3bb 

COROLLAIRE L 

IV, — Pour trouver les points M, ou Tellipse coupe le cercle, on n'a 
qu'a faire y z = o, ce qui donne s = bVj = o, 5773b, et Tarc b M de 

B4:\ 44'. 



ET REFLUX DE LA MER. 



137 



COROLLAIRE. 



I 



V. — Si la Terre tournoit autour d'un axe perpendiculaire au plan de 
notre figure, et que le cercle b g d h representat ainsi 1'equateur de la 
Terre, dans lequel l'un des luminaires est suppose se trouver: si par 
cette rotation de la Terre le point B est par- 
venu en y, le luminaire restant dans l'axe 
B D, 1'angle b C z sera Tangle horaire, dont 
le cosinus est appelle s, le sinus total b ; et 
on voit que la difference des hauteurs de 
Peau avant et apres la dite rotation sera re- 
presentee par B b — y z, c'est-a-dire par 

, bb-3ss c,oupar^biZl!xe, 

" ^ 3bb ^ bb 

ou enfin (en nommant le sinus de l'angle 

horaire c) par — Q. Nous conclurons de la, 
bb 

que les baissemens des eaux sont proportionnels aux quarres des sinus 

des angles horaires, qui commencent du moment de la haute-mer. 



COROLLAIRE IIL 

VI. — Les variations qui repondent a de petits intervalles de tems 
egaux, sont pour chaque point z, proportionnelles aux aires du triangle 
C C6 z Car rintervalle de tems doit etre exprime simplement par un 





i 


B 




J< 




a, 


\ 


y 


\p 




-A 


r 


\ 


\ \ 




^ 






^ 


c 


H 




V^ 


5 


i^ 





petit arc de cercle, qui est = 



— bds 



en considerant s comme 



V bb — ss 

variable ; et si nous faisons cette quantite egale a un petit element de 

bds _ 



tems d t, nous aurons 



= d t et d s = 



dt Vbb— s s 



Or 



V bb — s s 



par le V. §. tout le baissement des eaux etant = . i- X C, sa difFe- 

bb 



rentielle sera = ^^sdt V bb ss . ^^ comme les quantites C, b et d t 

sont constantes, nous voyons, que les variations verticales des marees, qui 
se font en de petits intervalles de tems egaux, sont proportionnelles aux 

quantites repondantes V b b — s s, ou aux aires des triangles C a z. 



138 TRAITE' SUR LE FLUX 

SCHOLIE. 

VIL — On voit que ces proprietes tendent a determiner les haussemens 
et baissemens d'une meme maree pour chaque moment, et nous verrons 
dans la suite, combien elles repondent aux observations. Ces Proposi- 
tions suffiroient pour ce dessein, si nous ne voulions considerer que ce 
qui arrive aux conjonctions et oppositions des deux luminaires : mais 
comme cette restriction ne feroit qu'un cas tres-particulier de toute la 
theorie des marees, nous passerons plus outre. Remarquons cependant 
encore une fois, que chaque luminaire peut etre considere, comme agis- 
sant sur la mer, independamment Tun de Tautre; puisque les petites 
variations causees par Tun des deux, ne changent pas sensiblement toute 
la figure de la Terre : une quantite de quelques pieds ne s^auroit etre 
sensible par rapport a tout le diametre de la Terre. Nous allons donc 
considerer les deux luminaires a la fois, et dans une position en longitude 
quelconque, quoique toujours dans le plan de Tequateur. Nous consi- 
dererons aussi sur la Terre un point quelconque dans 1'equateur, pour 
voir combien la mer doit etre plus haute ou plus basse dans ce point, 
qu'elle ne seroit sans Faction des luminaires. Cest ici une question des 
plus essentielles pour notre sujet. Souvenons-nous cependant, que C 
signifie la hauteur de toute la variation des eaux d'une maiee, entant 
qu'elle est produite par la seule action du Soleil, et d la meme chose 
pour la Lune. 

PROBLEME. 

VIII. — Soit b C d 5, 1'equateur de la Terre parfaitement circulaire, tel 
qu'il seroit sans l'action des deux luminaires : supposons le Soleil dans 
la ligne prolongee d b, et la Lune dans la ligne prolongee d Q; et soit un 
point z donne de position : trouver la hauteur y z, qui marque Televation 
de la mer pour le dit point z produit par les deux luminaires. 

SOLUTION. 

Supposons que le Soleil eleve les eaux en b de la hauteur B b, et la 
Lune de la hauteur B S au point Q. On aura par les precedentes Pro- 
positions B b = f C, et B C =; § 5 : qu'on partage la hauteur cherchee y z 
en deux parties y r, et r z, dont la premiere convienne a Taction de la 
Lune, et Tautre a Taction du Soleil : soit le sinus total = 1, le sinus de 



ET REFLUX DE LA MER. 



139 



Tangle dorine b C z = • le smus de Tangle C C z pareillement donne 

= _L • de cette maniere, nous aurons en vertu du II L ^. r z = 

b ^ 3 bb 



X C = 



2bb 



3bb 



^ " ' X C, et pareillement y r = ^ ^ ^ 



3f i 



consequent 



yz = ^bb--3^^^_j_2bb 



3CC 



3bb 



X 5. C. q. f. t. 



et par 



3bb ■ 3bb 

COROLLAIRE. 

IX. — On voit par cette solution la loi qu'il faudroit observer pour 
construire une table, qui marquat pour chaque ago dc la Lune, et pour 
chaque moment, les hauteurs des marees, en 
supposant le point z changer continuellement 
de position, ju9qu'a-ce qu'il ait fait le tour : 
voyons a present quel est le point z, qui 
marque la plus grande hauteur y z, les poles 
b et C etant donnes de position. 

LEMME. 
X. — Si le sinus de Fangle b C z est appelle, 
comme ci-dessus, —; le sinus de Tangle C C z, X ; 

le sinus de la somme de ces deux angles, c'est-a-dire, le sinus de Tangle 
b C C, __ ; je dis Qu'on aura 




i = 



m V(bb — G g) — n 



et 



2 __ mmbb -f- nnff<y — mm^Td — 2mn g V (b b — tf g ) 



* La lettre n exprime ici -y/ b b — m m. La demonstration de ce Lcmme est fort simple, le 

m, 

3 



rayon B C etant b, le sinus de tout Tangle B C S etant — , on aura B M = m, C M = 



a/ bh — mm; SS = ff,CSz= \/ bb — <rir, BR = ^. Pro- 
longez B R en N, et menez M V parallele a C R, les triangles 
C g S et B M V seront semblables a cause des angles droits S 
et V et des angles egaux C £ S et M B N; donc o n aura C S 
(b) : C S (a/ bb^TP) = B M (m) : B V = mVbb— <r<r ^ 



on trouvera de meme que C ^ (b) : € S {a-)=C N : N R =CM(n): 

— ; donc E 
b 

C. q. f. U 



R V = "-'; donc B R (^) = B V - R V = "LyJ^,-^ 
b ^* b 



n tr 




JtfC 



14.0 traitf; sur le flux 

Je n'ajouterai pas la demonstration de ce Lemme : mais il est pourtant 
bon d'avertir ici, qu'en cherchant la valeur de §, qui marque le sinus de 
la difFerence de deux angles donnes par leurs sinus, on tombe facilement 
dans une autre expression beaucoup plus prohxe, et qui rend le calcul 
du Probleme, que nous allons exposer, presque impraticable. 

PROBLEME. 
Trouver les points z, ou les hauteurs y z soient les plus grandes. 

SOLUTION. 

La nature de notre Probleme demande, que la differentielle de y z, 

scavoir z-^^'^' — ^^'>'H (§. VIII.) soit = o, ou bien . d e = — (^dtf. - 
^ bb ^ ^ a 

Et si Pon diiferentie Tequation seconde du precedent Lemme, on trouve, 

prenant les quantites m, n et b pour constantes, et e pour variabJe, 

1 __ n n 6 da — n ma d s , 2mno a — nmbbi 
e a p = __ + d a. 

^ ^ bb hhV{hh—aa) 

En comparant ces deux valeurs de ^ d ^, on trouve une nouvelle equation, 
a laquelle on pourra donner une telle forme, 

— bbtf + mmff — nnff\ Vbb — aa=2mnaa — mnbb: si 

d ) 

Ton suppose pour abreger la formule H! - + — — — = A, on trouve 

ci m n n m 

apres une reduction entiere de Tequation, le sinus de Tangle b C z, ou 

JL = + v' A + ^ V C. q. f. t. 

b - V^-2 V(4. + AA)/ ^ 

SCHOLIE. 

XII. — II ne sera pas difficile de reconnoitre dans chaque cas, quel 
choix on doit faire des signes ambigus. Mais pour facihter la chose, et 
pour en donner une idee d'autant plus distincte, on pourra faire les 
remarques qui suivent. 

l^. Que notre formule marque en meme tems quatre points z, Z, s et 
S ; que les deux premiers diametralement opposes, marquent que la mer 
y Gst la phis haute, et les deux autres diametraiement opposes marquent 
que la mer x tst la plus basse, et que Parc z s est toujours de 90°, ce que 



ET REFLUX DE LA MER. 



141 



, exprimant le sinus d'un 
A 



) 




Ton connoit de ce que V i + ——^= 

2 V 4< + AA 

anffle, son cosinus est exprime par V (h — _ 

^V2V4 + AA. 

2^. Que Tangle b C C etant aigu, le point z tombe entre les points 

b et C, que si cet angle est droit, le point z tombe precisement sur Z (en 

supposant la force lunaire plus grande que la 

force solaire, comme elle Test sans doute) ; ct 

enfin, lorsque 1'angle bCC est obtus, que le 

point z tombe au-dela du point C, l'arc b z 

devenant plus grand que l'arc b C, avec cette 

loi que le point z s'approchc reciproquement 

du point d, tout comme il s'etoit eloigne du 

point b. Enfin, qu'il y a autant de racines 

inutiles, qu'il faut rejetter, mais qu'il faudroit 

adopter, si la force solaire surpassoit la force 

lunaire. 

COROLLAIRE L 
XIII. — On trouve le sinus de Fangle C C z exprime par — de la meme 

fa^on, que nous avons trouve le sinus de Tangle b C z. On voit meme 
que sans faire le calcul de nouveau, on n'a qu'a renverser les lettres £ et 5 

dans la valeur de A, indiquee au §. XI. et supposer — + — — — 

e m n n m 

= B, et on aura X= + V /"j + ? N. 

b - V 2V(4+BBy 

COROLLAIRE IL 

XIV. — Considerant Tangle b C £ comme variable, on voit que l'angle 
C C z, qui marque Tangle horaire entre le moment de la plus haute 
maree, et celui du passage de la Lune par le meridien, peut faire un 
maximum, ou plus grand, puisqu'il est = o, tant lorsque l'angle b C C 
est nul, que lorsqu'il est egal a un droit : nous allons determiner cet 
angle dans la Proposition suivante. 

PROBLEME. 

XV. — Determiner l'angle b C C tel que son angle C C z devicnne le 
plus grand qu'il est possible. 
VoL. III. M 



U2 TRAITE' SUR LE FLUX 

SOLUTION. 

Pour determiner Tangle en question, il faut faire d ^ = o, or ^ etant 
exprime par des constantes, et par la variable B (§. XIII.) il faut sup- 

poser d B = o, c'est-a-dire, que la difFerentielle de la quantite ZZ -f- 

^ e m n 

?i — I}., doit etre supposee egale a zero, en considerant les lettres m et 
n m 

n comme variables : substituons pour n sa valeur V b b — m m (§. X.) 
nous aurons 

B — "Zli^Ai 2 (^ m m — Cbb 
Qm V b b — m m 
dont la differentielle devient nulle, en faisant 
m __ y C + 5 



2d 

COROLLAIRE. 

XVI. — Si C etoit = S, c'est-a-dire, si les deux luminaires avoient une 
force egale, pour mettre la mer en mouvement, on auroit m = b. Mais 
la force lunaire etant plus grande que la force solaire, m devient plus 
petit que b : cependant l'angle b C C ne deviendra jamais moindre que 
de 45^ 

On remarquera aussi, qu'il y a quatre points, tels que C, dont deux sont 
autant eloignes du point b, que les deux autres le sont du point d ; et que 
dans ces quatre points, la haute maree vient alternativement apres et avant 
le passage de la Lune par le meridien. 

Nous allons voir a prcsent comme on doit appliquer tout ce que nous 
venons de dire pour trouver Theure des marees, et pour faire voir, 
combien notre theprie bien menagee s'accorde la-dessus avec les obser- 
vations. ^ 



CHAPITRE VL 

Siir rheure moyenne des Marees pour toutes les Lunaisoiis» 

I. — O N a ete de tout tems soigneux a bien remarquer Theure des hautcs 
et basses marees, pour etablir la-dessus, autant qu'il est possible, des 



ET REFLUX DE LA MER. 143 

regles pour rutilite de la iiavigation ; et quoi qu'il soit impossible de 
donner des regles generales et exactes, on n'a pas laisse de continuer ces 
recherches. Mais je ne s^ache pas qu'on se soit encore avise de raison- 
ner la-dessus autrement, que par induction sur un grand nombre d'obser- 
vations, pendant que c'est ici une matiere, qui depend beaucoup de la 
geometrie pour ressentiel, et que ce n'est que par rapport a quelques 
circonstances, qu'on est oblige de recourir aux observations, pour etablir 
des regles : et ceia est si vrai, que la seule theorie m'a fait voir plusieurs 
points, dont je n'etois pas encore instruit par la lecture. Voyons donc 
avant toutes choses, jusqu'ou la theorie peut aller, pour eclaircir notre 
sujet : nous nous attacherons encore aux hypotheses marquees au XIX. §. 
du Chap. IV. que je prie le lecteur de relire. Nous irons ensuite plus 
loin, et nous examinerons, quelle correction il faudra employer a Fegard 
de chaque hypotbese, ]orsqu'elie est en quelque fa^on changee, 

II. — II est bon d'avertir ici le lecteur, lorsque je parlerai des deux 
marces qui se suivent, que j'entends deux marees pareilles, qui se suivent 
au bout de 24< heures, en sautant la maree intermediaire ; nous eviterons 
par-la de certaines petites inegalites, qu'on a observees,- lorsqu'on a com- 
pare ensemble les deux marees, qui se font dans un meme jour. Si 
Ton veut comparer ensemble des marees, qui ont phisieurs jours d'inter- 
vaUe, nous choisirons celles qui se font pendant que la Lune est au-dess\is 
de rhorison. 

III. — II est clair, que si la Lune avoit infiniment plus de force que le 
Soleil, la haute maree repondroit precisement au passage de la Lune par 
le meridien, et rintervalle d'une maree a l'autre seroit d'un jour lunaire 
precis : et si au contraire la force du Soleil surpassoit infiniment la force 
lunaire, la maree se feroit au moment du passage du Soleil par le meri- 
dien, et rintervalle d'une maree a l'autre, seroit precisement d'un jour 
solaire. Mais comme les deux dites forces sont, suivant toutes les obser- 
vations, comparables entre elles, on voit que le vrai tems de la haute 
maree doit dependre du passage par le meridien de Tun et de l'autre 
luminaire : mais il aura toujours plus de rapport avec la Lune, qu'avec le 
Soleil, parce que la force lunaire est, sans contredit, plus grande que la 
force solaire. Nous verrons dans la suite, qu'il y a quatre situations de 
la Lune, dans lesquelles rintervalle de deux marees, qui se suivent, est 
precisement d'un jour lunaire ; et qu'en deca, ou en dela de ces quatre 
points, les marees doivent necessairement avancer ou retarder sur le tems 
du jour lunaire : nous determinerons ces accelerations et retardemens, 
qui sont fort inegaux, et nous ajouterons plusieurs autres remarques sur 

M 2 



144 TRAITE' SUR LE FLUX 

cette matiere, qui 1'eclairciront plus que toutes les observations, qu'on a 
Hiites jiisqu'ici. II est vrai que ces determinations dependent du rapport 
qu'il y a entre les forces des deux luminaires, que ce rapport est encore 
incertain, et qu'il est meme variable: mais j'indiquerai quels sont les 
moyens les plus surs, pour le determiner d'abord dans de certaines cir- 
constances, et ensuite generalement. Avant que de traiter cette question, 
qui est une des plus utiles, et des plus essentielles, nous determinerons 
generalement le vrai tems des hautes et basses marees, en supposant le 
rapport entre les forces des deux luminaires connu. 

IV. — Soit b a d c requateur, dans le plan duquel les deux luminaires 
sont encore supposes se mouvoir de b vers a, pendant que Tequateur de 
la Terre se tourne dans ie meme sens autour 
de son centre C. Prenons dans requateur 
un point b, et considerons les luminaires se 
trouver dans leur conjonction au point b, 
c*est-a"dire, etant Tun et Tautre dans la ligne 
prolongee d b ; on voit qu'en ce cas la haute 
maree doit etre dans ce moment-la en b, et 
precisement a midi. 

V. — Voyons a present ce qui doit arriver 
un, deux, trois, &c. jours apres : supposons 
pour cet effet, que le Soleil se trouvant encore 

a midi au point b, la Lune reponde au point C : la haute maree repondra 
dans ce moment au point z, et les arcs b z, (^ z se determinent par les 
§. XI. et XIII. du Chap. V. il faut donc que le point b parcoure dans 
l'equateur l'arc b z, pour se trouver dans Tendroit de la plus haute 
maree; car on peut negliger les petits arcs, que les luminaires par- 
courent, dans le tems que le point b de Pequateur parcourt l'arc b z. On 
voit donc, que si Ton veut regler le tems des hautes marees apres le tems 
vrai, on doit prendre Tarc b z, pour Tarc horaire, qui marque riieure de 
la haute maree de ce jour-la. 

Cette regle suppose le point C en repos, pendant le tems qui convient 
au dit arc horaire b z ; mais il est facile de corriger cette supposition : 
car nous verrons dans la suite, que Tarc b z est presque egal a l'arc 
b C ; et cela etant, il est clair, qu'on n'a qu'a substituer des heures lu- 
naires aux heures solaires, qui repondent a l'arc b z, pour corriger la 
dite supposition. 

VI. — Nous venons de montrer, comment on peut determiner le vrai 
tems des luiutes marees, en le rapportant au midi, c'est-a-dire, au passage 




ET REFLUX DE LA MER. 146 

du Soleil par le meridien : voici a preserit, comment on peut determiner 

rheure des hautes marees, en la rapportant au passage de la Lune par 

le meridien, qu'on connoit par les ephemerides : cm. peut le faire imme- 

diatement par le moyen de Tarc C z : nous verrons que le point z ne 

s^auroit s'eloigner du point ^ au-dela d'environ dix degres, qui repond a 

40 minutes de tems, pendant lequel cet arc ne s^auroit varier sensible- 

ment ; d'ou il suit que ce petit arc C z marquera toujours Farc horaire 

entre le moment du passage de la Lune par le meridien et le moment de 

la haute maree. 

VIL — L'arc C z etant tantot negatif, tantot affirmatif, comme il paroit 

par le XIIL Art. du Chap. V. on voit que la haute maree suivra le pas- 

sage de la Lune par le meridien, depuis les syzj^gies jusqu'aux quadra- 

tures, et qu'elle le precedera depuis les quadratures jusqu'aux syzygies : 

on voit encore par TArt. XV. du Chap. V. que l'arc C z fait un maximiimy 

C J- fi 
lorsque le sinus de Farc b (^ est = V — - : c'est alors que la haute 

maree retarde ou avance le plus sur le passage de la Lune par le meri- 
dien: et comme vers ce tems-la les points C et z peuvent etre censcs 
avoir un mouvement egal, rintervalle d'une maree a Tautre, sera alors 
precisement d'un jour lunaire : et cet intervalle peut etre appelle inter- 
valle moyen entre deux marees qui se suivent : il est de 24 heures 50j 
minutes, en prenant 29 jours 12 heures 44 minutes, pour le tems moyen 
d'une conjonction a Fautre. 

On remarquera encore que Tintervalle d'une maree a Tautre, est le plus 
petit dans les syzygies, et le plus grand dans les quadratures. 

VIII. — Pour determiner analytiquement les proprietes, que nous 
venons d'indiquer en gros, nous supposerons, que la Lune repondant au 
point m, et la haute maree etant dans ce moment la au point n, Farc m n 
soit alors le plus grand qu'il est possihle. Soit outre cela encore le sinus 
total = L, le sinus de I'arc m b = m, son cosinus = n. Cela etant, 
nous avons deja dit, et nous le remarquerons encore ici : 

l^. Qu'on aura m = V — - — . 

2^\ Qu'on peut determiner la grandeur de Tarc m n par le moyen du 
XIII. §. Chap. V. oii nous avons demontre, que generalement le sinus de 
cet arc est 

2 vThTbb^' 



V(i±_JU=-.^ 



M5 



U6 

en supposant B = 



TRAITE' SUR LE FLUX 



+ Poiir appliquer cette reo-Ie 



£ m n ' n m mx -i- - — o 

generale a notre cas particulier, il faut supposer b = 1 ; m = V -_ I_, 

et n = v' — — : apres ces substitutions, on trouve le sinus de Farc m n 

Jt 



= -0- 



V <5(5 



j ; et comme h est beaucoup plus grand que C, 



on peut censer le sinus de l'arc m n etre simplement = . 

3^. Qu'on determincra la grandeur de l'arc n b, par le moyen du 
XL §. du Chap. V. II est remarquable que 
cet arc ne depend point du rapport, qui est 
entre la force lunaire 5, et la force solaire C ; 
car il est toujours de 45 degres. 

4". Que si la Lune est supposee dans un 
point quelconque C, les arcs b z et C z peuvent 
se determiner par le moyen des XI. et XIII. 
§. du Chap. V. comme nous avons deja dit : 
mais si Ton suppose le point ^ bien pres du 
point b, nos formules font voir, qu'on peut 




censer alors le sinus de Tarc C z = 



+ 



X m, et le sinus du petit arc 



b z = X m. 

c + a 



Cette formule nous servira a determiner combien 



les marees priment vers les syzygies. 

5". Que si la Lune se trouve en a bien pres de a, la haute maree 
repondra dans ce moment au point z au-dela du point a, et on trouvera 
par le XIII. Art. du Chap. V. si l'on traite bien Fequation qui y est 



marquee, le sinus du petit arc a z = 



X n, en prenant pour n le co- 



sinus de Farc b a, ou ce qui revient au meme, le sinus du petit arc a a. 
Cette valeur du petit arc a z nous servira a determiner, combien les 
marees retardent vers les quadratures. 

Ces deux dernieres remarques sont fondees sur ce que m ou n, etant 
comme infiniment petits, les quantites A et B deviennent comme infini- 
ment grandes, et alors on peut substituer simplement i et b a la place 
des quantites. 

V (^ — ^ \ et >/ A — ^ \ : 

V^ r?V4.4-AA/ V- 2V4-*-BB^ 



ET REFLUX DE LA MER. 147 

et apres ces substitutions, on trouve les sinus des petits arcs, comme nous 
les avons determines. 

IX. — Toutes ces proprietes, que nous venons d^etablir, sont tout-a-fait 
conformes aux observations. Mais pour en sentir toute la force, il fau- 
droit toujours s^avoir le rapport qu'il y a entre les forces d et C, et c'est 
ce que j'ai deja dit, qu'on ne s^auroit determiner immediatement par les 
principes d'astronomie, faute d'observations assez justes sur la Lune ; il 
faut donc s'en tenir aux efFets physiques, que la Lune produit sur la 
Terre, pour en deduire sa force ; et je n'en connois point d'autres, que 
les marees memes : mais il s'en faut servir avec beaucoup de circonspec- 
tion. Comme c'est ici un point tres-essentiel, je n'ai pas voulu man- 
quer de le considerer avec toute Tattention quil merite. Voici mes re- 
flexions la-dessus. 

X. — On pourroit deduire le rapport moyen entre les forces 5 et C du 
rapport des plus hautes marees, qui se font pres des syzygies, et des plus 
petites marees aux quadratures. Car on voit par le VIIL §. Chap. V. 
que la hauteur de la plus grande maree doit etre a celle de la plus petite 
maree, comme 5 + C est a 5 — C. Mais les hauteurs des marees dans 
les ports, ou Ton fait les observations, dependent de tant de circonstances, 
qu'elles ne peuvent etre tout-a-fait proportionnelles aux hauteurs des ma- 
rees dans la mer libre ; et c'est ce qui fait, qu'on trouve le rapport moyen 
entre les plus grandes et les plus petites marees, assez difierent dans dif- 
ferents ports, 

M. Newton, qui a suivi cette methode, rapporte une observation faite 
par Sturm au-dessous de Bristol, oii cet auteur a trouve que les hauteurs 
de la plus grande et de la plus petite maree, ont ete, comme 9 a 5, d'ou 
il faudroit conclure, que 6 = 3J X C. Cette observation est bien eloignee 
de celle que j'ai recue dernierement faite a Saint Malo par M. Thouroud. 
La voici : " Dans les grandissimes marees, la mer s'eleve de 50 pieds en 
" plomb au-dessus du bas de l'eau : dans les marees batardes, elle ne dif- 
" fere que de quinze pieds." Si j'ai bien compris cette observation, la plus 
grande maree etoit a la plus petite, comme 50 a 15, ou comme 10 a 3; 
ce qui donneroit ^ = ^ X £. Ces deux resultans sont bien differens : il 
est vrai, que le rapport de 5 a G est variable, mais cette variation ne 

s^auroit aller si loin ; si la plus petite valeur de — est = m, la plus 

grande valeur de — sera environ = | m. 

II y a une autre reflexion a faire sur cette methode de trouver le 

M4 



148 



TRAITE' SUR LE FLUX 




rapport entre les forces des cleux luminaires : c'est que les marees font 

une espece d'oscillations, qui se ressentent toujours des oscillations prece- 

dentes : cette raison fait que les variations des marees, ne scauroient etre 

aussi grandes qu'elles devroient etre, suivant les loix hydrostatiques. 

Concevons un pendule attache a une horloge 

animee successivement par des poids difFerens: 

on s^ait, que plus ces poids sont grands, plus 

les oscillations du pendule deviennent grandes : 

mais en changeant les poids, les premieres 

oscillations ne prendront pas d'abord leur 

grandeur naturelle ; elles ne s'en approchent 

q,ue peu a peu. II n'en est pas de meme des 

durees des oscillations, lorsque le pendule est 

successivement anime par differentes pesan- 

teurs. Considerons d'abord un pendule simple anime par la pesanteur 

ordinaire, et qui fasse ses oscillations dans deux secondes de tems, et sup- 

posons ensuite la pesanteur devenir tout d'un coup quatre fois plus grande ; 

je dis que la premiere oscillation, qui suivra ce changement, se fera de 

meme que toutes les autres suivantes dans une seconde de tems. 

Cette consideration me porte a croire, que les observations sur les 
durees et sur , les intervalles des marees sont plus sures pour notre des- 
sein, que les hauteurs des marees : si cette reflexion est bien fondee, on 
pourroit faire attention aux methodes suivantes, pour trouver le rapport 
moyen entre d et Q, 

l^. II faudroit pendant plusieurs mois observer, quel est le plus petit 
intervalle de deux marees. Nous avons dit au VI. §. que rintervalle 
moyen est d'un jour moyen lunaire, que je suppose de 24 heures 50 
minutes : mais il sera moindre dans les syzygies, quoique plus grand qu'un 
jour solaire, ou de 24 heures : supposons ce plus petit intervalle de 24 
heures, et d'autant de minutes, qu'il y a d'unites dans N ; et il faudra 
prendre dans la figure ci-dessus un arc horaire b G de 50 minutes de 
tems : de cet arc b C, il faut prendre une partie C z, qui reponde a 
(50 — N) minutes. Or par la IV. remarque du VII. §. Farc £ z est a 



Tarc b C, comme 



X • m est a m : d'ou nous tirons cette analogie. 



50 — N : 50 : : C : C + 



et cette analogie donne 



N 
50 --N 



X c. 



ET REFLUX DE LA MER. 149 

Soit N egal a 35 (c'est ainsi qu'on robserve a peu pres dans les marees 
regulieres) et on aura d = ||- C. 

2". On pourroit aussi faire attention aux plus grands intervalles, si ce 
plus grand intervalle (qui se fait ordinairement apres les quadratures) etoit 
de 24« heures et d'autant de minutes, qu'il y a d'unites en M. On trouve 
par la meme- methode, que nous venons d'indiquer, et par la V. remarque 

du VIL §. S = M_ X C. 

M — 50 

Soit M = 85 minutes (c'est a peu pres la valeur que ron observe) et 

on trouvera 

a = f f X e. 

Voila les deux methodes, que je crois les plus exactes ; et la premierc 
doit 1'emporter sur la seconde, parce que les marees sont plus irregulieres 
apres les quadratures, qu'apres les syzygies. II y a encore plusieurs 
autres methodes pareilles a celles que je viens d'exposer, et dont j'ai fait 
en partie le calcul ; mais comme je ne suis pas assez content des observa- 
tions, sur lesquelles ces methodes sont fondees, je ne les mettrai pas ici. 
Je me contenterai de dire, qu'apres tous les examens que j'ai faits, j'ai 
trouve, que pour accorder, autant qu'il est possible, toutes les observa 
tions qui determinent le rapport entre d et <^, il faut supposer la valeur 

moyenne de = f ; la plus petite valeur de _ =2, et sa plus grande 

valeur = 3. Cest donc sur ces suppositions que nous raisonnerons et 
calculerons dans la suite ; et comme nous ne considerons encore toutes 
les circonstances variables, que dans leur etat moyen, nous ferons dans 

tout le reste de ce Chapitre _ = |. 

M. Newton suppose — environ = 4 : mais j'ai deja dit, pourquoi sa 

methode doit indiquer la valeur de — plus grande qu'elle n'est : la raison 

en est, que. si les marees n'avoient point d'influences les unes sur les autres, 
comme elles ont, les plus grandes marees differeroient davantage des plus 

petites, et par la on trouveroit la valeur de — plus petite. 

Avant que de finir cette digression sur le rapport entre la force de la 
Lune, et celle du Soleil, et d'en faire rapplication a notre sujet, je ferai 
ici une reflexion sur les forces absolues de la Lune et du Soleil. Nous 
avons fait voir aux §. VIII. ct XV. du Chap. IV. que dans Thypothese 



150 TRAITE' SUR LE FLUX 

de Phomogeneite de la Terre adoptee par M. Newton, le Soleil ne s^auroit 
faire varier les eaux au-dela de deux pieds, ni par consequent la Lune au- 
dela de cinq pieds. Ces deux forces combinees ensemble pour les qua- 
dratures feroient une force absolue a faire varier les eaux en pleine mer 
de trois pieds de hauteur verticale pendant une maree. Mais peut-on 
comprendre, que d'une variation de trois pieds en pleine mer, il puisse 
provenir tous les effets des marees aux quadratures ? Encore est il tres- 
vraisemblable, que la variation actuellc des eaux differe beaucoup de la 
variation entiere, que la theorie indique comme possible : peut-etre meme, 
que la variation actuelle est a peine sensible par rapport a Fautre, et cela 
non seulement a cause des empechemens accidentels, tel que le frotte- 
ment, 1'imparfaite fluidite, &c. ; mais encore a cause de 1'inertie des eaux 
et du mouvement journalier de la Terre ; car on voit bien, que si ce 
mouvement journalier de la Terre etoit d'une vitessc infinie, les luminaires 
ne pourroient avoir aucun effet pour faire varier la mer, quelque force 
qu'ils eussent. Je suis donc entierement persuade, que les forces absolues 
des deux luminaires sont beaucoup plus grandes, que M. Newton ne les 
suppose, et tous ses commentateurs apres lui, prenant Thomogeneite de 
la Terre, pour une hypothese, sur laquelle ils batissent tout leur systeme. 
Ces reflexions doivent donner beaucoup de poids a tout ce que nous 
avons dit au Chap. IV. ou nous avons demontre, qu'en supposant, que 
les densites des couches de la Terre augmentent depuis la circonf(^rence 
vers le centre (supposition d'ailleurs extremement probable par plusieurs 
raisons physiques, dont j'ai expose une partie au XIII. §. du Chap. IV.) 
on peut augmenter, tant qu'on veut, les effets de la Lune et du Soleil 
sur la Terre. Apres cet examen sur les forces, tant relatives, qu'ab- 
solues des deux luminaires, nous allons en faire usage, pour consi- 
derer de plus pres tout ce qui regarde la duree des marees, leurs inter- 
valles, et pour faire voir le merveilleux accord entre la theorie et les 
observations. 

XI. — Les intervalles de deux marees qui se suivent, sont les plus 
petits dans le tems des syzygies : leur intervalle moyen est alors de 24? 
heures 35 minutes, et les marees priment chaque jour de 1 5 minutes sur 
le mouvement de la Lune. 

XII. — Les intervalles des deux marees qui se suivent, sont les plus 
grands dans le tems des quadratures: ils sont alors de 24? heures 85 
minutes, c'est-a-dire, de 25 heures 25 minutes : les marees retardent de 
35 minutes par jour sur le mouvement de la Lunf?. Cette grande inc- 
galite doit rendre riieure des marees plus incertain^ et plus irreguliere 



ET REFLUX DE LA MER. 151 

que daiis les syzygies ; et c'est aussi ce que ron observe : mais ce n'est 
pas la seule raison. 

XIII. — Les marees repondront prccisement au passage de la Lune par 
lc meridien, tant dans les quadratures, que dans les syzygies, si celles-ci 
se font aussi au moment du passage de la Lune par le meridien. Mais 
si les quadratures et les syzygies ne se font pas dans le moment du 
passage de la Lune par le meridien, il faut des corrections. Dans les 
syzygies, il faut une correction de 15 minutes pour un jour entier en 
vertu du XI. §. et par consequent | de minutes par heure, que la haute 
raarce avancera sur le passage de la Lune par le meridien, si ies syzygies 
se font avant ce meme passage ; et que la haute maree retardera sur le 
passage de la Lune par le meridien, si les syzygies se font apres ce 
passage. Dans les quadratures il faut une correction de 35 minutes par 
jour, en vertu du {. XII. c'est a-dire, environ une minute et demie par 
heure, que la haute maree retardera sur le passage de la Lune par le 
meridien, si les quadratures se font avant le dit passage ; et qu'elle avan- 
cera, si les quadratures se font apres le passage de la Lune par le meri- 
dien. Car pres des points b et a, les arcs i^ z et a z peuvent etre censes 
proportionnels aux arcs b C et a a. ■• 

XIV. — Si au lieu de rapporter les hautes marees aux jours lunaires, on 
vouloit considerer les jours solaires, on voit bien qu'il flmt dire, que les 
hautes marees, au lieu de primer de 15 minutes dans les syzygies, re- 
tardent de 35 minutes dans un jour, ou d'environ une minute et demie par 
heure ; et qu'elles retardent de 85 minutes par jour dans les quadratures, 
ce qui fait environ trois minutes et demie par heurc : de la nous tirerons 
cette regle pour les syzygies. 

II faut ajouter a Vheure moyenne de la maree dans les syzygies une 
minute et demie par cliaque heure, que les syzygies auront devance la dite 
heure moyenne^ et en retrancher une minute et demie par chaque hewre, que 
les syzygies retarderont sur la meme heure moyenne. 

Et pour les quadratures nous aurons la regle suivante ; 

// faut ajoiiter, ou retrancher, dans les quadratures de Vhettre moyenne 
de la maree, trois minutes et demie par chaque heure, que les quadraturcs 
avanceront ou retarderont sur la meme heure moyenne. 

XV. — M. Cassini, dont les remarques ingenieuses sur les marces m'ont 
scrvi de guide dans mes recherches, a donnc par' induction des regles 
pareilles, avec cette difference que dans les syzygies, il a mis deux 
minutes par heure, au lieu d'une minute et dcmie ; et deux minutes et 
demic dans les quadraturcs, au licu de trois minutes et dcmie. 



152 TRAITE' SUR LE FLUX 

XVL — Enfin nous remarquerons, que rintervalle moyen de deux 
marees qui se suivent, lequel intervalle est de 24 heures lunaires, ou 24« 
heures 50 minutes, n'est pas egalement eloigne des syzygies et des qua- 
dratures; mais qu'il est beaucoup plus pres des quadratures, que des 
syzygies : aussi pouvoit-on le prevoir facilement ; car comme toutes les 
accelerations depuis le point b jusqu'au point m (qui est celui, dont il est 
question ici) doivent compenser tous les retardemens depuis le point m 
jusqu'au point a, et que les accelerations sont beaucoup plus petites que 
les retardemens, on voit d'abord, que le point m doit etre plus pres du 
point a, que du point b. Mais nous determinerons exactement ce point 
m par le moyen de la premiere Remarque du VI 11. §, ou nous avons 

demontre que le sinus de Tarc m b est»= V — — — = V /o = 0,8366 

lequel sinus repond a un arc de 56^, 47*". L'arc m b etant donc de 56\ 
47™., Tarc m a sera de 33*^. IS""., et les deux arcs m b et m a sont comme 
3407 a 1993. 

L'arc n b etant toujours de 45 degres (par la III. Remarque du 
VIII. §.) nous avons Farc m n = ll^ 47"". ; et cet arc m n marque le 
plus grand intervalle possible entre le passage de la Lune par le meri- 
dien, et la haute maree. Cet intervalle est donc de 47 minutes de tems : 
le passage de la Lune par le meridien suivra la haute maree depuis les 
syzygies jusqu'aux quadratures, et la precedera depuis les quadratures 
jusqu'aux syzygies. Mais le plus grand intervalle de Tun a Tautre (qui 
se fait environ 2| jours avant et apres les quadratures) ne surpasse jamais 
47 minutes de tems. 

XVII. — Toutes ces Propositions depuis le XI. §. jusqu'ici, nous 
donnent une idee claire des heures des hautes marees, et de toutes leurs 
variations pour chaque age de la Lune. Car, quoi-que nos demonstrations 
soyent fort hypothetiques, elles n'en meritent pas moins d'attention; je 
ferai voir dans le Chapitre suivant, comment on peut donner des correc- 
tions assez justes a Tegard de toutes les hypotheses que j'ai exposees au 
XIX. §. du Chap. IV. Mais pour donner toute la perfection qui est 
possible, a cette matiere, je montrerai plus precisement, comment on 
peut trouver Tintervalle entre le passage de la Lune par le meridien, 
et la haute maree, pour tout arc donne entre les deux luminaires; 
apres quoi je donnerai une table, que j'ai pris la peine de calculer 
de dix en dix degres. II sera facile apres cela moyennant les ephe- 
merides et des interpolations, de determiner Fheure des marees generale- 
ment. 



ET REFLUX DE LA MER. 153 

XVIIL — Soit donc encore le Soleil en b; la Liine dans un point 
quelconque m : la haute maree en n. Soit le sinus de Tarc m b = m : 
le sinus total = 1, le cosinus de l'arc m b = n : qu^on fasse (§. XIII. 
Chap. V.). 

■D__ — ^bbm n __4mm — 7 



V^ ^ 2 V4 4- BB/ 



S m n n m 2 m n 

on aura le sinus de l'arc m n (qui est l'arc horaire entre le passage de la 
Lune pai' le meridien et la haute maree) 

JB 
2 V 4~+ B B 

Si Ton change cette quantite radicale en suites, en faisant attention que 
B est toujours un nombre negatif beaucoup plus grand que I'unite, on 
verra qu'on peut, sans aucune erreur sensible, supposer le sinus de Tarc 

horaire m n = — —^, et meme simplement = — pres des syzy- 

gies et des quadratures. Voici a present la table dont je viens de 
parler. 

La premiere colonne marque de dix en dix degres Pangle compris 
entre les deux luminaires vus du centre de la Terre environ Theure de la 
niaree : la seconde marque le nombre de minutes, qu'il faut retrancher 
depuis les syzygies jusqu'aux quadratures, et ajouter depuis les quadra- 
tures jusqu'aux syzygies a Theure du passage de la Lune par le meridien, 
pour trouver Theure de la maree ; et la troisieme marque la vraie heure 
de la haute maree. 



154^ 



TRAITE' SUR LE FLUX 



TABLE FONDAMENTALE 

Ponr trouver Vheure moyenne des Hautes Marees, 



Distances eii- 
tres les deux 
luminaires en 
degres. 


Tems de la haitte mer. 
ava7it et apres le ^as- 
sage de la Lune par 
le meridien. 


,. Heure de la haute 
, mer. 


Degres. 


Minutes. 


Heur. Min. 


10 


11 J avant. 


28i 


20 


22 avant. 


58 


30 


31 J avant. 


1 28J 


40 


40 avant. 


2 


50 


45 avant. 


2 35 


60 


46 J avant. 


3 13J 


70 


40j avant. 


3 59J 


80 


25 avant. 


4 55 


90 





6 


100 


25 apres. 


7 5 


110 


40J apres. 


8 Oi 


120 


46 J apres. 


8 46i 


130 


45 apres. 


9 25 


140 


40 apres. 


10 


150 


31 J apres. 


10 311 


160 


22 apres. 


11 2 


170 


11 J apres. 


11 31i 


180 





12 



XIX. — La table que nous venons de donner, determine generalement 
rheures des hautes mers pour les hypotlieses exposees au XIX. §. 
Chap. IV. s'il est vrai que la raij-on moyenne entre les forces de la Lune 
et du Soleil, soit comme 5 a 2. Je la crois a-peu-pres teUe, aprcs avoir 



ET REFLUX DE LA MER. 155 

bien examine toutes les observations qui peuvent la determiner : cepen- 
dant, comme ces observations ne sont ni assez justes, ni en assez grand 
nombre, pour s'y fier entierement, je ne la donne pas encore pour tout- 
a-fait exacte : il est pourtant certain, que cette table ne sgauroit nTanquer 
d'avoir toute Texactitude necessaire, les marces etant sujettes a plusieurs 
irregularites, dont on ne s^auroit donner aucune mdsure, et qui sont de 
beaucoup plus grande consequence, que tout ce qu'il y a encore d'incer- 
tain dans la table. Nous allons examiner avec quelles precautions et 
corrections on doit s'en scrvir. 



CHAPITRE VIL 

Qui C07it}ent d Vegard de plusieurs circonslances mriahles, les 
corrections necessaires pour les Theoremes et pour la table du 
Chapitre ijrecedent, et une JL^pVication de plusieurs observations 
faites sur les Marees, 

I. — JLiES vents et les courants irreguliers contribuent le plus a rendre les 
marees incertaines et irregulieres. Ils accelereront et augmenteront le 
11 ux, ou le retarderont et le diminueront, selon qu'ils ont une direction 
commune ou contraire avec le flux naturel des eaux. Mais on voit bien 
qu'il faut se contenter de ces effets, et qu'il est difficile et meme impos- 
sible d'en marquer le detail, ou des mesures precises. 

IL — La seconde circonstance qiii fait varier les marees, est la situation 
du port, sa profondeur, sa communication avec la mer libre, la pente de 
son fonds et des environs, &c. Tout cela fait qu'il est impossible de 
marquer riieure absolue des marees dans les ports, ou bayes, ou cotes 
differemment situees. Mais comme toutes ces circonsiances demeureut 
toujours les memes, on peut supposer qu'elles font le meme effet sur toutes 
les marees ; s^achant donc combien la maree est retardee dans les syzy- 
gies, on la s^aura aussi a-peu-pres dans toutes les autres situations de la 
Lune. Cette supposition est la seule ressource qui nous reste : j'avoue 
meme qu'elle doit etre fort peu exacte pour les differentes declinaisons 
des deux luminaires a Tegard de requateur : il n'est pas vraisemblable 
non plus, qu'elle soit egalement juste pour ks grandes marees dans les 



156 



TRAITE' SUR LE FLUX 



syzygies, et pour les marees batardes dans les quadratures. Mais avec 
tout cela, on ne doit pas la rejetter, plusieurs observations m'ayant fait 
voir, que moyennant cette correction, le cours des marees repond assez 
bien a la theorie. II faut donc s^avoir par un grand nombre d'observa- 
tions pour chaque endroit IJheure moyenne des hautes mers dans les 
syzygies, et ajouter' cette heure au tems marque dans la seconde et 
troisieme colonne de notre table : c'est cette heure moyenne des hautes 
mers dans les syzygies, que les mariniers appellent heures du port : elles 
varient extremement dans les difFerens ports, comprenant tout le tems et 
duree d'une maree. 

III. — Ce retard de l'heure moyenne des pleines mers dans les syzygies, 
a Tegard du midi, s'observe aussi dans la mer hbre, ou plutot dans les 
isles qui sont en pleine mer : mais il n'est pas si grand, et vient d'une 
autre cause, s^avoir de l'inertie des eaux, qui les empeche d'obeir assez 
promptement, a cause de la vitesse du mouvement journalier de la Terre. 
On peut appliquer ici tout le raisonnement que nous avons fait au VI. §. 
du Chap. III. pour expliquer la nutation de la Lune en longitude : on 
pourroit douter, si cette raison doit faire avancer ou retarder les marees : 
supposons donc, pour nous cn eclaircir, que, tant les luminaires, que la 
haute maree, repondent a un meme point dans cette figure : comme le 
mouvement des luminaires n'est pas sensible, par rapport au mouvement 
journalier de la Terre, nous les considererons 
comme demeurant dans la ligne d b: Fequa- 
teur de la Terre changera sa figure naturelle 
bgdhen BGDH; et cette figure BGDH 
tournant autour du centre C dc B vers G, le 
sommet B viendra quelque tems apres en y : 
cela etant, si les eaux pouvoient se composer 
dans un instant dans un etat d'equihbre, 
Televation B b devroit se changer en y z, et 
la force qui devroit produire ce changement, 
seroit exprimee par B b — y z : mais cette 
force etant infiniment petite, si Tangle B C y 

est infiniment petit, elle ne s^auroit produire tout son efFet. On voit 
par-la, qu'il faut supposer 1'angle B C y d'une grandeur considerable, et 
considerer ensuite le sommet B comme transporte en y, afin que la diffe- 
rence des pressions soit assez grande, pour conserver le sommet des eaux 
au point y, malgrc la rotation du globe. Le vrai sommet etant donc 
en y, l'angle B C y sera l'angle horaire, qui marquera les retardemens 




f 




ET REFLUX DE LA MER. 157 

reels des hautes marees sur le passage de la Lune par le meridien. La- 
dessus nous pourrons faire les remarques qui suivent. 

1". Si les luminaires ne sont pas en conjonction, et que le Soleil soit 
en b, et la Lune en C, on pourra considerer la chose, comme si les 
luminaires etoient en conjonction, mais dans^ 
la Hgne C z, determinee de position au VI IL 
§. du Chap. V. et augmenter toujours Tangle 
b C z de l'angle B C y, dont nous venons de 
parler : d'ou il paroit que Tangle horaire 
B C y doit toujours etre ajoute au tems 
marque dans la troisieme colonne de notre 
precedente table: car la hauteur des marees 
ne paroit pas devoir changer la chose, puisque 
les changemens de pression pour un petit 
t^ms donne, sont proportionnels aux baisse- 

mens des eaux, qui doivent se faire pour conserver le sommet des eaux 
dans un meme point y. 

2°. Si le mouvement joumalier de la Terre etoit infiniment lent, 
Tangle B C y seroit nul : mais il doit etre plus grand, d^autant qu'on 
suppose le mouvement journalier plus grand et plus prompt; et la dif- 
ference des hauteurs entre les hautes et basses marees, doit diminuer d 
proportion. 

S°. Si la vitesse du mouvement journalier etoit comme infinie, la 
pleine mer repondroit presque au point G; mais aussi la diffjrence d.s 
hautes et basses mers seroit comme nulle. II me semble apres avoir 
bien considere la chose, que les hauteurs des marees dans les syzygies 
doivent etre censces proportionnelles aux sinus des angles G C y dans 
la mer libre, et que si la hauteur B b sans le mouvement journalier 
de la Terre est = C, elle sera avec le mouvement journalier de la Terre 

C a 

= X C. Or, comme on a observe que dans la mer libre la haute 

Cb ^ 

maree suit environ de deux heures le midi dans* les syzygies ; il faut sup- 
poser Tangle B C y de 30 degres, et les forces absolues des luminaires 
doivent etre supposees plus grandes en raison de V 3 a z pour elever les 
eaux, autant qu'elles le seroient sans le mouvement journalier de la 
Terre. 

IV. — Nous avons encore fait voir, que sans le concours des causes 
secondes, les plus grandes m.arees devroient se faire dans les syzygies, et 
les plus petites dans les quadratures. Cependant on a observe, que les 

Vof,. III. N 



158 TRAITE' SUll LE FLUX 

unes et les autres se font un ou deux jours plus tard. Ce retardement 
est encore produit, si non pour le tout, au moins en partie, par Finertie 
des eaux, qui doivent etre mises en mouvement, et qui ne scauroient 
obeir assez promptement aux forces qui les sollicitent, pour leur faire suivre 
les loix que ces forces demanderoient. II y a peut-etre encore une autre 
cause, et M. Cassini me paroit le soup^onner de meme, quoi qu'il ne se 
serve pas de nos principes, la voici : c'est qu'il se pourroit bien que cette 
cause, qui nous est encore si cachee, et qui donne une tendance mutuelle 
aux corps flottans et composans le systeme du monde, que cette cause, dis- 
je, ne se communiquat pas dans un instant d'un corps a Tautre, non plus 
que la lumiere. S'il y avoit, par exemple, un torrent central de matiere 
subtile, et d'une etendu*e infinie, vers le centre de la Terre, et un sem- 
blable vers le centre de la Lune, ces deux torrens pourroient produire la 
gravitation mutuelle de ces deux corps, et la vitesse du premier pourroit 
ctre tcUe, qu'il fallut un ou deux jours a la matiere, pour parvenir depuis 
la I^une jusqu'a la Terre : en ce cas on voit bien que TefFet de la force 
lunaire sur notre ocean, seroit le meme, qu'il auroit ete un ou deux 
jours auparavant dans la suppositlon que la gravitation se commu- 
nique dans un instant. Quoi qu'il en soit, comme ce retardemer.t 
a ete observe le meme a peu-pres apres les syzygies et apres les qua- 
dratures, nous pouvons encore supposer, qu'il est le meme, pendant 
toute la revolution de la Lune, c*est-a-dire, que les marees sont tou- 
jours telles, qu'elles devroi^nt etre, sans les dites causes, un ou deux jours 
auparavant. 

Au reste je n'ai mis ici ce que je viens de dire sur la cause qui pourroit 
produire la gravitation mutuelle des corps du systeme du monde (gravi- 
tation, qu'il n'est plus permis de revoquer en doute) que comme un 
exemple : je ne pretens pas expliquer ce phenomene, j'avoue meme qu'il 
m'est encore tout-a-fait incomprehensible : je ne crois pas non plus que 
TAcademie en ait voulu demander une explication ; je souhaiterois donc 
qu'on remarquat que ceux qui voudroient se servir d'autres principes, 
pour expliquer le flux et reflux de la mer, ne le feroient qu'en apparence, 
et que tout ce qu'ils pourroient alleguer ne seroient que des elforts 
d'expliquer mecaniquement la gravitation ou Tattraction mutuelle du 
Soleil, de la Lune et' de la Terre, sans disconvenir pour cela de nos 
principes au fond, lesquels sont surs, et doivent etre consideres conime 
des faits averes par rexperience. 

V. — Je profiterai de cette occasion, pour parler d'un des principaux 
phenomenes, et pour repondre a une objection, qu'on pourroit nous faire 



ET REFLUX DE LA MER. 159 

la-dessus, et dont reclaircissement me paroit tres-propre pour faire voir 
Tavantage de notre methode et de nos calculs. 

On a determine apres un nombre infini d'observations, que dans les 
syzygies Theure moyenne de la haute mer est a Brest a 3 heures 28 
minutes, et dans les quadratures a 8 heures 40 minutes, et que la dif- 
ference n'est que de 5 heures 12 minutes depuis les syzygies jusqu'aux 
CjUadratures. Cette difference a ete bbservee tout-a-fait la meme a 
Dunkerque, et dans d'autres ports ; quoique les heures des marees soient 
difFerentes aux divers ports. Cest donc ici une observation qui merite 
beaucoup d'attention, comme generale et bien averee : cependant il est 
certain, que sans les causes secondes, que nous avons deja indiquees, la 
difFerence entre les heures du port pour les syzygies, et pour les quadra- 
tures, devroit etre a-peu-pres de 6 heures lunaires, c'est-a-dire d'environ 
6 heures 12 minutes. Voici comment je determine exactement cet in- 
tervalle. 

L'heure moyenne de la haute mer dans les syzygies, est dans la 
theorie pure precisement a midi, puisqu'il faut considerer les syzygies, 
comme tombant precisement sur l'heure du midi. Si les syzygies se 
faisoient plus tard, la haute mer arriveroit plus tot et reciproquement ; et 
les accelerations compensent parfaitement les retardemens apres un grand 
nombre d'observations. L'lieure moyenne de la haute mer dans les qua- 
dratures, doit etre de meme censee celle qui se fait, lorsque la quadrature 
se fait precisement a midi ; car, lorsqu'il est question d'un certain jour, il 
en faut prendre le milieu, c'est-a-dire Theure du midi, afin que les dif- 
ferences se detruisent ou se compensent les unes les autres. Soit donc le 
Soleil au zenith b, et la Lune en a a 90 de- 
gres du zenith, ou a Thorison : cela etant, on 
voit que si la haute mer est supposee se faire 
precisement au moment du passage de la 
Lune par le meridien, elle doit se faire 6 
heures lunaires apres midi; car le point b 
doit faire, par le mouvement journalier de la 
Terre, Tarc horaire b a « (supposant que le 
passage de la Lune par le meridient qui a 
ete a Theure du midi en b, reponde au point 
a) ; mais pour parler plus precisement, la 

Lune et le meridien se trouvant en a, la haute maree repondra au point 
z \ et Tarc a z sera egal aux deux tiers du petit arc a a (§. XIIL Chap. 
VL) c'est donc Tarc b a z ' qui marque Theure moyenne de la haute mev 




160 TRAITF SUR LE FLUX 

dans les quadratures : Tarc b a est de 90 degres ; le petit arc a a est 
d'environ 3 degres, et Farc a z ^ de 2 degres ; et par consequent Tarc 
b a z ^ de 95 degres, qui donne un tems de 6 heures 20 minutes, qui 
devroit etre in ahstracto Fheure moyenne de la haute mer dans les qua- 
dratures, pendant que celle des syzygies est a midi. D'ou vient donc, 
me demandera-t-on, que, suivant les observations, on ne trouve que 5 
heures 12 minutes a la place de 6 heures 20 minutes. Je repons que 
c'est cette meme anticipation des syzygies et des quadratures a Tegard des 
plus grandes et des plus petites marees, dont nous avons parle dans le 
precedent article, qui en est la cause. U est si vrai, que c'est ici la 
veritable raison, que la quantite de cette anticipation repond parfaitement 
bien a Tintervalle des heures moyennes des hautes mers pour les syzygies 
et les quadratures. Nous en pourrons meme determiner plus exactement 
la dite anticipation, sur laquelle on est encore bien divise, les uns ]a fai- 
sant d'un jour, d'autres de deux, pendant qu'on a determine assez exacte- 
ment, et d'un commun accord Tautre point. 

Prenons d'abord le terme de deux jours, comme le plus generalement 
adopte, en considerant que les marees se reglent apres les luminaires, tels 
qu'ils ont ete deux jours auparavant : imaginons nous les syzygies se faire 
en b et les quadratures en b et a : TefFet des 
luminaires sera, en vertu de notre suppo- 
sition, dans le tems des syzygies, comme si 
le Soleil etoit en b, et la Lune en (^, en pre- 
nant Tarc b C d'environ 25J degres ; et le 
meme efFet dans les quadratures sera comme 
si le Soleil etant en b, la Lune se trouvoit 
en C ^ environ 64| degres; dans les syzygies, 
la haute mer repond au point z, et dans les 
quadratures au point z ^ Cest donc Farc 
z b z ^ qui exprime Tarc horaire entre Theure 

moyenne de la haute mer des syzygies et celle des quadratures (substi- 
tuant toutefois des heures lunaires a la place des heures ordinaires, a 
cause du mouvement de la Lune). Or la table mise a la fin du prece- 
dent Chapitre, fait voir par le moyen des interpolations, que la Lune 
etant avant les syzygies a 25^ degres du Soleil, Theure de la haute mer 
est a 10 heures 46 minutes du matin ; et que la Lune etant apres les 
syzygies a 64| degres du Soleil, la haute mer se fait a 3 lieures 
35 minutes du soir : Tintervalle est donc de 4 heures 49 minutes, 
tems lunaire, ou d'environ 5 heures, tems ordinaire. Ce resultat 




ET REFLUX DE LA MER. 161 

repond deja assez bien a Fobservation, qui le donne de 5 heures 12 
minutes. 

Mais si au lieu de deux jours on prend J jours, ou environ 59 heures, 
qui repond a-peu-pres a 20 degres de distance de la Lune depuis les 
syzygies et les quadratures, Fheure moyenne de la haute mer le jour des 
syzygies, sera en vertu de la table, a 1 1 heures 2 minutes du matin, et le 
jour des quadratures, a 3 heures 59 J minutes du soir; et Tintervalle de 
Tune a Tautre sera de 4 heures 57 J minutes tems lunaire ; qui fait a-peu 
pres 5 heures 8 minutes. Et enfin on trouve une conformite exacte entre 
les deux points en question, en donnant un jour et demi au retardement 
des marees, c'est-a-dire, en supposant que Tetat des marees est tei qu'il 
devroit etre naturellement, un jour et demi plutot : c'est alors que Tin- 
tervalle de Theure moyenne de la pleine mer aux syzygies a heures 
pareilles aux quadratoires, devient de 5 heures 12 minutes, tel qu'un 
grand nombre d'observations l'a donne : aussi ce terme d'un jour et demi, 
est-ce celui qui est le plus conforme aux observations, et en consultant 
les tables qui sont dans les Memoires de 1'Academie de l'annee 1710. 
pag. 330. et 332. et prenant la difference moyenne, on trouve fort a-peu- 
pres la meme valeur. Toutes ces circonstances, l'explication naturelle de 
ce phenomene, sa conformite avec toutes les observations faites jusqu'ici 
et son usage pour determiner au juste un des points des plus essentiels, 
qu'on n'a connu encore que par tatonnement, font bien voir la justesse et 
la superiorite de nos methodes. * 

VI. — Les autres corrections que Fon doit apporter aux formules et a 
la table du precedent Chapitre, regardent Fhypothese que nous avons 
faite, pour rendre d'abord la question et les calculs plus faciles ; s^avoir 
que les deux luminaires font des cercles -parfaits autour de la Terre^ et cela 
dans le plan de Vequateur. Cette supposition entraine celle d'une egalite 
parfaite dans les distances des luminaires a la Terre, aussi-bien que dans 
leur mouvement, et elle fait outre cela leur declinaison, a Tegard de 
Tequateur, nulle. Voyons donc a present ce que les differentes distances, 
l'inegalite des vitesses et l'obliquite d£s orbites peuvent faire sur Theure 
des marees. 

VII. — Les differentes distances des deux luminaires a Tegard de la 
Terre changent le rapport de leurs forces sur la mer ; et c'est cependant 
de ce rapport que dependent presque toutes les Propositions du precedent 



* Je vois apres avoir fini cette piece, que M. Cassini a deja indique ce que notre remarque con- 
tient de physique. Voy. les Mem. de TAc. des Sc. de 1714. p. 252. 

N3 



162 TRAITE' SUR LE FLUX 

Chapitre. Nous avons suppose ce rapport pour les distances moyennes 
de la Lune et du Soleil, comme 5 a 2, fondes sur un grand nombre d'ob- 
servations, qui doivent nous confirmer dans cette supposition, a Tegard 
des variations des distances, apres avoir remarque et demontre la Propo- 
sition qui suit : 

Lesforces de chaque luminaire sur la mer sont en raison reciproque triplee 
de leurs distances d la Terre, 

En voici la demonstration. Nous avons dit et demontre au Chapitre 

quatrieme, que la force de chaque luminaire ost generalement = "^ X b 

G a 

en entendant par n un nombre constant par — le rapport de la pesanteur 

g 
dans la region de la Terre vers le luminaire a la pesanteur qui se fait vers 

le centre de la Terre, et par le rapport du rayoh de la Terre b a la 

a 

distance du luminaire a : or comme les differentes distances ne changent 

que les quantites G et a, nous voyons que la force de chaque luminaire 

est constamment proportionnelle a ^, et la quantite g, qui exprime la pe- 

a 

santeur vers le centre du luminaire, etant reciproquement proportionnelle 

aux quarres des distances a, il s'ensuit que les forces de chaque lumi- 

naire sur la mer, sont en raison reciproque triplee de leurs distances a la 

Terre. 

M. Newton a deja demontre cette Proposition, qui se confirme aussi 

par toutes les observations faites sur les marees, quand on en fait une 

juste estime, et une application bien menagee. La Proposition que nous 

venons de demontrer, nous enseigne qu'a la place de notre equation fon- 

damentale 3 = | £, employee dans le Chapitre precedent, il faut se servir 

de celle-ci plus generale 

^- ^ xJUx-^xc. 



2 L 



3 s3 



en denotant par 1 et s les distances moyennes de la Lune et du Soleil 
a la Terre, et par L et S leurs distances donnees quelconques ; et la- 
dessus on pourra calculer toutes les questions traitees-ci-dessus pour des 
distances quelconques entre les himinaires et la Terre : mais nous ne 
considererons que deux cas, 1°. Lorsque la Lune etant dans son perigee, 
et la Terre dans son aphelie, le rapport de 5 a C devient le plus grand ; 
et 2"", Lorsque la Lune etant au contraire dans son apogee, et la Terre 
dans son perihehe, le rapport de 6 a S devient le plus petit. Nous don- 



ET REFLUX DE LA MER. 163 

nerons 1000 parties a la distance moyenne de la Lune, 1055 a sa plus 
grande distance, et 945 a sa plus petite distance ; et pour le Soleil, nous 
poserons les pareilles distances ctre en raison de 1000, 1027 et 983; 
et nous aurons pour le premier cas 6 = 3, 1 1 5 £ ; et dans le second cas 
3 = 2,022 <:. 

Comme il ne s^agit ici que des petites corrections, nous supposeronj 
simplement pour le premier cas 3 = 3 C, et pour le second 5 = 2 C ; et 
afin que nos regles soient d'autant plus faciles dans Tapplication, nous 
n'aurons point d'egard aux variations du Soleil, comme n'etant presque 
d'aucune importance par rapport a celles de la Lune. Disons donc 
simplement, que dans le perigee de la Lune, il faut mettre 3=3 , 
et dans Tapogee 5 = 2 C. Cela etant, voici les consequences que nous 
en tirons. 

l**. Un jour et demi apres les syzygies, Tintervalle de deux marees qui 
se suivent, est dans le perigee de 24 heures 27J minutes ; et dans J'apogee 
de 24 heures 33 minutes. 

2°. Un jour et demi apres les quadratures, le meme intervalle est dans 
le perigee de 25 heures 15 minutes ; et dans Tapogee de 25 heures 
40 minutes. Voyez a Tegard de ces deux Propositions le §. VIL du 
Chap. VI. 

3°. Le plus grand intervalle entre le passage de la Lune par le meri- 
dien et la haute mer (que nous avons vu au XVI. §. du Chap. VI. devoir 
se faire environ 2J jours avant et apres les quadratures, sans nos correc- 
tions, maisqui sera reellement environ IJ jours avant, et 4J; apres les 
quadratures) est de 39 minutes environ le perigee de la Lune, et d'une 
heure environ son apogee. Ce plus grand intervalle se fait aussi plutot 
dans le perigee, et plus tard dans Tapogee ; la difference est d*environ 
un demi jour. 

4°. Pour calculer la table pareille a ctlle de ci-dessus, mais qui serve 
pour le perigee et pour Tapogee de la Lune, nous remarquerons que les 
sinus des petits arcs horaires, qui marquent les intervalles entre le pas- 
• sage de la Lune et la haute mer sont toujours 



V 



+ 



B 



2 \/4 + BB^ 
et qu'a la place de cette quantite, on pei;t substituer la valeur fort ap- 

prochante -i- — - __L_ (§. X VIII. Chap. VI.) et meme qu'on peut negliger 

ici, sans le moindre scrupule, le second terme, puisqu'il ne s'agit que de pe- 
tites corrections. Nous considererons donc ces petits arcs horaires, comme 

N4 



164 TRAITE' SUR LE FLUX 

reciproquement proportionnels aux quantites B, c'est-a-dire, aux quantites 

+ — — — . Et dans cette derniere quantite, nous pourrons 

£ mn n m 

encore rejetter sans peine les deux derniers termes pour notre present 
dessein, et dire par consequent, que pour les difFerentes valeurs de — , tout 

le reste etant egal, les intervalles entre le passage de la Lune, et la haute 
maree sont reciproquement proportionnels aux valeurs de _, ou directe- 

ment proportionnels aux valeurs de — D'ou il paroit que les nombres de 

d 

la seconde colonne de notre precedente table, doivent etre multiplies par 
la fraction f dans le perigee, et par f dans Tapogee de la Lune, apres 
quoi les nombres de la troisieme colonne se determinent comme dans la 
precedente table. Mais quant aux nombres de la premiere colonne, il 
faut les augmenter chacun d'environ 20 degres, a cause du retard d'un 
jour et demi explique au long dans ce Chapitre, pendant lequel la Lune 
change de place a Tegard du Soleil d'environ 19 degres, a la place des- 
quels je mettrai un nombre rond de 20 degres. 

Voici donc a present une table corrigee a Tegard de toutes les circon- 
stances exposees jusqu'ici. La premiere colonne marque la distance qui 
est entre le Soleil et la Lune, environ le tems de la haute mer, ou plutot ioi, 
environ le passage de la Lune par le meridien. Les trois colonnes suivantes 
marquent le nombre de minutes entre le passage de la Lune par le meri- 
dien, et la haute mer pour le perigee, pour les distances moyennes et 
pour 1'apogee de la Lune. Et les trois dernieres marquent les heures 
absolues des hautes mers pour les perigees, les distances moyennes et les 
apogees de la Lune. Et pour se servir de cette table, il ne faudra plus 
qu'ajouter aux nombres des six dernieres colonnes 1'heure moyenne du 
port en vertu du III. §. La table n'a ete calculee que de dix en dix 
degres : les interpolations suppleeront avec assez de justesse a telle autre 
distance entre les deux luminaires, que les ephemerides indiqueront. La 
meme methdde des interpolations peut aussi etrc employee, lorsque la 
Lune se trouve a une distance donnee de son apogee ou perjgee. 



ET REFLUX DE LA MER. 



165 



TABLE PLUS GENERALE ET CORRIGEE 



Pour trowoer Vheure des hautes Marees. 



Distances 
entre les 
Lumi- 
naires au 
moment 
du passage 
dti la Lune 
par le Me- 
ridien. 


Tems de la haute Mer avant et apres 
le passage de la Lune par le Meri- 
dien en minutes de tems. 


Tabie approchante des heures de la 
haute Mer, dont on peut se servir 
au defaut des eph^merides, qui 
marquent le passage de la Lune 
par le Meridien. 


Perigee de 
la I^une. 


Distance 
moyenne 
de la Lune. 


Jlpogee de 
la Lune. 


Perigee de 
la Lune. 

H. M. 


Distance 
moyenne 
de la Lune. 
H. M. 


Apogee de 
la Lune. 

H. M. 





18 apres. 


22 apres. 


, 27^ apres. 





18 


22 





27i 


10 


9\ apres. 


1 1| apres. 


14 apres. 





49i 


511 





54 


20 











1 


20 


1 20 


1 


20 


30 


9^ avant. 


ll:|avant. 


14 avant. 


1 


501 


1 48i 


1 


46 


40 


1 8 avant. 


22 avant. 


27^ avant. 


2 


22 


2 18 


2 


12| 


50 


26 avant. 


31| avant. 


S9\ avant. 


2 


54 


2 48i 


2 


40| 


60 


33 avant. 


40 avant. 


50 avant. 


3 


27 


3 20 


3 


10 


70 


37i avant. 


^5 avant. 


56 avant. 


4 


H 


■Q 55 


3 


44 


80 


38^ avant. 


46^ avant. 


58 avant. 


4 


41i 


4 33i 


4 


22 


90 


33| avant. 


40|; avant. 


50| avant. 


5 


26i 


5 19i 


5 


H 


100 


21 avant. 


25 avant. 


31 avant. 


6 


19 


6 15 


6 


9 


110 











7 


20 


7 20 


7 


20 


120 


21 apres. 


25 apres. 


31 apres. 


8 


21 


8 25 


8 


31 


130 


55i| apres 


A0\ apres. 


50\ apr^s. 


9 


13i 


9 20i 


9 


30^ 


140 


58i apres. 


46^ apres. 


58 apres. 


9 


5Si 


10 6i 


10 


18 


150 


37^ apres. 


45 apres. 


56 apres. 


10 


31i 


10 45 


10 


56 


160 


53 apres. 


40 apres. 


50 apres. 


11 


13 


11 20 


11 


30 
59i 


170 


26 apres. 


5\\ apres. 


39f apres. 


11 A6 


11 51i 


11 


180 


18 apres. 


22 apr^s. 


27f apres. 





18 


22 





27i 



166 TRAITE' SUR LE FLUX 

Cette table suppose encore le plan des orbites de la Liine et du Soleil 
etre le meme que celui de 1'equateur de la Terre, ce qu'il faut sur-tout 
remarquer a 1'egard des trois dernieres colonnes. Mais cette supposition 
n'a pas beaucoup d'influence sur les autres colonnes ; et les ephemerides, 
qui marquent le passage de la Lune par le meridien, suppleeront aux trois 
dernieres. 

VIIL — Apres avoir expose au long tout ce que les difFerentes distances 
des luminaires, et sur-tout de la Lune a la Terre, peuvent contribuer pour 
faire varier Theure des marees, nous dirons aussi un mot sur rinegalite 
du mouvement des luminaires. 

Cette inegalite seroit d'une tres-grande importance, s'il falloit con- 
struire une table pour les heures des marees, sans se rapporter aux tables 
et aux ephemerides : mais elle ne nous est d*aucune consequence, puisque 
nous supposons Theure du passage de la Lune par le meridien, aussi-bien 
que Tarc compris entre les deux luminaires, connus par les ephemerides. 
Cest la raison qui m'a engage a rapporter Theure des marees au passage 
de la Lune par le meridien, en donnant une table, qui marque, combien 
la premiere avance ou retarde sur Tautre. 

IX. — II nous reste a considerer les inclinaisons des orbites a Tegard de 
l'equateur: pour cet effet il faut concevoir un cercle qui passe par les 
centres du Soleil, de la Lune et de la Terre ; et c'est proprement ce 
cercle que doivent representer toutes nos figures, que nous avons consi- 
derees jusqu'ici, conime representant Tequateur de la Terre. On voit 
bien apres cela, que tous les points resteront dans ce cercle aux memes 
endroits ; et que les arcs sc conserveront tels, que nous les avons deter- 
mines : mais les angles horaires formes sur requateur par ses arcs, en 
sont changes. On ne s^auroit sans une theorie parfaite de la Lune deter- 
miner au juste ces angles horaires, a cause de la variabilite de 1'inclinaison 
de Torbite lunaire a l'egard de Tequateur; mais aussi ce changement 
n'est-il pas fort considerable, par rapport a Tarc horaire cornpris entre le 
passage de la Lune par le meridien, et le moment de la haute mer ; nous 
supposerons, et nous pouvons le faire ici sans aucune erreur sensible, que 
les orbites de la Lune et du Soleil sont dans un meme plan, ayant 
chacune une inclinaison avec l'equateur de SS^*. 30™. et nous considererons 
la-dessus la Lune dans trois sortes de situation : 1°. Lorsque sa decllnaison, 
a Tcgard de 1'equateur, est nulle ; et alors il faut multiplier les nombres de 
la seconde, troisieme et quatrieme colonnes de notre table par j^, et ce qui 
proviendra marquera le nombre de minutes entre le passage de la Lune 
par le mcridien, et 1'heure de la haute mer. 2°. Lorsque la Lune se 



ET REFLUX DE LA MER. 167 

trouve dans sa plus grande declinaison a Tegard de Tequateur ; et alors 
il faut multiplier les dits nombres de notre table par ^P£. Et enfin 
3°. lorsque la Lune se trouve au milieu de ces deux situations ; auquel 
cas il faut se servir de notre table, sans y apporter aucun changement. 
Quant aux autres situations de la Lune en longitude, on peut se servir 
du principe de la proportionalite de la difFerence des termes. Ces regles 
sont fondees sur la proportion qu'il y a entre les petits arcs de 1'ecliptique 
et de Tequateur, compris entre deux memes meridiens fort proches Tun 
de 1'autre. 

X. — II suit de tout ce que nous venons de dire, que le plus grand in- 
tervalle possible entre le passage de la Lune par le meridien et la haute 
maree, est environ un jour avant les quadratures, et quatre jours apres les 
quadratures, la Lune dans son apogee et dans sa plus grande declinaison 
a Pegard de Tequateur de la Terre ; et que dans le concours de toutes ces 
circonstances, le dit plus grand intervalle peut aller jusqu'a 63 minutes de 
tems, que la haute maree avancera sur le passage de la Lune par le meri- 
dien un jour avant les quadratures, et qu'elle retardera quatre jours apres 
les quadratures. 

XL — Voila mes reflexions sur le tems des marees ; je me flatte qu'elles 
ont toute la precision qu'on peut esperer sur cette matiere, du moins quant 
a la methode. Toute Tincertitude qui y reste encore, est fondee sur le 
rapport moyen entre les forces de la Lune et du Soleil, que je crois 
pourtant avoir fort bien determine, puisque tous nos Theoremes con- 
viennent si bien avec les observations. L^n plus grand nombre d'obser- 
vations nous donnera peut-etre un jour plus de precision la-dessus. II 
est vrai que nous n'avons determine Theure et les intervalles des marees, 
que sous la ligne equinoctiale ; mais je ne crois pas que la latitude des 
lieux puisse changer sensiblement les intervalles des marees ; ainsi je n'ai 
pas juge necessaire d'en parler. La latitude des lieux a cependant beau- 
coup de liaisoii avec la hauteur des marees : c'est a quoi nous ferons at- 
tention dans la suite. 



1(58 TRAITE' SUR LE FLUX 

CHAPITRE VIIL 

Sur ies differentes hauteurs des Marees pour chaque jour de la 

Lune. 

I. — Je me propose a present d^examiner les diversites des hauteurs des 
marees, non d'un endroit a Tautre, mais d'un meme endroit, que nous 
supposerons d'abord pris sous Tequateur, pour toutes les diverses circon- 
stances qui peuvent se rencontrer. Nous suivrons, pour cet efFet, la 
meme methode que nous avons observee pour determiner generalement 
rheure des marees, c'est-a-dire, que nous commencerons nos recherches 
par les cas les plus simples, pour ne pas etre arretes tout court en voulant 
surmonter trop de difficukes a la fois : nous nous servirons donc d'abord 
des memes hypotheses que nous avons employees dans le Chap. VI. et 
que nous avons exposees a la fin du Chap. IV. apres quoi nous pous- 
serons nos recherches dans le Chapitre suivant a tous les cas possibles, 
tout comme nous avons fait dans le Chapitre precedent pour determiner 
generalement l'heure des marees. 

IL — J'entens par la hauteur d'une maree toute la variation de la 
hauteur verticale des eaux, depuis la haute mer jusqu'a la basse mer 
suivante. Pour trouver cette hauteur, il faut d'abord faire attention aux 
§. XI. XII. et XII I. du Chap. V. qui determinent requateur, les Heux 
de la Lune et du Soleil etant donnes, la position des deux points ausquels 
la mer est la plus haute et la plus basse; apres quoi le VIII. Art. du 
meme Chapitre donnera la hauteur cherchee, en cherchant premierement 
la hauteur de la haute mer, et ensuite la hauteur de la basse mer. 

III. — Remarquons d'abord, que les deux points de la circonference, 
qui marquent la haute et la basse mer, sont eloignes entre eux de 90 
degres. On le voit par les expressions des §. XI. et XIII. et nous 
Tavons demontre dans la premiere Remarque du §. XII. Chap. V. Sup- 
posant donc le Soleil repondre au point b, la Lune au point £, et que la 
haute mer reponde au point z, il faut prendre Tarc z s de 90 de- 
gres, et le point s sera celui qui repond a la basse mer. Cherchez 
donc par le VIII. §. du Chap. V. la valeur de y z, qui marque l'ele- 
vation des eaux pour le point z; et ensuite prenez de la meme ma- 
niere la valeur de s x, qui etant negative, marque la depression des 
eaux ; cela etant fait, on voit que la somme de y z et de s x mar- 
quera la hauteur de la maree, mais dans l'expression analytique de 
s x, il faut changer les signes. II est vrai que cette methode suppose 



ET REFLUX DE LA MER. 



169 



que pendant Pintervalle, depuis la haute mer jusqu^a la basse mer, la 
Lune ne change pas de place ; et c'est a quoi on pourroit avoir egard, 
en augmentant d'environ trois degres Farc b (^ 
dans le calcul de s x : mais ce seroit une exac- 
titude hors de place, et qui augmenteroit beau- 
coup les peines du calcul, qui n'est deja que 
trop embarasse. On pourra meme remedier 
a ce petit defaut, deja insensible par sa nature, 
en prenant Tarc b C, tel qu'il est, non au 
moment de la haute maree, ni a celui de la 
basse mer, mais au miiieu de leur intervalle ; 
et c'est ce que nous supposerons dans Ja suite. 
Soit donc comme dans le V. Chap. le sinus 
de Tarc b C = m ; son cosinus = n ; le sinus de Tangle b C z = 




le 



sinus de 1'angle £ C z = 
du> VIIL Chap. V. 

2bb 



yz 



^ ; le sinus total = b ; et nous aurons en vertu 



3bb 



3bb 

De la on trouvera s x en vertu du §. XII. Chap. V. en mettant b b — <r ff, 
et b b — g g a la place de tf <; et de ^ ^ : et de cette fa^on on aura 

s X = ^'' — ^^ X e + Hl^z^ X d. 

3bb 3bb 

Changez a present les signes dans la valeur de s x, et supposez la hauteur 
de la maree = M, et vous aurez 



M = 



bb — 2off 



X C + 



bb — 2 



ix5. 



bb • bb 

Cette derniere expression marque generalement la hauteur des marees, 
puisqu'on peut toujours determiner les valeurs de tf ff et ^^ par les §. XI. 
et XIII. du Chap. V. Mais les calculs ne laissent pas d'etre assez 
penibles, quoi-que les formules ne soient pas prolixes. Nous tacherons 
donc de rendre ces calculs plus faciles, sans deroger beaucoup a Texacti- 
tude des formules. 

IV. — Voyons donc d'abord ce qui arriveroit, si la force lunaire etoit 
infiniment plus grande que la force solaire. On auroit en ce cas ^ = o 
et tf = m, 

M = C + a — ?J^ X C, 
bb 

laquelle formule ne s^auroit manquer d'etre assez approchante; elle donne 

meme la juste valeur pour les syzygies et pour les quadratures. 



170 TRAITE' SUR LE FLUX 

V. — Pour determiner les hauteurs des marees plus exactement encore, 
nous considererons la valeur de p comme fort petite, au lieu de la sup- 
poser tout-a-fait nulle, comme nous i'avons fait dans TArticle precedent : 

mais nous pourrons supposer hardiment § = "^", et on verra que cette 

supposition ne s^auroit s'eloigner beaucoup de la verite, si l'on consuite 
TArticle VII. du precedent Chapitre vers la fin, et le peu d'erreur qui 
pourroit s'y trouver n'est presque d'aucune consequence pour notre pre- 
sent sujet. On voit outre cela, que g etant fort petit, on peut supposer 
cette analogie 

g : m — G :: h : n; 
puisque cette analogie seroit exactement vraie, si les quantites g et m — * 
etoient reellement et infiniment petites : de cette analogie on tire 
.—^ ne__^ mnnC. 

substituant ces valeurs exposees pour les quantites ^ et c, et faisant le 
sinus total b = 1, on obtient cette equation, 

d dd 

De cette manierc il paroit que les marees decroissent depuis les syzygies 
jusqu'aux quadratures, et qu'elles croissent avec la meme loi depuis les 
quadratures jusqu'aux syzygies. Ceux qui voudront essayer la juste 
equation du §. III. et cette equation approchante, sur un meme exemple, 
vcrront qu'elles ne different gueres. 

VI. — II nous sera facile a present de calculer et de donner une table 
pour les hauteurs des marees, telle que nous en avons donne une a la fin 
du Chap. VI. pour les heures des marees, et pour laquelle nous tacherons 
dans le Chapitre suivant de trouver les corrections necessaires aux dif- 
ferentes circonstances, tout comme nous avons fait a Tegard deladite 
table du VI. Chap. Nous supposerons encore le rapport moyen de 5 a C 
etre comme 5 a 2, tant que nous n'avons pas des observations qui puissent 
determiner ce rapport au juste. Nous donnerons mille parties a la 
hauteur de la plus grande maree. 

La premiere colonne marquera dans cette table de dix en dix degres 
les arcs compris entre les deux luminaires, environ le miheu des jusans 
(§. III.) c'est-a-dire, environ trois heures apres le passage de la Lune par 
le meridien; la seconde colonne donnera les hauteurs cherchees des 
marees, pour les susdites hypotheses-; et la troisieme en marquera les 
difierences. 



ET REFLUX DE LA MER. 



17i 



TABLE FONDAMENTALE 

Pour trouver les Hauteurs des Marees, ou les Descentes, verticales des eaux 

pendant les Jusans. 



Distance en- 
tre lcs deux 
luminaires en 
degres. 


Hauteur des 
Marees. 


Difference des 
Hauteurs. 


Degres. 


1000 Parties. 




10 


987 


-- 13 


20 


949 


— 38 


30 


887 


— 62 


40 


806 


— 81 


50 


115 


— 91 


60 


610 


— 105 


70 


518 


— 92 


80 


453 


— 65 


90 


429 


— 24 


100 


453 


+ 24 


110 


518 


+ 65 


120 


610 


-f 92 


130 


715 


+ 105 


140 


806 


+ 91 


150 


887 


+ 81 


160 


949 


+ 62 


170 


987 


+ 38 


180 


1000 


+ 13 



Vn. — Si on avoit voulu construire cette table conformement a Tequa- 
tion finale du §. III. qui est la vraie equation, on auroit pu profiter de la 
table du VI. Chap. dans laquelle les nombres de la seconde colonne 



172 TRAITE' SUR LE FLUX 

divises par 4, donnent les degres de Parc, dont le sinus est appelle e> 
apres quoi on connoit aussi Parc dont le sinus est appelle a. Connois- 
sant ainsi par les tables les quantites ^ et c, on trouve sans beaucoup de 
peine la valeur de M du §. IIL 

VIII. — On voit aussi, que si la distance entre les deux luminaires est 
entre deux nombres de la premiere colonne, on peut sans aucune erreur 
sensible employer le principe general des interpolations, de sorte que 
cette table peut suffire pour tous les cas. 

IX. — On remarquera au reste, qu'il est ici de grande importance d'avoir 

substitue la vraie valeur pour — , et qu'un assez petit changement dans 

Q 

cette valeur, a une grande influence sur le rapport des marees. On ne 
doit donc encore considerer cette table, que comme un exemple de nos 
formules generales : le Chapitre suivant fera voir les precautions que Fon 
doit prendre la-dessus. 

X. — Nous voyons tant par les fonnules que nous avons donnees pour 
les hauteurs des marees, que par la precedente table, qu'elle est in ab- 
stracto la nature des variations des marees. On peut faire la-dessus les 
Remarques qui suivent. 

1°. Que les changemens des marees sont fort petits, tant aux syzygies 
qu'aux quadratures, et ils seroient infiniment plus petits que les autres, 
si l'intervalle d'une maree a l'autre etoit aiissi infiniment petit. 

2°. Que les plus grands changemens ne se sont pas precisement au 
milieu, mais plus pres des quadratures que des syzygies: c'est-a-dire, que la 
plus grande diminution des marees se fait dans nos suppositions, lorsque 
la Lune est environ a 60 degres (80 avec la correction de 20 degres ex- 
pliquee au Chap. VII.) depuis les syzygies ; le plus grand decroissement 
se fait donc de la neuvieme a la dixieme maree (de la douzieme a la 
treizieme avec la correction) : de meme le plus grand accroissement se 
fait a environ 30 degres depuis les quadratures (50 degres avec la correc- 
tion) qui repond au changement de la quatrieme a la cinquieme marce 
(de la septieme a la huitieme avec la correction) depuis les quadratures. 
Je parle dans cette remarque de toutes les marees qui se font, tant celles 
du matin, que celles du soir, pour rendre leurs intervalles plus petits : on 
se souviendra cependant de ce que j'ai dit expressement, que je fais ab- 
straction par-tout ailleurs des marees, qui repondent au passage infcrieiir 
de la Lune par le meridien, lorsqu'il s'agit de comparer les marees entre 
elles : car ces deux sortes de marees ont quelques inegalites entre eUes, 
que je n'ai pas encore considerees. 



ET REFLUX DE LA MER. 173 

3*. Que les petits chaiigemens dans les syzygies, et ceux des quadra- 
tures, compares entre eux, sont inegaux ; puisque ceux-ci sont enyiron 
doubles de ceux-la. Dans rapplication de cette remarque il faudra 
ajouter, de part et d'autre, trois marees, ou environ un jour et demi 
de tems. 

4°. Que le plus grand changement de deux marees qui se suivent, 
entre celles qui repondent a la Lune de dessus (dont rintervalle repond 
a environ 1 3 degres de variation dans la distance de la Lune au Soleil) 
fait pres du quart de la variation totale de la plus grande a la plus petite 
maree. 

XI. — Je ne doute pas que les observations ne confirment en gros les 
remarques que je viens de faire, et toutes les regles precedentes. On ne 
s^auroit plus douter de la theorie que nous avons adoptee et etabiie; 
et la theorie posee, les calculs en sont surs. Mais comme nous ne 
sommes pas encore surs des hypotheses secondes, qu'on ne s^auroit evi- 
ter, telles que sont le juste rapport entre la force lunaire et solaire, que 
nous avons suppose comme 5 a 2 ; le retardement des effets de la Lune 
sur sa position, que nous avons suppose d'un jour et demi, ou de trois 
marees, ou de 20 degres, que la Lune peut parcourir en longitude pen- 
dant ce retardement, &c. nous nous croyons en droit de demander 
quelque indulgence pour le resukat desdites remarques et regles. Ce- 
pendant comme je n'ai fait aucune supposition sans un mur examen fonde 
sur les plus justes observations choisies entre toutes celles qui peuvent 
les determiner, j'oserois me flatter d'un assez bon succes, si Messieurs 
les Academiciens vouloient se donner la peine de confronter nos tables, 
nos regles et nos Theoremes nouveaux avec les observations, dont ils ont 
un grand tresor: mais ce succes, dont je me flatte par avance, se mani- 
festera davantage, si ils veulent encore faire attention aux corrections que 
je vais donner dans ie Chapitre suivant, a l'egard de diverses circonstances 
variables, et que nous avons supposees dans ce Chapitre comme constam- 
ment les memes. 



VOL. III. 



174 TRAITE' SUR LE FLUX 

CHAPITRE IX. 

Sur les Hauteurs des Mai^ees corrigees, suivant differentes cir^ 
consta?ices variables. 

I. — iM ous suivrons dans cet examen la meme route que nous avons 
tenue dans le VII. Chap. a Tegard du tems des marees. Pour com- 
mencer donc par 1'efFet des vents et des courants, on voit bien qu'ils 
peuvent augmenter et diminuer les marees, et que ces variations ne sont 
pas d'une nature a pouvoir etre aucunement determinees. On pourra 
pourtant remarquer que lorsque ces causes conservent pendant un tems 
un peu considerable leur force et leur direction, leur efFet consistera plu- 
tot a hausser ou baisser la mer elle-meme, qu'a augmenter ou diminuer 
les marees. 

II. — Les circonstances attachees a chaque port ou autre endroit en 
particulier, telles que sont sa situation, la profondeur des eaux, la pente 
des fonds, la communication avec Tocean, &c., font extremement varier 
les marees. Ce sont ces causes qui font que les grandes marees ne sont 
que d'un petit nombre de pieds dans de certains endroits, de 8 ou 10 
pieds dans d'autres, et de 50 a 60 pieds, et au-dela encore dans d'autres 
endroits. Ce qu'il y a de singulier, est que dans la mer libre les grandes 
marees ne sont que d'environ 8 pieds, pendant qu'elles vont au-dela de 
50 pieds dans plusieurs ports et autres endroits, dont la communication 
avec la mer ouverte, est entrecoupee et empechee de tous cotes ; et qui 
par consequent devroient, selon les premieres apparences, avoir les marees 
moins grandes, nous donnerons dans un autre Chapitre la raison hydro- 
statique de ce phenomene, pour ne point nous ecarter de notre sujet pre- 
sent. Cela fait d'abord voir, qu'on ne scauroit rien determiner sur les 
grandeurs absolues des marees, et que tout ce que la theorie pourroit 
encore faire, seroit d'en marquer le rapport : mais rexperience nous 
enseigne encore, quc ce rapport meme n'est pas constant dans les dif- 
ferens endroits, quoi qu'il soit renferme dans des bornes plus etroites. 

La grande maree sera double de la petite maree dans un endroit ; et 
elle pourra etre triple dans un autre : c'est que les causes qui font varier 
les hauteurs absolues des marees a l'egard de differens endroits, negardent 
pas une proportion tout-a-fait constante. Mais les marees moyennes 
enti'e la plus grande et ]a plus petite pendant une meme revolution de la 
Lune, peuvent etre censees observer les regles que nous leur avons pre- 



ET REFLUX DE LA MER. 175 

scrites dans le Chapitre precedent. H y a meme apparence, que les 
changemens qui dependent de la differente situation des lummaires ob- 
serveront a-peu-pres les loix que nous avons demontrees in abstracto. 
Ces reflexions m'ont determine a considerer la plus grande et la plus 
petite maree, non telles qu'elles devroient etre dans la theorie pure, mais 
telles qu'on les observe, lorsque les luminaires se trouvent a-peu-pres 
dans l'equateur, et dans leurs distances moyennes a la Terre, sans 
qu'aucune cause accidentelle les trouble. Nous avons demontre au IIT. §. 
du Chap. VIII. que la hauteur de la grande maree doit etre exprimee 
par 5 -f- C, et la hauteur de la petite maree par b — C ; mais si Ton sup- 
pose la hauteur moyenne reelle de la grande maree A et de la petite 
maree B, il faudra suivant cette correction faire 
a-f-CrrA, etS — CrrB: 

c'est-a dire, b = ^+^ , et : = ^~d? ; 

2 2 

et ces valeurs doivent etre substituees dans les equations et formules du 

Chapitre precedent. En supposant — = comme nous avon j fait, cn 

£ Ji 

A 7 . . 

obtient — = — , et si cette raison etoit ccnfirmee par les observations, il 
i3 3 

n'y auroit aucun changement a faire. On pourroit se servir de la table, 

telle qu'elle est, en donnant toujours 1000 parties a la hauteur de la 

ffrande maree. Mais si — avoit reellement une autre valeur considerable" 
"^ B 

ment differente de celle que nous venons de lui assigner, il ne faudroit 

pas negliger la correction que nous venons d'indiquer. 

L'on voit aussi aprcs ces considerations, qu'on ne doit pas s'attendre a 
pouvoir determiner avec la derniere precision les hauteurs des marees. 
Nous pourrons donc sans scrupule, pour rendre nos Propositions plus 
nettes et plus sensibles, nous servir de 1'equation du §. IV. Chap. VIH, 
qui aussi-bien approche beaucoup de la vraie equation de TArticle qui 
precede Tautre. Nous supposerons donc la hauteur des marees, toujours 
exprimee par 5 4- C — 2 m m C, et employant la correction indiquee, nous 
aurons a present 

M = A — m m A -f- m. m B, ou plus simplement, 
M = nnA4-mmB: 
Cest donc de cette derniere equation, que nous nous servirons dans la 
suite de cette dissertation. 

III. — Cette correction pourra en meme tems remedier a un autre in- 

O 2 



176 TRAITE' SUR LE FLUX 

convenient, qui provient de 1'inertie et de la masse des eaux. Nous avons 
deja dit ailleurs que les marees sont une espece d'oscillations qui tachent 
naturellement a se conserver telles qu'elles sont : on sent bien que cette rai- 
son doit empecher les grandes niarees d'atteindre toute leur hauteur, et les 
petites de diminuer autant qu'elles devroient faire naturellement : qu'elle 
ne doit pas changer sensiblement la maree moyenne entre la plus grande 
et la plus petite, et qu'eUe change les autres d'autant plus qu'elles sont 
plus eloignees de cette maree moyenne. Et on voit que notre correction 
satisfait a toutes ces trois conditions. 

IV. — Apres la dit€ correction qui regarde immediatement les hauteurs 
des marees, il faut encore employer celle qui regarde les tems, que nous 
determinons par les phases de la Lune, ou par les distances, qui sont 
entre les luminaires. Nous avons explique au long aux §. §. IV. et V. du 
Chap. VII. que les phases de la Lune qui repondent aux marees en 
question, ne doivent pas etre prises telles qu'elles sont, mais telles 
qu'elles seroient environ un jour et demi apres, c'est-a-dire, que les dis- 
tances entre les luminaires doivent etre augmentees d'environ 20 degres, 
et moyennant cette correction, la theorie ne s^auroit manquer de satisfaire 
au juste aux observations. 

V. — Nous n'avons considere jusqu'ici les luminaires, que dans leurs 
distances moyennes a la Terre, et c'est pour ce cas que nous avons ap- 
pelle la hauteur de la plus grande maree A, et celle de la plus petite 
maree B. Pour determiner donc ce que les difFerentes distances peuvent 
faire sur les hauteurs des marees, il faudra se rappeller tout FArt. VII. du 
Chap. VII. Nous y avons demontre, que la force lunaire doit etre sup- 

posee generalement = .. . x d, et la force solaire = X C. Or comme 

la somme de ces forces exprime toujours la hauteur de la grande maree, 
et que la difference des memes forces exprime la hauteur de la petite 
maree, il faudra faire ces deux analogies : 

5 + € : 1! X 6 + l! X C : : A : l'S'^ + L"s^e ^ ^ 
^ L^ S^ L^S^(5-he) 

._e:i:xa_i4xC::B:il^l,7L;i^xB. 

La premiere de ces quatriemes proportionnelles marquera donc la 
hauteur corrigee de la grande maree, et la seconde, la hauteur corrigee 
de la petite maree. Par consequent Fequation finale du II. §, sera celle-ci 
apres sa correction : 



ET REFLUX DE LA MER. 177 

^^ FS^a+L^s^C ^^^^ F_S3a-L3s3.^^^^3^ 
L^S^(6+ C) ^L^s^^a— C) 

Je m^assure que cette equation donnera toujours les liauteurs des marees 
avec toute la justesse qu'on peut attendre sur cette matiere, pour les sup- 
positions auxquelles notre theorie est encore assujettie. Mais comme il 
est presque impossible qu'il n'y ait absolument aucune cause etrangere, 
qui trouble les marees, nous ne devons pas etre trop scrupuleux sur ces 
corrections, qui sont elles-memes mediocres. Ainsi pour rendre nos 
regles plus sensibles et plus faciles, nous ne ferons point d'attention aux 
changemens dans les distances du Soleil a la Terre; ces changemens 
sont beaucoup plus petits que dans la Lune, et ils sont en meme tems 
de beaucoup moindre consequence: nous supposons donc S constamment 
= s. Quant a la Lune, nous la considererons, tout comme nous avons 
fait au VII. §. du Chap. VII. dans son perigee, dans sa distance moyenne 
et dans son apogee ; et nous retiendrons les suppositions que nous avons 
faites au dit Article, pour les distances de la Lune, et pour les conse- 
quences que nous en avons tirees. Nous ferons donc pour le premier 

T 3 13 

cas 5 = 3 €, et __ = 0,8439 : pour le second cas 5 = A e, et -=1_ = 

T 3 

1,000. et enfin pour le troisieme o = 2 C, et = 1,174. De cette 

/ 1 3 

fa^on nous aurons les trois equations qui suivent, exprimees en nombres 
decimaux. 

1°. Pour le perigee de la Lune, 

M = 1.138 n n A + L277 m m B. 

2*. Pour les distances moyennes de la Lune, 
M = nnA + mmB. 

3°. Pour Tapogee de la Lune 

M = 0.901 n n A + 0.703 m m B. 

On remarquera dans ces equations, que A marque la hauteur de la 
grande maree, et B la hauteur de la petite maree dans les distances 
moyennes des luminaires a la Terre, ces luminaires etant supposes l'un 
et Tautre se trouver dans 1'equateur: que m marque le sinus de l'arc 
compris entre les luminaires diminue de 20 degres, et n le cosinus de 
cet arc. 

On remarquera apres cela, que les grandes marees sont comprises en 
vertu de la premiere et de la troisieme equation dans les termes de 1138 
a 901, et les marees batardes dans les termes de 1277 a 703 ; d'ou Fon 
voit que la difference entre les grandes marees n'est pas a beaucoup pres 

03 



178 TRAITE' SUR LE FLUX 

si grande, qu*elle ?est entre les marees batardes, si on compare cette dif- 
ference a la hauteur de la maree qui lui repond. Cela se confirme par 
rexperience, et c'est une nouvelle source des irregularites des petites 
marees comparees entre elles, dont nous avons deja parle ailleurs, et que 
M. Cassini n'a pas manque d'observer. 

VL — J'ajouterai ci-dessous une table fondee et calculee sur les trois 
dites equations, mais qui se rapporte aux quantites A et B, qu'il faut 
donc connoitre par experience pour le port ou autre endroit, dont iJ est 
question. On pourra determiner ces quantites A et B, sur un grand 
nombre d'observations, tant des hautes que des petites marees, en 
prenant des unes et des autres le miiieu arithmetique. 

VIL — On remarquera, quant a la construction de la table que nous 
allons donner, que les arcs compris entre les luminaires ont ete augmentes 
de 20 degres a Tegard de la table precedente, dans laquelle on n'a pas 
eu egard aux causes secondes et aux corrections a faire. Ces 20 degres 
sont determines par le retard d'un jour et demi des marees, par rapport 
aux phases de la Lune, explique ci-dessus : il est vrai que cet intervalle 
d'un jour et demi ne demande pas tout-a-fait 20 degres de correction : 
mais comme il faudroit estimer les distances entre les luminaires, telles 
qu'elles sont, non au moment de la haute-mer (qui doit etre supposee se 
faire au moment du passage de la Lune par le meridien) mais au miHeu 
du jusan, en vertu du III. §. du Chap. VIII. et que Tintervalle depuis la 
haute mer jusqu'au miheu du jusan, demande encore une correction 
d'environ un degre et demi, la somme de ces corrections peut etre sup- 
posee de 20 degres, en estimant les distances des luminaires au moment 
du passage de la Lune par le meridien, que les ephemerides indiquent. 

VIII. — Voici donc a present la table. La premiere colomie y marque 
les distances entre la Lune et le Soleil dans le moment du passage de la 
Lune par le meridien : les irois autres colonnes marquent les hauteurs 
des mar^es pour le perigee de la Lune, pour les distances moyennes de 
la Lune a la Terre, et pour Tapogee de la Lune. 



ET REFLUX DE LA MER. 



179 



TABLE PLUS GENERALE ET CORRIGEE 

Pour trouver les Hauteurs des Marees. 



Distances en" 
tre les Lumi- 
nairgs. 


Hauteurs des Ma- 
rees au Perigee de 
la Lune. 


Hauteurs des Ma- 
rees aux distan- 
ces moyennes de la 
Lune d la Terre. 


Hauteurs dcs Ma- 
rees d VApogee de 
la Lunc. 


Degres. 


0,995A + 0,149B 


0,883A + 0,117B 


0,795A + 0,082B 


10 


1,104A + 0,038B 


0,970A + 0,030B 


0,874A + 0,021B 


20 


1,138A + 0,000B 


1,000A + 0,000B 


0,901 A + 0,OOOB 


30 


1,104A + 0,038B 


0,970A + 0,030B 


0,874A + 0,02lB 


40 


0,995A + 0,149B 


0,883A + 0,117B 


0,795A + 0,082B 


50 


0,853A + 0,319B 


0,750A + 0,250B 


0,676A + 0,176B 


60 


0,668A + 0,527B 


0,587A + 0,413B 


0,529A + 0,290B 


70 


0,460A + 0,749B 


0,413A. + 0,587B 


0,372A + 0,412B 


80 


0,284A + 0,958B 


0,250A + 0,750B 


0,225A + 0,527B 


90 


0,133A + 1,127B 


0,117A + 0,883B 


0,105A + 0,62lB 


100 


0,034A+1,238B 


0,030A+0,970B 


0,027A + 0,682B 


110 


0,OOOA + l,277B 


0,000A + 1,000B 


0,000A + 0,703B 


120 


0,034A + J,238B 


0,030A + 0,970B 


0,027A + 0,682B 


130 


0,133A + 1,127B 


0,117A + 0,883B 


0,105A + 0,62lB 


140 


0,284A + 0,958B 


9,250A + 0,750B 


0,225A + 0,527B 


150 


0,460A + 0,749B 


0,413A + 0,587B 


0,372A + 0,412B 


160 


0,668A + 0,527B 


0,587A + 0,413B 


0,529A + 0,290B 


170 


0,853A + 0,319B 


0,750A + 0,250B 


0,676A + 0,176B 


180 


0,995A + 0,149B 


0,883A + 0,117B 


0,795A + 0,082B 



IX. — II nous reste a considerer les declinaisons des luminaires et les 
latitudes des lieux sur la Terre, pour lesquels on cherche la nature des 
marees. Nous avons suppose les unes et les autres nuUes dans ce 
Chapitre. Mais cette matiere est si riche et si remarquable par plusieurs 



180 TRAITE' SUR LE FLUX 

proprietes tres singulieres et elle demande d'ailleurs tant d^attention, que 
j'ai cru devoir la traiter a part. Ce sera donc le sujet du Chapitre 
suivant. 



CHAPITRE X. 

Dans leqiiel on emmine toutes les proprietes des Marees, qui de- 
pendent des differentes Declinaisons des Luminaires et des dif- 
ferentes tatitudes des Lieua:. 

I. — JLiES declinaisons des luminaires a Tegard de Tequateur, et les dis- 
tances des lieux sur la Terre du meme equateur, ont tant de rapport 
entre elles, qu'on ne s^auroit bien traiter cette matiere, qui est une des 
plus importantes de notre sujet, sans les considerer les unes et les autres 
en meme tems. Mais pour ne pas rendre la question trop embarrassante 
des le commencement, nous ne ferons d'abord attention qu'a la Lune, 
tout comme si les marees etoient uniquement produites par l'action lunaire. 
Nous considererons aussi la chose d'abord suivant la pure theorie, et nous 
verrons ensuite quelles corrections on y pourra employer. 

IL — Ressouvenons-nous de tout ce que nous avons dit dans quelques- 
uns des premiers Chapitres, et sur-tout dans le cinquieme, sur le change- 
ment de la figure de la Terre produit par Taction de Tun des luminaires. 
Nous avons considere la Terre d'abord comme parfaitement spherique : 
nous avons demontre ensuite que cette figure est changee par Taction de 
l'un des luminaires en ellipsoide, dont Taxe prolonge passe par le centre 
du luminaire agissant; et enfin que la rotation diurne de la Terre fait que 
chaque point dans la surface de la Terre, doit tantot se baisser, tantot 
s'elever, afin que sa figure ellipsoide soit conservee ; mais nous n'avons 
calcule ces baissemens et haussemens, que pour les points pris dans 
requateur meme, dans le plan duquel nous avons suppose en meme tems 
se trouver Taxe de rellipsoide. Cest pour ces cas, que nous avons 
demontre, (§. V. Chap. V.) que les baissemens des eaux sont jproportionneh 
aux quarres des sinus des angles horaires, qui commencent du moment de la 
haute 7ner ; et Ton remarquera que ces angles horaires sont proportion- 



ET REFLUX DE LA MER. 181 

nels alors aux arcs compris entre le pole de rellipsoide et le point en 
question. 

II L — Voici a present comment il faut s'y prendre, pour trouver les 
memes baissemens et haussemens, qui se font pendant le mouvement 
diurne de la Terre dans un point quelconque, et la Lune ayant aussi une 
declinaison quelconque. On voit qu'on aura toujours le meme ellipsoide, 
quelle que soit la declinaison de la Lune ; mais qu'il sera obliquement 
pose a Tegard de l'equateur : on voit aussi qu'il faut s'imaginer dans ce 
spheroide allonge une section parallele a Tequateur, qui passe par le 
point en question : cette section ne sera pas un cercle parfait, et sa cir- 
conference n'aura pas tous ses points egalement eloignes du centre de 
rellipsoide : c'est les difFerences de ses distances, qui forment la nature 
des marees. II s'agit donc de determiner ces differences. 

IV. — Pour cet effet il faudra commencer par chercher les distances de 
chaque point du parallele au pole de Vellipsoide (j'appelle ainsi 1'extremite 
de rellipsoide, qui prolonge, passe par le centre de la Lune) et ces dis- 
tances etant connues, il est facile de trouver la distance du meme point 
au centre de rellipsoide, et les differences de ces distances. Car si le 
cosinus de la distance d'un point pris dans le parallele au pole de rellip- 
soide etoit f, le sinus total = 1, et si le demi axe de l'ellipsoide est 
nomme b + 6, et le plus petit demi-diametre b, la distance du point pris 
par le parallele jusqu'au centre de rellipsoide sera generalement = b 
-f g g 6 ; nous avons demontre cette Proposition au j. V. Chap. V. 

V. — Nous montrerons donc d'abord, comment il faudra determiner la 
distance d'un point quelconque, pris dans un parallele donne au pole de 
l'ellipsoide. La voye de la trigonometrie spherique ordinaire nous seroit 
assez inutile ici, puisqu'il nous faut des expressions analytiques, applicables 
a tous les cas, et traitables aux calculs. Si Ton vouloit tirer de telles ex- 
pressions des regles de la dite trigonometrie, les formules qui en provien- 
droient seroient beaucoup trop prolixes. M. Mayers nous a donne la- 
dessus un beau Memoire insere dans les Commentaires de TAcademie 
Imperiale des Sciences de Petersbourg Tom. II. p. 12. H y a dans ce 
Memoire au XVIII. §. un Theoreme general, par le moyen duquel on 
pourra toujours de trois choses donnees dans un triangle spherique, 
trouver le reste par des expressions analytiques extremement simples. 
Voici le cas que notre sujet demande. 

Soit dans un triangle spherique, le sinus total = 1 ; le sinus d'un des 
cotes = S; le cosinus ^u meme cote = C; le sinus d'un autre cote =s; 
le cosinus de cet autre cote = c ; le cosinus de l'angle compris entre les 




182 TRAITE' SUR LE FLUX 

deux cotes donnes = y; le cosinus du troisieme cote oppose a Fangle 
donne, que j appellerai q, sera exprime par cette equation 

q = S s y + C c. 
Vl.—Soit a present A D G K le meridien de la Terre, qui passe par 
le centre de la Lune, et que la Lune reponde au point B, qui deviendra 
ainsi le pole de l'ellipsoide, et la droite 
B H, qui passe par le centre O, son axe. 
Soit Paxe de rotation de la Terre A G, les 
poles A et G, D F K Fequateur; C E L 
un parallele, dans lequel nous prendrons 
un point quelconque E, et qu'on tire enfin 
par ce point E, et par le pole A Parc 
AEF. 

De cette maniere, Tarc A B sera le 
complement de la declinaison de la Lune ; 
Tarc A E sera le complement de la lati- 
tude du point E, et Farc D F sera Tarc 

horaire depuis le passage du point E par le meridien, qui passe par la 
Lune ; de sorte qu'on connoit dans le triangle B A E, les cotes B A et 
E A, avec 1'angle compris B A E, et de la on tirera par le moyen du 
Theoreme expose au precedent Article, Tarc B E, qui est la distance du 
point E au pole de 1'ellipsoide. 

Nous nommerons donc encore le sinus total 1, le sinus du cote A B = S; 
son cosinus = C ; le sinus du cote A E = s, son cosinus = c ; le cosinus 
de Tarc D F, qui est la mesure de Tangle B A E, = y; le cosinus de 
Tarc B E = q : nous aurons q = Ssy4- Gc. 

VII. — Ayant ainsi trouve l'arc B E, il est facile d'exprimer la droite 
E O, qui est la distance du point E jusqu'au centre de rellipsoide, par le 
moyen du 4^. Art. qui nous marque que cette distance est toujours egale 
au plus petit demi-diametre, augmente par le produit du quarre du 
cosinus de cet arc trouve, et de Texces du demi-axe B O sur le plus 
petit demi-diametre : c'est-a-dire, si nous retenons les denominations, 
dont nous nous sommes servis depuis le IV. §. jusqu'ici, que nous au- 
rons E O = b + (S s y + C c) 2 5. 

Cest cette equation de laquelle nous devons tirer toutes les variations 
des marees, que la declinaison de la Lune et la latitude du lieu peuvent 
produire. 

VIII. — Nous voyons d'abord, que n'y ayant que la lettre y de variable, 
la quantite E O est toujours d'autant plus grande, que Ton prend y pkis 



ET REFLUX DE LA MER, 183 

grande. Pour avoir donc la plus grande E O, il faut faire y = 1. La 
haute mer repond donc encore au passage de la Lune par le meridien ; 
et on aura alors la droite CO = b + (Ss-{- Cc)^^. 

IX. — Mais pour trouver la plus petite E O ou e O, il ne faut pas faire 

y = o ; mais y = — -i^ et alors la hauteur e O est simplement = b. 

o S 

nous ferons la-dessus les remarques suivantes : 

L La difference entre la plus grande C O et la plus petite e O, faisant 
la hauteur de la maree, entant quelle est produite par la seule action de 
la Lune, il s'ensuit que cette hauteur est = (S s + C c) ^ 3. Cette for- 
mule nous apprend bien de nouvelles proprietes sur les marees, et nous 
sert en meme tems a decider plusieurs questions, sur lesquelles les auteurs 
ne sont pas encore convenus. 

(a) Nous voyons d'abord, que la plus grande maree se fait, lorsque la 
declinaison de la Lune est egale a la latitude du lieu. Cette regle sup- 
pose toute la Terre inondee ; et c'est a quoi il faut avoir egard, lorsqu'il 
est question de la hauteur d'un lieu. Ce n'est pas par exemple immediate- 
ment aux ports de Picardie, de Flandre, &c. que les eaux sont elevees 
par la Lune : la cause principale des marees dans tous ces endroits doit 
etre attribuee plutot a Televation et descente des eaux, qui se font dans la 
mer du Nord, a environ 35 degres de latitude septentrionale, autant que 
j'en ai pu juger par Tinspection des cartes marines. J'avoue pourtant 
que ce n'est ici qu'une estime fort incertaine; il est impossible de rien 
dire de positif la-dessus. 

On remarquera aussi que je parle ici de la hauteur de la maree, qui 
repond au passage superieur de la Lune par le meridien: j'appellerai 
cette classe de marees, mar^ees de dessus, et la classe de celles qui re- 
pondent au passage inferieur de la Lune par le meridien, marees de 
dessous. 

(C) Si la declinaison de la Lune est nulle, nous aurons S = 1 et 
C = o, et la hauteur de la maree de dessus sera = s s 5. Nous voyons 
de-la, que si la Terre etoit toute inondee, et que les luminaires restassent 
dans le plan de requateur, les hauteurs des marees pour les endroits de 
differentes latitudes seroient en raison quarree des sinus des distances au 
pole. 

(7) Si pour nos pais septentrionaux, la declinaison de la Lune devient 
meridionale, les marees de dessus deviennent encore plus petites a cet 
egard, et cette diminution seroit tres-considerable, s'il n'y avoit pas une 
cause hydrostatique que je marquerai ci-dessous, qui lui est un obstacle ; 



184 TRAITE' SUR LE FLUX 

sans la consideration de cette cause, on pourroit croire facilement que 
notre theorie ne repond pas assez aux observations. 

(5) Nous eclaircirons cette matiere par un exemple, en supposant la 
latitude du lieu de 35 degres. En ce cas la hauteur des niarees de 
dessus, tout le reste etant egal, devoit etre, 

Dans la plus grande declinaison septentrionale de 

la Lune, = 0,963 d, 

Lorsque la declinaison de la Lune est nulle, . = 0,671 5. 

Dans la plus grande declinaison meridionale de la 

Lune, . • = 0,265 d. 

La difference de ces marees est enorme, et surpasse de beaucoup toutes 
les inegalites qu'on peut soupconner avoir quelque rapport a la declinaison 
de la Lune. Nous en dirons bientot la raison. 

(g) Si on supposoit la latitude telle que S s fut = C c, ou S s = 
V 1 — SS X V 1 — s s, ou enfin s = V 1 — S S = C, le point E qui 
repondroit a la plus petite E O, seroit preeisement au point L. En ce 
cas, il n'y auroit qu'une maree de dessus dans Tespaee d'un jour lunaire, 
et la maree de dessous s'evanouiroit entierement. Cela arriveroit donc, 
par exemple, si la Lune ayant 20 degres de declinaison septentrionale, 
Televation du pole etoit de 70 degres : mais en meme tems la maree seroit 
bien petite, puisqu'elle ne monteroit qu'a environ la cinquitoe partie, 
qu'elle seroit sous Tequateur. 

(0 Si s est plus petit que C, la quantite du §. VII. (S s + C c) ^ 3, ne 
s^auroit plus devenir egale o; c'est pourquoi la mer decroitra alors 
continuellement depuis le passage superieur de la Lune par le meridien, 
jusqu'a son passage inferieur. II n'y aura donc plus qu'une maree par 
jour depuis la parallele, qui fait s = C, jusqu'au pole ; et pour s^avoir 
la hauteur de ces marees, il faut dans cette formule, premierement 
supposer y = 1 ; et ensuite y = — 1, et prendre la difference des for- 
mules : la hauteur des marees sera donc dans ces cas = (Ss+ Cc) "5 — 
( — S s + C c) ^ 5, ou bien = 4 S s C c 5. EUe ne s^auroit donc etre 
qu'extremement petite. 

Nous aurions un grand nombre de reflexions a faire encore sur cette 
iLatiere, s'il ne falloit pas se contenir dans de certaines bornes ; et quoique 
tous ces Theoremes ne soient vrais que dans la theorie, ou Ton suppose 
les eaux etre constamment dans leur etat d'equilibre, et toute la Terre 
inondee (car avec ces suppositions, ces Theoremes seroient exactement 
vrais) et que diverses circonstances peuvent leur donner quelquefois une 



ET REFLUX DE LA MER. 185 

toute autre face, ils ne laissent pas d'etre tres-utiles, pour expliquer en 
gros un grand nombre de phenomenes observes sur les marees, et pour 
penetrer a fond cette matiere. 

2. Nous avons demontre qu'il n'y a des marees de dessous, que tant 
que s est plus grand que C, lorsque la declinaison de la Lune est septen- 
trionale (si cette declinaison est meridionale, il n'y aura point alors de 
marees de dessus dans les pais septentrionaux). Nous disposerons donc 
s plus grand que C, et nous chercherons la-dessus la hauteur de la 
maree de dessous, de la meme fa^on que nous 1'avons trouvee pour celles 
de dessus. 

Nous avons vu que la hauteur E O est la plus petite possible, lorsqu'on 

prend y = — — S, et qu'alors elle devient = b ; apres cela les hauteurs 
Ss 

E O croitront jusqu'au point L, qui fait y = — 1. La difference de ces 

hauteurs fera donc la hauteur de la maree de dessous, qui sera par con- 

sequent = ( — S s + C c) ^ 8, pendant que celle de la maree de dessus 

etoit = (Ss -f- Cc)^^. On pourra faire la-dessus les remarques 

suivantes. 

(a) Les marees de dessus sont egales a celles de dessous, lorsque la 
declinaison de la Lune est nulle. 

(b) Dans les pais septentrionaux, les marees de dessus sont plus 
grandes que celles de dessous, lorsque la declinaison de la Lune est sep- 
tentrionale, et plus petites lorsque cette declinaison est meridionale, et 
generalement les declinaisons de la Lune etant egales, mais de difFerens 
cotes, les marees de dessus deviennent les memes qu'etoient celles de des- 
sous, et reciproquement. 

(c) La difference des deux marees d'un meme jour lunaire est = 
4 C c S s 8 ; si l'on applique ces formules a des cas particuliers, on 
verra que les marees de dessus devroient differer considerablement de 
celles de dessous, s'il n'y avoit pas une autre raison qui doit les rendre 
a peu pres egales. Nous exposerons cette raison ci-dessous, apres 
que nous aurons examine tout ce que la theorie dit sur cette matiere in 
absiracto. 

3. Nous voyons aussi que les durees de deux marees d'un meme jour 
doivent etre selon la pure theorie fort differentes. Voici comme on peut 
determiner ces durees. Si dans le parallele C L on suppose e etre le 
point, la distance duquel au centre de rellipsoide soit la plus petite et 
egale a b, et qu'on tire ensuite par ce point un arc de meridien A e f, 
Tarc D f sera la mesure du tems depuis la haute mer de dessus jusqu'a 




186 TRAITE' SUR LE FLUX 

la basse mer suivante, et Farc f K la mesure du tems, depuis cette bassf; 
mer jusqu'a la haute mer de dessous. Or nous avons vu au IX. §. que 

le cosinus de Tarc D f (y) est = — , 

8s 

ou bien si D M est de 90 degres, le sinus 

de Farc M f vers le point K = La- 

^ Ss 

dessus nous pourrons faire ces remarques. 

(1) Dans les pais septentrionaux la de- 
clinaison septentrionale de la Lune rend 
les jusans des marees de dessus plus longs, 
et les flots des marees de dessous plus 
courts ; et la declinaison meridionale fait 
le contraire avec les memes mesures; et 

lorsque la declinaison est nulle, la duree du jusan est egale a celle du flot 
suivant. 

(2) Si la declinaison de la Lune est egale au cosinus de la latitude du 
lieu, le jusan durera 12 heures lunaires, et il n'y a point de flot pour 
Tautre maree, parce qu'il n'y a point du tout de maree de dessous. 

(3) En general, la difference du tems, entre le jusan de la maree de 
dessus, et le flot de la maree de dessous, se determine par le double de 
Tarc horaire M f, et la difference des durees des deux marees entieres, 

est exprimee par le quadruple de Tarc M f, dont le sinus est = — -. 

Ss 

D'ou Ton voit que plus la declinaison de la Lune est grande, plus cette 
difference est grande aussi. 

Soit, par exemple, la latitude du lieu de 35 degres, la declinaison de la 
Lune de 25 degres, Tarc M f sera de 15 degres, qui repond a une heure 
lunaire ; le jusan durera donc 7 heures lunaires, et le flot suivant 5 heures 
lunaires, et la difference sera de deux heures, et toute la maree de dessus 
durera 4? heures plus que celle de dessous. 

X. — Voila donc comme la chose seroit, si la Terre etoit toute inondee, 
et si les eaux etoient constamment dans une situation d'equilibre parfait. 
Nous avons expose toutes les variations des marees qui sont dues a l'ac- 
tion de la Lune, par rapport aux differentes declinaisons et latitudes, et 
par le moyen de nos remarques on connoit les diff*erences entre les ma- 
rees d'un meme jour, entre celles qui se font dans differentes saisons, 
&c. tant a Tegard des hauteurs des marees, que de leurs durees. II est 
vrai que les deux hypotheses indiquees sont bien eloignees de la veritCj 



ET REFLUX DE LA MER. 187 

et que cela change extremement les mesures des variations ; mais je suis 
pourtant sur qu'il doit y avoir des variations, et qu'elles seront de la 
nature que nous avons trouvee. 

Quant aux irregularites de la surface de la Terre, il n'est pas possible 
d'en deviner les efFets, que fort superficiellement, et comme chaque en- 
droit demanderoit a cet egard des reflexions diiferentes, nous n'entre- 
prendrons point cet examen. Nous ne considererons donc que ce qui 
regarde le defaut de requilibre des eaux, et les mouvemens reciproques 
ou oscillatoires qui en resultent. 

XI. — La Lune change la surface de la Terre de spherique en ellip- 
soidique, et Taxe de rellipsoide passe par la Lune. Cet axe etant diife- 
rent de Taxe de rotation, la figure de la Terre change continuellement, 
quoique toujours la meme a Tegard de Faxe de rellipsoide ; et s'il n'y 
avoit pas quelques causes secondes, les dits changemens consisteroient 
simplement en ce que chaque goute montat et descendit alternativement 
et directement vers le centre. 

II est remarquable encore, que si les eaux se mouvoient librement, sans 
souffi*ir aucune resistance, ces oscillations augmenteroient continuellement 
a rinfini, parce qu'a chaque demi-tour de la Terre, les eaux doivent etre 
censees avoir re^u quelque nouvelle impulsion : c'est une propriete qu'on 
peut demontrer par plusieurs exemples semblables, tires de la mechanique 
et de rhydrodynamique. Mais le grand nombre de resistances qui s'op- 
posent aux mouvemens des eaux, font que celles-ci prennent bien vite 
leur plus grand degre d'oscillations. Ces derniers degres d'oscillations 
peuvent cependant etre censes proportionnels aux forces que la Lune 
exerce sous differentes circonstances, pourvu que les changemens qui se 
font dans la Lune, se fassent assez lentement!, pour donner aux eaux le 
tems qu'il leur faut pour changer leur mouvement. On peut donc dire a 
cet egard, que les changemens qui se font dans la Lune, par rapport a 
ses declinaisons, doivent produire dans les marees a peu-pres les pheno- 
menes que nous avons indiques, et a beaucoup plus forte raison les 
changemens de declinaisons dans Tautre luminaire. Mais les change- 
mens qui sont dus a la rotation de la Terre sont trop vites, pour que les 
marees puissent s'y accommoder, car elles tachent de conserver leur 
mouvement reciproque comme un pendule simple. Cette seule raison 
fait que si les deux marees d'un meme jour doivent etre suivant les dif- 
ferens effets de la Lune fort differentes, la plus grande augmente la plus 
petite, et celle-ci diminue Tautre, de sorte qu'elles sont beaucoup moins 
inegales qu'elles ne devroient etre sans cette raison. Tout ce qu'on peut 



188 TRAITE' SUR LE FLUX 

donc dire a cet egard, est que nos Theoremes sont vrais, quant a leur 
-nature; mais non pas suivant les mesures que nous en avons donnees. 
On peut pourtant, moyennant une autre r^flexion, reparer en quelque 
fa^on cet inconvenient : c'est en supposant que la plus grande maree 
donne a la plus petite, qui est sa compagne, autant qu'elle en perd, et 
les supposer Tune et Tautre a peu-pres ^gales, ce que Fexperience con- 
firme, et de la on tirera la hauteur absolue de chacune, en prenant le 
milieu arithmetique des deux marees, qui conviennent a un meme jour 
lunaire. En corrigeant de cette fa^on les precedentes Propositions, nous 
aurons les Theoremes suivans, qui ne s^auroient plus manquer d'etre assez 
conformes aux observations. 

XII. — La hauteur de la maree de dessus est = (S s + C c) ^ 5 (§. Re- 
marque I.) et la hauteur de la maree de dessous = ( — S s + C c) * 5 
(§. IX. Remarque II.) en prenant donc la moitie de la somme de ces deux 
hauteurs, nous aurons la hauteur moyenne de la maree, qui convient aux 
declinaisons de la Lune, et latitudes du lieu donnees, (SSss + CCcc)5. 
De cette formule, que je crois fort juste pour la supposition de Fentiere 
inondation de la Terre, on pourra tirer les Corollaires suivans. 

(1.) Les declinaisons septentrionales et meridionales de la Lune font 
le meme effet sur les marees, a Fegard de leur hauteur moyenne. 

Cette propriete est confirmee par les observations. Mais il sera 
toujours vrai, que dans les pais septentrionaux la declinaison septen- 
trionale de la Lune augmente un peu les marees de dessus, et diminue 
celles de dessous ; et que la declinaison meridionale fait le con- 
traire : et c'est ce que Texperience confirme aussi. On se souviendra 
donc que nous parlons de la hauteur moyenne des deux marees d'un 
meme jour lunaire. 

(2.) A la hauteur de 45 degres la hauteur moyenne de la maree est 
= (J S S + J C C) 5 = J 5, et par consequent constamment la meme. 

Cest ici une propriete bien singuliere, que quelles que soient les decli- 
naisons des luminaires, les hauteurs moyennes des marees n'en soient 
point changees, et cette propriete nous fait voir, pourquoi dans nos pais 
on s^apper^oive de si peu de changement dans les marees, a Tegard des- 
dites declinaisons. 

(3.) Si la latitude du heu est moins de 45^^. la plus grande maree 
moyenne se fait lorsque les declinaisons des luminaires sont nulles, et les 
marees diminuent, si les declinaisons augmentent. 

L'experience confirme encore cette propriete, et tout le monde convient 
que dans nos pais (dont les marees dependent de la mer du nord, a en- 



I 



ET REFLUX DE LA MER. 189 

viron 25 degres de latitude) les plus grandes marees, tout le reste etant 
egal, se font environ les equinoxes. 

Si la latitude du lieu est plus grande de 45 degres, c'est le contraire. 
(4.) Sous Tequateur, la hauteur de la maree est = S S d, et les varia- 
tions qui dependent des diiFerentes declinaisons de la Lune, y seront le 
plus sensibles : si la declinaison est nulle, la hauteur de la maree y est 
exprimee par d; el si la declinaison est supposee de 1 5 degres (elle peut 
aller jusqu'a pres de 29 degres) la hauteur de la maree moyenne sera de 
0,82'6. La difFerence des hauteurs est de y^ol) ^* 

(5.) Les variations sont moins grandes a cet egard sur les cotes de la 
France, baignees par Tocean, si les marees y sont causees par la mer du 
Nord a la hauteur d'environ 35 degres, la hauteur de la maree, la dech- 
naison de la Lune etant nuUe, y sera exprimee par 0,671 5, et si la Lune 
avoit 25 degres de declinaison, la hauteur moyenne y sera exprimee alors 
par 0,610 d, La plus grande maree est donc a la plus petite a cet egard, 
comme 671 a 610, et la diiFerence sera comme 61, qui fait Fonzieme 
partie de la grande maree. 

Nous voyons par ces exemples, que les variations qui dependent de la 
declinaison de la Lune, sont toujours beaucoup plus petites, que celles 
qui dependent des diiferentes distances de la Lune, et qui peuvent aller 
jusqu'au tiers de la grande maree. Cest pourquoi on a eu beaucoup 
de peine a s'appercevoir des variations qui repondent aux differentes 
decUnaisons. 

(6.) Enfin nous remarquerons que cette formule (SSss + CCcc)^ 
pour les hauteurs moyennes des marees ne doit pas etre poussce au-dela 
du terme des doubles marees, qui est lorsque la latitude du lieu est egale 
a la declinaison de la Lune : car, passe ce terme, nous avons demontre 
qu'il ne doit y avoir qu'une maree par jour, dont la hauteur est exprimee 
par 4 S s C c 5, en vertu de la Remarque (^) de l'Art. IX. II faudra 
aussi donner a ce terme une certaine latitude ; car il y apparence que ce 
n'est qu'a une certaine distance depuis ce terme vers requateur, que les 
marees commencent a etre doubles, et a une autre distance vers le pole, 
qu'elles commenceroient a etre simples, si la mer libre s'etendoit jusques- 
la ; et que dans la zone, qui est entre deux, les marees seront melecs de 
Tune et Tautre espece avec beaucoup d'irregularite. 

XIII. — Nous venons d'exposer au long, et avec toute la precision pos- 

sible, le rapport reel des hauteurs des marees : nous n'avons qu'un mot a 

dire sur 1'heure des hautes marees. Comme c'est toujours au moment 

du passage superieur de la Lune par le meridien, que la mer devroit etre 

VOL. III. p 



190 TRAITE' SUR LE FLUX 

la plus haute, quelle que soit la declinaison de la Lune, et la latitude du 
lieu : nous voyons que si les marees dependoient uniquement de la Lune, 
ces deux sortes de variations ne devroient point apporter de changement 
a rheure de la haute mer, et si Ton veut avoir egard aux forces du Soleil, 
nous avons deja montre au IX. Art. du Chap. VII. les variations qui 
peuvent provenir a cet egard. 

Mais si la declinaison de la Lune et la latitude du lieu n'ont pas d'in- 
fluence directement sur Theure de la haute mer, et si elles n'en ont que 
tres-peu, lorsque Taction de la Lune est combinee avec celle du SoleS, il 
est remarquable, que tant la decHnaison de la Lune, que la latitude du 
lieu, feroient extremement varier Theure des basses mers, sans cette 
cause seconde, que j'ai exposee au long dans le XI. Art. et qui fait que 
les deux marees d'un meme jour lunaire sont beaucoup moins inegales, 
qu'elles ne devroient etre. Cependant cette raison ne s^auroit rendre les 
deux marees tout-a-fait egales, et il sera toujours vrai, ce que j'ai dit dans 
la Remarque (1.) de la III. Partie du §. IX. que c'est tantot le jusan 
d'une maree, qui surpasse en duree le flot de la maree suivante, tantot 
celui-ci qui surpasse 1'autre. Cest une propriete qui n'est point echappee 
aux observateurs des marees ; mais on n'avoit pas remarque les circon- 
stances de ces inegalites, s^avoir que dans les pais septentrionaux, la de- 
clinaison septentrionale de la Lune rend les marees de dessus plus longues, 
et les marees de dessous plus courtes, et que la declinaison meridionale 
fait le contraire. 

On voit donc qu'a cet egard le jusan peut etre different du flot sui- 
vant, mais non pas du flot antecedent; et si Ton remarque quelque 
difference entre le flot et le jusan d'une meme maree, ou cette dif- 
ference sera constante pendant tout le cours de Fannee, et alors il 
faut 1'attribuer a la configuration des cotes ; ou elle n'aura point de loix, 
et ne sera que tout-a-fait accidentelle, et causee par des vents ou courants 
accidentels. 

XIV. — Les differences que nous avons exposees dans ce Chapitre entre 
les deux marees d'un meme jour, tant pour leur hauteur, que pour leur 
duree, nous donnent un moyen de reconnoitre ces deux classes de ma- 
rees, et de distinguer Tune d'avec Tautre, ce qui seroit impossible sans 
cela sur les cotes irregulieres de TEurope, ou nous s^avons que les di- 
verses heures du port comprennent toute retendue d'une maree, ou d'un 
demi-jour lunaire. 

La classe des marees de dessus comprendra celles qui sont plus grandes 
et plus longues, la declinaison de la Lune etant septentrionale, ou qui ^^ 



ET REFLUX DE LA MER. 191 

sont petites et plus courtes, cette declinaison etant meridionale, et Tautre 
classe sera reciproque. 

XV. — Nous avons examine avec toute l'attention requise les efFets des 
differentes declinaisons de la Lune, qui sont la source de tant de proprietes 
tres-remarquables des marees. II ne nous reste donc plus qu'a considerer 
encore les declinaisons du Soleil. Cet examen nous sera tres-facile, apres 
celui que nous venons de faire sur la Lune. 

Nous nommerons la force du. Soleil, sa declinaison etant nulle, C, 
comme nous avons fait toujours dans le corps de ce traite, et nous retien- 
drons les denominations du V. §. Si nous appliquons donc au Soleil 
tout le raisonnement que nous avons fait sur la Lune, nous voyons qu'on 
n'a qu'a substituer dans toutes les formules de ce Chapitre C a la place 
de 8, pour trouver les variations qui proviennent des differentes declinai- 
sons du Soleil dans tous les lieux de la Terre, et de cette maniere tout 
ce que nous avons dit sur la Lune, sera aussi vrai a Tegard du Soleil. 
Si donc la hauteur de la maree, entant qu'elle est produite sous Tequateur 
par la seule action du Soleil au tems des equinoxes, est appellee C, la 
hauteur de la maree sera pour telle declinaison du Soleil, et telle latitude 
du lieu entre les deux cercles polaires qu'on voudra = (T T s s + 
E E c c) C, entendant par T le sinus de la distance du Soleil au pole, et 
par E son cosinus. 

XVL — Pour tirer tout 1'avantage, qui est possible, de nos methodes, 
et leur donner la derniere perfection, nous tacherons enfin de donner 
une formule generale pour tous les cas possibles. Souvenons-nous 
pour cet effet, que nous avons nomme au IX. Chapitre A la hauteur 
des marees qui se font sous la ligne dans les syzygies (ou plutot un jour 
et demi apres) les distances des luminaires etant moyennes, et leurs de- 
clinaisons nulles; et que pour les memes circonstances nous avons 
nomme B la hauteur des marees batardes : voyons a present, comment 
il faut changer ces quantites A et B, lorsque les declinaisons des lumi- 
naires, et les latitudes des lieux sont d'une grandeur quelconque. 

(1.) Quant a la quantite A, comme elle a ete exprimee par la somme 
des forces entieres des deux luminaires, c'est-a-dire, par d + C, on voit 
qu'il faut mettre ici a la place de d sa quantite corrigee (SSss-f-CCcc)a, 
et a la place de C sa quantite corrigee (T T s s -f- E E c c) C, et ensuite 
faire cette analogie 

a + C: A :: (SSss+ CCcc)H- (TTss + EEcc)C: 
(SSss + C Ccc)a + (TTss+ EEcc) e ^ 
a + G 

P2 



# 



192 TRAITE' SUIl LE FLUX 

Cette quatrieme proportionnelle marque la hauteur des marees dans 
les syzygies, lorsque les declinaisons des luminaires, et la latitude du lieu 
sont quelconques, et si la declinaison de Tun et Tautre luminaire est nulle, 
cette quantite devient simplement = s s A. Si Fon nomme donc F la 
hauteur de la maree dans les syzygies, les declinaisons des luminaires 
etant nulles pour un lieu quelconque, il faut supposer s s A = F, et dc 
cette maniere la dite quatrieme proportionnelle devient 

_ (SSss+CCcc)a+ (T Tss + EEcc)e ^ 

s s (a + c) 

Cest cette quantite qu'il faut substituer dans les cquations du §. V. 
Chap. IX. pour A. 

(2.) La quantite qu'il faudra substituer pour B dans ces equations, que 
nous venons de citer, se trouve a-peu-pres de la meme fagon ; il n'y a 
qu'a prendre au heu de la somme ^ + C leur difference d — C, qui expri- 
moit la hauteur des marees batardes. Si l'on appelle donc G la hauteur 
de la maree dans les quadratures, les declinaisons des luminaires etant 
nulles, on trouvera la quantite a substituer pour 

T._(SSss + CCcc)a~(TTss + EEcc):^ p 

^ s s (a ^ c) ^ ^' 

Nous substituerons encore dans l'equation generale du §. V. Chap. 
IX. a la place des lettres S et s (qui y marquent le rapport des dis- 
tances du Soleil a la Terre sous diverses circonstances, et qui se trouvent 
employees dans ce Chapitre dans un autre sens) ces autres lettres D 
et d. 

Apres ces reflexions preliminaires nous considererons le Probleme ge- 
neral des hauteurs des marees sous telles circonstances, qui pourront 
concourir, et qui servira a determiner ces hauteurs avec toute la precision 
possible. Je m'assure que tous ceux qui jetteront les yeux sur cette so- 
lution, verront sans peine, combien j'ai ete attentif a examiner et eplucher 
toutes les circonstances qui peuvent faire varier les marees. 

PROBLEME GENERAL. 

« 
Trouvo' gmeralement la haideur des Marees, en supposant connues toutes les 
circonstances qui pcuvent les faire varier, 

SOLUTION. 

XVII. — II faut connoitre d'abord par obscrvations les quantites F et G, 
qui marquent les hauteurs moyennes des grandes marees, et des marees 



ET REFLUX DE LA MER. 193 

batardes, qui se font un jour et demi apres les syzygies et les quadratures, 
lcs declinaisons des luminaires etant nulles, et leurs distances a la Terre 
etant moyennes. Dans la theorie, deux observations suffisent pour cet 
efFet ; mais il vaut mieux dans rapplication de nos methodes observer un 
grand nombre de fois, comme on a deja fait presque dans tous les ports 
de la France, la hauteur des grandes marees, et celles des petites marees, 
les luminaires se trouvant a peu-pres dans l'equateur, et prendre des unes 
et des autres le milieu arithmetique, que j'appelle F pour les grandes 
marees, et G pour les petites marees. 

II faut ensuite connoitre le rapport moyen, qu'il y a entre les forces de 
la Lune et du Soleil. Nous avons donne plusieurs moyens pour cela 
dans le corps de cette dissertation, et nous nous croyons bien fondes 
de le supposer comme 5 a 2. Quoi qu'il en soit, nous nommons ce rap- 
port d : C. 

II faut apres cela faire attention aux phases de la Lune, ou a Farc 
compris entre les deux luminaires dans le moment du passage de la Lune 
par le meridien: cet arc doit etre diminue de 20 degrcs (§. VII. Chap, 
IX.). Nous nommons le sinus de Farc resultant m, et le cosinus n, et ie 
sinus total 1. 

II faut aussi connoitre les distances des luminaires a la Terre : j'appelle 
d la distance moyenne du Soleil ; D sa distance au tems de la maree 
cherchee ; 1 la distance moyenne de la Lune ; L sa distance au tems de 
la maree cherchee. 

II feut s^avoir encore les declinaisons des luminaires a Tegard de Fe- 
quateur : j'appelle S le sinus de la distance de la Lune au pole, C son 
cosinus ; T le sinus de la distance du Soleil au pole ; E son cosinus. 

Enfin, il faut faire attention a la latitude du lieu, et a la Remarque (a) 
du IX. Art. que nous avons faite pour Pestimation des latitudes. Nous 
appellons le sinus de la distance au pole s et le cosinus c. Toutes ces 
denominations faites, je dis que la hauteur de la maree sera 

UBH + L'dH ^nn (SSss + CCcc)a -K TTss + EEcc)€ ^ P 
L2D^(5 + C) ss d + C 

, FD^S — LM3C^mm^'(SSss + CCcc)a— TTss + EEcc)C^^ 

"^"'L^D^^s-e) ^TT d^^TQ, ^^- 

XVIII. — Je n'ai mis ici cette grande formule, que pour faire voir toute 
Tetendue et toute Texactitude de notre theorie et de nos calculs, car les 
mesures et la table que nous avons donnes au Chapitre IX. ont assez de 
precision dans une question aussi sujette que celle-ci aux variations acci- 
dentelles, qui n'admettent aucune determination. 



194 TRAITE' SUR LE FLUX * 

Je ne dis rien des marees et de leurs changemens extraordinaires, qui 
se font dans la zone glaciale, pour ne point grossir trop ce traite, et pour 
ne point l*embarrasser de choses fort abstraites et assez difficiles. J'ai 
d'ailleurs deja expose en gros et meme assez au long ce qui en est. 

Quant enfin a Fheure des hautes mers, j'ai fait voir qu'elle n'est point 
changee par les declinaisons des luminaires, ni par la latitude du lieu; 
nous avons donc deja donne toute la perfection possible dans les Cha- 
pitres precedens a cette autre grande question. Pour Theure des basses 
mers, qui dependent beaucoup des declinaisons des luminaires, et de la 
latitude du lieu, nous en avons fait voir toutes les variations et proprietes 
dans ce Chapitre. 



CHAPITRE XI. 

Qui contient V Ea^plication et Solution de quelques PJmiomenes et 
Questions, dont on n*a pas eu occasion de pdrler dans le corps 
de ce Traite, sur-tout d Vcgard des Mers dctachees, soit en 
jmrtie, soit pour le tout, de VOcean. 

I. — buivANT quelle progression les eaux montent et descendent dans une 
meme maree, par rapport aux tems donnes. 

Cette question depend de toutes les circonstances que nous avons con- 
siderees dans ce traite ; mais les variations a l'egard du changement de 
ces circonstances, ne font pas varier beaucoup la loi, suivant laquelle les 
eaux montent et descendent ; je ne parlerai donc que du cas le plus 
simple, qui est lorsque la latitude du lieu, et les declinaisons des lumi- 
naires sont nulles, et lorsqu'en meme tems les luminaires sont dans leurs 
syzygies, ou dans leurs quadratures. Que Ton exprime donc tout le 
tems depuis la haute mer jusqu'a la basse mer par un quart de cercle, 
dont le rayon est egal a l'unite : je dis que les descentes vei'ticales des eaux 
depuis la haute mcr doivcnt etre exprimees par les quarres des sinus des arcs, 
qui representent les tems donnes, Si Ton considcre lcs marees depuis le 
commencement du flot, il faudra dire que tes elevations verticales des eaux^ 
sont en raison quarree des sinus, qui repondent aux tems donnes §. IIL 
Chap. V. Ceux qui voudront rendre cette Proposition plus gcnerale, 
pourront consultcr le §. VIII. Chap. V. et si on y ajoute cnfinles§.§. VI. 



ET REFLUX DE LA MER. 195 

et VII. du Chap. X. on verra facilement, ce qu'il faudroit fliire pour tous 
les cas possibles. Mais la loi generale ne differera pas beaucoup de celle 
que nous venons d'exposer; et cela d'autant moins que les deux marees 
d'un meme jour, qui devroient etre souvent fort inegales, ne laissent pas 
de se composer a une egalite mutuelle par la raison exposee au long au 
§, XI. Chap. X. On peut donc se tenir sans peine a la regle que nous 
venons d'etablir. 

11 s'ensuit de cette regle, que les baissemens ou elevations des eaux, 
qui se font dans de petits tems egaux, sont proportionnels aux produits 
des sinus par les cosinus repondans des arcs horaires ; de sorte que si on 
partage tout le tems du flux ou du reflux egalement, les variations egale- 
ment eloignees en de^a et en dela de ce terme, sont egales : ces variations 
sont les plus sensibles au milieu du flux ou du reflux, et la variation totale 
depuis le commencement du flux ou du reflux jusqu'au milieu, fait pre- 
cisement la moitie de toute la variation d'une maree. On voit enfin que 
les variations doivent etre insensibles au commencement et a la fin de 
chaque flux et reflux. 

Toutes ces Propositions sont confirmees entierement par les observa- 
tions qu'on a faites sur cette matiere, rapportees par M. Cassini dans les 
Memoires de 1'Academie des Sciences pour Tannee 1720. pag. 360. II 
semble seulement qu'il y a une erreur de quelques minutes dans la deter- 
mination de Theure de la basse mer, erreur presque inevitable dans cette 
sorte d'observations. Mais il faut remarquer, pour voir plus parfaitement 
i'accord de notre regle avec les observations, que tout le tems du flux et 
reflux est de six heures lunaires, pendant que les observations ont ete 
prises sur des heures solaires. 

II. — Pourquoi il n'y a point de marees sensibles dans la mer 0as- 
pienne, ni selon quelques-uns dans la mer Noire, et pourquoi elles 
sont tres-petites dans la mer Mediterranee, et de quelle nature sont ces 
marees. 

On ne scauroit bien repondre a ces questions, sans considerer aupara- 
vant le Probleme principal, qui est de s^avoir les marees, lorsque la mer 
n'a qu'une certaine etendue en longitude, et c'est un Probleme penible 
pour le calcul, et assez delicat pour la methode. Pour le rendre d'abord 
plus simple, nous supposerons les luminaires en conjonction et dans le 
plan de Tequateur, et que c'est aussi sous requateur, que Ton cherche 
les marees. 

Ressouvenons-nous que sans Taction des luminaires, requateur seroit 
parfaitement circulaire, comme b g d h, et que les luminaires se trouvant 

P4 



196 



TRAITE' SUR LE FLUX 



II 



dans Taxe D B, cette figure est changee en rellipse B G D H, lorsqiie 
toute la Terre est inondee, et que les eaux peuvent couler de tous cotes. 
Nous avons demontre aussi au III. §. Chap. V. que dans cette supposition, 
k petite hauteur y z (dont les variations par rapporfa ses difFerentes situa- 

lions expriment les variations des marees au point z) est = ^ ^ ^ "" x C, 

3bb 

«lans laquelle formule on suppose C a = s ; C b = b, et la difFerence entre 

la plus grande C B et la plus petite C G = C. 

Supposons a present que la mer n'a qu'une certaine etendue en ]on- 
gitude, s^avoir celle de z x, et qu'on tire par le centre C et Textremite x 
la droite C s. Cela pose on voit bien que 
la surface de la mer ne peut pas etre en y s, 
comme elle seroit, si toute la Terre etoit 
inondee; car Tespace y C s est plus grand 
que Tespace z C x, et il faut que cet espace 
soit constamment le meme ; puisque la quan- 
tite d'eau dans une mer doit etre supposee 
la meme pendant les revolutions de la Terre: 
mais la surface de Teau prendra la courbure 
o r, et voici quelle sera la nature de cette 
courbure o r; il faut premierement, que 
Tespace o C r soit constamment le meme 

que Tcspace z C x, et en second lieu, que la courbe o r soit semblable a 
la courbe y s, ou plutot la meme, puisque toutes les petites lignes, telles 
que s X, sont incomparablement plus petites que le rayon de la Terre ; et 
ainsi la petite perpendiculaire s r sera egale a la petite perpendiculaire 
y Of de meme que toutes les perpendiculaires comprises entre les termes 
s ety. 

On voit donc deja que ce ne sont plus les s x et y z, dont les variations 
marquent les variations des marees pour les points x et z, et que ces 
variations sont exprimees ici par celles des petites lignes r x et o z. De 
la on peut conclure par la seule inspection de la figure, que les marees 
doivent etre d'autant plus petites, que la mer est moins etendue en longi- 
tude ; que ces marees ne peuvent etre que tout-a-fait insensibles dans la 
Mer Caspienne et dans la Mer Noire, et fort petites dans la Mer Mediter- 
ranee, dont la communication avec 1'ocean est presque entierement coupee 
au Detroit de Gibraltar. On en peut meme tirer des proprictes tres sin- 
gulieres de cette sorte de marees. 1°. Que la plus haute mer ne se fait 
pas ici au moment du passage des deux luminaires par le meridicn, 



A 




3 


y 


X \ 


a ^ 


r 






1 


^ 


c 


V 






^ 


^^^ 


a^ 



ET REFLUX DE LA MER. 197 

comme dans Tocean, ni 6 heures lunaires apres, mais au milleu, si la mer 
a peu d'etendue en longitude. 2°. Que les marees sont les plus grandes 
aux extremites orientales et occidentales z et x, et qu'elles sont incom- 
parablement plus petites au milieu t. 3^. Que la haute mer dans Fune 
des extremites se fait au meme moment que la basse mer dans Tautre ex- 
tremite. Voila en gros les proprietes des marees dans ces mers : le cal- 
cul en fera connoitre le detail. 

Pour ne point ennuyer le lecteur par une trop longue suite de raisonne- 
mens purement geometriques, et dans plusieurs circonstances assez com- 
pliquees et chargees de calcul, je ne mettrai ici que le plus precis. 
. Soit B b + G g = C, qui marque la variation pour la mer Hbre de 
tous cotes : foit Tarc z x, qui marque Tetendue de la mer en longitude 
= A. Le rayon de la Terre que nous prenons pour le sinus total = 1 ; 
qu'on tire x n perpendiculaire a C B, et soit Pespace z a n x z = S. 
Cela pose, on trouvera d'abord y z x s = f A C. Cet espace devant etre 
egal a Fespace y o r s, qui est egal a la petite s r multiplie par A, on en 

tire s r = f C — ^ C 
^ A 

Si on suppose apres cela C n = n et C a = s, on en aura s x = n n G 

S 
— i C, et par consequent rx = nn£ — C + — C, etce sont les diife- 

rientes valeurs de r x, en considerant n et S comme variables, qui 
marquent les differentes hauteurs de la mer au point x, qui est a l'ex- 
tremite occidentale de la mer. 

De cette valeur r x on peut tirer g^ometriquement toutes les proprietes 
des marees, quelque etendue qu'on suppose a la mer, et tout ce que nous 
avons trouve pour le point x, peut etre determine de la meme fa^on pour 
tel autre point dans l'arc z x qu'on voudra; mais on remarquera sur-tout 
une propriete generale, qui est que Tarc horaire compris entre la haute et 
la basse mer, c'est-a-dire l'arc compris entre la plus grande et la plus 
petite r x, est toujours de 90 degres. Pour le demontrer, il faut supposer 

la differentielle r x = o, et faire — d S = " ^ ^ g. d n, a cause de la 

V 1 — nn 

valeur constante de A, d'ou Fon tirera cette equation 2 A n V 1 — nn 
+ s s = o, qui marque dcja la propriete generale que nous venons d'in- 
diquer. Cette propriete donne ensuite la hauteur de la maree, exprimee 
par la difference de la plus grande et de la plus petite valeur de r x = 
^2 n n — 1 + n VI— nn~^s\/l— ssj ^^ ^^ ^^^ remarquera que dans 



198 



TRAITE' SUR LE FLUX 



toutes ces formules, s est donnee en n et en constantes, a cause de Tarc 
A donne. 

Nous appliquerons ces equations generales a deux sortes de cas parti- 
culiers ; premierement, lorsque A est de 90 degres ; et en second lieu, 
lorsque cet arc est fort petit. 

1. Si A est de 90 degres, on aura s = V i — ^"11, et le lieu de la 
haute ou de la basse mer a Tegard du point fixe B sera determine par 
cette equation 

— 2AnVl — nn + 2nn — 1 =0, qui donne 

A 



C n, ou n = V f^ + 






,9602, 



2 V AA 
qui marque que Tarc x b est d^environ 16 
degres 13 minutes et que la hauteur de la 
mai'ee sera de 0,844 Q. Nous voyons donc 
que si la mer avoit 90 degres d'etendue en 
longitude, la haute mer se feroit dans les 
syzygies 1 heure 5 minutes plus tard que si 
toute la Terre etoit inondee, et que la hau- 
teur de la maree seroit de 156 miUiemes 
parties plus petite. 

2. Supposons a present que Tetendue de 
la mer en longitude soit tres-petite, c'est-a- 
dire, que A exprime un arc circulaire fort 
petit, et soit la corde de cet arc = B : la geometrie commune donne 

s = n — inBB + ^ V4BB— 4nnBB + nnB^— B*. 
Et B etant supposee fort petite, on changera la quantite radicale en suite, 
et Pon negligera les quantites afFectees de B ^ (le calcul fait voir a la fin, 
qu'il faut retenir les termes afFectes de B B) et de cette maniere on 
trouvera 





J< 


^ 


^ 


3 

a 


X 




y 


V 




\\ 




r 




v\ 




^\ 


0- 


L 




^ 


c 


\ 

H 




\ 




S 


i^ 


/ 



s = n— BVl— nn — JnBB. 
On remarquera apres cela, que la difference entre Parc A et sa corde 
B, convertie en suite commence par le terme i B ^, lequel pouvant etre 
neglige pour notre dessein, on mettra A a la place de B, et on aura 

s= n — A V 1 — nn — JnAA. 
En substituant dans Pequation exposee ci-dessus 

2An V l — nn — nn + ss = o 
la valeur trouvee pour s, et negligeant toujours les termes affectes de A ^ 
et de A *, nous aurons simplement n = V ^. 



ET REFLUX DE LA MER. . 199 

L*arc xb est donc pour ce dernier cas de 45 degres, et la haute 
mer, si elle etoit sensible, ne se feroit par consequent que trois heures 
lunaires apres le passage de la Lune par le meridien. La hauteur de la 
maree etant generalement exprimee, comme nous avons vu ci-dessus, par 

Ann— 1 + n V i— nn — s V 1— -ssj ^ e, H faudra substituer dans 

cette expression les valeurs trouvees pour n et s ; ce que faisant avec les 
memes precautions, que nous avons employees en cherchant la valeur de 
s, on trouvera a ]a fin simplement la hauteur de la maree = A C. 

Cette expression fait voir que dans les petites mers, les hauteurs des 
marees sont proportionnelles aux etendues que ces mers ont en longi- 
tude, et les marees se trouveront par cette analogie. Comme le sinus 
total est a 1'arc longitudinal, que la mer renferme, ainsi la hauteur de 
maree dans la mer qui est supposee inonder toute la Terre, exprimee par 
C, sera a la hauteur de la maree en question. 

Appiiquons maintenant tout ce que nous avons trouve pour en tirer les 
proprietes des marees dans la Mer Caspienne. Supposons pour cet effet, 
que dans les conjonctions et oppositions des luminaires, la hauteur des 
marees grandissimes dans la Mer du Sud (dans laquelle les marees ne 
s^auroient manquer d'atteindre presque toute la hauteur, qu'elles auroient, 
si toute la Terre etoit inondee) est sous Tequateur de 8 pieds : c'est la 
hauteur que les relations de voyages m'ont fait adopter pour la mer libre, 
et que je crois qu'on remarquera sur les cotes escarpees des petites Isles 
situees pres de Tequateur dans ladite Mer du Sud : cela etant, j'ai de- 
montre dans la Proposition (II.) du XII. §. du Chapitre precedent, que 
les grandes marees ne seront plus que de 4 pieds a la hauteur de 45 de- 
gres, ou je suppose le milieu de la Mer Caspienne. Si nous donnons 
apres cela a cette mer dix degres d'etendue en longitude, cet arc fait en- 
viron la sixieme partie du rayon, et la hauteur des grandissimes marees 
devroit etre par consequent aux extremites orientale et occidentale de la 
Mer Caspienne d'environ huit pouces : mais elles seront nulles au milieu 
de la mer. Je suppose cette agitation de la mer trop petite pour avoir pii 
etre remarquee par les gens qui ont ete sur les lieux, et qui sans doute 
n'ont pas fait un examen fort scrupuleux la-dessus, et qui n'auroient pas 
manque de Tattribuer a des causes accidentelles, s'ils avoient remarque 
quelque petite elevation et baissement des eaux. J'espere que des obser- 
vations plus exactes confirmeront un jour ce que je viens d'indiquer sur 
les marees de la Mer Caspienne. 

On doit faire le meme raisonnement sur la Mer Noire, qui peut etre 



200 TRAITE' SUR LE FLUX 

consideree comme detachee de la mer Mediterranee, a cause du peu de 
largeur du Detroit qui est entre deux. II est a remarquer qu'on a observc 
dans cette mer des marees, quoique tres-petites. 

On voit aussi que les marees dans la mer Mediterrannee doivent etre 
beaucoup plus petites, que dans Tocean, sur-tout si Ton fait attention que 
cette mer n'est tout-a-fait ouverte que depuis Tlsle de Chypre jusqu'a 
celle de Sicile. 

IIL — Comment les marees peuvent etre beaucoup plus grandes sur les 
cotes, dans les Bayes, dans les Golfes, &c. que dans la Mer Libre de tous 
cotes. 

Pour repondre a cette question, il faut encore faire reflexion a ce que 
j*ai deja dit, que si les luminaires restoient a un meme Heu, et que le 
mouvement journaHer de la Terre se fit avec une lenteur infinie, les eaux 
qui inondent la Terre, ne pourroient point manquer d'etre dans un par- 
fait equiUbre, et les marees auroient par-tout les hauteurs qu'on leur a 
presciites dans cet ouvrage, sans que la configuration des cotes ou autres 
causes semblables les put deranger, pourvu que Tendroit en question 
communiquat avec Tocean : d'ailleurs les eaux ne feroient que monter et 
descendre verticalement, excepte aux cotes, qui alternativement sont 
baignees, et restent a sec, et ausquelles les eaux auroient quelque mouve- 
ment horisontal, quoi qu'infiniment lent, et la direction de ce mouvement 
des eaux dependroit dans ce cas, aussi bien que dans les autres, de la 
direction de la pente des cotes. Mais la vitesse du mouvement jour- 
nalier de la Terre, qui fait que dans le tems d'un jour tout Tocean doit 
faire quatre mouvemens et agitations reciproques, rend ces mouvemens 
fort sensibles. Comme outre cela la mer n'inonde pas toute la Terre, et 
qu'il y a de grands golfes, canaux, &c. qui par Televation et baissement des 
eaux, sont tantot plus, tantot moins pleins, il faut que ceux-ci re^oivent 
les eaux et les renvoyent alternativement vers des endroits qui s'empliront, 
pendant que les autres se vuideront, et de la doivcnt provenir des mouve- 
mens horisontaux, qu'on appelle communement flux et reflux. Ce sont 
ces mouvemens horisontaux, qui se faisant vers des endroits plus serres, 
peuvent produire les grandes marees, qui vont dans de certains endroits 
au-dela de 60 pieds ; c'est aussi cette raison qui rend les marees plus 
grandes dans le Golfe de Venise, qu'elles ne sont dans la mer Mediter- 
rannee. Cest ici qu'on peut faire un grand usage de ce que divers auteurs 
ont donne sur le mouvement des eaux, et je m'assure que moyennant les 
connoissances qu'on a deja sur cette matiere, on pourroit rendre exacte- 
ment raison de tous les difierens phenomenes, qui s'observent sur les 



ET REFLUX DE LA MER. 201 

marees aux endroits difFeremment situes. Mais un tel examen demanderoit 
des volumes, et des annees pour les faire. 

IV. — Quelie est en gros la nature des marees au Detroit de Gibraltar. 

Les marees doivent sans doute etre beaucoup plus compliquees, et 
paroitre plus irregulieres au Detroit de Gibraltar, que dans d*autres en- 
droits, parce qu'il s'y fait un concours de deux sortes de marees, dont 
Tune vient de Focean, et Tautre de la Mediterranee ; et on voit facile- 
ment, que si les marees consistoient simplement a elever et baisser les 
eaux, sans causer des courans, il y auroit sur ces cotes quatre marees par 
jour, c'est-a-dire, que les eaux monteroient et descendroient quatre fois, 
parce que les marees des deux mers ne se font pas en meme tems : mais 
comme il se forme des courans reciproques, chaque courant tache a se 
conserver, et de la il se forme des lisieres, qui ont chacune des mouve- 
mens difFerens : celles qui sont sur les cotes de chaque cote, paroissent 
devoir etre attribuees aux marees de la Mediterranee, et deux autres qui 
les touchent, aux marees de Tocean : on remarque meme au miUeu une 
cinquieme lisiere, dont le mouvement n'est pas si irregulier que cekii des 
quatre auti'es, et qui ne fait voir presque aucun rapport avec la Lune : il 
semble que ce courant ne doit sa source, qu'a un defaut d'equilibre entre 
les deux mers. 

Je dirai a cette occasion, qu'il peut arriver de meme, que les marees 
sont formees dans un certain port par le mouvement des eaux, qui viennent 
de deux differens cotes et a divere tems : il semble qu'il faut tirer de la 
qu'il peut y avoir des endroits oii le flot dure constamment plus long-tems 
que le jusan, et qu'il y en a d'autres oii il arrive le contraire. Cette meme 
cause peut encore produire plusieurs sortes de phenomenes particuliers a 
de certains endroits. 

V. — Pourquoi les petites marees sont beaucoup plus inegales, par 
rapport a leur grandeur, que les grandes marees. 

Nous avons deja vu que les petites marees qui suivent les quadratures, 
doivent etre fort susceptibles de plusieurs irregularites, tant par rapport 
au moment de la haute et basse mer, que par rapport a la haut^ur de la 
maree. 

II me semble qu'on doit outre cela remarquer les grandes inegalites 
qui regnent parmi les petites marees, quoique tout-a-fait regulieres ; 
pouvant sous diverses circonstances croitre jusqu'au double, pendant que 
les grandes marees ne croissent que d'environ un quart. Pour rendre 
raison de cette observation qu'on a faite, il faut se ressouvenir des circon- 
stances essentielles et fondees dans la nature des marees, qui peuvent lcs 



202 TRAITE' SUR LE FLUX 

rendre, tantot plus grandes, tantot plus petites dans un meme lieu, 
quoique Tage de la Lune ne difFere point. 

Nous avons vu que ce sont les diverses distances des luminaires a la 
Terre, et leurs differentes declinaisons, qui peuvent encore changer les 
hauteurs des marees, lorsque l'age de la Lune, et la latitude du heu sont 
les memes. Le calcul nous a enseigne aussi, que Teffet de la diversite 
des declinaisons des luminaires est beaucoup plus petit que celui de la 
diversite des distances : comme donc la diversite des distances est beau- 
coup plus grande dans la Lune, que dans le Soleil, et que le Soleil a en 
meme tems beaucoup moins de force que la Lune, on peut pour estimer 
en gros les variations des petites marees, et les variations des grandes 
marees, simplement faire attention aux distances de la Lune : nous avons 
trouve que la diversite des distances peut faire varier Taction de la Lune 
depuis 2 a 3, Faction du Soleil que nous considerons comme constante, 
etant exprimee par 1'unite. Cela etant, et les hauteurs des petites marees 
etant aussi proportionnelles aux differences des actions des deux lumi- 
naires, nous voyons que les hauteurs de ces petites marees doivent etre 
contenues dans les termes de 2 — 1, et 3 — 1, ou 1 et 2, pendant que 
les hauteurs des grandes marees, qui sont proportionnelles aux sommes 
des actions des luminaires, seront renfermees dans les termes de 2 + 1 
et 3 + 1, c'est-a-dire, de 3 et 4. 

Les dits termes sont confirmes par les observations, comme par exemple, 
par celles .qui sont exposees dans les Memoires de l'Academie de 1713. 
pag. 287. et 288. Nous voyons de cette raison, que les variations ab- 
solues doivent etre a peu-pres les memes dans les petites marees et dans 
les grandes marees, et c'est ce que les observations citees confirment aussi; 
et comme ces variations sont par consequent plus sensibles dans les 
petites marees que dans les grandes marees, il faudra peut-etre se servir 
plutot des premieres, que des autres, pour examiner par des observations 
ce que les diverses circonstances peuvent contribuer pour faire varier les 
hauteurs des marees. 

VI. — Pourquoi les marees etant montees plus haut, et ayant inonde 
plus de terrain pendant le flot, descendent en meme tems davantage, et 
laissent plus de terrain a sec pendant le jusan, et quelle proportion il y a 
entre les montees et descentes. 

Nous voyons la premiere question indiquee, comme fort remarquable 
dans les Memoires de l'Acad6mie des Sciences de 1712. pag. 94. La 
raison en est que les marees font une espece de mouvement oscillatoire, 
ou de balancement ; car il y a dans ces balancemens un point d'equilibre. 



ET REFLUX DE LA MER. 203 

qui doit passer pour fixe, et au-dessus duquel Teau doit etre censee 
s'elever dans la haute mer, et se baisser dans la basse mer. On pourroit 
croire d'abord que les elevations et descentes de Teau a Fegard du point 
fixe, sont constamment proportionnelles, et en ce cas notre Probleme 
seroit resolu dans toute son etendue avec beaucoup de facilite. Mais il 
y a une toute autre proportion bien plus variable et bien plus compliquee, 
que nous allons rechercher, d'autant que ce n'est pas proprement la hau- 
teur des marees dans le sens que nous lui avons donne jusqu'ici, qu'il im- 
porte davantage de connoitre dans la navigation pour rentree et sortie 
des vaisseaux dans les ports ou les rades : il s'y agit plutot de connoitre 
la hauteur absolue des eaux, lorsqu'elles sont arrivecs a leur plus grande 
ou leur plus petite hauteur ; et pour cet efFet, il faut s^avoir dans chaque 
maree, tant Felevation des eaux a Tegard du point fixe, que leur baisse- 
ment : jusqu'ici nous n'avons determine que la somme de ces v^riationi 
sous le nom de hauteur de la maree. 

Voyons d'abord comment il faudra determiner le point fixe : il est vrai 
qu'il est en quelque fa^on arbitraire, cependant il paroit le plus convenable 
de le placer la, ou atteindroit la surface de la mer, si les marees etoient 
nulles. Un tel point doit ctre considere comme demeurant constamment 
a la meme hauteur; car les causes qui peuvent le hausser ou le baisser, 
telles que sont les vents, les courans inegaux, &c. ne sont que passageres 
et purement accidentelles. II s'agit donc a present de s^avoir, combien 
les eaux montent au-dessus de ce poiiit fixe dans la haute mer, et combien 
elles descendent au-dessous du meme point dans la basse mer. Cette 
question depend de toutes les circonstances qui concourent pour former la 
hauteur absolue des marees, et que nous avons examinees au long avec 
tout le soin possible. Ce seroit donc se jetter de nouveau dans les memes 
difficultes, si nous voulions traiter la prcsente question avec la meme 
rigueur, et aussi scrupuleusement, que nous avons fait Tautre ; c'est pour- 
quoi nous ne considererons que les circonstances fondamentales et prin- 
cipales, qui sont que la Terre est toute inondee, que les luminaires sont 
dans le plan de Fequateur, et que la latitude du lieu est nulle, faisant ab- 
straction de toutes les causes secondes : ceux qui voudront ensuite une 
solution plus exacte, n'auront qu'a consulter les Chapitres VIIL et IX. 
pour y arriver. 

Soit donc encore (comme nous avons suppose au Chap. V., b £ s ^ b 
Tequateur, et que b marque le lieu du Soleil, Z celui de la Lune, et z le 
point de la plus grande elevation des eaux, exprimee par y z; si I'on 
prend un arc de 40 degres z s, le point s marquera 1'endroit du plus 



204. 



TRAITE' SUR LE FLUX 



grand balssemeiit des eaux, exprime par s x : nous avons demontre la- 
dessus au VIIL §. du Chap. V. qu'on a generalement 

2bb-3.. ^, 2bb~3gg ^ 5. 
^ 3bb 3bb 

dans laquelle equation b marque le sinus total, c le sinus de Pangk 
b C z, determine au §. XI. Chap. V. g le sinus de Tangle C C z, exprime 
au §, XIII. Chap. V. C la hauteur des marees entant qu^elles seroient 
produites par la seule action de la Lune. Nous avons demontre pareille- 
ment au III. §, Chap. VIII. qu'en regardant s x comme positive, de ne- 
gative qu'elle cst par rapport a y z, on a generalement 



sx = 



bb 



Sd.^^^^bb 



11X8. 




3bb ■ 3bb 

Or comme les points z et s, qui sont de niveau, marquent le point fixe 
dans le sens que nous venons de lui donner, on voit que ces quantites 
y z et s X marquent precisement Televation des 
caux au dessus du point fixe, et leur baisse- 
ment au-dessous du meme point, tels que 
nous sommes proposes de les determiner. Des 
valeurs que nous venons de trouver, on pourra 
tirer les Corollaires suivans. 

(a) La difFerence entre chaque elevation au- 
dessus du point fixe, et la descente au~dessous 
du meme point, est toujours = J C -f i ^ : d'ou 
nous voyons deja que Tune croissant ou dimi- 
nuant, Fautre doit croitre ou diminuer aussi, 
qui est le phenomene observe par M. Cassini. 
viron le tiers de la plus grande hauteur de maree : je dis environ, parce 
que les quantites C et ^ sont variables, quoique leurs variations soient 
beaucoup plus petites que celles qui resultent des difFerens ages de la 
Lune, et a cet egard on peut dire que la difFerence dont il s'agit ici, est 
presque constante. 

(b) Dans les syzygies (ou plutot un jour et demi apres) les quantites 
§ et a doivent eire supposees = o, et ainsi on a y z = | C -|- | 5, et 
s, x = ^ C + J 5, la montee est donc dans les grandes marees toujours 
double de la descente. Cette propriete servira a determiner commode- 
ment le point fixe dans chaque port, et elle le donne de 5 pieds 3 pouces 
plus haut pour Brest, qu'il n'a ete choisi par les observateurs, si on la 
compare avec Tobservation, qui est au miUeu de la page 94? des Mem. de 
TAcad. des Scienc. de 1712. 



Cette difFerence Fait eft- 



ET REFLUX DE LA MER. 205 

(c) Dans les quadratures (ou un jour et demi apres) il faut faire ^ = o, 
et G = h, ce qui donne yz = |S — ^C, etsx = ^5 — |C: d'ou Ton 
voit que la montee et descente des eaux a Tegard de notre point fixe, ont 
une raison variable dans les petites marees, qui depend du rapport qui se 
trouve alors entre la force lunaire d, et la force solaire C. Nous avons 
suppose dans cet ouvrage ce rapport moyen comme 5 a 2, et ce rapport 
pose, il faut dire que dans les petites marees, Felevation des eaux au- 
dessus de notre point fixe, est 8 fois plus grande que leur baissement au- 
dessous du meme point. Dans les marees minimes nous avons suppose 
5 = 2 €, et dans les plus grandes des petites marees d = 3 Q. 

(d) Nous avons fait voir, que le point z n*est jamais eloigne beau- 
coup du point C, cela etant et faisant ]e sinus de Fangle b c <^ (qui 
marque Tage de la Lune) = m, on pourra supposer g = o et c = m, ce 
qui donne 

b b • b b 

Si Ton applique toutes ces regles aux observations faites en differens tems 
et lieux, on y troiivera un grand accord, si l'on clioisit bien la juste 
proportion entre les quantites d et C. Mais on remarquera dans cet 
examen, que les vents et les courans peuvent faire varier le point fixe 
que nous avons adopte. 

CONCLUSION. 

Je finirai ce discours par quelques refiexions sur notre theorie. Elle 
suppose avant toutes choses une pesanteur vers les centres du Soleil et de 
Ja Lune, pareille a celle qui se fait vers le centre de la Terre, et que cette 
pesanteur s'etend au-dela de la region de la Terre. Cest le seul 
principe qui nous soit absolument necessaire, et il n'y a personne qui le 
conteste. La rondeur des luminaires prouve suilisamment la pesanteur 
qui se fait vers le centre ; et quelle raison pourroit-on avoir pour donner 
des limites a cette pesanteur? Aussi a-t-elle ete reconnue depuis les 
siecles les plus recules ; mais on n'en a connu toute Tevidence et toutes 
les loix, que depuis la philosophie immortelle de M. Newton. Les pre- 
mieres consequences que nous avons tirees de ce principe pour l'exphca- 
tion des marees, sont purement geometriques. Nous pouvons donc eti'e 
assures de connoitre la vraie cause des marees, quoique nous en ignorions 
encore la cause premiere, qui est la cause generale et physique de la pe- 
santeur. S'il y avoit quelqu'un qui eut devine cette premiere cause, il 
VoL. III. Q 



206 TRAITE' SUR LE FLUX 

meriteroit d'autant plus la preference, que son systeme renfermeroit ne- 
cessairement la vraie cause universelle de la pesanteur : cette consequence 
sera la pierre de touche pour prouver la verite d'un tel systeme sur les 
marees. II en est de ceci, comme si Ton demandoit, par exemple, 
pourquoi la surface de l'eau dans un reservoir se met toujours horison- 
talement: on voit qu'on ne s^auroit en dire la premiere cause, sans 
qu'elle renferme la vraie theorie sur la pesanteur et sur la fluidite, qui 
seules peuvent etre la vraie cause du phenomene en question. Cette 
seule reflexion m'a fait quitter quelques conjectures qui se presentoient a 
mon esprit sur la cause materielle des marees, quoi qu'elles me parussent 
d'ailleurs assez plausibles. Je n'ai fait au reste en employant ce principe, 
que ce que Kepler a deja fait. M. Newton est alle beaucoup plus loin 
sur cette matiere, apres avoir demontre auparavant que la pesanteur vers 
chaque corps dans le systeme du monde diminue en raison quarree reci- 
proque des distances : d'ou il a tire plusieurs nouvelles proprietes sur les 
marees, lesquelles s'aCcordant avec les observations, pourroient confirmer 
davantage son principe sur la diminution de la pesanteur, s'il avoit besoin 
d'autres preuves. Ce principe n'a pourtant pas beaucoup d'influence, si 
je me souviens bien, sur les variations des marees, qui dependent des 
phases de la Lune, des declinaisons des luminaires et de la latitude des 
lieux, soit a 1'egard des hauteurs des marees, soit a Tegard des marees. 
II ne sert principalement qu'a determiner au juste les variations qui de- 
pendent des differentes distances des luminaires a la Terre, et que les 
observations n'ont pu determiner avec assez de precision ; il n'y en a 
cependant aucune qui lui soit contraire, et plusieurs observations bien 
detaillees, sont tout-a-fait conformes aux resultats que ce principe donne. 
On remarquera enfin que ce que j'ai dit sur la pesanteur terrestre, que 
j'ai consideree comme formee par Fattraction universelle de la matiere, 
n'a absolument aucun rapport avec aucune variation des marees; ces 
marees pourront subsister telles qu'elles sont, quelle que soit la nature de 
la pesanteur a cet egard : tout cet examen ne nous a servi que par rap- 
port a la question, quelle devroit etre la hauteur absolue de la hauteur 
des marees, sans le concours d'une infinite de causes secondes, qui peu- 
vent augmenter et diminuer ces hauteurs absolues, de sorte que quel 
qu'/3ut ete le resultat de ces recherches, notre theorie n'en eut pu souffrir, 
aucune atteinte. J'espere avec tout cela, qu'on n'aura pas trouve ces 
recherches inutiles a Tegard de plusieurs circonstances qui en ont ete 
eclaircies, outre que nos determinations donnent, en choisissant les hypo- 
theses les plus vraisemblables, des nombres tels que la nature de la chose 



ET REFLUX DE LA MER. 207 

paroit exiger. Nous pouvons donc etre tout-a-fait surs de n'avoir rien 
admis d'essentiel dans toutes nos recherches, qui ne soit au-dessus de 
toute contestation. 

Quant a Tapplication de nos principes, a Pusage que j'en ai fait, et au 
succes de mon travail, ce n^est pas a moi a faire cet examen, sur-tout ne 
pouvant le faire, sans entrer dans un certain parallele avec un aussi grand 
homme qu'etoit M. Newton. Si j'ai eu quelques succes, je dois avouer a 
rhonneur de ce s^avant philosophe, que c'est lui qui nous a mis en etat 
de raisonner soHdement sur ces sortes de matieres ; et si j'ose me flatter 
de quelque merite, c'est celui d'avoir traite notre sujet avec une attention 
et une exactitude conforme aux grande vues de TAcademie, et au respect 
qu'on doit a cet illustre corps. 



Q« 



DE 

CAUSA PHYSICA 

FLUXUS ET REFLUXUS MARIS. 

A D.D. MAC-LAURIN MATHEMATICARUM PROFESSORE, 
E SOCIETATE ACADEMIiE EDINBURGENSIS. 



Opinionum commenta delet dies, natuns judicia confirmat. 



SECTIO I. 

PHiENOMENA. 

X HiLosopHi motum maris triplicem olim agnoverunt *, diurnum, men- 
struum et annuum ; motu diurno mare bis singulis diebus intumescit de- 
fluitque, menstruo sestus in syzygiis luminarium augentur, in quadraturis 
minuuntur, annuo denique aestus hyeme quam aestate fiunt majores : 
verum phaenomena ha^c sunt paulo accuratius proponenda. 

I. Motus maris diurnus absolvitur horis circiter solaribus ^^ minu- 
tisque primis 48, intervallo scilicet temporis quo Luna motu apparente 
a meridiano loci cujusvis digressa ad eundem revertitur. Hinc aititudo 
maris maxima contingit Luna appellente ad datum situm ri^spectu meri- 
diani loci dati ; verum hora solaris in quam incidit sestus singulis diebus 
retardatur, eodem fere intervallo quo Lunae appulsus ad meridianum 
loci. Atque hic motus adeo accurate ad motum Lunae componitur, ut, 
secundum observationes a celeb. D. Cassini allatas, ratio sit habenda 
horoe in quam incidit vera conjunctio vel oppositio Solis, et aequatio a 

* Plin. Lib. II. Cap. XCIX. 
Q 3 



210 DE CAUSA PHYSICA FLUXUS 

motu Lunae desumpta adhibenda, ut tempus quo mare ad maximam as- 
surget altitudinem die novilunii vel plenilunii accuratius definiatur. In 
sestuariis autem diversi existunt aestus tempore, ut loquitur Plinius, non 
ratione discordes. Duo aestus qui singulis diebus producuntur, non sunt 
semper sequales ; matutini enim majores sunt vespertinis tempore hyber- 
no, minores tempore aestivo, praesertim in syzygiis luminarium. (*) 

II. De motu maris menstruo tria praecipue sunt observanda. 1 . ^^stus 
fiunt maximi singulis mensibus paulo post syzygias SoUs et Lunae, decres- 
cunt in transitu Lunae ad quadraturas, et sunt paulo post minimi. Dif- 
ferentia tanta est, ut ascensus totius aquoe maximus sit ad minimum ejus- 
dem mensis, secundum quasdam observationes, ut 9 ad 5, et in nonnuUis 
casibus differentia observatur adhuc major. 2. j^stus sunt majores, 
caeteris paribus, quo minor est distantia Lunas a Terra, idque in majori 
ratione quam inversa duplicata distantiarum, ut ex variis observationibus 
colligitur. Ex. gr. anno 1713. ascensus aquas in Portu Bristonico, {^) refe- 
rente eodem cl. viro, 26°.Febr. fuit pedum 22 digitorum 5. et Martii 13°. 
pedum 18. digit. 2. Declinatio Lunae in utroque casu fere eadem ; in 
priori distantia Lunae partium 953, in posteriori partium 1032, quarum 
distantia mediocris est 1000. Est autem quadratum mmieri 1032 ad 
quadratum numeri 953, ut 22 pedes 5 digit ad 19 pedes If digitos ; 
ascensus autem aquae in posteriori casu fuit tantum 1 8 ped. cum 2 digitis. 
3. ^stus sunt, caeteris paribus, majores, cum Luna versatur in circulo 
aequinoctiali, et minuuntur crescente Lunae declinatione ab hoc circulo. 

III. ^stus fiunt, caeteris paribus, majores, quo minor est distantia 
Solis a Terra; adeoque majores hyeme caeteris paribus, quam aestate. 
DifFerentia vero longe minor est quam quae ex diversis Lunae distantiis 
oritur. Ex. gr. distantiae Lunae perigeae fuerunt aequales Junii 19, 1711. 
et Decembri. 28, 1712. ascensus aquae priore die pedum 18 digit. 4. pos- 
teriori pedum 19. digit. 2.; declinatio autem Lunae fuit paulo minor in 
hac quam in illa observatione. (^) 

Porro in diversis locis aestus sunt diversi, pro varia locorum lati- 
tudine, eorumque situ respectu oceani unde propagantur, pro ipsius 
oceani amplitudine, et littorum fretorumque indole, aliisque variis de 
causis. 



(3) Mem. dc rAcad. Koyale, 1710. 1712. et C) ^«^- ^^ TAcad. Royale, 1710. 1712. ct 
1713. 1713. 

(*) Ibid. 



ET REFLUXUS MARIS. 211 

SECTIO 11. 
"" PRINCIPIA. 

Phaenomenis aestus maris insignioribus breviter recensitis, progredimur 
ad pnncipia, unde horum ratio est reddenda. Liceat tamen praefari no- 
bilissimam quidem, sed simul difficillimam esse hanc philosophiae partem, 
quae phaenomenorum causas investigat et explicat. Ea est naturae subti- 
litas^ ut non sit mirum causas primarias, solertiam philosophorum plerum- 
que effugere. Qui omnium phaenomenorum rationes, exponere, inte- 
gramque causarum seriem nobis exhibere in se susceperunt, illi certe 
magnis suis ausis hucusque exciderunt. Philosophiam quidem perfectis- 
simam viri clarissimi sibi proposuerunt exstruendam, qualem tamen hu- 
manae sorti competere fas est dubitare. Praestat igitur tantorum virorum 
successu minus felici edoctos, ipsius naturae vestigia caute et lente sequi. 
Quod si phaenomena ad generalia quaedam principia reducere possimus, 
horumque vires calculo subjicere, hisce gradibus aliquam verae philoso- 
phiae partem assequemur; quae quidem manca seu imperfecta erit, si 
ipsorum principiorum causae lateant; tanta tamen inest rerum naturae 
venustas, ut ea pars longe prasstet subtilissimis virorum acutissimorum 
commentis. 

Motus maris cuivis vel leviter perpendenti manifestum est luminarium, 
Lunae praesertim, motibus affines esse et analogos. Eadem est periodus 
motus maris diurni ac Lunae ad meridianum loci, eadem motus menstrui 
ac Lunae ad Solem; utriusque luminaris vis in motu maris generando 
hinc elucet, quod aestus sint majores quo minores utriusque distantiae a 
Terra ; adeo ut nullus sit dubitandi locus, motum maris esse ahqua ra- 
tione ad motum Lunae et Solis compositum. Quales autem dicemus illas 
esse vires quse a Luna et Sole propagatae (aut ab his aliquo modo pen- 
dentes) aquam bis singuHs diebus tollunt et deprimunt; quae in syzygiis 
luminarium conspirant, quadraturis pugnant ; in minoribus utriusque dis- 
tantiis augentur, in majoribus minuuntur; quae in muiori Lunae declina- 
tione fortiores, in majori debiUores sunt ; et nonnunquam majorem motum 
cient cum Sol et Luna infra horizontem deprimuntur, quam cum in meri- 
diano superiori ambo dominentur. Fuerunt viri celeberrimi qui aestum 
maris pressione quadam Lunae cieri putarunt. Verum causam et men- 
suram hujus pressionis non ostenderunt, nec quo pacto motus maris varii 
hinc oriri possint satis clare indicarunt, multo minus motus illos (hoc 
principio posito) ad calculum revocare docuerunt. 

Q4 



212 DE CAUSA PHYSICA FLUXUS 

Sagacissimus Keplerus mare versus Lunam gravitare, asstumque maris 
hinc cieri olim monuit. Newtonus, postquam leges gravitatis detexis- 
set, invenit aequilibrium maris non tam turbari ipsius gravitate versus 
Lunam, quam ex inaequalitate vis qua particulas maris tendunt ad Lu- 
nam et Solem pro diversis suis distantiis ab horum centris, primusque 
motum maris ad certas leges, et ad calculum revocare docuit. Fa- 
tendum quidem est gravitatis causam ignotam esse vel £altem obscuram ; 
corpora tamen non sunt ideo minus gravia. Sint qui asserant corpora 
riullo impulsu aut vi externa, sed vi quadam innata se mutuo appetere ; 
verum non aequum est horum somnia veritati afficere. Alii statim con- 
fugiant ad immediatum Supremi Auctoris imperium, ast neque horum 
nimia festinatio probanda est; neque iilorum fastidium qui tot naturae 
testimoniis non attendunt quoniam causa gravitatis est obscura. Vis 
gravitatis est nobis adeo familiaris, ejusque mensura adeo pro comperto 
habetur, ut hac ad aiias vires aestimandas fere semper utamur ; quam in 
CceKs, non miniis quam in Terris dominari, et secundiim certam legem 
augeri et minui demonstravit vir eximius tanta cum evidentia ut majorem 
frustra desideres in ardua et difficili hac philosophiae parte, quae de rerum 
causis agit. 

Newtonus argumento singulari ostendit, Lunam urgeri versus cen- 
trum Terrae vi quae (habita ratione distantiarum) cum gravitate cor- 
porum terrestrium plane congruit; quaU Terram versus Lunam pariter 
urgeri aequo jure censendum est. Ciim corpus ahquod versus ahud pel- 
litur, inde quidem haud sequitur hoc versus illud simul urgeri. Ve- 
rum quid de gravitate corporum coelestium sentiendum sit, ex iis quae 
comperta sunt de gravitate corporum terrestrium (aliisque viribus simili- 
bus) optime dignoscitur ; cum per hanc ad illam agnoscendam ducamur, 
sintque phaenomena omnino simiHa. Mons gravitat in Terram, et si 
Terra non urgeret montem vi aequah et contraria, Terra a monte pulsa 
pergeret cum motu accelerato in infinitum. Porro status cujusvis sys- 
tematis corporum (i. e. motus centri gravitatis) necessario turbatur ab 
omni actione cui non aequahs et contraria est ahqua reactio, ita ut vix 
quidquam perenne aut constans dici possit in systemate si haec lex locum 
non habeat. Cumque Terrae partes ita semper in se mutuo agant, ut 
motus centri gravitatis Terrae nullatenus turbetur a mutuis corporum aut 
agentium quorumcunque conflictibus, sive intra sive extra superficiem 
sitorum ; eademque lex obtineat in viribus magneticis, electricis ahisquc, 
teste experientia, jure concludit Newtonus Lunam non tantum in Ter- 
ram, sed hanc quoque in illam gravitare, ct utramque circa commuiie 



ET REFLUXUS MARIS. 213 

centrum gravitatis moveri, dum hoc centrum circa totius systematis cen- 
trum gravitatis (*) continuo revolvitur. 

Gravitatem, caeteris paribus, proportionalem esse quantitati materiae 
solidae corporis, accuratissima docent experimenta; idemque, e calculo 
gravitatis corporum coelestium comprobatur; quin gravitatem quoque 
sequi rationem materias corporis versus quod dirigitur, ex principio me- 
morato aliisque argumentis coliigitur. Similis est ratio aliarum virium 
quag in natura dominantur. Lucis radii ex. gr. magis refringuntur, cae- 
teris paribus, quo densiora sunt corpora quae subintrant. Tenae partes 
versus se mutuo gravitant, non versus illud punctum fictum quod cen- 
trum Terrae appellamus ; quod cum rationi et analogiae naturae sit maxi- 
me consentaneum, tum pulcherrime confirmatur accuratissimis experi- 
mentis quae in boreali Europae parte nuper instituerunt viri clarissimi ex 
Academia Regia Parisiensi. Causa gravitatis (quaecumque demum sit) 
late dominatur ; cumque sit diversa in diversis distantiis, non est miran- 
dum, ejus vim pendere quoque a magnitudine illius corporis, versus quod 
alia impellit. Fatemur vim hanc corpori centrali impropric tribui ; ex- 
pedit quidem brevitatis gratia sic loqui, id autem sensu vulgari, non phi- 
losophico est intelligendum. 

Haec breviter tantum hic attingimus. Newtonus postquam definivisset 
vim Solis ad aquas turbandas ex difFerentia diametri aequatoris et axis 
Terrae (qiiam approximatione quadam sua investigaverat) per regulam 
auream quaerit breviter ascensum aquae ex vi Sohs oriundum. Verum 
quamvis elevatio aquae, quae sic prodit, parum a vera difFerat, ciim tamen 
Problemata haec sint diversi generis, quorum prius pendet a quadratura 
circuii, posterius autem a quadratura hyperbolas seu logarithmis, ut pos- 
tea videbimus ; sitque dubitandi locus an a priori ad posteriorem eleva- 
tionem determinandam, transitus adeo brevis sit omni ex parte legitimus, 
vel etiam an methodus qua figuram Terras definiverat sit satis accurata ; 
cumque vires subtiUssimae motum maris producant, quae nuUos ahos sen- 
sibiles edunt efFectus, adeo ut levissima quaeque in hac disquisitione ah- 
cujus momenti esse possint; propterea existimavi me facturum operae 
praetium, si aham aperirem viam qua calculus in hisce Problematibus ex 
genuinis principiis accuratissime institui poterit. 

Repetenda imprimis sunt pauca ex Newtono, postea viam diversam 
sequemur. Sit L Luna, T centrum Terrae, B b planum rectee L T 

(*) Suspicari licet aliquam obliquitatis cclipti- oriri : indicio erit hanc esse phjcnomcni causam, 
cx variationeni, de qua sermo cst apud astrono- si constiterit illam variationem analogiam ser- 
mos, cx motu Solis circa centium systcmatis vurc cum molu Jovis pliuietarum maximi. 



214 



DE CAUSA PHYSICA FLUXUS 



perpendiculare, P particula quaevis Terrag ; sitque P M perpemlicularis 

in planum B b. Repraesentet L T gravitatera Terrae mediocrem vel 

particulae in centro T positae versus Lunam, sumatur L K ad L T, ut cst 

L T ^ ad L P ", eritque recta L K mensura gravita- 

tis particulae P in Lunam. Ducatur K G rectae P T 

parallela, occurratque L T productae, si opus est, in 

G, et resolvetur vis L K in vires K G et L G, qua- 

rum prior urget particulam P versus centrum Ter- 

rae, estque fere aequalis ipsi P T; posterioris pars 

T L omnibus particulis communis, et sibi semper 

parallela, motum aquas non turbat ; altera vero pars 

T G est quam proxime aequalis ipsi 3 P M. * Im- 

primis igitur quaerendum est quaenam debeat esse 

figura Terrae fluidae cujus particulae versus se mutuo 

gravitant viribus in inversa distantiarum ratione, du- 

plicata decrescentibus, quaeque simul agitantur dua- 

bus viribus extraneis, quarum altera versus centrum 

T dirigitur, estque semper ut P T distantia particulae 

a centro, altera agit in recta ipsi T L parallela, est- 

que ad priorem ut 3 P M ad P T. Ostendemus 

autem Sectione sequenti figuram hujus fluidi esse 

accurate sphaeroidem quae gignitur revolutione ellipseos circa axem trans- 

versum, si Terra supponatur uniformiter densa; atque hinc calculum 

motus maris ex motibus coelestibus deducere conabimur. 

Observandum autem alias causas conspirare ad motus maris producen- 
dos cum inaequali gravitate partium Terrae versus Lunam et Solem. 
Motus Terrae diurnus circa axem suum variis modis asstum maris afficere 
videtur, praeter illum a Newtono memoratum, quo aestus ad horam luna- 
rem secundam aut tertiam retardatur. 1 . ^stus fit paulo major ob vim 
centrifugam et figuram sphasroidicam, ex motu Terrae oriundam, cum 
haec vis paulo major evadat in partibus maris altioribus quam in depressi- 
oribus. 2. Cum maris aestus fertur vel a meridie versiis septentrionem, 
vel contra a septentrione versus meridiem, incidit in aquas, quae diversa 
velocitate circa axem Terrae revolvuntur, atque hinc motus novos cieri 
necesse est, ut postea dicemus; Porro secundum theoriam gravitatis, vis 
qua particulae maris urgentur versus Terram sohdam, (quas aqua longe 
densior est) superat vim qua versus aquam urgentur. Vires illae sunt 

* Vis hcTC paulo major est si particula P parte Lunae aversa, unde merito habetur acqualis 
sit in parte Terrx* Lun» obversa, ininor si in ipsi 3 1* M. 




ET REFLUXUS MARIS. 



215 



quidem exiguae ; cum autem vires quibus Luna et Sol in aquas agunt, in 
experimentis penduiorum et staticis nullos producant efFectus sensibiles, 
tantos autem motus in aquis oceani generent, suspicari licet vires tantillas 
ad aquae motus augendos aliqua ex parte conducere. 

SECTIO III. 

De Jigurd quam Terra Jluida cequaliter densa indueret ex incequati jparti- 
cidarum gravitate, versus Lunam aut Sotem. 

Expositis phoenomenis aestus maris et principiis generalibus unde cele- 
berrimi phaenomeni ratio petenda videtur, progredimur nunc ad figuram 
determinandam quam Terra fluida viribus Lunae vel Solis supra explica- 
tis, agitata assumeret ; praemittenda autem sunt quasdam Lemmata qui- 
bus haec disquisitio ahas difficillima facile perfici poterit. 

(t) LEMMA L 



(f ) Hoc Lcmrna ad demonstrandum Co- 
rol. 4. proponitur, quod Corollariura ad 
Propositionem sequentem reducitur, qua; fa- 
cillime analytice demonstrari potest, 

TH|:OREMA. 

A puncto quovis ellipseos, ducantur ad 
ellipsim tres lineae P H, P M, P m, prior 
quidem P H sit axi parallela, reliquaj P M, 
P m faciant cum ipsa aequales quosvis an- 
gulos M P H, m P H ; a punctis P, H, 
M et m ducantur perpendiculares ad P H 
et ad axim P D, H d, Q, M R, m q r et 
super D d describatur ellipsis similis priori, 
ducanturque a puncto D ad eam ellipsim 
linefB D N, D n lineis P m, P M paralle- 
liE, denique ducatur N n quaj secet axim in 
V, dico quod 2 D V=PQ-fPq = 
D R -j- D r, si puncta Q et q cadant ab 
eadem parte puncti P, vel quod 2 D V = 
PQ_Pq=DR— Drsi puncta Q 
et q cadant ad partes diversas puncti P. 

Primo, quoniam ex constructione, lineae 
D N, D n asqualcs faciunt angulos cum 
axe D d, facile deducitur lineam N V n 
esse axi perpendicularem, ideoque si radius 
sit ad tangentem anguli Q P M, ut 1 ad t, 
et D V dicatur z, erit N V = t z ; et pari- 
ter si P Q aut P q vel eorum a?quales D R aut 
D r dicantur x, M Q vel m q dicentur t x. 

Axis major sit ad minorem in utraque ellipsi 
ut a ad b, dicaturque B D, f, D b = g, D P = h, 
et Dd = g — f = l, erit psr naturam ellipseos 
a^: b^ = fg: h^, et pariter erit a * : b ^ = 

, b^ 

e X 1 — z: t^z^ = l — z: t^z, hmc a ^ : — 




= 1 — z : z et componendo 



j+il.L! 



— a^t^ -fb^:b2 = l:z 
= D V. 



+ b 



Jn primo autem casu in quo Q et q sunt ab 
eadexn purtc puncti P, eiit R M = h — t x 



216 



DE CAUSA PHYSICA FLUXUS 



Sit A B a b ellipsis, C centrum, H I 
cliameter qucevis, M m ordinata ad dia- 
metrum H I in puncto u, ex H et m 
ducantur rectsB H P et m x parallelae, 
duabus quibusvis diametris conjugatis; 
et sibi mutuo occurrentes in q ; jungantur 
q u et P M, atque hae rectae erunt sibi 
mutuo parallelae. 

Occurrat recta H P, ordinatae M m in 
z, et rectai M Q (quae parallela sit ipsi 
m q) in Q. Sint C G, C A et C B semi- 
diametri respective parallelae rectis M m, 
m X et H P. Ducatur G E parallela ipsi 
C B et producatur donec occurrat semi- 
diametro C I in g. Ex natura ellipseos 
rectantjulum M z X z m ; H z X z P : : 



CG 



CBS- 



et ob parallelas C G et 




vel t X — h, et r m = h 4- t X, et B R aiit Ti r^ -n ^h^ l ^ , 

B r, f 4- X j et R b aut r b, g — x ; hinc ex = ^ ^— -P^i = ^ 2 ^ 2 ^ ^ ^ " ^"^^"^" ^^®™ 

natura ellipseos erit a^:b^ = f4-xX 

i:Z7:h-^xr = fg4-gx-fx- l^ 

xx:h2q:2htx4-t^x2 = lx — x^: 

+ 2htx-|-t^x^ (demptis ex utroque ter- 

mino respective terminis f g : h ^ qui sunt in 

eadem ratione, et posito 1 loco g — f ) = 1 

— x^ + Sht^-t^x, atque liinc habetur 

a^t^x^: 2a*ht = b^l — b^xet trans- 

positione facta reductisque terminis, fit x = 

b^l+^a^ht ^ 

— ^— . . ^ . Quare si sumatur summa 
a^ t*4"b* 

duarum linearum D K, D r, quaj pcr sin- 

gulos valores x exprimuntur, erit D R-J-D r 

= P Q -h P q = - 2t.^.^b^ duplum va. 
loris D V prius inventi. 

In altero vcro casu in quo Q et q hinc 
inde a puncto P cadunt, erit 11 M = t x 

— h, et r m = h — t x, erit B R = f -j- x 
etBr=f— X, Rb=g — xetrb = 
g -f- X. Unde ex natura eUipseos erit 
a^ : b 2 = f -f^ X F+"x": h ^ — 2 h t x -{- 
t^x^^fg+gx+fx— x^: h2_-2htx 
4-t2x^=+lx — X2; _2htx-^-t2x« 
(denoptis terminis f g : h ^ et adhibito 1 loco 
g — f) = +l — x: — 2ht-J-t2x, hincque 
obtinetur a^t^x — 2hta^ = + b^l — 
b ^ X et transpositione facta reductisque ter- 
minis fit X = ±^'^ + 2hta^^ ^^^^^ ^. ^^_ jy y p^jyg i„^^„jj^ ergo 2 D V = P Q + P q 

a * t ^ -|- b ^ prout Q et q sunt nh eadcm vel a diversa parte 

matur differentia duorum D R, et D r qua; per puncti P. Q. e. d. 
singulos valoros x exprimuntur, erit D R — D r 




ET REFLUXUS MAllIS. 



217 



M m, erit q z : z m : : G E : C G. Unde MzXqz: Hz XzP: 
C G X G E : C B". Verum Hz X z P : z u X z P : : Hz : zu ; 
G g : C G. Quare ex asquo Mz Xzq:zu X zP:: GgxGE 
C B ^. Est autem rectangulum sub G g et G E aequale quadrato ex 
semi-diametro C B per notam proprietatem ellipseos, cum C I sit conju- 
gata semi-diametro C G, et C B ipsi C A. Proinde MzXzq = zuX 
z P, et z q : z u : : z P : z M, adeoque q u parallela rectae P M. Q. e. d. 

Cor\ 1. Recta P Q dividitur harmonice in q et z vel P Q : P q : : 
Q z : q z. Quippe ducatur u e parallela ipsi m x, occurratque rectae H P 
in e, tum erit P z : q z : : P M : q u (ob parallelas P M, q u) : : P Q : 
q e. Unde P q : q z : : P e : q e : : q e : e z : : P e + q e : q e + 
e z : : (quoniam Q e, e q sunt aequales) P Q : Q z. 

Cor. 2. Occurrat recta m x ellipsi in x, jungatur H x quae occurrat 
rectae P M in r, juncta u r erit parallela m x. Quippe sit I h parallela 
rectae H P et occurrat ipsi m x in o ; tum o x erit aequaUs rectae q m et 
I o : o X : : P q : q m : : P Q : Q M ; adeoque I X erit parallela ipsi 
P M. Veriim cum I H sit diameter ellipseos et ad x punctum in ellipsi 
situm ductae sint rectae I x, H x ab extremitatibus diametri I H, erunt 
hae parallelae duabus diametris conjugatis, ex natura ellipseos. Quare 
cum ex punctis H et M eductae sint duae rectie H x et P M respective 
parallelae duabus diametris conjugatis, quae 
sibi mutuo occurrunt in r, juncta u r erit 
parallela rectae x m per hoc Lemma. 

Cor. 3. Sit recta H P nunc parallela axi 
ellipseos, eritque angukis PI P M aequalis 
angido H P m, quoniam Q M : q m : : 
Q z : q z : : P Q : P q per Cor. I. Du- 
cantur porro H h et P I parallelae alteri 
axi A a et occurrant axi B b in D et d ; 
super axem D d describatur ellipsis similis 
ellipsi A B a b et similiter posita cui occur- 
rat recta u r producta in N et n ; occurrat 
u r axi D d in V, eritque V N vel V n 
aequalis rectse e r, et si jungantur D n, D N, 
erunt hae rectae respective parallelae rectis 

P M, P m. Nam P e : e r : : P q : q m et H e : e r : : H q : q x, 
unde He X Pe : er- :: H q X qP : mq X qx :: CB^ : C A % 
Sed reGtanguhmi DVx Vd^VN^ :: CB": CA-;dV;=He, 
D V = P e, adeoque D V X V d = H e X P e, unde V N - = e r ^, 




218 



DE CAUSA PHYSICA FLUXUS 




et V N = e r, P M parallela rectae D N 
et P m rectae D n. 

Cor. 4. Hinc sequitur converse quod si 
N n sit ordinata ab interiori ellipsi ad axem 
D d et D P perpendicularis axi D d occur- 
rat ellipsi exteriori in P; jungantur D N 
et D n, hisque parallelae P M, P m occur- 
rant ellipsi exteriori in M et m; ducatur 
P H parallela axi D d, in quifm sint per- 
pendiculares M Q et m q, tum P Q -f. P q 
(vel 2 P e) erit aequalis 2 D V punctis Q 
et q cadentibus ad easdem partes puncti P, 
etPQ — Pq = 2DV cum Q et q sunt 
ad contrarias partes puncti P. 

LEMMA IL 

Recta P L perpendicularis el- 
lipsi A B a b in P, occurrat axi 
B b in L, et ex puncto L sit L Z 
perpendicularis in semi-diametrum 
C P, eritque rectangulum C P Z 
contentum sub semi-diametro C P 
et intercepta P Z aequale quadrato 
ex semi-axi C A. 

Sit C p semi-diameter conju- 
gata ipsi C P, ducatur P D per- 
pendicularis in axem B b et pro- 
ducatur donec occurrat semi-dia- 
metro C p in K, jungatur K Z, 
sitque P T tangens ellipseos in 
puncto P. Ob angulos rectos 

LDP, LZP, LPT circulus transibit per quatuor puncta L, D, 
P, et Z, et continget rectam P T in P, adeoque angulus J^ D Z 
sequalis erit angulo C P T vel P C K. Proinde circulus transi- 
bit per quatuor puncta C, K, D et Z ; angulus C Z K aequalis 
erit recto C D K, K Z transibit per punctum L et ex natura circuli 
CPxPZ = DPxPK = CA2. Q. e. d. (^). 




C*) Proprietates bis in hoc et prdecedcnti Lcmmate demonstratae analogice faclle ad hyperbolam 
transferuntur. 



ET REFLUXUS MARIS. 



219 




LEMMA IIL 

Ponamus particulas corporum versus se mutuo gravitare viribus de- 
crescentibus in inversa duplicata ratione distantiarum a se invicem, sint- 
que PAEajPBFb similes py- 
ramides vel coni ex materia hujus- 
raodi homogenea compositi, eritque 
gravitas particulae P in solidum 
P A E a ad gravitatem ejusdem par- 

ticulag in solidum P B F b ut P A ad P B, vel ut homologa quaevis latera 
horum sohdorum. 

Gravitas enim particulae P in superficiem quamvis A E a A puncto P 
concentricam est ut superficies hsec directe et quadratum radii P A iu- 
verse, adeoque est semper eadem in quavis distantia P A. Quare gravi- 
tas particulae P versus totum soHdum P A Ea erit ad gravitatem ejusdem 
particulae versus totum solidum P B F b ut P A ad P B. 

Cor. 1. Hinc gravitates quibus particulae similiter sitae respectu soHdo- 
rum similium et homogeneorum versus haec solida urgentur, sunt ut dis- 
tantiae particularum a punctis similiter sitis in ipsis solidis, vel ut latera 
quaevis soUdorum homologa. Quippe haec solida resolvi possunt in si- 
miles conos vel pyramides, vel similia horum frusta, quae vertices habe- 
bunt in particuHs gravitantibus. 

Cor. 2. Hinc etiam facile sequitur 
(*) quod si annukis ellipticus, figuris 
simiHbus D B a b, D n d N terminatus, 
circa axem alterutrum revolvatur, gravi- 
tatem particulae intra soHdum sic genitum 
sitae, vel in interiori ejus superficie posi- 
tae, versus hoc soHdum evanescere ; quo- 
niam si recta quaevis eUipsibus hisce simi- 
Hbus et simiHter positis occurrat, aequaHa 
semper erunt rectae segmenta extrema 
quae ab eUipsibus intercipiuntur (ut facile 
ostenditur ex natura harum figurarum) 
adeoque vires aequales et oppositae in hoc 
casu se mutuo destruent. Hinc vero se- 
quitur quod si A B a b sit sphaerois genita 




(*) Vid. Newt. Lib. I. P,op. XCI. Cor. 3. 



220 



DE CAUSA PHYSICA FLUXUS 



inotu ellipseos circa alterutrum axem, sintque B et D particulae quaevis 
in eodem semi-diametro sita?, gravitatem particuloe B versus sphaeroidem 
fore ad gravitatem particulae D ut distantia C B ad distantiam C D, per 
Corollarium praecedens. 

LEMMA IV. 

Sit A B a b sphaerois genita motu semi-ellipseos A B a circa axem A a, 
P particula quaevis in superficie solidi, sit P K axis normalis in K ; 
et P D axi parallela occurrat plano B b 
(quod axi supponitur normale) in D. 
Resolvatur vis qua particula P gravitat 
versus spba^roidem in duas vires, alteram 
axi parallelam, alteram eidem perpendi- 
cularem, eritque prior aequalis vi qua 
particula K in axi sita tendit ad centrum 
solidi, posterior autem sequalis vi qua 
particula D urgetur versus idem cen- 
trum. 

Producatur P K donec rursus occur- 
rat ellipsi generatrici in H, ducatur H d 
parallela axi A a quae occurrat axi B b 
in d, concipiamus solidum D n d N si- 
mile ipsi B A b a et similiter positum 
describi super axem D d. Horum soli- 

dorum sectiones ab eodem plano resectae erunt semper ellipses similes et 
similiter positae, uti notum est et facile ostenditur. Sint igitur B A b a, 
D n d N hujusmodi figurae a plano P A b I B P, quod semper transire 
ponatur per datam rectam P D I resectae ex simihbus hisce solidis. Con- 
tineat planum P z Z I T cum plano priori angulum quamminimum et fa- 
ciat sectiones similes P z Z I T, D r R D et similiter positas in praedicto- 
rum solidorum superficiebus. Hisce positis, imprimis ostendemus vim 
qua particula P urgetur versus duo frusta quae planis P b I, P Z I et 
planis P B I, P T I continentur, si reducatur ad directionem P K, aequa- 
lem fore vi qua particula D urgetur versus frustum planis D n N D, 
D r R D terminatum. 

Sint enim N n, W n' duae ordinatae ex interiori elhpsi ad axem D d ; 
sint ("*) P M, P m, P M' et P m' respective parallelae rectis D N, D n, 




(**) In hac figura describcnda rectas N I?, perspcctiva?, sed ea ratione qua facillime dig- 
N' R', &c. non duximus secundum rcgulas nosci possint. 



ET REFLUXUS MARIS. 221 

D N' et D n'; sint porro plana D N R, D N' R^ D n r, D n' r', P M Z, 

P M' Z', P m z, P m' z' plano P b I B perpendicularia quae alteri plano, 
P z Z I T occurrant in rectis D R, D R^ D r, D r', P Z, P 7J, P z, P z', 
respective. His positis, quoniam anguli N D N' et M P M', n D n' et 
m P m', ponuntur semper aequales ; et rectae P M et D N, P m et D n, 
sequaliter semper inclinantur ad P I communem planorum sectionem ; si 
angulus N D N' et inclinatio planorum P b I B, P Z I T ad se invicem 
continuo minui supponantur donec evanescant, erunt gravitates particulae 
D, in pyramides D N N' R' R, D n n' r' r et particulas P in pyramides 
P M M' Z' Z, P m m' t! z ultimo in ratione rectarum D N, D n, P M et 
P m respective per Lemma III. Eaedemque vires gecundum rectas axi 
A a, perpendiculares aestimatae erunt ut rectae D V, D V, P Q, P q rc- 
spective. Unde cum PQ+Pq = 2DV per Corol. 4. Lem. I. se- 
quitur vim qua particula P urgetur versus axem A a, gravitate sua in py- 
ramides P M M' Z' Z, P m m' z' z aequalem esse vi, qua particula D ur- 
getur gravitate sua versus pyramides D N N' R' R, D n n' r' r. Quare 
si plana D N R, P M Z sibi mutuo semper parallela et plano P b I B per- 
pendicularia moveantur semper circa puncta D et P (rectis scilicet D N, 
P M procedentibus semper in plano P b I B, et rectis D R, P z in pla- 
no P Z I T) erunt vires quibus particula P urgetur versus axem ex 
gravitate sua in frusta motu planorum P M Z, P m z sic descripta, 
aequales semper viribus, quibus particula D urgetur versus eundem axem 
gravitate sua in frusta motu planorum D N R, D n r descripta ; unde 
sequitur particulam P urgeri eadem vi secundum rectam P K, gravitate 
sua in frusta planis P b I, P z I, et planis P B I, P T I contenta, qua 
particula D tendit versiis frusta planis DnND, DrRD terminata. 
Proinde cum hae vires secundum rectas axi totius solidi perpendiculares 
aestimatae sint etiam aequales, et par sit ratio virium quibus particulae P et 
D urgentur verslis frusta quaevis alia similiter ex solidis resecta, se- 
quitur particulam P aequaliter urgeri vers s axem gravitate sua in 
solidum exterius, et particulam D gravitate sua in solidum simile in 
terius, vel ctiam in solidum exterius, cum hae vires sint eaedem per 
Corol. 2. Lem. III. 

Simili plane ratione colligitur vim, qua particula P urgetur secundura 
rectam axi parallelam, aequalem esse vi, qua particula K in axe sita m-ge- 
tur versus centrum solidi. 

Cor, 1 . Particulae igitur quaevis sphasroidis aequaliter ab axe vel aequa- 
tore solidi distantes aequaliter versus axem vel aequatorem urgentur. 
Viresque quibus particulae quasvis urgentur versus axem sunt ut illarum 

VoL. III. R 



222 



DE CAUSA PHYSICA FLUXUS 



distantiae ab axe, et vires quibus urgentur versus planum a^quatoris, sunt 
ad se inviceni, ut illarum distantioe ab hoc plano. ^ 

Cor. 2. Repraesentet A vim qua sphysrois urget particulam in axis ter- 
mino A sitam, B vim qua idem soiidum urget particuiam B in circum-. 
ferentia circuli medii inter A 
et a positam ; sumatur K 11 ad 

K C, ut — — est ad , iun- 

C A C B -^ 

gatur P R, et particula P ten- 

det versus sphaeroidem in rec- 

ta P R, vi quae huic rectog 

semper est proportionalis. Vis 

enim qua particula D urgetur 

versiis centrum solidi, est ad 

B, ut C D ad C B, per Cor. ^ 

2. Lem. IIL Simihter vis qua particuhi K urgetur versus solidi cen-. 

trum est ad A, ut C K ad C A. Quare per Lemma IV. vis qua parti- 

cula P urgetur secundum rectam P K axi normalem est ad vim, qua ur- 

getur secundum rectam P D axi parallelam, ut ^ ^ ^ ^ -^ ^ ^^ ^ ^ 




C B C A 

adeoque ut P K X K C ad C K X K R. i. e. ut P L ad K R ex con- 
structione. Quare particula P urgetur secundum rectam P R, his viii- 
bus conjunctis, et vis composita est ad B, ut P R ad B C. Quo vero 
pacto vires A et B computari possint, postea ostendemus. 

PROPOSITIO I.—THEOREMA FUNDAMENTALE. 

Constet sphaerois A B a b materia fluida, cujus particulae versus se 
niutuo urgeantur viribus in inversa duphcata ratione distantiarum decres- 
centibus ; agantque simul dua^ vires extranex^ in singuias fluidi particu- 
las, quarum altera tendat versus centrum sphan-oidis, sitque semper pro- 
portionahs distantiis particularum ab hoc centro ; altera agat secundum 
rectas axi solidi parallelas, sitque semper proportionalis distantiis par- 
ticularum a plano B b axi normali ; et si semi-axes C A, C B eliipseos 
generatricis sint inversae proportionales viribus totis, qute agunt in parti- 
cuias acquales in extremis axium punctis A et B sitas, erit totum fluidum 
in ae(j[uiIibrio. 

Ut haec Propositio nostra primaria clarissimc demonstretur, ostende- 
mus miprimis vim. compositam ex gravitate particulae cujusvis P et dua- 
bus viribus extraneis, semper agere in recta P L, quae est ad superficiem 



ET REFLUXUS MARIS. 223 

sphoeroidis semper normalis. 2. Fluidum iii reeta quavis P C a super- 
ficie ad centrum ducta, ejusdem ubique esse ponderis. 3. Fluidum in 
canalibus quibusvis a superficie ad datam quamvis particulam. intra soli- 
dum ductis, eadem semper vi particulam illam urgere. 

1. Vires totae quae agunt in particulas A et B dicantur M et N, quae 
ex hypothesi simt in ratione axium C B et C A. Resolvatur vis prior 
extranea qua3 agit secundum rectam P C in vires duas, alteram axi paral- 
lelam, alteram eidem perpendicularem ; eruntque hae vires semper ut 
rectae P K et K C. Unde ciim vis qua gravitas particulae P urget eam 
secundum rectani P K sit etiam ut P K, per Lemma superius, sequitur 
vim totam qua particula P urgetur secundum rectam P K, esse ad N, 
ut P K ad C B. Vires tres agunt in particulam P secundum rectam P D 
axi parallelam, particulae scilicet gravitas et duae vires extraneae, quae 
singulae variantur in ratione rectae P D vel K C ; adeoque vis ex his tri- 
bus resultans erit ad M ut C K ad C A. Vis igitur qua particula P ur- 
getur secundum rectam P K est ad vim qua urgetur secundiim rectam 

PD ut ^ ^ ?" ^ ad ^ ^ -^^ sive (cum M : N : : C B : C A) ut 
C 15 C A 

P K X C A 2 ad C K X C B ^. i. e. (quoniam si P L ellipsi generatrici 

perpendicularis occurrat axi A a in L, erit K C ad K L, ut C A ^ ad 

C B 2, ex *nota ellipsis proprietate) ut P K X K C ad K C X K L, 

adeoque ut P K ad K L. Unde vis cbmposita particulam urget in recta 

P L, quae ad superficiem fluidi ponitur perpendicularis ; estque semper ut 

recta hasc P L, cum vires secundum rectas P K sint semper ut P K. 

2. Sit L Z normalis in semi-diametrum C P, et vis qua particula P 
urgetur versus centrum, erit ut recta P Z per vulgaria mechanicae 
principia, et pondus fluidi in recta P C ut rectangulum C P X P Z, quod 
semper est aequale quadrato ex semi-axi C B per Lemma II. Centrum 
igitur aequaliter undique urgetur, estque fluidum in sequilibrio in C. 

3. Sit p particula quaevis in soHdo ubicunque sita, P p recta qusevis a 
superficie ad particulam p ducta; sint P K, p 1 normales in axem A a, et 
vis qua particula p urgetur pondere fluidi in recta quavis P p secundum 
hanc rectam, facili calculo quem brevitatis gratia omitto, invenietur 

^qualis -^ X p K 2_p 1 ^ — J^ xCP— CK^ = (cum M : N : : 
2 CB ^ 2 C A 

C B • C A) MxCA^ xPK^ + MxCK^xCB^— MxCA"XpI2 

2 C B -' X C A 
MxCB-xC12__ ^^^^ PK^: CA^ — CK^:: CB^: CA^ 



2 C B '^ X C A 

R 2 






224 DE CAUSA PHYSICA FLUXUS 

et si C G sit semi-axis ellipseos per p ductse similis ellipsi A B a b, et simili- 
tersitae^pl^: CG^ — CP:: r.R^- r a^) Mx C A — Mx CG ,^^^_ 

que cum haec quantitas a situ puncti P non pendeat, vis haec est semper 
eadem, si detur locus particulae p ; quae proinde cum undique aequaUter 
urgeatur, fluidum erit ubique in aequilibrio. 

Coi\ 1 . Sit ut in Cor. 2. Lemmatis IV. A vis gravitatis in sphaeroidem in 
loco A, B vis gravitatis in eandem in loco B, V vis K G in mediocri sua 
quantitate iu superiore Sectione exposita, qua Luna vel Sol aquam sphae- 
roidis deprimit in distantia d, quae ponitur mediocris inter C A et C B. 
Sit C A = a, C B = b, eritque vis N, qua particula B versus C ur- 

getur, aequalis B + ^,etM=A-hiI-i4-^ = A- ^^I. Un- 
d d d d 

de per hanc Propositionem si a : b : : B + • A- — — ^ — j erit flui- 

d d 

dum in aequihbrio. Atque hinc ex datis A, B et V in terminis a et b 

2a^ V b ^ V 
species figurae innotescet. Est A a — B b = — - — + — — . 

Con 2. Ciira vis V (sive ex inaequaU gravitate particularum versus 
Lunam, vel versus Solem oriatur) sit exigua admodum respectu virium 
A et B, et differentia inter a et b admodum parva, ducatur a ~ d + x et 

b = d — X, eritque Bd — Bx + Vx ^~~^^ - = A d + A x— 2 V X 



"*" ^l, et neglectis terminis ubi x x reperitur Bd — Bx + Vd — 2Vx = 
d 

Ad + Ax — 2Vd — 4Vx, undeBd — Ad + 3Vd = Ax + Bx — 

2 V x; adeoque x:d::B — A + 3V:B + A — 2 V; et differentia 

altitudinis aquae in A et B (seu 2 x) ad semi-diametrum mediocrem d ut 

2 B — 2 A + 6 V ad B + A — 2 V, vel quam proxime ut B — A + 3 V 

ad gravitatem versiis sphaeroidem mediocrem. 

Cor, 3. In prsecedentibus Corollariis supposuimus d = jCA + iCB; 

f erum si d denotet aham quamvis distantiam ubi vis K G ponatur aquahs 

ipsi V, sitque e=jCA + iCB, erit x : e : : B — • A + -^ : B + 

A 2eV 

Cor, 4. Per vim V in his CoroUariis intelleximus vim vel Sohs vel 
Lunae, et figuram consideravimus, quam Terra fluida homogenea indue- 
ret si hse vires soorsum in eam agerent. Sit nunc Luna Soli conjuncta 



ET REFLUXUS MARIS. 



225 



vel opposita, et simul agant iii Terram. In hoc casu vires luminarium 
conspirant ad aquam toUsndam in A et a, eamque deprimendam in B et 
b, et easdem ubique servant leges. Unde erit etiam in hoc casu fluidum 
in sequilibrio, si vis tota quae agit in loco A, sit ad vim totam quae agit in 
loco B ut C B ad C A ; adeoque si V nunc designet summam vi- 
rium, quibus Sol et Luna aquam deprimit in rectis T b, T B ad me- 

diocrem distantiam fluidum erit in gequilibrio, si b : a : : A — — — 

d 

: B + ^, velxaddutB — A + SVadB+A— .2V quam 
d 

proxime, ut prius. 

Cor. 5. Sit nunc Luna in recta A a, Sol in 

recta B b ; et quoniam Lunse vis potior est, axis 

transversus figurae generatricis transeat per Lu- 

nam, conjugatus per Solem; et si vis tota quae 

agit in loco A sit ad vim totam quse agit in loco B 

ut C B ad C A, erit sphserois fluida in aequilibrio 

etiam in hoc casu. Sit s vis qua Sol deprimit aquam 

in rectis T A, T a ad mediocrem a centro C distan- 

tiam, 1 vis qua Luna aquam deprimit in rectis T B, 

T b ad aequalem distantiam ; eritque vis tota quae 

2^ 

d~ d 

2bs 



agit in loco A aequalis A — t~-!: — ?lf , vis tota quas agit -F 



Unde coUigitur ut 




in loco B aequalis B + — 

d d 

in Corol. 2. x:d:: B — A-f-3l — 3s:B + A — 

2 1 -f- 2 s : : (si 1 — s nunc dicatur V) B — A -{- 

3 V, B -f A — 2 V, ut prius. 
SchoL Eadem plane ratione ostenditur quod si 

B a b A sit sphaerois fluida oblata ge- 

nita motu semi-ellipsis B A b circa axem 

minorem B b ; et vertatur haec sphaerois 

circa eundem axem tali motu ut gravi- 

tas versus sphaeroidem hanc in polo A 

sit ad excessum quo gravitas in loco B 

superat vim centrifugam in B ex motu 

sphaeroidis circa axem oriundam ut C B 

ad C A, fluidum fore ubique in aequilibrio. Unde sequitur figuram 

Terrae, quatenus ex vi centrifuga a motu diurno oriunda immuta- 

R3 




226 



DE CAUSA PHYSICA FLUXUS 



tur, esse sphseroidem oblatam qualis gignitur motu semi-ellipsis B a b 

circa axem minorem (si materia Terrae pro asqualiter densa habea- 

tur) semi-diametrum aequatoris esse ad 

semi-axem ut gravitas sub polis in Ter- 

ram est ad excessum gravitatis supra vim 

centrifugam sub aequatore, corpus in loco 

quovis P tendere versus Terram vi quae 

est semper ut recta P L perpendicularis 

ellipsi generatrici et axi majori occurrens 

in L, et mensuram denique gradus in 

meridiano esse semper ut cubus ejusdem rect^ P L. Ha2C omnia 

accurate demonstrantur ex hac Propositione ; quae quamvis in dis- 

quisitione de figura Terrae eximii usus sint, hic obiter tantum monere 

convenit. 




LEMMA V. 



Sit figura quaevis A B a : describatur circulus C N H centro A, radio 
quovis dato A C ; ex A educatur recta quaevis A M occurrens figurse 
A B a in M, et circulo in N ; tt^ 
sint M Q et N R perpendicu- ii 
lares in axem datum A a, sit 
K R semper asqualis abscissae 
A Q, et vis qua particula A 
urgetur versiis solidum motu 
figurae A B a circa axem A a 




genitum, erit ut area quam 
generat ordinata K R directe 
et radius A C inverse. 

Occurrat alia recta ex A 
educta figurae in m et circulo 
in n, sintque m q et n r nor- 
males in axem A a. Sit A Z z a 
alia sectio solidi per axem, cui 

occurrant plana A*M Z, A m z ipsi A M a normalia in rectis A Z, A z, 
quae circulum radio A C in plano A Z z a descriptum secent in X et x ; 
denique arcus M o circularis centro A descriptus occurrat A m in o. His 
positis, minuatur angulus contentus planis A M a, A Z a, et simul an- 
gukis M A m donec evanescant, et ultima ratio vis qua particula A tendit 



Kk 



ET REFLUXUS MARIS. 227 

ad piramidem A M Z z m ad vim qua urgetur versus piramidem A N X x n 
erit rectae A M ad A N, vel A Q ad A R, per Lem. IL vis hujus pirami- 

dis est ut vis superficiei N X x n in rectam A N, adeoque ut — — — X 

^ A N ^ 

A N = ^^^^^ vel ut ^^^^^^ (quoniam N X est ut N R) i. e. ut 

AN AN 

A R 

R r ; eiusdemque vis ad directionem axis reducta ut R r X — ^ ; quare vis 

^ ^ AN ^ 

A O 

piramidis A M Z z m ad eandem directionem reducta R r X ~-^ = 

T? 1' X TC R • . • 

. Vis igitur qua particula A urgetur versus frustum solidi 

A L/- 

planis A M a, A z a contenti, est ut area quam generat ordinata K R 
directe et radius A C inverse ; cumque solidum sit rotundum, motu scili- 
cet figuras circa axem A a genitum, par erit ratio vis qua particula urge- 
tur versus integrum solidum. 

Cor. Vis qua particula A urgetur in solidum est ad vim qua urge- 
tur versus spliaeram super diametrum A a descriptam ut area quam 
generat ordinata K R ad § C A^^. Quippe si A M a sit circulus, erit 
A Q ad A a ut A Q 2 ad A M ^ vel A R ^ ad A N ^. Unde in 

hoc casu erit K R = . , et area A R K (quam generat ordi- 

A C 

nata K R) = _, adeoque area tota motu ordinatae R K genita 

erit I C A 2. 



PROPOSITIO II.— PROBLEMA. 

Invenire gravitatem jparticuloe A in cxtremitate axis iransversi sitce versiis 

sphcBroidem ohlongam, 

Caeteris manentibus ut in Lemmate prascedenti sit A M a elJipsis, A a 
axis transversus, C centrum, B b axis conjugatus, F focus ; educatur 
recta quaevis A M ex A ellipsi occurrens in M, cui parallela C V occurrat 
ellipsi in V ; unde ducatur ordinata ad axem V L, juncta a M recfae C V 
occurrat in e, eritque A M = 2 C e : cumque A Q : C L : : A M 
(2 C e) : C V : : 2 C L : C a, erunt ^ A Q, C L et C A continue pro- 
portionales. Sit C A = a, C B = b, C F = c, A R = x, C L = 1, 

R4 



228 



DE CAUSA PHYSICA FLUXUS 



2a^b^ y zM^ 

c^ a 2 — z 2' 



Quare sit a 



cumqueAR^: NR^:: CL^: VL-eritx^: a^— x^::!^: a^— l^x 
^^ade6quel^ = 4b^:etAQvelKR = ?A^^ 

/2 a b ~ x^d X / . . v /» 

-^— -^ = (siz.x::c:a)/ 

quantitas cujus logarithmus 
evanescit, sive systematis lo- H 
garithmici modulus, 1 logarith- 

mus quantitatis a -y/ __JLlL_5, 
a — z 

eritque A R K = ^ ^^^' x 
c ^ 

1 — z. Unde vis qua particula A 

A gravitat versus solidum ge- 

nitum motu segmenti elliptici 

A u M A circa axem A a, erit 

ad vim qu^ eadem particula 

gravitat versus solidum geni- 

tum motu segmenti circularis 

ex circulo supra diametrum 

A a descripti eadem recta A M 

... 2 a^ b 2 n 2 X ^ 

abscissi circa eundem axem ut XI — z ad , , et si L sit lo 

c^ 3 a 




a -h c 



garithmus quantitatis a V ^lX-^ (vel ^ X a + c) erit vis qua particula 

a — c b 

A tendit versus totam sphaeroidem ad vim qua tendit versus totam sphas- 

ram ut 3 b ^ X L — c ad c ^. 

Schol. Eadem ratione invenitur gravitas particulae in polo sitae versus 

2 b ^ a " 
sphaeroidem oblatam, quaerendo aream cujus ordinata est ^^-1— X 

-. Sit B A b a sphaerois oblata motu ellipsis B A b circa axem ^ 



b^ + z 

minorem genita, centro B, radio B C describatur arcus circuli C S, 
rectae B F occurrens in S, eritque gravitas in hanc sphaeroidem in polo 
B ad gravitatem in eodem loco versus sphaeram super diametrum B b 
descriptam ut 3 C A ^ X C F — C S ad C F ^. Methodus vero qua 
gravitas particulae in aequatore sitae versus sphaeroidem oblongam vel 
oblatam computatur, est minus obvia, facilis tamen evadit ope sequentis 
Lemmatis. 



ET REFLUXUS MARIS. 



n» 



LEMMA VL 

Duo plana BMbaB, BZgeBse mutuo secent in recta H B h com- 
muni figurarum fangente, auferantque ex solido frustum BMbaBzgeB; 
sint semi-circuli H C h, H c h sectiones horum planorum et superficiei 
sphaerae centro B, radio B C descriptae. Ex puncto B educatur recta. 
quaevis B M in priori plano figurae B M b a occurrens in M, et semi-cir- 
culo H C h in N ; sintque M Q et N R normales in H h, et ordinata 
K R semper aequalis rectae M Q. His positis, si angulus C B c planis 
hisce contentus minuatur in infinitum, erit gravitas particulae B versus 
Irustum BMbaBZgeB ultimo ad gravitatem ejusdem particuiai ver- 





a 

IL 


^ 


\. 


\m 


L 

V 




•^^^ 


> 


^\b 


K,^-^ 


/Tv^^ 


^ 

y 


kx 


// J\^^ 


/\' 




/ r 

l( T> 


il^^\ 


1 


a\ 


XJ 


Y^ 


F 


ki 


' 



sus frustum sphaerae semi-circulis H C h, H c h contentum, ut area 
LI K d h genita motu ordinatae K R ad semi-circukjm H C h. 

Sit m punctum in figura B M B, ipsi M quam proximum jungatur 
B m quae circulo H C h occurrat in n ; sitque n r normalis in H h. Ad 
hffic sint plana B M Z, B m z perpendicularia plano B M b a, secentque 
planum alterum B Z g e in rectis B Z, B z circumferentiae H c h occur- 
rentibus in X et x. His positis, vis qua particula B gravitat in pyrami- 
dem B M Z z m erit ad vim qua eadem particula gravitat in pyramidem 
B N X x n ultimo ut recta B M ad B N, vel M a ad N R per Lem^ III. 

Gravitas autem in hanc pyramidem est ut — ^,- ^— X B N, vel (quo- 

B N^ 

niam N X est ut N R) ut ^ ^ ^ ^, i. e. ut R r ; atque haec gravilas 

B C 



230 



DE CAUSA PHYSICA FLUXUS 



agit secundiim rectam B b vi quae est — ; unde gravitas in pyra- 

B C 

midem B M Z z m agit secundum rectam B b vi quae est ut _l£ ^, -y, 

B C 

vel -1 ^ . Proinde ultima ratio virium quibus particula B urgetur 

versus integra frusta solidi et sphaerae B C, est ratio areae H K d h (quam 
generat ordinata K R) ad semi-circulum H C h. 




Cor. Gravitas in frustum planis BMba, BZge terminatum, est ad 
gravitatem in frustum sphaericum contentum circulis super diametros 
B b, B g descriptis, ut area H K d h ad f C B ^. Sit enim B M B b cir- 

culus, eritque M Q ad B b, ut R N -' ad B C ^, et K R = ^ ^^' = 

2 B C 2 — i-0_', et area HKdB = fCB^ adeoque area tota 
C B 

HKdh = f CB^. 



PROPOSITIO III.— PROBLEMA. 

Invenire gravitatem particulcE in cequatore sitce versus sphdei-oidem oblongam, 

Per aequatorem inteUigimus circulum ab axe conjugato genitum dum 
figura circa alterum axem revolvitur. Repraesentet B M b a in figura 



ET REFLUXUS MARIS. 231 

praccedentis Lemmatis, sectlonem quamvis sphaeroidis aequatorls plano 
normalem, eritque haec figura semper similis sectioni per polos solidi, seu 
figurae cujus revolutione solidum genitum esse supponimus. Hujus de- 
monstrationem ut facilem et ab aUis traditam brevitatis gratia omitto. Sit 
igitur C A sectionis hujus semi-axis transversus, Q B semi-axis conjuga- 
tus, F focus ; sit C B = b, C A = a, C F = c, B R = X, C V semi-dia- 
meter parallela rectae B M, V L ordinata ad axem B b, C L = L Tunc 

C B : C L : : C L : J M Q ut in Proposit. praecedentl, et M Q = lll. 



VeriimNR^: B R^ : : C L '^ : VL^ i. e. b ^ — x^ : x^ : ; l^ :b^ — l 



Xi_, vela^-^-i^: X-: l^ : b^-l^ etl^ = ^Z^l^-X = 
b^ b^ ' a 2 b 2 — c '^ 

(sIz:x::c:b)!il|!xc4zz^,etKR = MQ=iL^==i^;i^ 
c^ a^ — z- b c^ 

ilnii-!, et area B d K R ^qualis /•il!]^ X -_lzi£! = ? a ' b ' == 
a^ — z^ •^ c'' a' — z^ 



3 



y ^ g — X _ L. Sit igitur 1 (ut in priore Propositione) lo- 



garithmus quantitatis a V ^_±^, et area B d K R erit ?^^ _ l£__L 

a — z c^ c^ 

bM 2b2 



X11_J = l^Xa^z— b^l. 
a"^ c ^ 

Supponantur nunc x = b, adeoque z = c ; sitque L logarithmus quan- 
titatis a V ?_lL5, ut prius, eritque area tota H K d h, motu ordinatae 



4b 



K R genita, sequahs Xa^c — b^L. Quare gravitas particuloe B 

c 

versus frustum planis ellipticis BMba, BZge terminatum erit ultimo 

ad gravitatem in frustum iisdem planis contentum a sphffira centro C 

radio C B descripta resectum, uta^c — b^L ad fc ^ per Cor. Leni. 

VL Sit circulus B P p b aequator sphasroidis, B P et B p duae qusDvis 

chordae hujus circuli ; sectiones sphseroidis circulo B P b perpendiculares 

erunt elHpses similes sectioni quae per polos soUdi transit, quarum B P et 

B p erunt axes transversi ; sectiones autem sphserae super diametrum B b 

descriptae per eadem plana erunt circuli quorum diametri erunt chordas 

B P, P p. Proinde eadem semper erit ratio gravitatis particulae B in 

frusta elHptica et sphaerica his planis terminata ; eritque gravitas versus 

integram sphoeroidem ad gravitatem versus sphaeram, uta^c — b^Lad 

I c^, a denotante semi-axem tranversum figurae cujus motu gignitur soU- 



232 



DE CAUSA PHYSICA FLUXUS 



dum, b semi-axem conjugatum, c distantiam foci a centro, et L, logaritli- 



mum ipsiiis a V ^-^ — - vel a X 



Q. e. f. 



Cor. Eadem semper est ratio gravitatis versus frustum quodvis sphae- 
roidis et frustum sphaerae eodem plano ad sequatorem normali abscissum 
ab eadem parte plani ; vel gravitas in portionem a sphaeroide hoc plano 
abscissam est ad gravitatem in integram sphaeroidem, ut gravitas in frus- 
tum sphserae eodem plano ex eadem parte abscissum ad gravitatem in 
integram sphaeram. 

SchoL Eadem ratione si B A b a sit sphaerois oblata motu figurae B A b 
circa axem minorem B b genita, erit gravitas in sphaeroidem hanc in loco 




A ad gravitatem in eodem loco versus sphaeram centro C radio C A de- 
scriptam, utCA^XCS — CB^XCFadfCF^ 

PROPOSITIO IV.— PROBLEMA. 

JEa: datis virihus qtiibus Terrce particula; gravitant versus Solem et Lunam, 
invenire Jiguram quam Terra indueret in syzygiis vel quadrattiris Solis et 
Lunce in hypothesi qubd Terra constet exjiuido homogeneo^ ei circa axem 
suum non moveatur. 

Gravitas in loco A versiis sphaeroidem oblongam motu figiirae A B a 
circa axem transversam A a genitam, est ad gravitatem in eodem loco 
versus spha^ram centro C radio C A descriptam, ut 3 b ^ X L — c ad c ^ 



ET REFLUXUS MARIS. 



233 



per Prop. II. Haec autem gravitas est ad gravitatem in B versus sphaeram 
centro C radio C B descriptam, ut C A at C B (per Cor. 1. Lem. IIL) quae 
est ad gravitatem in loco B versus sphaeroidem 
utf c^ada^c — b^L per Prop. IV. Com- 
ponantur hae rationes, eritque gravitas in loco 
A versus sphaeroidem ad gravitatem in loco B 




versus eandem, ut2abXL — cada-c — 

b ^ L. Designet A gravitatem in loco A, B 

gravitatem in loco B, V summam virium qui- 

bus luminaria conjuncta vel opposita aquam 

deprimunt in rectis T B, T b perpendiculari- 

bus rectae A a quse per Terrae et luminarium centra transire supponitur, 

ut in Cor. 4. Prop. I. vel difFerentiam earumdem virium in Lunae qua- 

draturis, ut in Cor. 5. ejusdem Prop. et per ea quae demonstrantur Cor. 1. 

Prop. I. erit A a — B b = ^ a ^ V + b ^ V^ Adeoque A a — b A X 

d 



b^L ^a^V + b^V 



2abX L— c 
b-L — Sa^c 



,etV:A::2a2L + 



2a 



X2a2 + b^XL— c. Atque 



ex data ratione V ad A vel ad B, vel ^ A + J B 
(quae pro G gravitate mediocri in circumferentia 
A B a b haberi potest) habebimus sequationem unde 
species figurae et differentia semi-axium seu ascensus 
aquae computari possunt. 



Est autem L logarithmus quantitatis a V 



a + c 



adeoque aequaUs c + — — + ~ — + — — , &c. per 
^ ^ Sa^Sa-^Ta^ ^ 

methodos notissimas, adeoque L — c = — — + — — 
' ^ Sa^ 5a^ 



+ Jl_, &c. Unde est V ad A, ut 



7ii' 
6c 



2c2 4 c'' 

"2 ' 



15a 



35 a 




L — c X a d 



+ ^y , &c. ad 

63a6 c^X2a2 + b 



- et V ad i A + i B vel G, 



ut 



2c 



15 a 



4 c 



-4 + 



6c 



■ , &c. ad 



2a2 + b- 



X 2abL — b^L + a^c—^abc. 



35 a'' ■ 63 a 6' ^bdc^ 

Verum si V sit admodum exigua respectu gravitatis G (ut in praesenti 
casu) erit diiferentia semi-diametrorum C A, C B ad semi-diametrum 



234 



DE CAUSA PHYSICA FLUXUS 



mediocrem quam proxime ut 15 V ad 8 G, vel paulo accuratius ut 15 V 
ad 8 G — 57/5 X V. Sit enim ut in Cor. 2. Prop. I. a = d + x, b = 
d — X, adeoque c^^a^ — b^^^dx, eritque A:B::2abXL — c: 



-b^L:: ^ + ^ 
3 5 a^ 



+ 



bc 



7 a 



&c. 



a c 






i. e. ut 



15a 



35a 



d — x , 4dxXd 
3 

d 4. X 



5 X d + x|2 
, 4dxXd + X , 

T ^- — T 



-X _^ 16d'^x^X_d-x ^^^ ^^ 



7Xd"+x|* 
16 d 2 



X d + X 



ac. 

3 ■ 15 X d + xj^ 35 X d + x|* 

adeoque (neglectis terminis, quos plures dimensiones 
ipsius X ingrediuntur) ut ^^ d + y|- x : ^ d + jj x. 
Proinde erit B — A ad B + A (= 2 G): : x : 5 d 
+ 18 X, et B — A : G : : 2 X : 5 d + 18 X. Sed 
per Cor. 2. Prop. I. est x ad d ut B — A + 3 V ad 
B + A — 2 V, adeoque substituendo valores quan- 

titatum B — A et B + A, erit x : d : : _^_r_±.__ 

5d + 18x 

Unde 2 Gx — 2Vx = 




8 G — 64 V, et 



+ 3V : 2G — 2V. 

2Gdx + 15Vd + 54Vx ^,,^P^^,__,^,V, 

5 d + 18 X 

+ 36 G X X — 36 V x.x = 2 G d X + 15 V d + 

54 V X, et terminis omissis ubi reperitur x x, erit 

SGdx — 64Vx=15Vd atque x : d : : 15 V 

2 X ad d ut 15 V ad 4 G — 32 V. Ascensus igitur totius aquse, i. e. 

differentia semi-diametrorum C A, C B (vel 2 x) est ad semi-diametrum 

mediocrem, ut 1 5 V ad 8 G quam proxime : facile autem erit rationem 

hanc exhibere magis accurate, quoties usus id postulabit, assumendo 

plures terminos valoris logarithmi L, et calculum prosequendo ; prodit 

autem hoc pacto x ad d magis accurate, ut 15 V ad 8 G — 57^^^ X V. 

3 V 3 V <. 
Co7\ B — A est aequalis ; et B — G = quam proxime. Quippe 

B — A : G : : 2 X : 5 d : : 30 V : 40 G, adeoque B — A : V : : 3 : 4. 

Schol. Eadem ratione patebit gravitatem versus sphaeroidem oblatam 
in polo B fore ad gravitatem in aequatore in loco quovis A, ut 2 C B X 
C A X C F — C S ad C A ^ X C S — C B X C F. 




ET REFLUXUS MARIS. 235 

PROPOSITIO V.— PROBLEMA. 

Invenire vim V quce oritur ex inaquali gravitate partium TerrcB versus 
Solem^ et definire ascefisum aquce hinc oriimdum, 

Sit S Sol, T Terra, A B a b orbita lunaris neglecta excentricitate, B 
et b quadraturae. Designet S tempus periodicum Terras circa Solem, L 
tempus periodicum Lunoe circa Terram, 1 tempus quo Luna circa Ter- 
ram revolveretur in circulo ad distantiam mediocrem T d ( = -i- C A + 
J C B) si motus Lunas gravitate sua versus Solem nullatenus turbare- 
tur, et sola gravitate versus Terram in orbita retineretur. 
Designet porro K gravitatem mediocrem Lunee vel Ter- 
r(fi versus Solem, g gravitatem Lunae versus Terram in 
mediocri sua distantia, v vim quam actio Solis huic gra- 
vitati adjiceret in quadraturis ad eandem di^tantiam. 

His positis, erit v : K : : d T : S T ; atque K : g : : -^ 

S o 

d T 

: — — ex vulgari doctrina virium centripetarum ; unde v : 

g : : 1 1 : S S : cumque 1 1 sit paulo minus quam L L, ^=^g 

quoniam Luna nonnihil distrahitur a Terra gravitate sua 
in Solem, patet vim v esse ad g in paulo minori ratione 
quam L L ad SS. Hanc autem rationem vis v ad g nemo hactenus 
(quantum novi) accurate definivit; ea tamen propior videtur esse rationi 
L L ad S S + 2 L L vel saltem rationi LLad SS + fLL quam 
rationi L L ad S S. Argumenta vero quibus id colligitur hic omittenda 
censeo, moniti Academiag illustrissimae memor, ciim in hac disquisitione 
parvi sit momenti quaenam harum rationum adhibeatur. Supponamus 
igitur cum Newtono v : g : : L L : S S : : (per computos astronomicos 
periodorum Solis ac Lunae) 1 : 178,725. Vis V quae in Terrae superficie 
vi v respondet, est ad v, ut Terras semi-diameter mediocris ad distantiam 
Lunae mediocrem vel ut 1 ad 60j. Vis autem g agit secundum rectas, 
quae in centro gravitatis Terrae ac Lunae concurrunt, cujus ratione ha- 
bita ex incremento gravitatis in descensu ad superficiem Terrae patebit 
vim V esse ad G (qua gravitas mediocris in superficie Terrae designatur 
ut supra) ut 1 ad 38604600. Unde cum per Cor. 2. Prop. III. sit 
X : d : : 15 V : 8 G — 57/^^ V erit in hoc casu x : d : : 1 : 20589116. 
Cumque semi-diameter Terrae mediocris sit pedum 19615800; hinc se- 
quitur totum aquae ascensum ex vi Solis oriundum fore pedis unius Pari- 
siensis cum i^tjWu partibus pedis, i. e. pedis unius cum digitis decem, et 




i 



2S6 DE CAUSA PHYSICA FLUXUS 

■^Vol) partibus digiti; quem suo more breviter deprehendit Newtonus 
esse pedis unius, digitorum undecim cum 3'^ parte digiti, quee altitudo a 
nostra difFert tantum sexta parte unius digiti. 

Verum in hoc calculo Terra supponitur esse sphaerica, nisi quatenus a 
vi Solis mare elevatur. Sed si ascensum aquae maximum qunsramus, 
ponendum est Solem in circulo aequinoctiali versari, figuramque A B a b 
in hoc plano constitui, et augenda est vis V in ratione ^ 

semi-diametri mediocris ad semi-diametrum Terrae maxi- 
mum, et minuenda est vis G donec evadat aequalis gravi- 
tati sub aequatore : i. e. oi figuram Terrae eam esse sup- 
ponamus quam deiinivit Newtonus, augenda erit vis V in 
ratione 459 ad 460, et minuenda est G in eadem fere 
ratione, quoniam vires gravitatis in superficie Terrae sunt 
inverse ut distantiae locorum a centro ; cumque distantia d 
sit augenda in eadem ratione, erit ascensus aquae in aequa- 
tore augendus in ratione triplicata semi-diametri mediocris 
ad maximam, adeoque erit pedis unius, digitorum undecim cum 60"™* 
circiter parte digiti. Terra autem altior est sub aequatore quam prodiit 
calculo Newtoniano ex hypothesi quod Terra sit uniformiter densa a super- 
ficie usque ad centrum; ut colligitur ex variis pendulorum observationi- 
bus, et praesertim ex mensura gradus meridiani quam viri clarissimi 
nuper definiverunt accuratissime sub circulo polari. 

Schol. 1. Si gravitatem posuissemus aequalem in A et B, et ejusdem 

vis in tota circumferentia A B a b, prodiisset x aequaHs tantum -, et 

ascensus aquae (seu 2 x) pedis unius, digitorum sex cum tertia circiter 

parte digiti. Quippe in hac hypothesi prodiisset C A ad C B, ut G + V 

S V 
ftd G — 2 V, adeoque x ad d, ut ad G quam proxime. Atque hinc 

apparet utilitas praecedentium Propositionum, cum ascensus aquae secun- 
dum hanc minus accuratam hypothesim minor sit ascensu quem in hac 

Propositione definivimus, differentia , quarta scihcet parte ascensus 

4 G 

illius. 

SclioL 2. Ex hac doctrina patet satellites Jovis Soli et sibi mutuo con- 

junctos vel oppositos in oceano joviali (si ullus sit) ingentes motus exci- 

tare debere, modo non sint Luna nostra multo minores ; cum diameter 

Jovis ad distantiam cujusque satellitis multo majorem ^abeat rationem 

quam diameter Terrae ad distantiam Lunae. Verisimile est mutationes 



ET REFLUXUS MARIS. 



237 



macularum Jovis ab astronomis observatas hinc aliqua saltem ex partc 
ortum ducere ; quod si hae mutationes eam analogiam servare deprehen- 
dantur cum aspectibus satellitum, quam haec doctrina postulat, indicio 
erit veram earum causam hinc esse petendam. Ex hac doctrina licet 
quoque conjicere non absque utiHtate, motus satelUtum circa axes suos et 
circa primarios ita compositos esse ut idem hemispherium suis primariis 
semper ostendant, secundiim sententiam celeb, astronomorum. Verisi- 
mile enim est motus maris nimios in sateUitibus cieri deberi, si cum aUa 
quavis velocitate circa axes suos revolverentur ; aquis autem in his agi- 
tandis (si quae sint) sufficere possunt sestus ex variis sateUitum distantiis a 
suis primariis oriundis, 

SECTIO IV, 

De motu maris qudtenus ex motu Telluris diurno aliisve de causis im- 

mutatur. 



Ostendimus in Sectione praecedenti Terram fluidam versus Solem vel 
Lunam inaeqaUter gravem sphaeroidis oblongee figuram induere debere; 
cujus axis transversus per centrum luminaris tran- 
siret, si Terra non revolveretur circa axein suum 
motu diurno ; et ascensum aquas in hypothesi Terrae 
quiescentis ex vi SoUs oriundum definivimus. Ve- 
rura ob motum Terras diversa est ratio aestus maris. 
Hinc enim aqua nunquam fit in asquiUbrio, sed per- 
petuis motibus agitatur. Supponamus Solem et 
Lunam conjunctos vel oppositos versari in plano 
aequatoris A B a b ; sit A a diameter quae per iUorum 
centra transit, B b huic perpendicularis. Dum 
aquae moles revolvitur motu diurno, augentur vires 
quibus ascensus ejus promovetur in transitu aquae a 
locis b et B ad A et a, et in his locis evadunt maxi- 
mae ; ascensus tamen aquae prorogari videtur, post- 
quam hae vires minni coeperunt usque fere ad loca 
iibi hae vires sequipoUent viribus quibus deprimitur 
infra altitudinem quam naturaliter obtineret, si nuUa 
\i extranea motus aquae perturbaretur ; adeo ut 
motus aquae considerari possit tanquam Ubratorius, et iantundem fere 
ascendat viribus quibus elevatur decrescentibus, quam iisdem crescentibus. 

VOL. III. s 




238 



DE CAUSA PHYSICA FLUXUS 



Cumque vis centrifuga ex motu diurno orta sit multo minor gravitate, situs 

loci F ubi praedictae vires sequipollent sub sequatore, dum aqua transit a loco 

b ad locum A, sic fere definiri posse videtur. Ex 

puncto F sit F f normalis in B b, et f z in T F. Desig- 

net V summam virium quibus Sol et Luna aquam 

deprimunt in rectis T B, T b ut supra, et vis qua 

. ir. • T? •, 3VxFz_3VxFf2 

aqua tollitur m t erit = — ,„ „ « 

^ d d X T F 

Supponamus F esse locum aquae ubi altitudo aquae 

fit minima, ut T F haberi possit pro semi-axe con- 

jugato figurae A B a b, dicatur gravitas in extremi- 

tate hujus axis B, et gravitas mediocris in hac figura 

G, ut supra ; et vis qua aqua deprimitur infra situm 

V X T F 

naturalem in loco F erit B — A + 

d 

Ponantur hae vires aequales, cumque T F sit quam 
proxime aequaUs distantiae d, sitque B — G = 



3 V 




per Cor. Prop. IV. erit iZ + V = iP^^i:, seu T F ^ : F f -^ : : 3 : 1 + 

1 : : 24< : n. Unde anguUis F T b erit graduum 42 minutorum 37, in- 
cidetque fere in punctum medium inter b et A. Hunc vero calculum ut 
accuratum non proponimus. , 



PROPOSITIO VI.— PROBLEMA. 

Motum maris ex vi Solis oriundtcm, et motum lunarem in orbitd qudm 
proxime circulari inter se cornparare, et hinc ascensum aquce cEstimare. 



Astronomis notissimum. est Lunae distantiam mediocrem in syzygiis 
minorem esse distantia mediocri in quadraturis. Clariss. Halleyus ex 
observationibus colHgit distantiam priorem esse ad posteriorem ut 44j 
ad 45 J. Newtonus methodo quadam sua harum rationem invenit esse 
eam 69 ad 70 : Princip. Prop. XXVIII. Lib. III. Clarissimus auctor 
Tractatus de Motibus Lunae secundiiin Theoriam gravitatis, in hac doctrina 
optime versatus, colKgit eam esse numeri 69 ad 70 ; ratione non habita 
decrementi gravitatis dum Luna transit a syzygiis ad quadraturas. Ut 
motus maris ex vi Solis oriundus (quidis supra definitur Prop. V.) cum 



ET REFLUXUS MARIS. 239 

motii Lunae conferatur, supponamus orbem lunarem aqua compleri, et 
quaeramus ascensum hujus aquae per Prop. IV. et V. In Prop. V. erat 
vis V ad g, ut 1 ad 178, 725 ; quare in hoc casu foret x : d : : 15 v : 8 g 
— 57x^1 X V : : 1 : 91,496 : adeoque semi-axis figurae ad semi-axem con- 
jugatum (vel d + x ad d — x) ut 4-6,248 ad 45,248; quae fere congruit 
cum ratione distantiarum Lunae in quadraturis et syzygiis quam Halleyus 
ex observationibus deducit ; adeo ut figura orbitae lunaris specie vix di- 
versa sit ab ea quam globus aqueus quiescens Lunae orbitam complens 
ex vi Sohs indueret ; forent tamen positione diversae, siquidem illius axis 
minor Solem respiciat, hujus axis major versus Solem dirigeretur. Ratio 
numeri 59 ad 60 (quarum semi-difFerentia est ad semi-summam ut 3 v ad 
g quam proxime) probe congruit cum ratione semi-axium figurae quam 
aqua ex vi Solis indueret, si vis gravitatis eadem esset per totam circum- 
ferentiam ABab, ut ostendimus in Schol. 1. Prop. V. Ascensus autem 
aquae Prop. V. definitus congruit cum ea quam ex observationibus colli- 
git Halleyus ; unde suspicari Ucet differentiam diametrorum orbitae 
lunaris paulo fieri majorem ex decremento gravitatis Lunae in Terram 
dum transit a syzygiis ad quadraturas, simili fere ratione qua ascensus 
aquae prodiit in hac Propositione major propter excessum gravitatis aquae 
in Terram in loco B supra ipsius gravitatem in loco A aliisque a centro 
distantiis. Verum quidquid si judicandum de ratione diametrorum or- 
bitse lunaris, ex his colligere licet ascensum aquae Prop. V. definitum 
majorem vix evadere propter motum Terrae diurnum circa axem suum. 
Supponamus enim hunc motum augeri donec vis centrifuga ex hoc motu 
oriunda fiat asqualis gravitati, et particuljfi maris revolvantur ad morem 
satellitum in orbitis quam proxime circularibus Terram contingentibus. 
Hae orbitae erunt elKpticae, quarum axes minores productae transibunt 
per Solem. Et si semi-axium differentia sit ad semi-diametrum medio- 
crem ut 3 V ad G (secundum ea quae de motibus lunaribus tradit vir 
acutissimus) erit minor ascensu aquae supra definito Prop. V. in qua in- 
venimus 2 x esse ad d ut 15 V ad 4 G. Quod si quaeramus horum 
semi-axium differentiam ex figura orbitae lunaris quatenus ex observa- 
tionibus innotescit secundum claris. Halleyum, parum admodum supera- 
bit ascensum aquae supra definitum. Nec mirum si non accurate con- 
veniant, ciim gravitas Lunae versus Terram sequatur rationem inversam 
duplicatam distantiarum, gravitas aquae major quoque sit in majori 
distantia, sed non in eadem ratione. Cum haec phaenomena sint analoga, 
et sibi mutuo aliquam lucem afferant, haec de iis inter se collatis niemo- 
rare videbatur operae praetium. Supponimus tamen hic aquae motum in 

S2 



240 DE CAUSA PHYSICA FLUXUS 

eodem circulo aeqiiatori parallelo perseverare, vel latitudinem eaiidem in 
singulis revolutionibus servare, et variationem ascensus aquae, quae ex 
figura sphicroidica Terrae provenit, non consideramus. 

PROPOSITIO VII. 

Motus aquce turhatur ex incequali velocitate, qud corpora circa axem Terra: 
motu diurno defenmtur, 

Quippe si aquae moles feratur aestu, vel alia de causa, ad majorem vel 
minorem ab aequatore distantiam, incidet in aquam diversa velocitate circa 
axen. Terrae latam ; unde illius motum turbari necesse est. DiiFerentia 
velocitatum quibus corpora, exempli gratia, in loco 50^^ ab aequatore dis- 
sito, et in loco 36 tantiim milliaria magis versiis septentrionem vergente, 
major est quam qua 7 milliaria singulis horis describeretur, ut faciH cal- 
culo patebit. Cumque motus maris tantus nonnunquam sit ut aestus 6 
milliaria, vel etiam plura singuUs horis describat, effectus qui hinc oriri 
possunt non sunt contemnendi. 

Si aqua deferatur a meridie versiis septentrionem motu generali aestus, 
vel alia quavis de causa, cursus aquae hinc paulatim deflectet versus 
orientem, quoniam aqua prius ferebatur motu diurno versus hanc plagam 
majori velocitate quam est ea quae convenit loco magis versiis boream 
sito. Contra si aqua a septentrione versus meridiem deferatur, cursus 
aquae ob similem causam versus occidentem deflectet. Atque hinc varia 
motus maris phaenomena oriri suspicamur. Hinc forsitan, exempli 
gratia, montes glaciales quae ex Oceano Boreali digrediuntur, frequentius 
conspiciuntur in occidentaH quam orientali Oceani Atlantici plaga. Quin 
et majores aestus hinc cieri posse in pluribus locis quam qui ex calculo 
virium Solis et Lunae prodeunt, habita ratione latitudinis, verisimile est. 
Eandem causam ad ventos praesertim vehementiores propagandos, et 
nonnunquam augendos vel minuendos, ahaque tum aeris tum maris phae- 
nomena producenda conducere suspicamur. Sed haec nunc sigillatim 
prosequi non hcet. 




ET REFLUXUS MARIS. 241 

PROPOSITIO VIIL— PROBLEMA. 

Imenire variationem ascensus aquce in Prop. V dejiniti^ quce ex figurd 
Terrcje sjphcjeroidica jprovenit. 

Sint P A p a, P B p b sectiones Terrse per polos P et p, quarum 
prior transeat per loca A et a, ubi altitudo aquae in aequatore viribus 
Solis et Lunae fit maxima, posterior per loca B et b 
ubi fit minima ; sint has sectiones ellipticacj F focus 
figurie P A p a, f focus sectionis P B p b, et g 
focus sectionis A B a b. Et si omnes sectiones solidi 
per rectam A a transeuntes supponantur ellipticag 
calculo inito ope Lemmatis V. invenimus gravita- 
tem in loco A versus solidum hoc fore ad gravita- 
tem in eodem loco versus sphaeram centro C super 

diametrum A a descriptam ut l + ^ CF + 3Cg 

, 9CF^ + 6CF2 X Cg2 + 9Cg% . CA^ 

+ \ ^ , , ^ — J- ^, &c. ad — ; et si ffravi- 

56 CA^ CBxCP ^ 

tas in loco B, definiatur simih calculo, ope ejusdem Lemmatis et schol. 

Prop. II. constabit ratio gravitatis in A ad gravitatem in B, et per Cor. 2. 

Prop. I. innotescet semi-diametrorum C A et C B diiferentia sive ascensus 

aquag. Verum calculum utpote proHxum omittimus, cum sit exigui usus. 

Hac Propositione ostendere tantum volui geometriam nobis non defutu- 

ram in Problemate celeberrimo accuratissime tractando. Verum restat 

praecipuus in hac disquisitione nodus, de quo pauca sunt addenda. 

PROPOSITIO IX.— PROBLEMA. 

InDenire vim Lunce ad mare inovendum. 

Haec ex motibus coelestibus colligi nequit, si vero conferetur ascensus 
aquae in syzygiis luminarium, qui ex summa virium Solis et Lunae 
generatur, cum ejusdem ascensu in quadraturis, qui ex earundem difFe- 
rentia oritur, ex vi SoHs per Prop. V. data, invenietur vis Lunae. Hanc 
quasrit Newtonus ex observationibus a Sam. Sturmio ante ostium Fluvii 
Avonae institutis, ex quibus colligit ascensum aquae in syzygiis aequinoc- 
tiaUbus esse ad ascensum aquae in quadraturis iisdem, ut 9 ad 5. Dein 
post varios calculos concludit vim Lunasesse ad vim Solis, ut 4.481.5 ad 1, 

S 3 



21^2 DE CAUSA PHYSICA FLUXUS 

et ascensum aquae ex utraque vi oriundum in distantiis luminarium 
mediocribus fore pedum 50 cum semisse. Harum virium rationem ex 
observationibus a celeb. Cassini in loco supra citato allatis quaesivimus. 
Verum cum praeter generales causas jam memoratas quarum aliqua? ad 
calculum vix revocari possunt, aliae varise ex locorum situ, vadorum in- 
dole, ventorum vi et plaga pendentes, sestus maris nunc majores, nunc 
minores reddant, non est mirum si vires Lunae quae prodeunt ex obser- 
vationibus in locis diversis, vel in eodem loco diversis tempestatibus insti- 
tutis non plane consentiant. Computis igitur quo& de motu maris ex vi 
Lunae oriundo instituimus recensendis impraesentiarum non immorabi- 
mur. Postquam vero observationes aliquae circa aestus maris ad littora 
Americae et Indiae Orientalis quas expectamus, ad manus pervenerint, de 
hisce forsan certius judicemus. Observamus tantum sestus in minori 
ratione decrescere videri quam duplicata sinus complementi declinationis ; 
quin et reliquae aestus leges generales ex motu aquae reciproco pertur- 
bantur. Sed veremur ne taedium pariat, si repetamus quae ab aliis jam- 
dudum tradita sunt. ^stus anomali a locorum et marium situ plerumque 
pendere videntur. Observandum tamen ex theoria gravitatis sequi, uni- 
cum tantum sestum spatio 24 horarum contingere nonnunquam debere 
in locis ultra 62 gradum latitudinis, si reciprocatio motus aquae id per- 
mitteret. * 

Quod si analysis diversarum causarum quae ad aestus phaenomena pro- 
ducenda conferunt, accurate institui posset, id certe ad uberiorem scien- 
tiam virium et motuum systematis mundi non parum conferret. Hinc 
enim situs centri gravitatis Lunae et Terrae, et quae ad aequinoctiorum 
prascessionem ahaque phaenomena naturae insignia spectant, certius in- 
notescerent. Quas ob causas ascensus aquae quantitatem, quousque ex 
motibus ccelestibus eam assequi hcet, accurate definiendam et demon- 
strandam, positis legibus gravitatis quae ex observationibus deducuntur 
(de cujus causa hic non est disserendi locus) putavimus. Cogitata autem 
haec quahacunque judicio illustrissimiE Academiae Regiae, quam omni 
honore et reverentia semper prosequimur, lubenter submittimus. 

* Sit enim Lunae declinatio 28 gr. et loci festum est Lunam semel tantum 24 horarum 
ultra 62 gr. versixs eandero plagam, et mani- spatio loci hujus horizontem attingere. 




ET REFLUXUS MAKIS. 243 

Annotanda in Dissertationem de Causa Physica Fluxus et Re- 
fluxus Maris, cui prasfigitur sententia, Opinionum commenta 
delet dies, naturce judicia conjirmat. 

1. 1n Prop. IV. invenitur x = ^ quam proxime, qui valor ip- 

sius X est satis accuratus, nec ulla correctione indiget prassertim in 
calculo Prop. V. Est autem magis accurate x ad d ut 1 5 V ad 8 G — 

?^ Vnon ut 15 V ad 8 G — ?^ V sive 8 G — 57 A V ut lapsu quodam 
7 14 14 

calami aut calculi scripseram ad finem Prop. IV. qui quidem est exigui mo- 

menti, et argumenta Propositionum sequentium non immutat. Calculi au- 

tem summam hic adjiciam. Inveneram in Prop. IV. esse B ad A, ut \ + 

2 4 Vv 2 4 

_£ -f- — , &c. ad X ^ + -^ — + — — » &c. adeoque substituen- 

15a2^35a^ a ^ 5a^ 7a* ^ 



do 



loco — ipsius valorem ^ ^ ^ sive 1 — -£_ — ^ , &c. ut 4 -|- 

a a 2a2 8a^ ^ 



c^ , c 



„ + -± , &c. ad i + — — + -± — , &c. unde B — A est ad G 

15a^ 35a* ^ 30 a ^ 840a* 

(seu i B + J A) ut _^ + _?L£A_, &c. ad 1 + l£! +_^^, 
^ ' ^' ^ 10a2^24X35a^ ^ 20^^^ 8X70a*' 

&c. Est autem c^ = 4dx, eta^ = d^+ 2dx + x^exiis quae in 

-iC^ x2x^3x^o 

Propositione supponuntur ; unde _ = — — — _- -j- -— -, &c. et sub- 

4 a "^ d d ^ d^ 

stituendo loco S_ ejus valorem -3 — -^j ^cc. prodibit B — A ad G, ut 
14dx-|- 18x^ad35d^-i-21dx-J-17x^ quam proxime. Cumque 



3Vx 



sitB — AXd+3Vd = 2Gx — 2Vx— iJliLper Corol. Prop. 

d 



I. substituatur valor ipsius B — A, et negligantur termini quos ingredi- 
tur V X ^ (quoniam V est admodum parva respectu G) eritque 3 X 35 V d ^ 

= 56 Gdx— 133 Vdx + 24 Gx2etx = , ^Xg^Vd^ 

56 dG— 133 Vd+ 24 Gx 

quod si in denominatore pro x scribatur valor vero propinquus __, 

S X ^ 'i V d 

prodibit valor magis accuratus — ., eritque x : d : : 1 5 V : 

^ ^ 56 G -— 88 V ' 

8 G — _ V quam proxime. Diversa paulo ratione prodit x = l i. 



244 



DE CAUSA PHYSICA FLUXUS 



+ \ 3 &c. quam seriem producere non est difficile, si operae 

56 G G 

pretium videbitur. In Prop. VI. quaesivimus figuram aquse orbem luna- 

rem complentis ex actione Solis oriundam. Hac correctione adhibita, et 

caeteris retentis ut priiis, axis minor figurae ad majorem ut 46.742 ad 

47.742, quae parum difFert a ratione quam in ea Propositione exhibuimus. 

II. Series quam exhibuimus in Prop VIII. deducitur per Lem. V. et 

Prop. II. Sit C A = a. C B = b. C P = e. C F = c. C f = f. 

C g = g. Sint A C M, A C m sectiones quae- 

vis solidi per rectam A C (quae normalis est 

plano B P b p) transeuntes. Arcus m u centro 

C radio C m descriptus, occurrat rectae C M 

in u, et occurrant ordinatae M V, m v axi B b 

in V et V, et circulo B K b in K et k. Sit 

CA^ — CM^ = x^, seu x distantia foci a 

centro in figura A C M, sit L logarithmus 




quantitatis a V 



a + x 



et ultima ratio gravitatis particulae A in frustum 



planis A C M, A C m terminatum ad gravitatem in frustum sphaerae 
centro C radio C A descriptae iisdem planis contentum, erit ea 3 C M ^ 
X L — X ad X ^ per Prop. II. Gravitas igitur particulae A in solidum 

x» 3 C M ^ X L — x ^ ^nu _ ^ 
J v3 CM -^ 



erit ut /- g C M ^ X L — X ^ nru _ ^ 3 C M X m u ^ jj 



^3 CKX Kk X C P X r 
J CKXx^ 

= u. Eritque u ^ + b ^ — i 
b 2 - c - . _ . 



X " 
3 e X K k 



X L 



= CM^ = a^ 



+ 



X^I 

f2 



x^,u 



b^ 

Adeoque K V ^ = b ^ 



2 X 2_ 

b^ 

2 = a^ — c^ — x^X 



Sit C V 

Unde c ^ 



= c 



u2 = b 



b_2 

£2 



X c^— x^ = b 2 X 



f 2 + X 



f 



= !i. Xx '^— g ^. Est autem K k : V v : : C K : K V. 

+* 2 ® 



Adeoque K k = ^ ^X = — X -== 
^ K V f V c -^ 



— X d X 



X b V X 



— b X d X 



V c" — x^X Vx- — g 

— 3 ebx d X 

V c -— x^ X V~: 



Quare gravitas particulae A versus solidam 



erit ut f 



=. X L — X. Verum L — x = 



ET REFLUXUS MARIS. 



245 



v3.-x^« ^ • -n • ^ — Sebxdx 

+ — , &c. Quare ffravitas illa erit / — ,, = 

3a^ 5a^ - -^ Sa^ V c' 



3a 



3 ebx^d X 



erit/ 



5a*V c^ — x^X Vx-— g 
— e b d z 



x^X Vx"— g^ 
-, &c. Sit z ^ = X ^ — g ^ et prior summa 
e b x ^ d z 



a^ Vc^ — 



secunda erity 



/; 



ebdzXz^ + ff 



5 a* V c^ — g^ — z^ 

Quae cum subsequentibus summis ad circulares 

^aWc^ — g2_z^ ^ 

arcus facile reducuntur. Atque hinc ratio gravitatis particulae A versus 
hoc solidum ad gravitatem versus sphaeram super semi-diametrum C A 
constructam, erit qualis in Propositione assignatur, terminis seriei citissi- 
me decrescentibus, si C F, C f et C g sint admodum parvse. Si evanes- 
cat g, haec series dabit gravitatem versiis sphaeroidem in sequatore ; quae 
tamen elegantiiis investigatur in Prop. III. 

III. In Prop. IX. observavimus post Newtonum vim Lunfe ad maro 
movendum cum vi SoKs posse conferri, aestus in syzygiis et quadraturis 
comparando ; eadem ratio obtineri posset conferendo aestus qui contingunt 
in syzygiis luminarium in diversis distantiis Lunae a Terra, si aestus essent 
accurate proportionales viribus quibus produ- 
cuntur. Designet L vim Lunae mediocrem, S 
vim Solis mediocrem, X et x duas diversas 
distantias Lunae a Terra in syzygiis aequinoc- 
tiahbus, Z et z distantias Solis a Terra in iis- 
dem syzygiis, d et D mediocres utriusque dis- 
tantias; et si Lunae declinatio nuUa sit, atque es- 

L d ^ g T) 3 

sent ut vires luminarium, seu ut ^ + . 

X^ ^ Z^ 

L d ^ S D ^ • 
et — + -_, hinc comparando, aestus ratio L ad S detegeretur. 

X "^ z ^ 

Sit enim ascensus aquae in priori casu ad ascensum in posteriori ut m ad n, 




eritque L ad S ut 



mD 



nD 



ad 



n d ^ 



m d 



■^ 



.^Bit^ 



* 



\ 




INQUISITIO PHYSICA 



[N CAUSAM 



FLUXUS AC liEFLUXUS MARIS. 

A. D.D. EULER, MATHEMATICARUM PROFESSORE, E SOCIETATE 
ACADEMI^ IMPERIALIS SANCTI-PETERSBURGENSIS. 



Cur nunc declivi nudentur littora po7ito, 

Adversis tumeat nunc maris unda fretis ; 

Dum vestro monitu natiira^n consulo rerum : 
Quum procul a Terris abdita causa latet ! 

In Solem Lunamque feror. Si plauditis auso 
Sidera suhlimi vertice summa petam. 



CAPUT PRIMUM. 

l)e causd Fluiils ac Keflua^us Maris in genere, 

§. 1. CyMNEM mutationem, qiiae in corporibus evenit, vel ab ipsa motus 
conservatione proficisci, vel a viribus motum generantibus, hoc quidem 
tempore, quo qualitates occultae causaeque imaginariae penitus sunt ex- 
plos^, nulla indiget probatione. Hoc autem discrimen quovis oblato 
phaenomeno diligentissime considerari oportet, ne tam motus conserva- 
tioni ejusmodi effectus tribuatur, qui sine viribus oriri nequit, quam vires 
investigentur, quae motum sua natura conservandum producant. Quo 
quidem in negotio, si debita attentio adhibeatur, errori vix ullus relinqui- 
tur locus : cum ex legibus naturae satis superque constet, cujusmodi 
motus vel per se conserventur, vel viribus externis debeantur. Corpus 
scilicet in motu positum propria vi hunc motum uniformiter in directum 
retinet : atque corpus, quod circa axem convenientem per centrum gravi- 
tatis transeuntem motum rotatorium semel est consecutum, eodem motu 
rotari perpetuo sua sponte perget : neque hujusmodi motuum causam in 
ulla re aha, nisi hi ipsa corporum natura, quaeri oportet. Quocirca si 



24.8 INQUISITIO PHYSICA IN CAUSAM 

hujus generis phaenomenon fuerit propositum, alia causa investigari non 
potest, nisi quae a principio tales motus procreaverit. 

§. 2, Hujus generis foret quaestio, si quaereretur causa motus vertiginis 
planetarum ac Solis; hic enim sufficeret eam causam assignasse, quse 
initio hos motus produxisset, cum Sol aeque ac planetae talem motum 
semel consecuti eundem propria vi perpetuo conservare debeant, neque 
ad hoc pheenomenon exphcandum vis ulla externa etiam nunc durans re- 
quiratur. Longe ahter se res habet, si motus proponatur neque unifor- 
mis, neque in directum proccdens, cujusmodi est motus planetarum 
periodicus circa Solem : hoc enim casu minime sufficit ea vis, quas initio 
planetas ad istiusmodi motus impuierit, sed perpetuo novae virium ac- 
tiones requiruntur, a quibus tam celeritas quam directio continuo immu- 
tetur : quae vires, quam primum cessarent, subito planetae orbitas suas 
desererent, atque in directum motu sequabiH avolarent. Quod si igitur 
phaenomenon quodcunque naturae proponatur, ante omnia solhcite est 
inquirendum, ad quodnam genus id pertineat atque utrum causa iu viri- 
bus externis sit quaerenda, an in ipso subjecto corpore? Quinetiam 
saepenumero usu venire potest, ut effectus utriusque generis in eodem 
phaenomeno muUum sint inter se permixti ; quo casu summo studio ii a 
se invicem discerni ante debebunt, quam causarum investigatio sus- 
cipiatur. 

§. 3. His rite perpensis exphcatio GaUlei, quam in suis Dialogis de 
^stu Maris assignare est conatus, mox concidit ; putavit enim fluxum ac 
refluxum maris tantum a motibus Terrae rotatorio circa axem et periodico 
circa Solem oriri, neque aUis viribus tribui oportere, nisi quae hos motus 
tiim producant, cum conservent. Namque si ponamus Terram solo motu 
diurno esse praeditam, iste motus mare aUter non afficiet, nisi id sub 
aequatore attoUendo, ex quo figura Terrae sphaeroidica compressa nasci- 
tur, motus vero reciprocus in mari omnino nuUus hinc generari poterit. 
Quod si autem Terrae insuper motum aequabilem in directum tribuamus, 
priora phaenomena nuUo modo afficientur, sed prorsiis eadem manebunt, 
quemadmodum ex principiis mechanicis clarissime perspici Ucet, quibus 
constat motum uniformem in directum omnibus partibus systematis cujus- 
cunque corporum aequaUter impressum nuUam omnino mutationem in 
motu et situ partium relativo inferre. Abeat nunc motus iste aequabiUs 
Terrae in directum impressus in circularem vel eUipticum per vires quibus 
Terra perpetuo ad Solem urgetur ; ac ne hoc quidem casu uUus motus 
reciprocus in mari produci poterit; quod cum per se est perspicuum, 
tum etiam ab ipso GaUleo non statuitur : ipse enim non tam ex mixtione 



FLUXUS AC REFLUXUS MARIS. 249 

motus vertiginis et periodici aestum maris proficisci est arbitratus, quam 
ex motu quocunque progressivo sive rectilineo sive curvilineo, si is ciun 
motu rotatorio combinetur. 

§. 4. Quanquam autem motus Terrae periodicus circa Solem cum motu 
rotatorio circa axem conjunctus nullum in mari motum reciprocum gene- 
rare valet, tamen mare, quod si motus esset sequabilis in directum, in 
quiete persisteret, aliquantum turbari debebit. Quod si autem ad vim 
qua Terra in orbita sua continetur attendamus, non difficulter mutatio- 
nem, quam mare ab ea patietur, colligere poterimus. Nam cum partes 
Terrse a Sole remotiores minori vi, propiores vero majori sollicitentur, 
illae ad majus ten*ipus periodicum, ha; vero ad minus absolvendum cogen- 
tur, ex quo partibus Terrae fluidis, ut pote mobilibus, motus ab oriente 
versus occidentem secundum eclipticam inducetur, hancque veram esse 
causam existrmo ac praecipuam cur tam oceanus quam aer sub aequatore 
perpetuo habeat fluxum ab ortu versus occasum. Possem etiam ex eo- 
dem principio clare ostendere tam maris, si omnino Hberum esset, quam 
aeris celeritatem tantam fore, qua tempore viginti-quatuor horarum 
spatium circiter viginti graduum absolvatur ; sed ciim hsec inquisitio ad 
praesentem quaestionem proprie non pertineat, atque inclyta Academia 
fortasse aha occasione quaestiones hiic spectantes sit propositura, uberio- 
rem expHcationem hujus insignis phaenomeni eo usque differendam esse 
censemus ; hoc quidem tempore tantum indicasse contenti, motum Terrae 
periodicum conjunctim cum motu diurno mari motum aliquem imprimere 
posse, sed neutiquam motum reciprocum, uti Gahleus est arbitratus. 

§. 5. Uti in omnibus omnino quaestionibus physicis multo flicilius est, 
quae non sit causa phaenomeni cujuspiam oblati, quam quae sit, osten- 
dere ; ita etiam praeseiis quaestio de fluxu ac refluxu maris est comparata, 
ut non difficulter causas falso assignatas possimus refellere. Ac primo 
quidem post eversam Gahlei sententiam, exphcatio aestus maris Cartesiana 
pressioni Lunae innixa tot tantisque laborat difficultatibus, ut omnino 
subsistere nequeat. Praeterquam enim quod istiusmodi pressio ahunde 
probari nequeat, atque ad hoc solum phaenomenon explicandum gratuito 
assumatur, observationibus etiam minime satisfacit. In aperto enim ac 
libero oceano aquam mox post transitum Lunae per meridianum elevari 
observamus, cum secundiim Cartesii sententiam eodem tempore deprimi 
deberet ; neque praeterea hoc modo satis distincte expHcatur, cur Luna 
sub Terra latens eundem fere effectum exerat, ac si super horizonte ver- 
setur. Deinde hoc idem negotium non feliciori successu aggressus est 
WaUisius, causnm m communi centro gravitatis Terres et Luna3 quffirens, 



250 INQUISITIO PHYSICA IN CAUSAM 

cujus explicatio mox satis dilucide est subversa. Superest denique New- 
toni theoria, quje nemine contradicente pliaenomenis multo magis est 
consentanea : at in ea id ipsum quod hoc loco quaeritur, causa scilicet 
physica, non assignatur, sed potius ad qualitates occultas referri vide- 
tur ; interim tamen ne haec quidem theoria satis est evoluta, ut de ejus 
sive consensu sive dissensu cum observationibus judicium satis tutum 
ferri queat. 

§. 6. Cum igitur dubium sit nullum, quin fluxus ac refluxus maris 
causa in viribus externis et reaUbus sit posita, quse si cessarent, simul 
aestus maris mox evanesceret, ubi lateant hae vires et quomodo sint com- 
paratae potissimum nobis erit explicandum, hoc enim est id ipsum, quod 
celeberrima Academia Scientiarum Regia in quaestione proposita requirit. 
Neque vero vires tantummodo indicasse sufficiet, verum praeterea id 
maxime erit monstrandum, quomodo istae vires agant, at^ue hos ipsoS 
effectus, quos observamus, non vero aUos producant ; in hoc enim totius 
quaestionis cardo, explicationis scilicet confirmatio, vertitur. Quoniam 
autem plerumque pluribus viribus excogitandis idem phaenomenon expli- 
cari potest, studium adhibendum est summum in hac indagatione, ne ad 
vires inanes atque imaginarias delabamur, quas in mundo neque sunt 
neque locum habere possunt. Parum enim scientiae naturali consulunt, 
qui quovis phaenomeno oblato sibi pro arbitrio mundi structuram pecuUa- 
rem effingunt, neque sunt soUiciti, utriim ea compages cum aUis phaeno- 
menis consistere queat, an vero secus. Quod si enim jam aUunde con- 
slet existere in mundo ejusmodi vires, quae oblato effectui producendo sint 
pares, frustra omne studium in conquisitione virium novarum coUocabitur. 

5. 7. Quoniam autem ad causam cujusque phaenomeni detegendam, ad 
sinjTulas circumstantias sedulo attendere necesse est, ante omnia mirifi- 
cum consensum aestus maris cum motu Lunae contemplari conveniet. 
Non solum enim insignis harmonia inter aestum maris, ac Lunae motum 
(Uurnum deprehenditur, sed etiam revolutio synodica respectu SoUs in- 
gentem affert varietatem. Omnes denique obscrvationes abunde decla- 
rant rationem fluxus et refluxus maris a situ cum Lunae tum etiam SoUs 
conjunctim pendere: ex quo statim prono ratiocinio consequitur, vires 
illas aestum maris producentes, quascunque etiam sint, cum Lunam potis- 
simum, tum vero etiam Solem respicere debere. Quamobrem imprimis 
nobis erit inquirendum, utrum ejusmodi vires Solem et Lunam respicien- 
tes, quae in aquis talem effectum, quaUs est aestus maris, producere 
queant, jure ac ratione statui possint, an secus. Ac si pluribus modis 
istiusmodi vires animo concipere Uceat, diUgenter erit dispiciendum, 



FLUXUS AC REFLUXUS MARIS. 251 

quaenam cum aliis phaenomenis consistere possint nec ne. Quantumvis 
enim explicatio quaepiam cum phsenomenis conspiret, nisi virium, quae 
assumuntur, existentia ahuncle comprobetur, labili ea omnino innititur 
fundamento. Quod si autem contra, efFectus ejusmodi viribus tribuatur 
quas in mundo revera existere aha phaenomena clare docuerunt, atque 
summus explicationis cum experientia consensus deprehendatur, dubium 
erit nuUum quin ista explicatio sit genuina et sola vera. 

§. 8. Quamvis autem certis viribus Lunae ac SoH tribuendis phaenome- 
non aestus maris commode explicari posset, tamen ob hanc solam causam 
istiusmodi vires statuere nimis audax videtur : quamobrem imprimis erit 
dispiciendum, num aUae rationes ejusmodi vires non solum admittant, sed 
etiam actu existere manifesto indicent. Perlustremus igitur vires, quas 
jam ahunde in mundo vigere novimus, sciscitemurque paucis an ad mo- 
tum reciprocum oceano inducendum sint idoneae : tales enim vires si in 
mundo jam extent, omnis labor in ahis inquirendis impensus irritus foret 
ac ridiculus. Ac primo quidem si Solem spectamus, motus Terrae 
annuus omnino declarat Terram perpetuo versus Solem urgeri, et quasi 
attrahi, idque fortius in minori distantia, debilius vero in majori; atque 
adeo hanc SoUs vim in Terram rationem tenere reciprocam duplicatam 
distantiarum : ex quo sponte sequitur non solum universam Terram, sed 
etiam singulas ejus partes perpetuo versus Solem urgeri. Tota quidem 
Terra aeque fortiter ad Solem soUicitatur, ac si omnis materia in ejus 
centro esset congesta; interim tamen partes circa superficiem sitae vel 
magis vel minus ad Solem allicientur, quam totum Terrae corpus, prouti 
vel minus vel magis sint remotae a Sole, quam centrum Terrae. Hinc 
igitur fit, ut haec eadem vis ad Solem tendens aquam modo magis, 
modo minus trahat, ex qua alterna actione motus reciprocus in fluidis 
necessario oriri debet. Quocirca ista SoUs vis in praesenti negotio 
neutiquam neghgi poterit, cum ea, si forte sola causam aestus maris 
non constituit, certe eftectum aliarum virium necessario afficere ac tur- 
bare debeat. 

§. 9. Quemadmodum autem Terra cum omnibus suis partibus versus 
Solem soUicitatur ; ita eorum sententia non multum a veritate abhorrere 
videtur, qui in Luna similem vim coUocant. Observationes quidem 
hujusmodi vim in Luna non demonstrant sicuti in Sole ; cum motus Ter- 
r£E in orbita sua a Luna omnino non affici deprehendatur : sed si docuG- 
rimus eandem vim ad Lunam respicientem, quae aestui maris producendo 
sit par, in motu Terrae nuUam sensibilem anomaUam producere valere, 
audacia, quai forte in taUs vis admissione consistere videbatur,. multum 



252 INQUISITIO PHYSICA IN CAUSAM 

mitigabitur. Hujusmodi autem vis existentia aliis rationibus, nuUo ad 
aestum maris habito respectu, satis clare evinci potest ; quia enim nullum 
est dubium, quin Luna ad Terram constanter feratur, ob aequalitatem 
actionis et reactionis Terram quoque versus Lunam pelli necesse est. 
Namque si ponamus Sole penitus sublato, Terrae ac Lunae omnem motum 
subito adimi, Luna utique ad Terram accedet ; nemo autem non conce- 
det, probe perpensis principiis mechanicis, Terram interea non prorsus 
esse quieturam, sed Lunae obviam ituram, concursumque in communi 
gravitatis centro contingere : hoc autem evenire non poterit, nisi Terra 
actu ad Lunam soUicitetur. Deinde in ipsa Luna gravitatem dari simi- 
lem huic, quam in Terra sentimus, negari non potest; nisi enim talis vis 
in Luna vigeret, partes Lunae fluidae, cum ob gravitatem in Terram, tum 
ob motum Lunae circa proprium axem, etsi sit admodum lentus, et tem- 
pori periodico aequahs, jam dudum avolassent, partesque solidae consis- 
tentiam suam amisissent. Pluribus denique ahis rationibus ex natura 
vorticum petitis, magis confirmari posset tale corpus mundanum, cujus- 
modi est Luna, subsistere non posse, nisi vortice sit cinctum, quo gravi- 
tas in id generetur. Quod si autem gravitationem versus Lunam conce- 
damus, cur ejus actionem non ad nos usque admittamus, nulla omnino 
ratio suadet : quin potius ejusmodi vim similem statui conveniet, reliquis 
in mundo deprehensis, quae quasi in hifinitum porriguntur, atque inver- 
sam dupHcatam tenent distantiarum rationem. 

§. 10. His expositis manifestum est, et quasi experientia convictum, 
Terram cum singuhs suis partibus tam versus Lunam quam versiis So- 
lem perpetuo solHcitari, atque utramque vim proportionalem esse reci- 
proce quadratis distantiarum. Hae igitur vires, ciim actu existant, con- 
stanterque effectum suum exerant, in praesenti negotio, quo in causam 
aestus maris inquirimus, praeteriri omnino nequeunt; nisi dilucide ante 
sit probatum, eas non soliim fluxum ac refluxum non generare, sed ne 
quidem quicquam efficere. Si enim istae vires ullum duntaxat motum 
reciprocum mari inducere valeant, quantumvis is etiam sit exiguus, at- 
que adeo aestui maris fortasse contrarius, earum tamen ratio necessario 
erit habenda, cum sine ilhs vera causa, quaecumque sit, neque investi- 
gari neque cognosci possit. Neque praeterea sanae rationis praecepta per- 
mittunt ahas vires excogitare, in iisque causam aestus maris coUocare, 
antequam evidenter sit demonstratum, binas istas vires Solem Lunam- 
que spectantes, quas non gratuito assumsimus, sed ex certissimis phaeno- 
menis in mundo existere novimus, ad fluxum ac refluxum maris pro- 
ducendum non esse sufHcientes. In sequentibus autem Capitibus clarris- 



FLUXUS AC REFUXUS MARIS. 253 

sime sumus ostensuri, ab his duabus viribus non solum in oceano mo- 
tum reciprocum generari debere, sed etiam eum ipsum, qui sestus mari- 
ni nomine insigniri solet : atque hanc ob rem firmiter jam affirmamus 
veram fluxus ac refluxus causam in Solis illis duabus viribus, quarum 
altera ad Solem est directa, altera ad Lunam, esse positam ; hocque si- 
mul omnium eorum sententias funditus evertimus, qui vel aliis omnino 
viribus idem phaenomenon adscribere, vel cum his ipsis alias vires con- 
jungere conantur. 

§.11. Quaestio igitur de causa fluxus ac refluxus maris, prouti ea 
ab illustrissima Academia Regia est proposita, ad hanc deducitur quses- 
tionem, ut binarum illarum virium, quibus singulas Terrae partes cum 
ad Solem tum ad Lunam perpetuo urgentur, iaque in distantiarum ra- 
tione reciproca dupHc^a, causa assignetur physica. Ex quo tractationem 
nostram bipartitam esse oportebit. Primo scilicet ex principiis mechani- 
cis dilucide erit ostendendum, a binis illis viribus Solem Lunamque respi- 
cientibus cum fluxum ac refluxum maris generatim oriri debere, tum 
etiam hoc modo singula phaenomena distincte explicari posse : hac enim 
parte absoluta nullum supererit dubium, quin origo a?stus maris his ipsis 
viribus, quas actu jam in mundo existere docuimus, debeatur. Deinde 
vero harum virium causa physica indicari debet, cum id sit praccipuum, 
quod inclyta Academia requirit. Quod quidem ad illam partem attinet, 
in ejus explicatione minime haesitamus ; et clarissimis certissimisque de- 
monstrationibus evincere polUcemur, per istas vires omnia omnino aestus 
maris phaenomena absolutissime explicari posse ; qua in re nuUi dubita- 
tioni ullus rehnquitur locus, cum tota ad geometriam et mechanicam 
sublimiorem pertineat, calculoque analytico sit subjecta. Altera vero 
pars, in scientiam naturalem imprimis incurrens, majori difficultati videtur 
obnoxia, nec tantae evidentiae capax ; verum cum ista res occasione phiri- 
um quaestionum ab Academia celeberrima antehac propositarum jam tanto 
studio sit investigata atque absoluta, eam non minori certitudine expedire 
confidunus. 

§. 12. Explosis hoc saltem tempore quahtatibus occultis missaque 

Anglorum quorumdam renovata attractione, quae cum saniori philoso- 

phandi modo nuUatenus consistere potest, omnium virium quae quidem 

in mundo observantur, duplex statuendus est fons atque origo. Nemp i 

cum viribus tribuatur vel motiis generatio vel immutatio, iste effectus 

semper vel ab alhsione corporum, vel a vi centrifuga proficiscitur, qua- 

rum actionum utraque facultati, qua omnia corpora sunt prsedita in sta- 

tu suo sive quictis sive motus aequabihs in directum perseverandi, debe- 
VoL. III. T 



254, INQUISITIO PHYSICA IN CAUSAM 

tur. Ob hanc enim ipsam facultatem corpus in motu positum alla cor- 
pora, quae vel ipsius motui directe sunt opposita, vel ejus directionem 
mutare cogunt, ad motum sollicitat ; atque priori casu regiilas collisionis 
corporum, posteriori vero vis centrifugae indoles et proprietates oriuntur 
ac demonstrantur. Cum igitur omnia corpora terrestria tam versus So- 
lem, quam versus Lunam perpetuo sollicitentur, causa hujus sollicitatio- 
nis continuo appulsui materiae cujusdam subtilis, vel vi centrifugae similis 
materiae tribui debebit. Priori igitur casu materiam subtilem statui 
oporteret, quae constanter summa rapiditate cum ad Solem tum ad Lunam 
ferretur : hujusmodi vero hypothesis ob maximas difficultates, quibus est 
involuta, admitti minime potest. Primo enim perpetuo novis viribus 
esset opus, quae materiam subtilem indesinenter versus Solem Lunamque 
pellerent, qua quidem re quaestio non majorem lucem assequeretur. 
Deinde talis motus per se diu consistere non possct, propter per-. 
petuum materiae subtilis ad eadem loca affluxum nullumque refluxum, 
ut taceamus alia maxima incommoda cum istiusmodi positione per- 
mixta. 

§. 13. Exclusa igitar materiae subtilis continua allisione, tanquam ad 
vires cum ad Solem tum Lunam tendentes producendas minime idonea, 
alia harum virium causa non relinquitur, nisi quae in vi centrifuga consis- 
tat. Quemadmodum autem materia subtilis in gyrum acta ac vorticem 
formans non soliim animo concipi, sed etiam in mundo persistere queat, 
jam satis superque est expositum, cum in dissertationibus, quae cum 
quaestio de causa gravitationis agitaretur, laudes illustrissimae Academiae 
merebantur, tum etiam in aliis operibus ; quibus in locis simul dilucide 
est ostensum, quomodo ejusmodi vortices comparatos esse oporteat, ut 
vires centrifugae liant quadratis distantiarum a centro vorticis reciproce 
proportionales. Quae res ciim meo quidem judicio jam tam plana sit 
facta, ut vix quicquam ad praesens institutum attinens adjici queat, vorti- 
cum ulteriori examini sine ulla haesitatione supersedemus ; idque eo 
magis, quod celeberrima Academia ejusmodi amplam atque adeo jam 
confectam digressionem postulare haud videatur. Quoniam enim quaestio 
de causa gravitatis cum versus Terram tum etiam versus Solem et plane- 
tas jam satis est investigata ac diremta; nunc quidem, si cujuscunque 
phaenomcni causa eo fuerit perducta, ibidem acquiescendum videtur, 
neque actam agendo denuo in causa gravitatis investiganda nimium im- 
morari conveniret. Denique in praesenti negotio sufficere posset, si 
aestus mai'is causa adhuc tantis tenebris obvoluta ad aha maxime aperta 
phaenomena reducatur, quorura causa non solum habetur probabilis, sed 



FLUXUS AC REFLUXUS MARIS. 255 

etiam quse sola sit veritati consentanea, cujusmodi est gravitatio tam 
versus Solem quam Lunam. 

§. 14. Causam igitur fluxus ac refluxus maris proximam in binis vorti- 
cibus materiae cujusdam subtilis coUocamus, quorum alter circa Solem, 
alter vero circa Lunam ita circumagatur, ut in utroque vires centrifugae 
decrescant in duplicata ratione distantiarum a centro vorticis ; quae lex 
vis centrifugae obtinebitur, si materiae subtilis vorticem constituentis cele- 
ritas statuatur tenere rationem reciprocam subduplicatam distantiarum a 
centro vorticis. Quaecunque igitur corpora in istiusmodi vortice posita 
ad ejus centrum pellentur vi acceleratrice, quae pariter ac vis centrifuga 
quadratis distantiarum reciproce est proportionalis. Vis absoluta autem 
qua corpus quodpiam in data distantia a centro vorticis collocatum eo 
urgetur, pendet a celeritate materiae subtilis absoluta. Ac primo quidem, 
quod ad vorticem circa Solem rotatum attinet, ejus vis absoluta ex tem- 
pore Terrse periodico cum distantia ejusdem a Sole comparato tanta 
coUigitur, ut corpus, cujus distantia a centro Solis aequalis est semi-dia- 
metro Terrse, eo sollicitetur vi, quae sit 227512 vicibus major, quam 
est gravitas naturalis in superficie Terras. Metiemur autem hanc ip&am 
vim absolutam cujusque vorticis, per vim, quam idem vortex exerit in 
distantia a suo centro semi-diametro Terrae aequali : ex quo si vis gravitatis 
terrestris designetur per 1, erit vis absoluta Solis = 227512, cujus nu- 
meri loco brevitatis gratia utemur littera S. Simili modo vim vorticis 
Lunam cingentis absolutam indicabimus littera L, cujus valorem New- 
tonus recte ciim ex ipso fluxu ac refluxu maris, tum etiam ex praeces- 
sione asquinoctiorum constituisse videtur circiter ^^y. Quare si, positii 
Terrae semi-diametro = 1, corporis cujusdam a centro Solis vel Lunae 
distantia fuerit x, erit vis, qua id corpus vel ad Solem sollicitatur vel ad 

T S 

Lunam, vel = _ vel = _, uti ex indole horum vorticum prona con- 

XX XX 

sequentia fluit. In his quidem litterarum S et L determinationibus 
assumsimus mediam Solis a Terra distantiam 20620 semi-diametrorum 
Terrae, quae ex parallaxi horizontali lO^' sequitur, Lunae vero a Terra 
distantiam mediam 60 semi-diametrorum Terrae ; interim tamen vires ad 
mare movendum hinc ortae ab his hypothesibus non pendent, uti sequen- 
tibus patebit. 

§. 15. Quoniam igitur aestum maris per binas vires, quarum altera 
Solem respicit, altera Lunam, sumus exposituri, facile videri possemus 
eandem omnino explicationem suscipere, quam Newtonus dedit in suis 
Principiis Mathematicis Philosophiae NaturaHs. Primum autem notan- 

T2 



256 INQUISITIO PHYSICA IN CAUSAM 

dum est, quod si Newtonus veram causam hujus phaenomeni assignasset, 
sumniopere absurdum atque absonum foret, novitatis studio aliam cau- 
sam, quge certo falsa futura esset, excogitare. Deinde vero Newtonus 
ne vestigium quidem reliquit, ex quo causa harum virium attractivarum, 
quas Soli Lunseque tribpit, colligi posset, sed potius de causae physicae 
inventione, qualem Academia Regia potissimum requirit, desperasse vi- 
detur ; id quod ejus asseclae aperte testantur, qui attractionem omnibus 
corporibus propriam esse, neque ulli causae externaj deberi firmiter asse- 
runt, atque adeo ad quaHtates occultas confugiunt. Denique Newtonus 
deductionem et expositionem omnium phaenomenorum ad aestum maris 
pertinentium rainime perfecit, sed quasi tantum adumbravit ; plena enim 
expHcatio tot tamque difficilium Problematum solutionem postulat, quae 
Newtonus non est aggressus ; cum enim hujus quaestionis enodatio am- 
pHssimos calculos requirat, ipse analysin vitans pleraque tantum obiter in- 
dicasse contentus fuit; ob quem defectum plurimis adhuc dubiis circa 
ipsius expHcationem est reHctus. Neque enim in his viribus veram aestus 
maris causam contineri ante certum esse potest, quam absoluto calculo 
perfectus consensus phaenomenorum cum theoria fuerit declaratus. 



CAPUT SECUNDUM. 

De vmbus Solis et Lwice ad Mare movendum. 

§. 16. JbjFFECTUS, quos vires cum SoHs tum Lunae ante stabilitae in 
Terram exerunt, ad duo genera sunt referendi: quorum alterum eos 
complectitur effectus quos Sol ac Luna in universam Terram tamquam 
unum corpus consideratam exercet; alterum vero eos, quos singulae 
Terrae partes a viribus SoHs ac Lunae patiuntur. Ad effectus prioris 
generis investigandos, omnis Terrae materia tanquam in unico puncto, 
centro sciHcet gravitatis, coHecta consideratur, ac tam ex motu insito 
quam viribus soHicitantibus motus Terrae progressivus in sua orbita de- 
terminari solet. Ex hocque principio innotuit vim hanc Solis efficere, ut 
Terra circa Solem in orbita eHiptica circumferatur, vim Lunae autem 
tam esse debilem, ut vix ac ne vix quidem uHam sensibilem perturba- 
tionem in motu Terrae annuo producere valeat. Contra autem docebi- 
tur, vim Lunae ad partes Terrae inter se commovendas ac mare agitan- 
dum multo esse fortiorem vi SoHs ; ex quo plerisque primo intuitu summe 



FLUXUS AC REFLUXUS MARIS. 257 

paradoxon videatur, quod vis Lunae in priori casu respectu vis Solis 
evanescat, cum tamen eadem casu posteriori multum excedat vim Solis. 
Sed mox, cum efFectus utriusque generis diligentiiis evolvemus et per- 
[^endemus, satis dilucide patebit, eos inter se maxime discrepare, atque a 
vi, quae in universam Terram minimum exerat efFectum, maximam tamen 
agitationem partium Terrae inter se oriri posse et vicissim. 

§. 1 7. Ad illum autem harum virium efFectum, qui in commotione par- 
tium Terrae inter se consistit, dijudicandum, ante omnia probe notari 
oportet, si singulae Terrae partes viribus aequalibus et in diiectionibus 
inter se parallelis sollicitentur, eo casu nullam omnino commotionem par- 
tium oriri, etiamsi sint maxime fluidae nulloque vinculo invicem connexse, 
sed totum virium efFectum in integro tantum corpore movendo consum- 
tum iri ; perinde ac si totum Terrae corpus vel in unico puucto esset con- 
flatum, vel ex iTlateria firmissime inter se connexa constaret. Ex quo 
manifestum est partes Terrae saltem fiuidas, quas viribus cedere queant, 
inter se commoveri non posse, nisi a viribus dissimilibus urgeantur : 
atque hanc ob rem non magnitudo virium partes Terrae solHcitantium, 
sed potius dissimilitudo, qua cum quantitatis tum directionis ratione inter 
se discrepant, eum efFectum, quo situs partium mutuus perturbetur, pro- 
ducit. Ita vis Solis, etsi est maxima, tamen ob insignem distantiam 
partes Terrae fere aequahter aflicit, contra vero vis Lunae ob propinquita- 
tem admodum inaequaUter : unde a Luna multo major agitatio oceani re- 
sultat, quam a Sole, quamvis ea vis, quae ad Solem tendit, insignitcr 
major sit altera Lunam respiciente. Atque hoc pacto dubium ante 
allatum funditus toUitur, hocque adhuc planius fiet, si utriusque vis 
efFectus ad calculum revocabimus. 

§. 18. Ad inaequalitatem igitur virium quibus singulae Terrae partes 
vel a Sole vel a Luna solUcitantur, definiendam, ante omnia vim, qua 
universa Terra, si in suo centro gravitatis esset concentrata, afhceretur, 
determinari oportet, haecque est ea ipsa vis, quae Terrae motum progres- 
sivum in sua orbita respicit et turbat; deinde dispiciendum est, quantum 
vires, quibus singulae Terrae partes urgentur, tam ratione quantitatis 
quam directionis ab ilia vi totali discrepent. Quod si enim nulla depre- 
hendatur difFerentia, partes quoque singulae situra suum relativum inter 
se retinebunt; at quo major erit difFerentia inter vires illas singulas 
partes sollicitantes, eo magis eae inter se commovebuntur, situm relativum 
permutabunt. In hac autem investigatione, simul gravitatis naturahs, 
qua omnia corpora versiis centrum Terrae tendunt, ratio est habenda; 
hasc enim vis in causa est, quod quantumvis vires SoHs et Lunae in 

T5 



258 INQUISITIO PHYSICA IN CAUSAM 

diversis Terrae regionibus sint inaequales, aequilibrii tamen status detur, 

in quo partes tandem singulae conquiescant, neque perpetuo inter se 

agitari pergant. Atque hanc ob rem singulas Terrae partes a tiibus 

viribus sollicitatae considerari debebunt, primo scilicet a propria gra- 

vitate, qua directe deorsum nituntur; tum vero a vi, qua ad Solem ur- 

gentur, ac tertio a vi versus Lunam directa ; haeque tres vires, cujus- 

modi phaenomena quovis tempore in partibus Terrse fluidis gignant, erit 

investigandum. 

§, 19. Quo igitur vim totalem, qua Terra vel a Sole vel a Luna 

urgetur, definiamus, consideremus primum peripheriam circuli M N 

tanquam ex materia homogenea con- 

flatam, cujus centro P verticaliter im- 

mineat Sol vel Luna in S, ita ut recta 

P S ad planum circuli M N sit per- 

pendicularis, Sit circuli hiijus radius 

P M = y, et distantia S P = x, ac 

vis sive Solis sive Lunae absoluta = S. 

His positis elementum peripheriae Mm 

pelletur ad S in directione M S vi 

S S 
acceleratrice = — „ , 

MS^ - XX 4- yy 
posita cum vi gravitatis naturalis in superficie Terrae = 1, tum etiam semi- 
diametro . Terrae = 1 : atque hanc ob rem elementum M m versus S 

nitetur vi = ^. Resolvatur haec vis in binas hiterales, quarum 

xx+y y 

alterius directio cadat in M P, alterius vero sit parallela directioni P S; 

atque evidens erit vires omnes M P per totam peripheriam se mutuo 

destruere, alterarum vero mediam directionem cadere in P S, ac vim his 

omnibus aequivalentem iisdem conjunctim sumtis fore aequalem. Trahetur 

autem elementum M m in directione ipsi P S parallela vi = ^, 

(xx+yy)f 

unde posita ratione radii ad peripheriam = 1 : cr tota circuU M N peri- 
pheria, quae erit = cr y, urgebitur seu quasi gravitabit versus S in ipsa 

directione P S vi = '^ ^ ^ y ^ yjg autem acceleratrix qua haec 

(x x + y y) t 
peripheria circuli versus S soUicitabitur, prodibit, si vis motrix inventa 

dividatur per massam movendam, quae est = ^ y? eritque = — 

• ^ (xx + yy)^ 

§. 20. Hoc praemisso, contemplemur superficiem sphaericam geniiam 




FLUXUS AC REFLUXUS MARIS. 



259 



conversione circuli A M B circa diametrum A B ; sitque semi -diamcter 
A C = B C = r; erit ipsa superficies = 2 t r r. Jam attrahatur haec 
superficies ad Solem Lunamve in S, existente distantia S C = a; atque 
ad vhn totalem seu conatum quo integra superficies ad S tendet, inveni- 
endum, concipiatur annulus genitus conversione elementi M m circa dia- 
metrum A B, quae protensa per S transeat. Positis igitur S P = x, 
P M = y, erit per §. praeced. conatus hujus annuU in directione P S = 
g S X y. M m . .. ^ i r. i,r .. r d x 

(xx + yy)f' 
= 2ax — aa + rr, unde annuli conatus ver- 



At posito P p = d X, erit M m = 1, ct x x + y y 



^ S r X d X 



_, cujus iategrale 



sus S erit = 

(2 a X — a a -|- r r) 2 

est = C + 'Sr(ax-aa + rr)^ ^^ ^^ 

a^ ^(^ax — aa-f-rr) 

natus portionis superficiei sphaericse conver- 

sione arcus A M ortae prodibit = "^ -f- 



a a 



ff S r (a X — a a -h r r) 
a^ ^(^ax — aa-frr) 
= S B seu X = a -|- r, 

tius superficiei sphaericae 



Quare si ponatur S P 



, emerget conatus to- 



Srr 



a a 



hincque 




cum ipsa superficies sit = 2 -^ r r, erit vis acceleratrix qua superficies 

sphaerica actu versus S tendet = _- , ideoque tanta, quanta foret, si tota 

a a 

superficies in centro C esset collecta. 

§.21. Cum igitur superficies sphaerica perinde ad Solem sive Lunam 

in S soUicitetur, ac si tota in ipso centro esset conflata, h.xc proprietas ad 

omnes superficies sphaericas, ex quibus integra sphaera composita concipi 

potest, patebit, dummodo singulae hae superficies ex materia homogenea 

constent, sive quod eodem redit, ipsa sphaera in iisdem a centro distantiis 

sit aeque densa. Hanc ob rem ejusmodi sphaera quoque perinde ad S in 

directione P S urgebitur, ac si tota ipsius materia in centro C esset con- 

centrata; haecque proprietas non solum in ejusmodi sphaeras competit, 

quae totae ex materia uniformi sunt confectae, sed etiam ut jam indicavi- 

mus, in tales, quae ex materia constant difFormi, dummodo in asquaUbus a 

centro distantiis, materia circumquaque sit homogenea seu saltem ejusdem 

densitatis. Cum igitur Terram sibi reprisentare Hceat tanquam sphae- 

ram, si non ex miiformi materia conflatam, tamen sine ullo errore ita 

T4 



260 INQUISITIO PHYSICA IN CAUSAM 

comparatam, ut in aequalibus circa centrum intervallis materiam aeque 
densam includat, Terra quoque universa tam a Sole quam a Luna seque 
sollicitabitur, ac si omnis ejus materia in centro esset collecta. Quan- 
quam enim nunc quidem accuratissimis ab illustrissima Academia Regia 
institutis passim mensuris satis est demonstratum, Terrae figuram ad 
polos esse compressam, tamen tantilla a perfecta sphacra aberratio, in aliis 
quidem negotiis maximi momenti, in hoc instituto tuto negligi potest. , 
Parique ratione, etiamsi Terra in aequalibus a centro distantiis non sit 
aeque densa, tamen difFerentia certe non est tanta, ut error sensibilis inde 
sit metuendus. 

§.22. Ut igitur vires inveniantur, quse tendant ad situm partium 
Terrae relativum immutandum, definienda est vis acceleratrix, qua cen- 
trum Terrae sive ad Solem sive ad Lunam urgeatur : qua cognita, si 
comperiantur omnes Terrse partes aequalibus viribus acceleratricibus et 
in directionibus parallelis ugeri, nulla omnino situs mutatio, nullaque 
proinde maris agitatio orietur. Sed Terra in se spectata omnium par- 
tium situm mutuum invariatum conservabit. At si vires, quibus singulae 
partes a Sole aut Luna urgentur, discrepent a vi centrum Terrae afficiente, 
tam ratione quantitatis quam directionis, tum nisi firmissime inter se sint 
connexae, in situ suo mutuo perturbari debebunt. Hocque casu aquae, 
quae ob fluiditatem vi etiam minimae cedunt, sensibiliter agitabuntur, 
atque affluendo defluendoque aliis locis elevabuntur, aliis deprimentur. 
Cum autem iste motus, qui in singulis Terrae partibus generatur, a dif- 
ferentia inter vires centrum Terrae et ipsas partes soUicitant^s proficisca- 
tur, propria vis, qua quaeque particula agitabitur, innotescet, si a vi 
acceleratrice illam particulam sollicitante auferatur vix acceleratrix, quam 
centrum Terrae patitur : haecque subtractio ita instituitur, ut cuique par- 
ticulae praeter vim actu eam soUicitantem aUa vis sequaUs iUi, quam cen- 
trum perpetitur, in directione contraria appUcata concipiatur : tum enim 
vis quae ex compositione harum duarum oritur, erit vera vis particulam 
iUam de loco suo deflectens. 

§. 23. Consentanea est haec reductio principiis mechanicis, quibus sta- 
tuitur motum relativum in systemate quotcunque corporum et a quibus- 
cunque viribus soUicitatorum manere invariatum, si non solum toti syste- 
mati motus aequabiUs in directum simul imprimatur, sed etiam singuUs 
partibus vires aequales quarum directiones sint inter se paraUelae, appU- 
centur. Nostro igitur casu motus intestinus partium Terrae non turbabi- 
tur, si singuUs particuUs vires aequales in directionibus paraUeUs appUce- 
mus ut fecimus : quod si autem istae vires aequales sint iUi, qua tota 



FLUXUS AC REFLUXUS MARIS. 



261 



Terra seii centrum sollicitatur, et contrariae, hoc ipso Terrae motum 

curvilineum et inaequabilem, quippe qui ab iisdem viribus oritur, adi- 

memus. Quare si insuper toti Terrse motum aequalem et contrarium 

illi, quo actu fertur, impressum concipiamus, obtinebimus totam Terram 

quiescentem, atque etiam nunc partes perinde agitabuntur et inter se 

conimovebuntur, ac si nullas istiusmodi mutationes intulissemus. Qui- 

libet autem facile percipiet, quantum ex hac reductione subsidium asse- 

quamur; multo enim facilius erit mutationes, quae in ipsa Terra acci- 

dunt, percipere atque expUcare, si centrum Terrae constituatur immo- 

tum, quam si totalis motus singularum partium motibus esset permix- 

tus. Hanc ob rem ista reductione qua centrum Terrae in quietem redi- 

gitur, perpetuo utemur, quo phaenomena aestus maris, prouti in Tena 

immota sentu-i debent, eliciamus, quippe qui est casus naturalis, ad quem 

omnes observationes sunt accommodatae, omnes vero theorise accommc- 

dari debent. 

§. 24. Concipiatur nunc Terra tota tanquam globus A D B E urgeri 

ad Solem Lunamve in S existentem, cujus vis absoluta seu ea, quam in 

distantia a centro suo S semi-diametro Terrae 

aequali exerit, sit = S, distantia vero centri 

Tef rae C ab S seu C S ponatur = a ; eritque 

vis acceleratrix, qua tota Terra tanquam in C 

S 

collecta solUcitabitur in directione C S, = . 

a a 

Contemplemur jam particulam Terrae quam- 

cunque M cujus situs ita sit definitus, ut sit 

CP = xetPM=y, existente M P normali 

ad C S ; hinc igitur habebitur S P = a — x et 

S M = V ((a — x) ^ + y ^). Vis igitur acce- 

leratrix, qua particula M versus S pelletur, erit = 

S 
; ; a qua cum auferri debeat vis, 

(a — x) ^ + y ^ 

qua tota Terra versus S nititur, concipienda est particulae M applicata 

in directione M N ipsi C S parallela et opposita ; quae duac 




vis 



a a 



vires particulam M seque afficient ac si universa Terra quiesceret vcl 
uniformiter in directum moveretur, qui casus ab illo non difFert. Ex his 
igitur ambabus viribus conatus innotescet, quo particula M a vi ad S 
directa de loco suo recedere annitetur : ad ipsum autem motum definien- 
dum insuper vis gravitatis erit respicienda : et quia haec particula non est 



262 



INQUISITIO PHYSICA IN CAUSAM 



libera, sed quaquaversiis materia terrestri circumdata, investigari oportet, 
quantum ista materia efFectum viribus sollicitantibus concedat. 

§. 25. Quoniam autem in hoc Capite nobis nondum est propositum in 
ipsum effectum ab his viribus oriundum inquirere, sed tantum conatum 
evolvere atque explorare; diligentius perpendemus, cujusmodi vires ex 
combinatione harum potentiarum particulam M sollicitantium resultent. 
Hunc in finem resolvatur vis M S in duas laterales, quarum alterius 
directio parallela sit ipsi C S, altera vero in M P cadat : ex quo reperietur 
vis illa particulam M in directione M Q urgens 
S (a — x) 



(Ca-x)^ hy^)! 
tione M P trahens = 



altera vero vis in direc 



Cum 



((a-x^^ + y'')! 
autem particula M insuper trahatur in direc- 

tione M N vi = — , tres istae vires a Sole Lu- 
a a 

nave in S existente reducentur ad duas, quarum 

altera in directione M Q urgens erit = 



S(a 



((a-x)^ + y^)^ 
nem habens M P = 



altera vero directio- 



Sy 




Quare 



((a~x)^ + y2) 

si rectae M Q et M P his viribus proportionales capiantur, et rectangulum 
M Q O P compleatur, exprimet diagonahs M O tam directionem quam 
quantitatem vis ex tribus praecedentibus ortae : erit autem anguli O M P 

tangens = tzH: — ((^ — x) ' + y ^) j , cofrnito, si fiat ut M P ad 

y a^y ^ ^ 



MO ita 



Sy 



^^ ad quartam, haec ipsa quarta proportionalis 

((a — x) ^ + y ^) I 

erit vis particulam M in directione M O solHcitans, quae oritur a vi ad S 
tendente. 

§, 26. Ut autem istae vires facilius cum gravitate naturali, cujus direc- 
tio est M C, conjungi queant, resolvantur eae in binas, quarum altera in 
ipsam directionem M C cadat, alterius vero directio sit M R normalis 
ad M C. Ad hoc commodissime praestandum, resolvatur vis M S pri- 
mum in duas, quarum altera ut ante directionem habeat ipsi C S paral- 
lelam, alterius vero directio in ipsam M C incidat. Cum igitur sit M C 

= V (x 2 + y 2) erit prior vis = -^ ^r-^, posterior vero = 

((a--x)^ + y^)i 



vis =• _— -, remanebit vis particulam M in directione M Q soUicitans = 



a a 
Sa S 



FLUXUS AC REFLUXUS MARIS. 263 

S V (x - + y ^) A ^.g ffravitatis auo;ebitur. At si a priori auferatur 
((a-x)^+y^)| ^ 

mebit vis part 

Jam ex Q in C M productam demittatur 

((a-x)^+y2)| a^ ^ *^ 

perpendiculum Q V, eritque ob similitudinem triangulorum Q V M et 

M P C vis gravitati contraria secundum directionem M V agens ex vi 

M Q orta = §_^iE — §4 , unde 

((a-x)^ 4- y^) I V (x^ + y^) a ^ V (x^ + y^) 

omnino particula M a vi ad S tendente versus C urgebitur vi r= 

, ,^f- S(ax-xx-yy) Prseterea vero 

a 2 V (X 2 + y 2) ((a - x) - + y ^) f V{x ^ + y ^) 

eadem particula M in directione M R ad M C normali soUicitabitur vi 
__ S^ay Sy 

((a — x)2 + y2)-| V (x^ +y'^) aW (x^+y^)' 

§. 27. Tametsi istae expressiones tantopere sint compositae, ut parum 
ex iis ad usum deduci posse videatur, tamen si consideremus distantiam 
Lunae a Terra, multo magis autem distantiam Solis, vehementer exce- 
dere quantitatem Terrae, ac propterea quantitates x et y respectu quanti- 
tatis a exiguas admodum esse; per approximationem satis commodas 

formulas ex iis derivare lit;ebit. Cum enim sit proxime . 

((a-x)^^+y2)f 

= (a2-2ax + x2 + y^)-* = 1 + 3 (2 a x - x x - y y) + 

a^ 2 a^ 

15(2ax-xx-yy)» j^^^ 1 ^^^-^ t„t,>, ,ut„tit„i 

ST? ((a_x)^ + y^)| 

poterit L + 5_£ + ^ (^ ^ ^~yyJ. Ex his autem obtinebitur vis, qua 
a a ^ a 

particula M praeter gravitatem a vi Solis sive Lunae in S existentis ad 

centrum Terrae C in directione M C urgetur, = ^^1^ — ^ ^ x) ^ 

*" a3V(x^+y^) 

^y ^ ^ " ^ — ^L^''. Praeterea autem eadem particula M sollicitabi- 

2aW(x" + y^) ^ 

tur in directione M R ad M C normali, vi = ^ ^ + 

a ^ V (x ^ + y '^) 

3Sy(4xx + yy) ^ _3 S y / . 4 x x — y y \ ^ 

2a*V(x^ + y'^) a ^ V (x^ "+ y ^) V WZ 7 ^ 

cum in his formulis termini primi posteriores muitis vicibus excedant, 
rem crassius inspiciendo, particula M a vi Solis Lunaeve secundum M C 



264 



INQUISITIO PHYSICA IN CAUSAM 



urffebitur vi = „ ^^ ^ — - — ^^-^? in direcdone vero M R vi = 

a ^ V (x - + y ^) 

3 Sxy 



V (X '^ + y ^) 



§. 28. Ex his igitur postremis formulis intelligitur ab actione Solis sive 
Lunae in S existentis gravitatem particulae M augeri si ejus situs respectu 
rectas S C ita fuerit comparatus, ut sit y y [> 2 x x hoc est tangens an- 
guli M C P f> V 2 posito sinu toto = 1, contra vero gravitatem dimi- 
nui, si fuerit y y <^ 2 x x. Quare ciim angulus cujus tangens est = V 2 
contineat 54°. 45'. circiter, si concipiatur circulus Terrae maximus qui- 
cunque A D B E, cujus planum per punctum S transeat, in eoque du- 
cantur rectas F C I et G C H, quae cum recta S A B angulos constitu- 
ant 54°. 45^ ; tum omnes Terrae particulae in spatiis F C H et G C I 
sitae gravitatis naturalis augmentum accipient, reliquae vero particulee in 
spatiis F C G et H C I positae decrementum gravitatis patientur. Atque 
hinc, quacumque Terrae particula proposita, definiri poterit, quantum 
ejus gravitas a Sole Lunave in S existente vel augeatur vel diminuatur. 
Altera vero vis, qua particula M in directione 
horizontali M R urgetur, (vide figuram ad pag. 
262.) affirmativa erit, in eamque plagam, quas 
in figura reprsesentatur, verget, si quantitates x 
et y ambae fuerint vel affirmativae vel negativae : 
contrariumque eveniet, si earum altera sit affir- 
mativa, altera negativa. Quare si particula M 
sita fuerit vel in quadrante A C D vel A C E, 
tum vis horizontalis ad rectam C A tendet; 
contra ver<) haec vis ad radium C B dirigetur, 
si particula M sit vel in quadrante B C D vel 
B C E constituta. Ex quibus perspicitur effec- 
tus vel Solis vel Lunae in ambo hemisphaeria, 
superius sciUcet D A E et inferius D B E, inter 
se esse fere similes ; quae similitudo quoque in 
ipso aestu maris observatur. 

§. 29. Ponamus nunc particulam M in ipsa Terrffi superficie esse con- 
stitutam, eritque V (x ^ + y ^) = 1 ob Terrae semi-diametrum = 1. 
Quare si particula M fuerit posita in M, existente anguli A C M smu 
= y et cosinu = x, ejus gravitas naturalis acceleratrix a Sole Lunave in S 

auo-ebitur vi = ^{y^ — ^^^)^ secundum horizontem autem in directione 
o a ** 




FLUXUS AC REFLUXUS MARIS. 265 

S S X V 
M R urgebitur vi == ^. Gravitas igitur maxime augebitur, si par- 

ticula M posita fuerit in D vel E, quibus in locis punctum S in horizonte 

. S 

apparet ; ibi vero gravitatis augmentum erit = — ^. In punctis autem A 

a 

et B, quae punctum S vel in suo zenith vel nadir positum habent, maxi- 

2 S . 
mum deprehendetur gravitatis decrementum, quod sciHcet erit = — ^- ; ita 

a 

ut maximum gravitatis decrementum, duplo majus sit quam maximum in- 

crementum. Vis autem horizontaUs „-^ maxima evadet, si anffulus 

a -* ° 

A C M fuerit semi-rectus, id quod accidit in iis Terrae regionibus, in 

quibus punctum S conspicitur vel 45°. gradibus supra horizontem eleva- 

tum, vel tantundem sub horizonte depressum latet : his igitur casibus ob 

X y = 1 iiet vis horizontalis = - — |. Hujus ergo vis efFectus in hoc 

^ a 

consistet, ut directio gravitatis mutetur, atque versus rectam S C inchne- 

3 S . . 

tur angulo cujus tangens est = 3, existente sinu toto = 1 , quia gravi- 

Z a 

tatem unitate designamus. 

§. 30. Hae itaque vires si satis essent magnse, in ponderibus utique 
sentiri deberent, ac prior quidem gravitatem naturalem vel aug^ens vel 
diminuens in oscillationibus pendulorum animadverti deberet, eorum 
motum vel accelerando vel retardando ; posterior vero vis situm pendu- 
Jorum quiescentium verticalem de hoc situ deflecteret, atque ad hori- 
zontem inchnatum efficeret. Quoniam autem hujusmodi perturbationes 
non observamus, operae pretium erit dilucide monstrare vires illas tam 
esse exiguas, ut hi eifectus sensus nostros omnino eflfligiant. Primum 

o 

igitur cum pro Sole sit S = 227512 atque a = 20620, erit _ = 

a^ 

1 . T„.A .„. • .„. o 1 . _ .^ .. S 



; pro Luna autem quia est S = — et a = 60, erit 



385355701 " ' 40 

= ; ex quo vis Lunas plus quam quater major est vi Sohs, 

caeteris paribus; atque si Soiis et Lunoe vires prorsiis conspirent, erit 

•• • • S 1 1 

ex lis conjunctim __. = . seu proxime = __. Hinc 

a^ 7057700 7000000 

maxima gravitatis diminutio, quos quidem oriri poterit, erit = , 

^ ^ ^ 3500000 



266 INQUISITIO PHYSICA IN CAUSAM 

maximum vero incrementum = — ; unde numerus oscillationum 

7000000 

ejusdem penduli eodem tempore editarum, illo casu erit ut -v/ (1 — 

) seu 1 — hoc vero casu ut V (1 + ) seu 1 + 

3500000 7000000 ^ 7000000 

q— — • Numeri erffo oscillationum ab eodem pendulo eodem tem- 

14000000 ^ ^ 

pore absolutarum, cum gravitas maxime est diminuta, et cum maxime est 

aucta, tenebunt rationem ut 13999998 ad 14000001, hoc est ut 4<666666 

ad 4^666667, ex quo satis perspicitur diiferentiam hanc minime percipi 

posse. Similis autem omnino est ratio alterius phaenomeni decHnationis 

scilicet a situ verticaH comparata, quae nunquam ad 5'^' exsurgere potest. 



CAPUT TERTIUM. 

De Figurdy quam vires cum Solis, tum Lunce, Terroe inducere 

conantur, 

§.31. v>UM igitur in Capite praecedente vires tam a Sole quam a Luna 
oriundds determinaverimus, quibus singulae Terrae particulae ad situm 
relativum cum inter se tum respectu centri, quod in hoc negotio tanquam 
quiescens consideratur, immutandum sollicitantur ; ordo requireret, ut 
jam in ipsum motum, quo singulae particulae inter se commoveri debeant, 
inquireremus. Veriim cum haec investigatio sit altioris indaginis, atque 
opus habeat prin(^ipiis mechanicis ad motum partium inter se respicienti- 
bus, qualia vix usquam adhuc reperiuntur; in hoc Capite rem secundum 
principia statica ulterius persequi pergamus, ac figuram determinemus, 
quam vires Solis et Lunae cum seorsim tum etiam conjunctim inducere 
conantur. Hunc in finem Terram undequaque materia fluida seu aqua cinc- 
tam contemplabimur, quo sollicitationibus obedire ac figuram iis convenien- 
tem actu induere queat. In hoc scilicet negotio Solem et Lunam pariter 
ac ipsam Terram quiescentes concipimus, ita ut inter se perpetuo eun- 
dem situm reiativum conservent, quo pacto Terrae ab actionibus Solis ac 
Lunae figura permanens mox induetur, quam tamdiu retinebit, quoad item 
situs relativus duret. Perspicuum autem est cognitionem hujus figurae 
magno futuram esse adjumento ad ejusdem figurae transmutationem defi- 
niendam, si tam Soli quam Lunae motus tribuatur. 



FLUXUS AC REFLUXUS MARIS. 



267 



§. 32. Consideremus igitur primum Terram in statu suo naturali, in 
quem se sola vi gravitatis composuit ; in quo, cum habitura sit figuram 
sphaericam, reprffisentet circulus A D B E seu potiiis globus ejus rota- 
tione ortus Terram, quam prseterea undique aqua circumfusam ponimus. 
Versetur jam Sol vel Luna in S, a cujus vi cum gravitas naturalis tam 
in A quam in B diminuatur, in D vero et E augeatur, manifestum est 
Terram seu potius aquam illi circumfusam elevatum iri in A et B, contra 
vero in D et E deprimi, idque eousque, quoad solHcitationes a Sole 
Lunave in S oriuiidae cum vi gravitatis ad aequi- 
librium fuerint redactae. Sit itaque curva a d b e 
ea figura, quae circa axem a b rotata generet 
Terrae formam, quam a vi ad S directa tandem 
recipiet, atque cum aquae nunc ponantur in aequi- 
librio constitutae, necesse est ut directio media 
omnium sollicitationum, quibus singulae Terrae 
particulse in suprema superficie sitae urgentur, 
ad ipsam superficiem sit normahs. Quare si 
particulam quamcunque M spectemus, ea pri- 
mum a gravitate naturali in directione M C ur- 
getur deorsum, idque vi, quam constanter poni- 
mus = 1 ; quippe quae est ipsa gravitas in su- 
perficie Terrae, eo quod elevatio vel depressio 
particulae distantiam ejus a centro Terrae, a qua variatio gravitatis pendet, 
sensibiliter non immutet. Deinde vero eadem particula M a vi in S 
existente soUicitatur dupKci vi, quarum alterius directio in ipsam M C 
incidit, alterius vero in M R normalcm ad M C. Quocirca trium harum 
virium mediam directionem incidere oportet in rectam M N normalcm 
ad curvam a M d, quo ipso natura hujus curv^ determinabitur. 

§, 33. Dubium hic subnasci posset, quod cum ad praesens institutum 
omnium virium, quibus singuloe particulas sollicitantur, ratio haberi de- 
beat, eam hic neghgamus, quae a vi centrifuga motus Terrae diurni ori- 
tur, quippe quae non solum non est infinite parva, sed muhis vicibus 
rnajor, quam vires qua3 vel a Sole vel Luna resuhant : sed quia htec vis 
cqnstantem producit effectum, Terra? scihcet figuram sphaeroidicam ad 
polos compressam, mutationem, quae in fluxu ac refluxu maris observa- 
tur, sensibihter aflicere nequit. Deinde quamvis hic figuram Terrse 
sphoericam ponamus, tamen in aben-ationem praecipue ab hac figura tam 
a Sole quam Luna oriundam inquirimus : manifestum autem est, quan- 
tum figura aquae ob vires Sohs LuniEve a sphcerica recedat, tantundem 




2GS INQUISITIO PHYSICA IN CAUSAM 

aquae figuram admisso motu diurno Terrae a figura sphaeroidica esse dis- 
crepaturam. Quapropter in hoc negotio sufficere potest, si, Terra instar 
spha^rae perfectae considerata, definiamus quantam differentiam in aquae 
iigura vires cum SoUs tum Lunae producant : hac enim determinata, si 
Terrae motus vertiginis restituatur, perspicuum erit totam figuram sub 
sequatore intumescere, sub poHs autem subsidere ; ita tamen ut ubique 
eadem vel elevatio vel depressio aquae a viribus Solis Lunaeve maneat. 
Namque si uUa etiam varietas in aestu maris a motu vertiginis Terras 
proficiscatur, ea calculo monstrante nusquam major esse potest parte ^l^ 
aestus totalis ; tantilla autem differentia notari non meretur, neque ob eam 
causam operae pretium est tam complicatos et abstrusos calculos hiire, 
ad quos perveniretur, si Terrae figura naturahs a sphasrica diversa pone- 
retur, atque insuper vis centrifiiga a motu vertiginis Terrae in computum 
duceretur. 

§, 34. Ad curvam igitur a M d b, cui ea quae ex altera paite axis a b 
simihs est et aequahs, determinandam, ponatur vis absoluta sive Sohs sive 
Lunae in S existentis = S, distantia C S = a, ac ducta semi-ordinata 
M P vocetur C P = x, et P M = y. Ex praecedenti igitur Capite 
habebitur vis, qua punctum M vel a Sole vel Luna versus C urgebitur = 

yy y ^ -^ — L insuper autem idem punctum M solhcitabitur in direc- 

a^;V(xx + yy) 

tione M R normah ad M C vi = -lAll ^ + 3Sy(4xx — yy) 

a-^V^xx — yy) ^a^^V^xx-f-yy) 

Praeter has vero vires punctum M gravitate naturah deorsum pehitur vi 
= 1 secundum directionem M C, ita ut punctum M ab omnibus his 
viribus conjunctim in directione M C deorsum urgeatur vi = 1 + 

(y y ^ X xj ^i^. ^^ j sequens terminus tuto neffhgi potest, et m 
a^ V(xx + yy) ^ & fe r j 

directione M R vi = ^^^^ + jS y_(4_x x - j^yj . 

a W (x X H- y y) 2 a ^ V (x x + y y) 

rum duarum virium si M N ponatur media directio, prodi- 

bit per regulas compositionis motus anguh C M N tangens = 

3S y(2ax + 4xx yy) ^g^ divisione actu insti- 

2a*V(xx + yy) + 2Sa(yy — 2xx) 

tuta, iisque terminis neglectis in quorum denominatoribus a plures quam 

S S X V 
quatuor obtinet dimensiones, abit in hanc expressionem ^^ 1 

a^V (XX + yy) 

+ ^ 7 (^ X X — y y) gg ^^ . formula, qu^ vis M R exprime- 
2 a * V (X X + y y)' ^ ^ ' ' ^ 



FLUXUS AC REFLUXUS MARIS. 



269 



batur. Quocirca angulus C M N prorsus non pendet ab aucta minu- 
tave gravitate, sed tantum a vi horizontali singulis particulis in Terrae 
superficie sitis impressa. 

§. 35. Quoniam vero ha^c ipsa media directio M N debet esse ad cur- 

vam a M d in puncto M normalis, erit subnormalis P N = — Z — Z et 

d X 

C N = X d X + y d y qs^ ^^^^^^ ^j^ ^^^ M N P tangens = ""^^ 
d X dy 

et anguli M C P tangens = Z^, erit horum angulorum difFerentiae, hcc 

est anffuli C M N tangens = ^ — ^ "^ ^ — ~, quae superiori cxpressioni, 
° y d X — X d y 

qua haec eadem tangens designabatur, aequahs 

posita pro curva quaesita a M d b sequentem prae- 

i 1.^ ,. vdv + xdx 3Sxy 

bebit aequationem -^ / — = „ . ^ ^^ 

^ ydx — xdy a^^v^xx+yy) 

_j_ 3 Sy(4?xx yy) ^^ quam integrandam 

^2aW(xx + yy)' 

ponimus V (x x + y y) = z = M C, et anguli 



M C A cosinum 



= u, unde fiet 



V(xx+ yy) 
X = u z et y = z V (1 — u u), atque y d x 
z z du 



— xdy = 



itemque x d x + y d y 



V (l— uu) 
s± z d z. Hac autem facta substitutione, sequa- 



tio inventa abit in hanc 



dz _ 3 S u d u 
zz a ^ 




3?^zdu(5uu j^ ^^j^g postremus terminus, qui ob pai-vitatem prae 

2 a * 

reliquis fere evanescit, si abesset, foret integrak — — = ^^ - seu 

c z ^ a 

z = c + „^ ^^ ^ proxime. Ponamus itaque completum integrale 



esse z = c + 
-_ 5 u ■' 



2 a^ 

3 Sc^u^ 



2 a 



3 Sc^ V 

2a^ ' 



ac facta applicatione reperietur V 



=ll^,itauthabeaturz = c+ ^^^^"^ + Sc-^u(5uu-3) 
3 2a^ 2^^ 

quod autem integrale proxime tantum satisfacit ; at mox alia via aperie- 

tur verum ipsius z valorem per u commodius et propius definiendi. 

VOL. III. U 



270 INQUISITIO PHYSICA IN CAUSAM 

§, 36. Cum autem soliditas sphaeroidis, quod generatur ex conversione 
curvae a d b circa axem a b, sequalis esse debeat soliditati sphseras radio 
C A = 1 descriptae, hinc constans quantitas c quae per integrationem est 
ingressa, definietur : id quod commodissime praestabitur, si utraque sphse- 
roidis semissis, superior scilicet versiis S directa, atque inferior seorsim 
investigetur. Quoniam igitur pro semissi superiori est C P = x= z u 

2a^ 2 a ^ ^ \ / 

-(1— uu)(^cc + —. + "^—^ ^J, erityyydx, cui 

soHditas genita conversione spatii d C P M est proportionaUs, = c ^ u 

c^u^ 5Scni^ __ 3Sc^u^ __ 3Sc^u^ , 21 Sc^ u^ _ 5 Sc^u^ 
3 2a3 2a^ a^ 4a* ~2^ 

Posito igitur u = 1, prodibit superioris semissis ut f c ^ + — ^ ^ 

a^ 4a* 

rt Q 2 2 

Simili modo cum pro inferiori semissi sit C u = z = c + ^ ^ " — 

2a^ 

Sc^u(5u^ — 3) gj,j^ • soliditas ut f c^ + ^' + .^_l'; ex quibus 
Sa^ ' J ^ a"^ 4a^ ^ 

2 S c* 

totius sphaeroidis soliditas erit ut J c ^ + ^ . Quare cum sphffirae ra- 

a ^ 

dio = 1 descriptae soliditas pari modo definita, sit ut f , fiet 1 = c ^ + 
__5-£_ ; hincque c = 1 — — ^. Quamobrem pro curva quaesita habe- 

bitur, hoc valore loco c substituto, ista aequatio z = 1 + — \ — H — / 

2 a ^ 

+ ^ ^ (-5 u u 3) . ^^ A jjjj^^j.^ istius curvae luculenter cognoscitur. 
2 a* 
§. 37. Hinc igitur perspicitur a Sole vel Luna in S existente aquam, 

S 
cujus superficies ante erat.in A, attolli in a, ita ut sit elevatio A a = _ 

a 

+ _ ; atque in regione opposita B, aquam pariter elevari per spatium 
a* 

QJ Q 

B b = _ — _ : unde patet aquas in A et B, ad eandem fere altitudi- 
a ^ a ^* 



nem elevari, cum excessus superioris elevationis super inferiorem sit tan- 

2 S 
tum — _, quod discrimen respectu totius elevationis vix est sensibile. 

Contra vcro in regionibus lateralibus D et E, aqua circumquaque aequa- 



FLUXUS AC REFLUXUS MARIS. 271 

S 
liter deprimetur, et quidern per intervallum D d = E e = . — ^ ; ex quo 

ista depressio duplo minor est, quam elevatio quae in A et B accidit. In 
punctis praeterea F, G, H et I, quae a cardinalibus A et B distant angulo 
54P. 45' quippe pro quo est 3 u u — 1 = 0, neque elevabitur aqua neque 
deprimetur, sed naturalem tenebit altitudinem. In loco autem Terrae 
quocumque M cognoscetur aquae vel elevatio vel depressio ex angulo 
A C M, cujus cosinus u est sinus altitudinis sub qua Sol vel Luna in S 
existens super horizonte conspicitur ab observatore in M constituto ; hoc 
enim in loco aqua elevata erit supra naturalem altitudinem intervallo = 
S(3uu— 1) _^ Su(5uu — 3 ) . ^^^ expressio si fit negativa, maris 

depressionem indicat. Hic autem annotare non est opus, quod si punc- 
tum S sub horizonte lateat, tum sinus depressionis maneat quidem u, sed 
negative accipi debeat. 

§. 38. Definiamus igitur primum cum elevationem tum depressionem, 
quae a sola vi Solis ubique Terrarum produci deberet, si uti ponimus, 
omnia in statu aequilibrii essent constituta. Quoniam itaque est S = 
22751 2 atque a = 20620 semi-diameter Terrae, si una Terrae semi-diameter 

o 

assumatur 19695539 pedum Paris. erit _ . = 0,5072 ped. seu pauxillum 

a ^ 

S 
excedet semi-pedem : valor autem _ omnino erit quantitas evanescens et 

a * 

imperceptibilis. Hanc ob rem in regionibus sub Sole verticaliter sitis, 

quae habeant Solem vel in zenith vel nadir, aqua ultra altitudinem natu- 

ralem attoletur ad semi-pedem cum pollicis parte decima circiter; dcpres- 

sio autem maxima cadet in loca, quae Solem in horizonte conspicient, ubi 

aqua ad quadrantem pedis tantum deprimetur, ex quo totum discrimen, 

quod a Sole in altitudine aquae naturali oritur, ad tres quartas pedis 

partes circiter assurget. Iste SoUs effectus autem distantiae tantum medi- 

ocri Solis a Terra est tribuendus : quod si enim Sol versetur vel in apo- 

gaeo, vel perigaeo, ejus efFectus vel diminui vel augeri debebit in rationc 

S 
reciproca triplicata distantiarum Solis a Terra, quia pendet a valore _. 

a ^ 
Cum igitur orbitae Terrae excentricitas sit = yiSno j ^^^^ intervallum A a 
vel B b, dum Sol in perigaeo versatur, = 0,5332 ped. sin autem Sol in 
apogaeo sit constitutus, = 0,4825 pedum ; quorum difFerentki ad vicesimam 
pedis partem ascendit: valor autem medius est = 0,5072, quem pro 
mediocri distantia Sohs a Terra invenimus. 

U2 



272 INQUISITIO PHYSICA IN CAUSAM 

§. 39. Problema hoc, quod hucusque dedinius solutum, quodque maxi- 

mi est momenti ad effectus cum Solis tum Lunae in mari elevando et 

deprimendo definiendos, Newtonus ne attigit quidem, sed aham viam 

secutus, non solum indirectam, sed etiam erroneam, invenit mare a sola 

vi Solis ad altitudinem duorum fere pedum elevari debere ; cum tamen 

tam eandem vim SoK absohitam quam eandem distantiam a Terra assum- 

sisset, quibus nos sumus usi. Conclusit autem hunc enormem efFectum 

S 
ex comparatione vis SoKs seu valoris _ cum vi Terrse centrifuga a motu 

diurno orta, qua Terra sub aequatore extenditur ac crassior redditur quam 
sub pohs; atque assumit elevationem aquas a vi Sohs ortam eandem 
tenere debere rationem ad incrementum Terrae sul? aequatore a vi centri- 
fuga factum, quam teneat vis Sohs ad vim centrifugam. Sed praeter- 
quam quod hoc ratiocinium nimis infirmo superstructum fundamento, 
nostra via directa, qua sumus usi, statim evertitur : ex ipsa enim rei na- 
tura, nulhs precariis assumtis principiis, elevationem aquarum a vi Sohs 
oriundam directe et luculenter determinavimus : ac si uUum etiam dubium 
ob integrationem per approximationes tantum institutum restaret, id mox 
tolletur, ciim infra idem Problema aha methodo prorsus diversa sumus 
resoluturi, congruentemque solutionem exhibituri. 

§, 40. Quamvis autem iste Sohs effectus in mari tam elevando quam 
deprimendo non adeo certus et planus esse videatur ob paraUaxin Sohs, 
quam 1 0'' assumsimus, nondum accuratissime definitam ; a qua tam dis- 
tantia Sohs a Terra a, quam aestimatio vis absolutae S, pendet : tamen si 

rem attentius perpendamus, comperiemus expresaionem _ perpetuo eun- 

a 

dem retinere valorem, quaecumque Soh paraUaxis tribuatur : mutata 

cnim paraUaxi, valor htterae S praecise.in eadem ratione, in qua cubus 

distantiae a % mutabitur. Per leges enim motus firmissime stabihtas pa- 

S 
tebit quantitatem — a solo tempore periodico Terrae circa Solem deter- 
a 

minari, cujus quantitas accuratissime est definita. Quod ut clarius appa- 

reat, consideremus planetam quemcunque circa Solem in orbita eUiptica 

revolventem, cujus semi-axis transversus seu distantia a Sole media sit 

= a, vis autem Sohs absoluta = S, erit tempus periodicum semper ut 

aVa Ni''v^ ' j' -x X Vi.^.aVa.S 

^; quod si igitur tempus periodicum sit = t, erit t ut — _— et — ^ 

V S V S a 

uti — Ad valorem autem fractionis — absolute inveniendum, exprimatur 
tt a^ ^ 



FLUXUS AC KEFLUXUS MARIS. 273 

a in semi-diametris Terrae, atque in minutis secundis dato tempore perio- 



506U a V a jv S 5064^ X 5064^ 

dico t, erit semper t = ^^^^^,— ,^ — ■ ; ex quo prodit __ = ^— i-, 

V o a 1 1 

posita unitate cum pro gravitate naturali, tum pro una Terrse semi-dia- 

metro. At si tempus Terra3 periodicum seu annus sidereus in minutis 

S 
secundis exponatur, fiett = 31558164, atque __ = 0,50723 pedum posita 

a *^ 

semi-diametro Terrae per observationes exactissimas 19695539 pedum 

Paris. reg. omnino uti ante invenimus. 

§. 41. Simili modo ex superiori aequatione elevatio aquae a vi Lunae 

oriunda determinabitur ; posita enim vi Lunoe absoluta = L, poni opor- 

tet S = L, ejusque valor proxime erit = -^i^, quem a Newtono reper- 

tum tantisper retinebimus, quoad verus valor per alia phaenomena accu- 

ratius definiatur. Quoniam itaque Lunae a Terra mediocris distantia 

o 
est = 60h semi-diam. Terrae, erit _ = L X 88,94 ped. = 2,223 pedum 

a ^ 

o 

et = L X 1,47 = 0,037 pedum. Cum auteih Lunae excentricitas sit 

a * 

S 
quasi toooo ; ^rit dum Luna in perigaeo versatur _ = L X 104,44 ped. 

a 

= 2,611 peduraet^ = L X 1,82 = 0,045. pedum. At si Luna fuerit 
a * 

S S 

in apogaeo, prodibit _ = L X 75,74 ped. = 1,893 pedum et _- Lx 1,19 
a -^ a ^ 

= 0,030 pedum. Ex his igitur si Luna a Terra mediocriter distet, erit 

aquae elevatio A a = L X 90,41 pedum = 2,260 pedum elevatio autem Bb 

= L X 87,47 pedum = 2,187 pedum : ac depressio ad latera Dd = Ee 

= L X 44,47 pedum = 1,112 pedum. Pro perigaeo vero Lunae fiet Aa 

= L X 106,26 pedum= 2, 656 pedum; Bb = L. 102,62 pedum = 2,565 

pedum; atque D d = E e = L. 52,22 = 1,305 pedum. Pro apogaeo 

denique Lunae habebitur Aa == L. 76,93 pedum = 1,923 pedum, et Bb 

= L. 74,55 pedum = 1,864 pedum, atque D d = Ee = L. 37,87 pedum 

= 0,947 pedum. 

§. 42. Tametsi autem hac methodo non difficulter tam elevatio maris 

quam depressio quae vel a Sole vel Luna seorsum gignitur, sit deteraii- 

nata, si quidem omnia ad statum quietis redacta concipiantur ; tamen ni- 

mium foref difficile ejusdem methodi ope easdem res definire, si Sol et 

Luna conjunctim agant. Quamobrem aham methodum exponamus, cujus 

usus pro vitroque casu acquc pateat; quae cum a priori penitus sit diversa, 

U3 




27* INQUISITIO PHYSICA IN CAUSAM 

simul ea, quae jam suiit eruta atque a Newtonianis diversa deprehensa, 
maxime confirmabit. Petita vero est haec altera methodus ex ea aequi- 
librii proprietate, qua requiritur, ut 
omnes colamnae aquese a superficie 
Terrae ad centrum pertingentes sint 
inter se aequiponderantes. Existen- 
te igitur vel Sole vel Luna in S, 
cujus vis absoluta ponatur = S, et 
distantia S C = a, sit A C columna 
aquea a superficie Terrae A ad cen- 
trum C usque pertingens, quae altitudo 

A C sit = h. Ponatur anguli A C S cosinus = u, qui simul erit sinus 
altitudinis sub qua punctum S a spectatore in A constituto super hori- 
zonte elevatum conspicitur ; sumaturque intervallum quodcunque C M = z, 
et consideretur totius columnae elementum M m = d z. Hoc igitur ele- 
mentum primo a gravitate deorsum versus C urgebitur, cujus effectus, 
cum intra Terram pro variis distantiis non satis constet, ponatur dignitati 
cuicunque distantiarum a centro, puta ipsi z ^ proportionalis : mox enim 
planum fiet exponentem n nil omnino determinationes esse turbaturum. 
Urgebitur ergo elementum M m versus centrum C vi = z " d z ; ex quo 

totius columnae A C nisus deorsum a gravitate oriundus, erit = . 

n -I- 1 

§, 43. Praeterea autem elementum M m = d z a vi S sollicitabitur 

duplici modo, altero deorsum in directione M C, altero in directione 

ad illam M C normali, quae posterior vis, cum pondus columnas nequa- 

quam afficiat, tuto neghgetur, solaque prior considerabitur. Demisso 

autem ex M in C S perpendiculo M P, positisque CP = xetPM = y, 

erit V (x ^ + y ^) = z, et x = u z atque y = z V (1 — u u). At ex 

S (v V — 2 x x^ 

§. 27. vis, qua particula M m deorsum sollicitatur, est = -y ^ -. ( 

a^V(xx+yy) 

+ '^ ^^x(3yy — 2xx) _ Sz(l — 3uu) , 3Suz^(3 — 5uu) Q^g^ 

2 a W (x X -f y y) a ^ 2 a * 

cxpressio per d z multiplicata, tumque integrata facto z = h, praebebit 

totius columnae A C nisum a vi S oriundum = )^ — I^^l- 1 + 



2 a 



^(^ 5uu)^ Quocirca totus columnae A C nisus deorsum tendens 

2 a* 

.nt=-!LJL!J+ Sh^(1^3uu) Sh^u(3-5uu) • ^^^ j^ 

n + 1 2ir' 2 a * ^ 



FLUXUS AC REFLUXUS MARIS. 275 

omnibus columnis debeat esse' idem, aequabitur c©natui, quo columna 
sequalis semi-diametro Terrae 1 in statu naturali a sola gravitate deorsum 

nititur, quae vis est = . Hinc igitur seiquens emergit sequatio, 

1 =h " + ^ + ("+ l)Sh-(l-~3uu) , (n + 1) Sh^u (3 — 5uu ) . 
2a^ "^ 2a* 

ex qua elicitur h = 1 + ^^^^"^^^ + Su{5nu^3)^ ^^^ ^^^ ^^ . 

2 sl" 2 a* 

expressio, quam supra §. 36. akera methodo invenimus. 

§. 44?. Agant nunc vires ambas ad Solem Lunamque directae conjunctim ; 
ac primo quidem designet S Solis vim absolutam, a ejus distantiam a 
Terra, et u sinum anguH, quo Sol supra horizontem est elevatus. Deinde 
sit simiU modo pro Luna L ejus vis absoluta, b ejus distantia a Terra, 
atque v sinus altitudinis Lunae super horizonte. Ex his igitur columna 
aquea A C = h tam vi propriae gravitatis quam a viribus Solis ac Lunae 

coniunctim in centrum C ursfebitur vi = 2 + 5 i __n".-_^^) 

^ ^" n + 1 2a^ 

, Lh^(l-~3vv) Sh-u(3-^5uu) . L h ^ v ( 3 — 5 v v) 
■^ 2h~' -^ 2i^ ^ 2b* -' ^ 

aequalis esse debebit vi . Ex hac autem aequatione resultat h -■= 1 

n+ 1 

, S(3uu — 1) , L(3vv— 1) , Su(5uu — 3) , Lv(5vv— 3 ) 

"*" 2a^ 2b2 2a* 2b^ 

Quocirca aqua in A supra situm naturalem, quem a sola gravitate solHci- 

tata obtineret, a viribus SoKs ac Lunae conjunctim solHcitantibus, eleva- 

bitur per intervallum = ^(^l^-nD + L(3vv~l) + Su(5uu-3) 
^ 2a" 2b^ 2a* 

+ ^ f T^4 ^ ^^ qu^ expressione status aquae vel elevationis vel de- 

pressionis ubique Terrarum cognoscetur. 

§. 45. Hanc posteriorem viam secuti, non solum actiones Solis ac 
Lunae commode conjungere potuimus, sed etiam nunc nobis Hcebit mo- 
tus vertiginis Terrae, et vis centrifugae inde ortae, rationem habere ; id 
quod methodo priore opus fuisset insuperabile. Ponamus enim altitudi- 
nem columnae naturalem A C, quam habitura esset a vi gravitatis et vi 
centrifuga simul, seu quod eodem redit, in figura Terrae sphseroidica 
compressa, esse = f, altitudinem autem quam habebit accedentibus viri- 
bus SoHs ac Lunae esse =: h ; atque manifestum est quantitates f et h 
quam minime ab 1 discrepare. Cum igitur utriusque columnae f et h 
idem debeat esse nisus deorsum, columnae autem f in quam sola gravitas 

U4 




27© INQUISITIO PHYSICA IN CAUSAM 

et vis centrifuga agunt, nisus sit = _ — a f f, denotante a quanti- 

n + 1 ^ 

tatem a vi centrifuga in A pendentem, columnae vero h nisus sit =- 

n + 1 

^l.2. Sh^(l— 3uu) , Lh^(l— 3vv) Sh^u(3 — 5uu) 

■" "^ 2a2 2V' '^ 2ir^ "^ 

^^^^^^y^^^), erit sequalitate facta f" + i — (n+l)aff= h^ + ^ 

-(n + l)«h^ + ("+l)Sh^(l-3uu ) 

2 a'' 
+ (» + 1) L h Ml — 3 V v) + 

2b^ 
(n + 1) S h ^ u (3 — 5 u u) , 
2a^ 

(n + l)LhM3:zgZl), Ponaturh = f+s, 
2 b "* 

erit ob a quantitatem vehementer par- 

vam, a vero et b maxunas, = f » s + ^^'(^-7^^) + Lf^(l"-3vv) 

2 a^ 2 b ^ 

— 2 a f s + Sfs (1 — 3uu) , Lfs(l— 3vv) , Sf^u(3 — 5uu) 
a^ "^ b"^ 2a^ 

+ ^ ~7 — ^^, neglectis terminis in quibus s plures obtinet dimen- 

^ a 

siones, ob summam ipsius s parvitatem respectu ipsius f. Hinc itaque 

S(3uu--1) L(3v v-1) , Sfu(5uu-3) , Lfv(5vv-3) 

2a2 "*" 2b^ "*" 2a* "*" 2b^ 

fiet s = ■ — 

£n 2__2_« , S (1 — 3u u) , L (1 — 3 V v) 

~r a^f b^f 

Quod si porro ponatur semi-axis Terrae per polos transiens = 1 , erit ob 

f " +1 1 

aequilibrium — a f f = et f = 1 + a, ex quo denominator 

n+1 n+ 1 ^ 

praecedentis fractionis ab unitate quam minime discrepabit ; sub ipso enim 

aequatore est a = 3-^^, ubi quidem est maximum : unde omnino ut ante 

elevatio aquae a viribus Solis ac Lunae orta supra altitudinem naturalem 

s = S(3uu — 1) , L(3vv— -1) , Su(5uu — 3) , Lv(5vv — 3) . 

2a^ 2b^ 2a'' 2b* 

discrimen enim quod revera aderit, sensus omnino effagiet, pendebitque 

simul a valore exponentis n. 



FLUXUS AC REFLUXUS MARIS. 277 

CAPUT QUARTUM. 

De FIllvu ac Refluxu Maris si aqua omni inertid careret. 

{. 46. Qu^ in Capite praecedente sunt tradita respiciunt hypothesin 
assumtam, qua Solem ac Lunam respectu Terrae perpetuo eundem situm 
tenere posuimus ; ibique praecipue statum sequilibrii, ad quem oceanus a 
riribus Solis et Lunae perducatur, determinavimus. Longe aliter autem 
se res habet, si tam Luna et Sol quam Terra in motum collocentur, quo 
casu ob perpetuam situs relativi mutationem nunquam sequilibrium adesse 
poterit; cum enim tempore opus sit, quo data vis datum corpus ad mo- 
tum perducat, duplici modo status oceani assignatus a vero discrepabit. 
Namque primo aqua quovis momento in eum Eequilibrii situm, quem vires 
soUicitantes intendunt, pervenire non poterit, sed tantum ad eum appro- 
pinquabit continuo ; deinde etiamsi in ipsum aequilibrii situm perveniat, 
in eo tamen non acquiescet, sed motu jam concepto ulterius feretur, uti 
ex natura motus abunde constat. Hujus autem utriusque aberrationis 
ratio in inertia aquae est posita, qua fit ut aqua nec subito in eum situm 
se conferat, in quo cum viribus datur sequilibrium, nec cum hunc aequili- 
brii situm attigerit, ibi quiescat. Quocirca ne difficultatum multitudine 
obruamur, aquam omni inertia carentem assumamus, hoc est istius in- 
dolis, ut non solum quovis momento se in statum aequilibrii subito reci- 
piat, sed ibi etiam omnem motum insitum deponendo permaneat, quam- 
diu iste situs viribus sollicitantibus conveniat. Hac itaque facta hypothesi, 
perspicuum est aquam quovis temporis momento in eo ipso statu fore 
constitutam, qui secundiim praecepta Capitis praecedentis positioni ciim 
Solis tiim Lunae respondeat. 

§. 47. Ut igitur in hac hypothesi, qua mare vis inertiae expers poni- 
mus, pro quovis loco ad quodvis tempus statum maris quam commodis- 
sime definiamus, primum solam Lunam considerabimus, cum in ea pras- 
cipua aestus maris causa contineatur, atque tam fluxus quam refluxus 
maris a transitu Lunas per meridianum computari soleat : quod si enim 
Lunae eflectus innotuerit, non solum Solis effectus quoque mutatis mutan- 
,dis coUigetur, sed etiam effectus, qui ab ambobus luminaribus simul 
agentibus proficiscitur. Propositus igitur sit Terrae locus quicunque, cujus 
in coelo zenith sit Z, horizon H Q O et P pohis borealis, ita ut arcus P O 
sit hujus loci elevatio poli, ct circukis P Z H N O meridianus. Sit porro 



278 



INQUISITIO PHYSICA IN CAUSAM 




M L K parallelus aequatori, in quo Luna jam motu diurno circumferatur, 

atque hoc momento reperiatur Luna in L; eritque tempus, quo Luna vel ex 

L ad meridianum M appellet, vel vicis- 

sim a meridiano ad L pertigit, ut angu- 

lus M P L, sive hoc tempus se habebit 

ad tempus unius revolutionis Lunse, 

quod est 24. horarum 48'. uti se ha- 

bet angulus M P L ad quatuor rec- 

tos. Sit igitur anguli M P L cosinus 

= t, sinus elevationis poii P O seu 

sinus arcus P Z = p, cosinus = P, 

ac sinus declinationis Lunae boreahs 

= Q, qui idem est sinus distantiae 

Lunae a polo P L, hujus vero ipsius arcus sinus sit = q, cui simul cosi- 

nus decUnationis Lunae aequatur, atque ob sinum totum constanter posi- 

tum = 1, erit Q ^ -f- q ^ = 1. Cum jam in triangulo sphserico Z. P L 

dentur arcus P Z et P L cum angulo Z P L, reperietur per trigonome- 

triam sphsericam arcus Z L cosinus = t p q + P Q, qui simul est sinus 

altitudinis Lunae supra horizontem, quem ante posuimus = v. Ex qui- 

bus erit v = tpqH-PQ, etSvv— 1 =3(tpq+PQ)2_l, 

atque 5vv — 3 = 5(tpq+PQ)^-=-3; qui valores in formulis pra?- 

cedentis Capitis substituti praebebunt statum maris, hoc est vel elevatio- 

nem vel depressionem, pro loco proposito ad tempus assignatum. 

§. 48. Quod si ergo Lunae vis absoluta ponatur =L, ejusque a Terra 
distantia = b, erit intervallum, quo aqua supra statum naturalem elevr- 
bitur = L(3(tpq + PQ)^-1) + L(tpq+PQ)(5(tpq+PQ) ->3) 
' 2b^ 2b* ' 

quae expressio si fit negativa, indicat aquam infra statum naturalem esse 
depressam. Ponamus Lunam horizonte seu versus austrum per meridi- 
anum transire, quo casu erit t = 1 ; hoc igitur tempore aqua supra sta- 

tum naturalem erit elevata intervallo = L (3 (p q + P Q) ^ — 1) , 

2 b^ 

L(pq+PQ)(5( pq+PQ)--3) ^ Contrd vero dum" Luna sub 

2b* 
horizonte vel versiis boream ad meridianum appellit, fiet elevatio aquse 

supra statum naturalem per intervallum = ^ \-^ -^ ^ ^) 



L P Q (5 P ^ Q 



2b 



2 b^ + 

3") • . . , , . 

—1 ; quse expressio semper est negativa, ideoque m- 



FLUXUS AC REFLUXUS MARIS. 279 

dicat aquam infra statum naturalem consistere. Namque cum P ubique 

sit minor unitate nisi sub ipsis polis, ac declinatio Lunae nunquam ad 30°. 

assurgere possit, ex quo Q <^ J et Q Q -< ^, erit 3 P ^ Q ^ perpetuo 

unitate minor ; ideoque illa expressio negativa. 

§. 49. De ratione autem elevationis aquai in genere judicare licebit ex 

n iaL(3vv — l),Lv(5vv — 3) > ^ • 

lormula — i^ : J ^ L seu cum posterior termmus 

2b^ ~ 2 b^ ^ 

vix sit sensibilis, ex solo priore — i — ^ ^ ~ J, Ex hac autem expres- 

sione intelligitur aquae elevationem a sola elongatione Lunae ab horizonte 
pendere, sive Luna sit super sive sub horizonte, retinet enim 3 v v — 1 
eundem valorem sive v sit affirmativum sive negativum. Deinde quia fit 
3 V V — ] = si Luna ab horizonte distet arcu 35". 16'., tum aqua in 
ipso statu naturali erit constituta, neque elevata neque depressa. Eleva- 
bitur ergo aqua, cum Luna ultra 35^. 16'. vel supra vel infra horizontem 
versetur, e contrario autem deprimetur quando Lunag ab horizonte dis- 
tantia minor est quam 35°. 16'. Omnino autem aqua maxime erit de- 
pressa dum Luna ipsum horizontem occupat, hocque tempore infra situm 

naturalem subsidet intervallo — _ = 1, 111 pedum (§. 41.); atque de 

^ o 

hoc situ elevabitur recedente Luna ab horizonte sive super sive sub Ter- 

ra. Hinc iis in regionibus, in quibus Luna oritur et occidit, tempore 

24. hor. 48'. mare bis maxime erit dcpressa, bisque elevata; status sciU- 

cet depressionis incidet in appulsus Lunae ad horizontem, status autem 

etevationis in appulsus Lunae ad meridianum. At quibus in regionibus 

Luna nec oritur nec occidit, quoniam ibi Luna altero appulsu ad meri- 

dianum maxime, altero minime ab horizonte distat, spatio 24 h. 48'. aqua 

semel tantum elevabitur, semelque deprimetm': sub ipsis autem polis 

aestus maris omnino erit nuUus, diurnus sciHcet ; nam variatio declinatio- 

nis sola statum maris turbabit. 

§.. 50. Cum igitur sub poUs Terrae nullus sit fluxus ac refluxus maris, sed 

aqua tantum aHquantulum ascendat descendatque, prout Luna vel magis ab 

aequatore recedit vel ad eum accedit; videamus etiam quomodo aestus 

maris in aliis Terrae regionibus secundum nostram hypothesin debeat esse 

comparatus. Considerabimus autem praecipue tres regiones, quarum 

prima posita sit sub ipso aequatore, secunda habeat elevationem poli 30 

graduum, tertia vero 60 graduum. Quia igitur in his omnibus regionibus 

Lmia oritur atque occidit, maxima depressio aquae ubique erit ea- 

dem, scilicet per iiitervallum __ infra situm naturalcm, caque contin- 



280 



INQUISITIO PHYSICA IN CAUSAM 



get bis, quando nimirum Luna in ipso horizonte versatur. Ab hoc ita- 

que statu maximae depressionis elevationes maris indicabimus et computa- 

bimus, spatiis assignandis, per quae aqua attolletur dum Luna vel supra 

horizontem in M vel infra in K ad meri- 

dianum appellit, itemque dum ab utro- 

que meridiajio agqualiter distat, qui locus 

sit L existente angulo M P L recto. 

Praeterea tres quoque Lunae situs in sua 

orbita contemplabimur, quorum primus 

sit, cum Luna in ipso aequatore versa- 

tur, secundus cum Luna habet decli- 

nationem borealem 20 graduum, tertius 

vero cum Luna declinationem habet 

australem pariter 20 graduum. De- 

nique in tabella sequente adscripsimus quantitatem anguli M P Q, ex 

quo tempus tam ortus quam occasus Lunae, quo aqua maxime est de- 

pressa, atque elevatio existit nulla, innotescit. 




In locis sub JEquatore sitis, est elevaiio Maris, dum Luna versatur in 



M 



J) Declinatio 0°. 
]) Decl. boreal. 20°. 
]) Decl. austr. 20°. 



3L 




2L 




+ 




2b3 


2b4 


2,649 L 


+ 


1,549 L 


2b3 


2b + 


2.649 L 


1 


1,549 L 


2b3 


l 


2b* 



L 

O 
O 

o 



K ang. M P Q 

aL 2L 

2 b^ 2b4 ■ 
2,649 L 1,549 L 



2b3 2b4- 

2,649 L 1,549 L 



2b3 



2b* 



90°. C. 
90°. 0'. 
90°. 0'. 



]) Declinatio 0°. 
3) Dccl. boreal. 20°. 
D Decl. austr. 20°. 



3) DecHnatto 0°. 
X Decl. boreal. 20°. 
]) Dccl. austr. 20°. 



Sub elevatione Poli 30°. erit Maris elevatio 
2,250 L . 1,082 L 



2b3 
2,909 L 



2b4 
[,8S0 L 



2b3 ' 2b4 
1,239 L , 0,154 L 



2b3 



2b4 



O 
0,087 L 0,156 L 

2F3 2b4 

0,087 L , 0,156L 



1,082 L 



2,250 L 

2 b 3~ 2 b -^ 

1 ,259 L 0,154 L 
2 b 3 2 b + 

2,909 L 1,880 L 



2b3 



2b3 • 2b4 

Sub elevatione, Poli 60". erit Maris elevatio 

0,740 L 0,125 L 



2b + 



2b3 2b4 

1 ,760 L 0,582 L 

2b3 FlT*" 

0,092 L 0,158 L 



2b3 



2b4 



O 

0,263 L 0,514 L 



2b3 
0,263 L 



2b3 



2b4 
0,514 L 
^" "2 b 4 ' 



0,740 L 0.1^5 L 

2b3 • 2 b4 
0,092 L 0. 158 L 



2b3 
1,760 L 



2b4 

0,582 L 



2 b 3 



2b4 



93°. 0'. 
102°. 8'. 
77°. 52'. 



90°. 0'. 
125°. 5'. 
50°. 55'. 



FLUXUS AC REFLUXUS MARIS. 281 

{.51. Si quis jam ex hac tabula elevationem maris supra statum maxi- 
xiise depressionis in mensuris cognitis definire voluerit, is loco fractionum 

_ et -1 earum valores in pedibus Parisinis ex §. 41. substituat, habita 
b-' b* 

ratione distantiae Lunae a Terra, prout ibidem est expositum. Con- 

sequuntur autem ex hac tabula multa egregia consectaria, quae vero 

nondum summo cum rigore ad experientiam examinari possunt, etiamsi 

jam insignis convenientia deprehendatur. Aquam enim adhuc omnis 

inertiae expertem ponimus ; perspicuum autem est, si aquae inertia tribua- 

tur, tum diversa omnino phaenomena oriri oportere. Quod si igitur hi 

assignati efFectus jam cum observationibus plane consentirent, id potius 

theoriam everteret quam confirmaret, cum aquam extra statum suum na- 

turalem simus contemplati. Interim tamen satis tuto jam status maris 

sub ipsis polis poterit definiri, qui etsi ad experientiam examinari non 

potest, tamen ipsa ratione confirmabitur. Ac primo quidem sub polis 

nulla erit maris mutatio diurna, cum Luna per totum diem eandem te- 

neat ab horizonte distantiam, id quod ipsa quoque ratio dictat, quia ibi 

non datur meridianus, a cujus appulsu sestus maris ahbi aestimari solet. 

Dabitur tamen his locis mutatio menstrua, atque aqua maxime erit hu- 

milis cum Luna in ipso aequatore versatur ; quo quippe tempore perpetuo 

horizontem occupabit. Hinc porro aqua sensim elevabitur prout Lunae 

declinatio sive versus boream sive versiis austrum augetur, donec tandem 

si declinatio fit maxima, per spatium 1 pollicum tantum elevetur ; quae 

mutatio ciim sit perquam lenta, ab inertia aquae vix turbabitur. 

§. 52. Ex his vero iisdem formulis effectus a Sole oriundus non diffi- 

culter coUigetur; tantum enim quantitates S et a, loco L etbsubstitui 

oportet, quo facto eiFectus Solis circiter quater minor reperietur quam is 

qui a Luna oritur. Seorsim autem cum Solis tum Lunae eiFectibus defi- 

nitis, per conjunctionem simplicem efFectus, quem ambo luminaria con- 

junctim producunt, determinabitur. Ponamus itaque primum Solem 

Lunamque in gonjunctione versari, id quod fit tempore novilunii ; tum 

igitur neglecta Lunae latitudine, Sol et Luna in eodem eclipticae loco 

versabuntur, atque siniui ad meridianum aeque ac ad horizontem appel- 

lent. Quocirca manentibus superioribus denominationibus, erit quoque 

SoHs declinationis sinus = Q, cosinus = q, ac pro angulo M P L cujus 

cosinus est = t, erit sinus altitudinis Solis pariter uti Lunae = t p q + P Q. 

Ex quo dum ambo luminaria per meridianum versiis austrum transeunt, 

aquae elevatio, quae tum erit maxima, altituJinem naturalem superabit 



282 INQUISITIO PHYSICA IN CAUSAM 

iatervallo = (^+^^^) (P 1 + PQ)^-0 +^^±^X 
(5 {p q + P Q) ^ — 3\ neglecto altero termino a vi Solis oriundo, 

cum sensus omnino eiFugiat. Ad dum ambo luminaria infra horizontem 

S L 

ad meridianum pertingunt, erit elevatio aquas = /' + ^ X 

(3 (P Q - p q) = - 1) 4- ^(PQ^TPq) (5 (P Q - p q) ^ - 3). 

Maxima denique aquae depressio incidet, quando luminaria vel oriuntur 
vel occidunt, eaque minor erit quam altitudo aquae naturalis intervallo = 

S L > S • • • • • L 

— I . Cum iffitur sit circiter subquadruplum ipsius , 



2a^^2b2 "" 2a3 ^ ^ 2b 

in novilunio omnes efFectus Lunae supra recensiti, quarta sui parte auge- 

buntur. 

§. 53. In pleniiunio omnia eodem se habere modo deprehenduntur, 

quo in noviiunio, quia enim tum Sol et Luna in oppositione versantur, 

erif declinatio SoHs sequalis et contraria declinationi Lunae, unde quidem 

pro Sole fit — Q, quod in novilunio erat -f Q; at cum Sol secundum 

aGcensionem rectam a Luna distet 180°. erit hoc casu — t, quod ante 

erat -{- t, ex quo pro plenilunio habetur sinus aUitudinis Solis = — t p q 

— P Qj qui pro novilunio erat = t p q + P Q> ^x quo quadratum 

hujus sinus utroque casu est idem, ideoque etiam eadem phaenomena in 

novilunio atque plenikuiio. Deinde etiam hoc tempore aqua maxime de- 

primetur, cum luminaria ambo in horizonte versantur, tumque aqua hu- 

S L 
miUor erit quam in statu naturah, intervallo = . -H ^. Ex hoc 

^ 2a2 Sb' 

itaque situ donec Luna ad meridianum supra Terram appellit, aqua ele- 

vabitur per intervallum =3(PQ4-pq)^ ( — - -H ■ , J), tantoque ite- 

V2a^ 2b^^ 

rum subsidet usque ad Lunae obitum ; tum vero rursus elevabitur usque 

ad appuisum Lunae ad meridianum infra horizontem, idque per spa- 

tium 3 (P Q — p q) ^ ( „ + ;\ neglecto termino sequente quippe 

^2a^ 2b^^ 

fere insensibili. Cum igitur sint PQ-f-pqet PQ — pq sinus dis- 

tantiae Lunae ab horizonte dum in meridiano versatur, erunt spatia per quae 

aqua tempore pleniluniorum ac noviluniorum supra statum maxime de- 

pressum elevatur, in ratione duplicata sinuum distantiarum Lunae ab hori- 

zonte, dum per meridianum transit. Nisi ergo vel Luna in ipso acqua- 



FLUXUS AC REFLUXUS MARIS. 283 

tore existat, vel Terrae locus sub aequatore sit situs, fluxus maris diurni 
ac nocturni erunt ingequales ; luminaribus autem in oequatore extantibus, 

utraque aquas elevatio fiet per spatium = 3 p p f — ^ + —?--)• 

§, 54. Ut nunc in efFectus, quos Sol et Luna in quadraturis siti con- 
junctim producunt, inquiramus ; ponamus, ne calculus nimium fiat pro- 
lixus, Solem in ipso aequatore versari, quoniam tum plerumque minimus 
aestus observatur. Hoc itaque casu Solis decKnatio erit nulla, Lunas 
vero maxima, quam neglecta latitudine assumamus 23°. 29'. cujus sinus 
sit = Q, cosinus = q, posita hac declinatione boreali. Jam ponamus 
Lunam in meridiano in M versari, quo tempore Sol erit inhorizonte; 
unde cum aqua supra statum naturalem elevetur a Luna intervallo 

L(3(pq + PQ)^— 1) ^ g^j^ ^gj,^^ deprimatur intervallo —. abutra- 
2b2 ^ 2a^ 

que vi conjunctim elevabitur per spatium ^{^{P^. + ^^) ~^) — _5_ : 

at dum Luna sub horizonte ad meridianum appellit, aqua elevabitur per 

spatium L (3 (P Q — P q) ^ — 1) _ _^^ Sumatur inter has ambas ele- 
2b^ 2a^ 

vationes inaequales more solito medium, eritque elevatio aquae media hac 

quadratura eveniens == L (3 p ^ q - + 3 P - Q - — 1) __ _S^ ^ Refluxus 

2b^ 2a2 

vero continget, cum Luna horizontem attinget, quo tempore Sol in meri- 
diano proxime versabitur, ex quo depressio totalis aquae in refluxu infra 

statum naturalem proxime erit = — — \ — P ^ ^ : quare a fluxu 

^ 2b2 2a2 ^ 

usque ad subsequentem refluxum aqua subsidet per intervallum = 

3 L (p ^ q ^ + P .- Q ^) _ 3_S^p p^ 

2 b ^ 2 a ^ * 

§. 55. Quamvis motus maris hoc modo assignatus ab inertia aquae 

multum immutetur, tamen quia eandem fere mutationem tam majoribus 

aestibus quam minoribus infert, satis tuto assumere posse videmur spatia, 

per quae aqua circa aequinoctia cum tempore plenilunii sive novilunii, tum 

etiam tempore quadraturarum actu ascendit, expressionibus inventis esse 

proportionalia. Quamobrem si in dato Terrae loco ex pluribus observa- 

tionibus determinetur spatium medium, per quod mare a refluxu ad 

fluxum ascendit, tempore aequinoctiorum, tam in pleniluniis noviluniisve 

quam in quadraturis, eoruri ratio ad eam quae ex formulis consequitur, 

proxime accedere debebit. Atque hinc ex definita hac ratione per ob- 



ex 



2S4. INQUISITIO PHYSICA IN CAUSAM 

servationes ratio poterit inveniri inter vires Solis et Lunae absoliitas 
S et L, quae est ipsa via qua Newtonus est usus ad vim Luna3 absolutam 
definiendam, cum vis Solis sit cognita : quod negotium, cum a Newtono 
non satis accurate sit pertractatum, nos id ex istis principiis expediemus. 
Exprimat igitur m : n rationem intervallorum eorum, per quae oceanus 
in dato Terrae loco, cum in syzygiis luminarium quum quadraturis 
tempore sequinoctiorum, ascendendo descendendoque oscillatur ; eritque 

^ ^ V2a^ ^ 2bV 2 b^ 2a^ 

(p 2 Q 2v S L 

q 2 _j ^ 1 — n:m-|-n= __:_; 

S • • A L 

ex qua cum data sit vis a Sole orta -X, deducitur vis a Luna oriunda — 

^ a ^ b ^ 

saltem proxime. Instituamus calculum pro • observationibus in Portu 

Gratiae (Havre de Grace) factis, ex quibus diligenter inter se coUatis pro 

ratione m : n prodit ista 17 : 11. Ciim igitur hujus loci elevatio poli 

sit circiter 50'\ erit P = sin. 50^. et Q = sin. 23^. 29'. ; hincque q q + 

^^ Q^ = 1,0668 : ex quo prodibit — • A = 7,1356 : 28 ; ita ut vis 
p p a ^ b ^ 

L • S • 

Lunae — sit fere quadrupla vis Solis — , ut jam Newtonus ex aliis obser- 

b ^ a ^ 

vationibus conclusit : atque hanc ob rem ipsius determinationem vis Lunae 
absolutae L retinuimus. 

§. 56. Si hsec, quae de combinatione virium Lunam Solemque respici- 
entibus sunt allata, attentius considerentur, mox patebit maximos aestus 
menstruos in novilunia ac plenilunia incidere debere ; his enim tempori- 
bus tam elevatio aquae quam depressio a Luna oriunda a vi Solis maxime 
adjuvatur, cum eodem tempore, quo Luna aquam maxime vel elevat vel 
deprimit, simul quoque Solis vis aquam maxime vel elevat vel deprimat. 
In quadraturis autem hae duae vires fere perpetuo dissentiunt, ac dum 
Luna aquam maxime vel elevat vel deprimit, eodem tempore Sol con- 
trarium exerit eiFectum, aquamque maxime vel deprimit vel elevat, ex 
quo minimum discrimen inter quemque fluxum ac subsequentem refluxum 
observabitur, aestusque erunt minimi. Quamobrem circa alias Lunae 
phases aestus maris medium teneat inter maximum minimumque necesse 
est, quia tum vires Solis ac Lunae nec omnino conspirant, nec sibi invi- 
cem adversantur. Per totum autem annum quibus noviluniis pleniluniis- 
que maximus eveniat aestus, quibusque quadraturis minimus aestus respon- 
deat, absolute sine respectu ad situm loci habito definiri nequit. Sub 



FLUXUS AC REFLUXUS MARIS. 285 

sequatore quidem ubi Luna, cum est in sequatore, maxima vi gaudet, du- 
bium est nullum, quin sestus maximi in aequinoctia incidat, quando ambo 
luminaria in asquatore sunt posita, quae eadem proprietas etiam in loca 
ab aequatore non multum dissita competit : at in locis ab aequatore magis 
remotis cestus maris, cum Luna maximam habet declinationem, dantur 
quidem majores ex tabula, §. 50. verum aestus mox subsequentes multo 
sunt minores. Quod si autem inter binos aestus a Luna oriundos conse- 
quentes medium capiatur, patebit in regionibus 30°. ab sequatore remotis, 

quibus aestus est -1 L si Lunae declinatio sit nulla, aestum maris me- 

^ 2 b^ 

dium, cum Luna habet declinationem 20 graduum, fore = — ^ — L, ideo- 

que adhuc minorem quam cum Luna aequatorem tenet. Contra vero sub 
elevatione poli 60 graduum, est aestus maris, Luna versante in sequatore, 

= -J_ — L, aestus autem medius, cum Lunae decUnatio est 20^. est = 
2b^ 

-1 L, ideoque major. Ex quo consequitur in regionibus polis vici- 
^ D 

nioribus aestus maximos, non in aequinoctia, sed potius circa solstitia, 

incidere debere, qua quidem in re theoria nostra per experientiam miri- 

fice confirmatur. 



CAPUT QUINTUM. 

De tempore Flua:us ac Rejluxus Maris in eddem hypothesi. 

§. 57. Ci^uANQUAM in praecedenti Capite, quo in quantitatem aestus maris 
praecipue inquisivimus, etiam tempora, quibus tam fluxus quam refluxus 
eveniat, jam indicavimus ; tamen hoc Capite istud argumentum fusiu^at- 
que ad observationes accommodate persequemur. Observationes enim, 
quae circa aestum maris institui solent, ad tria genera commodissime re- 
feruntur ; ad quorum primum pertinet maris cum elevatio maxima tum 
maxima depressio ; atque indicatur quantum quovis aestu aqua cum as- 
cendat tum descendat. Ad secundum observationum genus numerari 
convenit eas, quae ad tempus respiciunt, quibusque definitur, quonam 
temporis momento ubivis Terrarum aqua cum summam teneat altitudinem 

VOL. III. X 



286 INQUISITIO PHYSICA IN CAUSAM 

tum minimam. Tertium denique genus observationum ad ipsum motum 
mai'is reciprocum spectat, iisque determinatur quanta celeritate quovis 
temporis momento alterna maris elevatio ac depressio absolvatur, sive 
momentanea mutatio, dum mare a fluxu ad refluxum transit et vicissim, 
investigatur. Quibus tribus rebus ciim observationes convenientissime 
instituantur, iisdem theoria atque explicatio phaenomenorum commodissi- 
me tractabitur. Ac primae quidem et tertiae parti pro nostra hypothesi 
in praecedentibus Capitibus abunde satisfactum videtur. 

§. 68. Quoniam autem a maris inertia aUisque circumstantiis maris 
motum turbantibus omnes cogitationes adhuc abstrahimus, manifestum est 
ubique Terrarum, si «ola Lunas vis mare agitaret, aquam maxime elevari 
debere cum Luna ab horizonte longissime fuerit remota, hoc est iis ipsis 
momentis quibus Luna per meridianum dati loci tam supra quam infra 
Terram transit : sunt enim elevationes aquae in duphcata ratione sinuum 
distantiarum Lunae ab horizonte, ex quo simul successiva maris commo- 
tio cognoscitur. Excipiuntur autem hinc, ut jam notavimus, loca pohs 
Terras proxima, quibus Luna vel non oritur vel non occidit ; ibi enim 
altero Lunae ad meridianum appulsu aqua debet esse summa, altero ima. 
Verum de his locis non admodum erimus soUiciti ; cum tam observationes 
sufiicientes, quibus theoria probetur, deficiant, quam ipse maris motus in- 
dicatus rationi sit consentaneus, neque confirmatione indigeat. In Terrae 
locis ergo a polis satis remotis seu extra circulos polares sitis, quibus 
Luna intervallo 24 h. 48^ tam oritur quam obit, elevabitur mare eodem 
temporis intervallo bis, totiesque deprimetur; atque utraque maxima 
maris altitudo continget, ciim Luna ad meridianum illius loci pervenit, 
minima vero cum Luna horizontem attingit. Hinc igitur temporis inter- 
vallum inter binos aquae fluxus seu summas elevationes interjectum con- 
stanter erit 12 h. 24'. ab anomahis Lunae mentem abstrahendo; at teui- 
pus summae depressionis, cum respondeat appulsui Lunae ad horizontem, 
inter binas elevationes aequaliter non interjacebit, sed alteri elevationi eo 
erit propiiis, quo major fuerit cum loci propositi elevatio poli tum Lunae 
declinatio, hoc est quo majus fuerit discrimen inter ortum obitumve Lunae 
et circulum horarium sextum. 

j. 59. Sed conjungamus cum Luna vim Solis, ut nostrae conclusiones 
magis ad observationes perducantur. Ac primo quidem manifestum est 
tempore tam novilunii quam plenilunii aquam maxime fore elevatam, 
quando Luna per meridianum loci transit, quippe quo momento etiam 
Sol ad eundem meridianum appellit, si quidem syzygia ipso meridie vel 
media nocte celebratur. Quamobrem si novilunium pleniluniumve in 



FLUXUS AC REFLUXUS MARIS. 287 

ipsum meridiem incidat; ipso quoque meridiei momento maxima liabebi- 
tur aquae elevatio ; pariterque si id eveniat media nocte, eodem ipso mo- 
mento aqua maximam obtinebit elevationem. Verum si conjunctio vel 
oppositio luminarium meridiem vel praecedat vel sequatur, tum fluxus 
non in ipsum meridiem incidet, sed vel tardiiis vel citius veniet, quia 
Luna his casibus tanquam primaria sestus causa vel post vel ante meri- 
diem ad meridianum pertingit. Atque hinc eo die, in quem sive pleni- 
lunium sive novilunium incidit, facile poterit definiri acceleratio vel retar- 
datio fluxus respectu meridiei. Ponamus enim novilunium seu pleni- 
lunium celebrari n horis ante meridiem, unde cum motus Lunae medius a 
Sole diurnus sit 1 2°. circiter, ipso meridie Luna a meridiano jam distabit 

angulo horario — grad. versus ortum, ex quo Luna post meridiein de- 

mum per meridianum transibit, elapsis — horis seu 2 n minutis primis. 

Sin autem novilunium pleniluniumve accidat n horis post meridiem, tum 
maris maxima elevatio 2 n minutis ante meridiem eveniet. Haec autem 
momenta accuratissime cognoscentur, si ad singulos dies transitus Lunae 
per meridianum computentur ; ac praeterea tam ortus quam occasus note- 
tur, quippe quibus momentis maxima aquae depressio respondet; majo- 
rem autem hujusmodi tabula afferet utilitatem, si insuper quovis die 
distantia Lunge a Terra inducetur, quippe a qua Lunse effectus praecipue 
pendet. 

§. 60. Congruunt haec jam apprime cum observationibus, quibus con- 
stat, diebus novilunii vel plenilunii aestum maris accelerari si novilunium 
pleniluniumve post meridiem accidat, contra vero retardari. Quamvis 
enim ob aquse inertiam maxima maris elevatio non respondeat appulsui 
Lunae ad meridianum, sed tardius eveniat, uti post docebitur, tamen simi- 
libus casibus aequaUter retardabitur ; pro termino igitur fixo, si ad obser- 
vationes respiciatur, non sumi debet momentura meridiei, sed id momen- 
tum, quo si Lunae cum Sole conjunctio vel oppositio in ipsum meridiem 
incidit, summa aquae elevatio observatur. Hoc igitur momento notato, 
uti ab iis qui hujusmodi observationes instituunt fieri solet, si plenilunium 
noviluniumve vel ante vel post meridiem incidat, summa maris elevatio 
vel tardius vel citius continget : et quidem syzygia vera n horis vel ante 
meridiem eveniat vel post, tum fluxus 2 n minutis vel tardius vel citius 
observari debebit. Atque haec est ea ipsa regula qusm celeb. Cassini in 
Mera. Academiae Regias pro an. 1710, ex quamplurimis observationibus 
inter se comparatis derivavit; jubet scihcet nuraerum horarum, quibus 

X 2 



288 INQUISITIO PHYSICA IN CAUSAM 

conjunclio sive oppositio luminarium verum meridiem vel praecedit vel 
sequitur, duplicari, totidemque minuta prima ad tempus medium notatum, 
quo fluxus evenire solet, vel addi vel ab eo subtrahi, quo verum fluxus 
momentum obtineatur. Quoniam autem haec correctio nititur motu 
Lunae medio, perspicuum est eam correctione ulteriori opus habere, a 
vero Lunae motu petita, quae vero plerumque erit insensibilis, cum summa 
aquae elevatio non subito adsit, sed per tempus satis notabile duret. 

§.61. Niai autem luminaria proxima sint vel conjunctioni vel opposi- 
tioni, maxima maris elevatio non in ipsum Lunae transitum per meridia- 
num incidet. Quoniam enim Luna dum prope meridianum versatur, 
per aliquod tempus eandem altitudinem conservat, tantisper etiam mare 
eandem elevationem retinebit ; et hanc ob rem si Sol interea sensibiliter 
vel ab horizonte recedat, vel ad eundem accedat, vis Solis ad mare ele- 
vandum vel crescet sensibiUter, vel decrescet; ex quo dum Luna prope 
meridianum existit, fieri potest, ut tamen mare etiamnum elevetur, vel 
adeo jam deprimatur a Sole. Ex his igitur perspicuum est summam 
maris altitudinem tardiiis seu post transitum Lunae per meridianum acci- 
dere debere, si eo tempore Sol ab horizonte accedat, id quod evenit 
diebus novilunium et plenilunium praecedentibus. Contra autem si 
Luna post Solem per meridianum transeat, idque vel ante Sohs ortum 
vel ante occasum ; tum, quia mare in transitu Lunae per meridianum a 
vi Solis deprimitur, maximam habuit altitudinem ante appulsum Lunae 
ad meridianum, id quod contingit diebus novilunium pleniluniumve se- 
quentibus. Quando autem Sol ipsum horizontem occupat, dum Luna in 
meridiano versatur, tum etiamsi distantia Solis ab horizonte perquam sit 
mutabiUs, tamen cum elevationis vis quadrato sinus altitudinis Solis sit 
proportionaHs, quod omnino evanescit, etiam hoc casu maxima aquae ele- 
vatio in ipsum Lunae per meridianum transitum incidet, hicque casus 
circa quadraturas luminarium locum habet. 

§. 62. Ut igitur innotescat, quamtum vires cum SoUs tum Lunae ad 
mare elevandum dato tempore vel crescant vel decrescant, dum ab hori- 
zonte aliquantillum vel recedunt, vel ad eundem accedunt, ponamus 
Solem Lunamve in L versari, atque inde ad punctum meridiani M 
progredi. Tempusculo ergo per angulum L P 1 — d ^ repraesentato pro- 
gredietur Luna vel Sol ex L in 1 atque ab horizonte removebitur inter- 
vallo L h : ad quod inveniendum sit ut ante anguli M P L cosinus = t, 

et sinus = T, eritque ipse angulus L P 1 = d ^ = . — r = — j 

ex quo orietui' anguli M P 1 cosinus = t + dt = t-f-Td^. Si jam ponatur 



FLUXUS AC REFLUXUS MARIS. 



289 



sinus elevationis poli = P, sinus declinationis borealis puncti L = Q, 
nam si declinatio sit australis, sinus Q sumi dcbet negative, cosinus vero 
respondentes sint p et q, reperietur sinus altitudinis L supra horizontem 
= v = tpq + PQ: punctique 1 sinus altitudinis v + dv = tpq + 
P Q + T p q d ^. Quocirca si Luna 
ponatur in L, cum ejus vis ad mare at- 

tollendum sit = - - V _ ^ J "~1_ -' erit huius 
2b^ ' -^ 

vis imcrementum tempusculo d d ortum 
_ 3Lvd v __ 3L(tpq + PQ)Tpqd^ 
~ b^ ~ b^ 

At si Sol ponatur in L, ejus vis ad mare 
elevandum tempusculo d & capiet incre- 
mentum = 3 S (t p g + P Q)^ Tp g d ^ ^ 

a ^" 

Quamvis autem pro Sole et Luna eidem angulo d d non sequalia tempora 
respondeant, tamen quia ea proxime ad rationem aequalitatis accedunt, 
sunt enim ut 24 ad 24 1 seu ut 32 ad 33, sine sensibili errore pro 
aequalibus haberi poterunt. Interim tamen si res accurate definiri 
debeat, et vis Solis incrementum angulo d d acquisitum sit = 
J-JJlP3-J"_^ Q ) T p q d ^ ^^j^ ^.g L^j^gg incrementum eodem tem- 




Ex his inteUigitur 



l 



pusculo acceptum = ^^ ^ (t p q + P Q) T p q d 

lioec incrementa tribus casibus evanescere, quorum primus evenit sub 
poUs, quia ibi est p = ; secundus, si punctum L in meridiano sit situm, 
tum enim fit T = ; tertius denique locum habet, si punctum L in hori- 
zonte existat, ubi est t p q + P Q = 0. 

§.63. Ponamus nunc Solem in L versari ac Lunam per meridianum 
jam transiisse, hocque momento maxime aquam esse elevatam ; jam enim 
ostendimus dum Sol ab horizonte recedit, aquam summam incidere post 
transitum Lunag per meridianum. Hoc ergo momento necesse est, ut 
decrementum vis Lunae, quod tempusculo d d patitur, aequale sit incremento 
vis Solis eodem tempore accepto. Sit igitur anguU hoi-arii ad polum sumti 
quo Luna jam a meridiano recessit, cosinus = n, sinus = N, atque sit 
Lunae declinationis borealis sinus = R, cosinus = r, ex quibus orietur de- 

crementum vis Lunse tempusculo d & ortum = 3L(npr+ PR)Nprd^^ 

b ^ 

quod cum aequale esse debeat incremento vis Solis eodem tempusculo 

X3 




290 INQUISITIO PHYSICA IN CAUSAM 

nato = 3S(tpq + PQ)Tpqd^^ denotante Q sinum declinationis bo- 
a*^ 

realis Solis, et q ejus cosinum, habebitur haec sequatio ^^P^ . 1 — i 

^ S(tpq + PQ)Tq^ ^^glg^j. g.^^ji^. 

a ' 
ne f |, per quam incrementum vis Lunae 
multiplicari deberet. Quoniam autem 
Luna a meridiano non procul distabit, 
poni poterit n = 1 , atque ciim sit proxi- 

T /L Q 

me _ = — -, obtinebitur iste valor N = 
b^ a^ 

Tq(tpq+PQ) . j^ ^^ 

4 r (p r -f P R) ^ ^ 

versus dabit temporis spatium, quo aqua 

post transitum Lunae per meridianum maximam altitudinem attingit. 

Sub aequatore ergo erit N = lilM, ob P = o et p = 1 ; quare si de- 

4<r r 

clinationes luminarium vel negligantur vel aequales assumantur, ita ut sit 

q q = r r, fiet N == ±-i, cujus expressionis valor extat maximus si angulus 
4 

M P L sit 45°. quo casu erit N = ^, et angulus respondens = 7^ 11'. 

qui indicat aquam summam 30 minutis post transitum Lunae per meridi- 

anum contingere debere : totidemque minutis aqua ante transitum Lunae 

per meridianum maxime erit elevata, si Sol tum versus occasum versetur 

angulo M P L = semi-recto. Quamobrem si Luna ad meridianum ap- 

pellat hora nona sive matutina sive pomeridiana, fluxus demum post 

semi-horam eveniet, at si hora tertia appellat Luna ad meridianum, aqua 

summa 30'. ante observabitur : in aliis vero Terrae regionibus ista aberra- 

tio magis est irregularis ; interim tamen satis prope ex formula data per 

solam aestimationem potest definiri. 

§. 64. Quod si autem hanc rem curatius investigare velimus, amborum 

luminarium declinationes non pro arbitrio fingere Ucet, pendent enim a 

se mutuo maxime ob angulum horarium M P L inter ea interjectum da- 

tum : ut igitur pro data Lunae phasi aberrationem maximae aquae eleva- 

tionis a transitu Lunae per meridianum determinemus, repraesentet nobis 

circulus Z B N C verticalem primarium, B C horizontem, Z N meridia- 

num per dati loci zenith Z et nadir N ductum, atque aequator sit B A C, 

polus australis p, et ecliptica n ^ -H. Constitutus nunc sit Sol in S et 



FLUXUS AC REFLUXUS MARTS. 



291 



Luna in L, quae modo per meridianum transierit, quo tempore ponimus 

aquam maxime esse elevatam. Ponamus porro longitudinis Solis ab 

sequinoctio verno computatae sinum 

esse = F, cosinum = f ; Luna3 vero 

longitudinis sinum esse = G, cosi- 

num = g ; sitque inclinationis eclip- 

ticae B =^ -^ sinus = M, cosinus = m. 

Ex his definientur declinationes cum 

iJjolis tum Lunae, quarum sinus ante 

erant positi Q et R ; erit scilicet 

Q = F M, R = G M; hincque q = 

V(l-F2M2)etr = \/(l-G2M2). 

Deinde angulus S p L asqualis est an- 

TTl T*^ 

gulo cujus tangens est demto an- 

gulo cujus tangens est — — ; hujus vero ejusdem anguli ob angulos S p Z 

g 
et L p Z datos, quorum sinus sunt positi T et N, tangens quoque est 

nT-hNt 




t — N T 



quae tangens propter sinum N valde parvum proxime est 



T N T-, 

— + — Ponatur autem K pro sinu anguli qui excessus est anguli ha- 

bentis tangentem = ^- — . super angulum cujus tangens est "^ , et k pro 
cosinu, reperietur T = K — Nkett = k + NK scripto 1 pro n: quibus va- 

loribussubstitutisprodibitN = K q (k p q + P Q) ^ 

^ 4r(pr+PR) + (2k2-l)pq2+kPQq 

ex aequatione N = ^ (^ P 9 + ^ W) paraffr. praeced. 

^ 4 r (p r + P R) ' ^ ^ ^ 

§. 65. Ponamus nunc Lunam in quadraturis versari ac primo quidem 

in primo post novilunium quadrante, ita ut arcus L S futurus sit 90^. erit 

G = f, et g = — F ; unde Q = M F et R = M f, ex quibus prodibit 

K = sin.(Atang. — Atang. — ) atque k ejusdem anguli cosinui ae- 

f F 

quabitur. Quare his tempestatibus aqua maxime elevata post transitum Lu- 

nae per meridianum, intervalio temporis quod in arcum aequatoris conversum 

dabit anorulum cuius sinus erit N = ^iLGiES_±JL5^) 

"^ ^ 4r(pr+PR) + (2k2_l)pq2+kPQq 

Pro posteriore vero quadratura post novilunium, erit G = — f et g = F, 

X4 



292 



INQUISITIO PHYSICA IN CAUSAM 



unde erit Q = M F et R = — M f, ex quibus fit ut ante K = sin. 
^Atang. !!L_ — Atang. T~" l- j et k = cosinui respondenti. Ne autem 

hic signa + et — calculum confun- 

dant, notari convenit K esse sinum z 

arcus, qui restat, si ascensio .recta 

Lunae subtrahatur ab ascensione rectA 

Solis; atque k esse ejusdem arcus cosi- 

num. Ponamus exempli causa Solem 

in initio Arietis versari, erit longitudo 

SoUs= O^. seu 360^ et longitudo Lunae 

= vel 90^ vei 270^ unde fiet F = 0, 

f = 1, G = + 1, et g = 0, atque 

Q = 0. Praeterea ascensio recta Solis 

est 360". et ascensio recta Lunae vel 

90°. vel 270^^. ; utroque casu ergo fit k = ; unde etiam prodit N = ; 

quod idem evenit, si Sol versetur in initio Librae. In utroque igitur 

aequinoctio, dum Luna in quadraturis versatur, aqua maxime erit elevata 

eo ipso momento, quo Luna ad meridianum appellit. 

§'. 66. Sit porro Sol in solstitio aestivo, Luna vero in ultimo quadrante, 
erit longitudo Solis 90°. Lunae vero = 0°. unde fitF=l,f=0;G = 0, 
g = 1, indequc Q = M et R = ; itemque q = m et r = 1. Solis 
vero ascensio recta habebitur 90°. Lunae vero = 0°. ex quo K = 1 et 




k = 0. Hinc ergo fit N 



mMP 



Pro prima autem quadratura 



(4 — m ^) p 

est longitudo Lunae 180°. unde G = 0, g = — 1, at ut ante F = 1, 
f = 0; ergo Q = M, R = 0, itemque q = m et r = 1. Ciim igitur 
Lunae ascensio recta sit 180°. erit K = sin. — 90°. = — 1, et k = 0, 



ex quibus fit N = 



— mMP 



Quoniam autem est 4 i> m% dum Sol 



(4 — m^) p 

in solstitio aestivo versatur maxima aquae elevatio in ultima quadratura 
continget post Lunae transitum per meridianum supra Terram, priore 
vero quadratura ante hunc transitum, haecque aequatio eo erit major, quo 
major fuerit elevatio poU; sub aequatore enim omnino evanescit. Sit 

poli elevatio 45°. fietque his regionibus N = + ?^ ; quare cum sit 

4 — m^ 

M sinus 23°. 29'. prodibit N = sinui anguU 6°. 33'. ; qui in tempus con- 

versus dat 26'. In prima igitur quadratura totidem minutis ante transi- 

tum Lunae per meridianum aqua maxime erit elevata, in ultima vero qua- 



FLUXUS AC REFLUXUS MARIS. 293 

dratura tot minutis post transltum. Contrarium evenit si vel Luna sub 
Terra ad meridianum appellat, vel Sol in solstitio hyemali versetur. Ex 
his igitur formulis, si tabulae adhibeantur, non erit difficile pro quovis 
loco Terrae ad quodvis tempus definire, quantum maxima aquae elevatio 
transitum Lunae per meridianum vel praecedere vel sequi debeat; cujus- 
modi supputationes maximam etiam afFerent utilitatem, quando etiam 
inertiae aquae ratio habebitur. 

§. 67. Quoniam igitur satis est expositum, quo momento mare maxime 
sit elevatum, maximam quoque maris depressionem definire aggrediamur. 
Ac primo quidem manifestum est, si sola Luna mare agitaret, tum mini- 
mam aquae altitudinem observatum iri, eo ipso momento, quo Luna in 
horizonte versetur : atque hinc perspicuum est, idem usu venire debere, 
si Sol eodem momento quoque in horizonte existat, id quod accidit cum 
noviluniis tum pleniluniis. Praeterea vero etiam ima aqua respondebit 
situi Lunae in horizonte, si eo tempore Sol meridianum occupet, quia tum 
vis Solis per notabile temporis intervallum neque augetur nec diminuitur, 
etiamsi tura aqua non tantum deprimatur, quam circa novilunia ac pleni- 
lunia. Ponamus igitur, quo reliquos casus evolvamus, dum Luna hori- 
zontem occupat, Soiem ab horizonte removeri ; hoc ergo casu aqua jam 
elevabitur, ex quo necesse est imam aquam ante adventum Lunae ad 
horizontem extitisse, contra vero si dum Luna in horizonte versatur, Sol 
ad horizontem appropinquet, aqua tardius sciUcet post appulsum Lunae 
ad horizontem continget. Ponamus itaque Lunam ante ortum sub hori- 
zonte H h in D adhuc versari, Solemque in esse positum, unde ad 
meridianum P Z H progrediatur, hocque ipso momento aquam maxime 
esse depressam. Necesse igitur est, ut decrementum momentaneum vis 
Lunae ad mare movendum aequale sit incremento momentaneo vis SoHs. 
Ad hanc aequahtatem declarandam sit anguU D P O ad polum sumti, dis- 
tantiam Lunae a suo ortu O indicantis, sinus = V et cosinus = v, qui ob 
angulum ]) P O valde parvum tuto sinui toti 1 asquahs concipi potest. 
Invento ergo angulo hoc D P O seu arcu aequatoris illi respondente, 
eoque in tempus converso, constabit quanto temporis intervallo ima aqua 
appulsum Lunae ad horizontem praecedat: idem vero calculus tam ad 
Lunae occasum quam ad accessionem SoHs ad horizontem facile accommo- 
dabitur. 

§.68. Positis nunc A */• a sequatore ac ^ 'V <^ echptica, sit elevationis 
poli P h sinus = P, cosinus = p ; sinus decUnationis Lunas borealis 

D L = R, cosinus = r ; ex quibus fiet anguli A P O cosinus = , 

pr 



294. INQUISITIO PHYSICA IN CAUSAM 

quia Lunse, cum in horizontem O pervenit, altitudo evanescit. Cum 
igitur anguU A P O smus sit = — ^ — — ^^ ■' 

VrDD — RR) • TAT»Tv- vV(pp — RR) — VPR 
~ V l P P ri,LX) ^ gj.^^ anguli A P 5 smus = ^^ '- » 

p r P r 

et cosinus = vPK V v (pp RR )^ unde emergit decrementum 

pr 

. T w^3LV\/(pp— RR)(V(pp— RR)— VPR)d^ 
momentaneum vis Lunae = lO: ^ , g ^ — 

^ 3LV(pp- RR)d^ ^ ob V = 1 et V valde exiguum. Sit porro Solis 

declinationis borealis S sinus = Q 
et cosinus = q, atque anguli A P 
sinus = T, cosinus = t, erit vis So- 
lis incrementum momentaneum = 
3S(tpq + PQ)Tpqd^ ^ quo:l iUi 

a 
vis Lunae decremento agquale est po- 
nendum, siquidem maris altitudo hoc 
tempore est minima. Quare cum sit 

fere — - = — , ista habebitur aequatio 
D a 

4V(pp — RR) = Tpq(tpq 

+ P Q), quse preebet V = T p q (t p q + P Q ) . ^^^ --^^^ ^^^ p^^^o 

4 (p p — R R) 
innotescat angulus O P 3) , is in tempus conversus dabit temporis spatium, 
quo summa maris depressio ante ortum Lunae contingit. At si punctum 
O designet Lunae occasum, idem angulus praebebit tempus post Lunae 
occasum, quo mare maxime deprimetur. Intelligitur ex formula inventa 
quibus casibus ima aqua in ipsum appulsum Lunae ad horizontem incidat ; 
hoc scilicet primo evenit, si T = 0, hoc est si Sol in meridiano versetur, 
deinde si t p q + P Q = 0, id est si Sol quoque horizontem occupet; 
quos binos casus jam notavimus. 

§. 69. Sit locus noster Terrae sub aequatore situs, seu elevatio poU 

nuUa, erit P = 0, et p = 1, unde efficitur V = ^^^^ = 1--L3 , 
^ .4(1_RR) 4rr 

in qua formuia cum q et r denotent cosinus decUnationum SoUs ac Lunae, 

non multum inter se discrepabunt ; ponamus enim alteram decUnationem 

esse maximam, alteram vero minimam seu = 0, erit tamen cosinuum ratio 




FLUXUS AC REFLUXUS MARIS. 295 

minor quam 1 ; V |, ex quo fractio -3_9_ semper intra hos limites | et 



3 

r r 



p 



continebitur. Quod si ergo hanc ab aequalitate aberrationem negligamus, 
id quod tuto facere possumus, quia rem tantum prope deiinire conamur, 

habebitur V = i-J = ^ . Denotat autem 2 T t sinum dupli anguli 

4 8 

horarii quo Sol a meridiano distat, et hanc ob rem ad momentum maxi- 
mae depressionis aquae assignandum, videndum est qua diei hora Luna ad 
horizontem appellat, hujusque temporis vel a meridie vel media nocte in- 
tervallum capiatur, atque in arcum aequatoris convertatur. Hujus deinde 
arcus vel anguli sumatur duplum, hujusque dupli sinus, cujus pars octava 
praebebit sinum anguli, qui in tempus eonversus dabit temporis interval- 
lum, quo ima aqua Lunae appulsum ad horizontem vel praecedit vel 
sequitur ; id quod ex notatis circumstantiis discernere Hcet. Sic si Luna 
hora 9 matutina adoriatur, erit tempus usque ad meridiem 3 horarum, 
angulusque respondens 4/i^ cujus dupli sinus est ipse sinus totus, cujus 
pars octava sit sinus anguli 7". 11'. cui tempus respondet fere 30 minu- 
torum, tantum itaque ima aqua ortum Lunae praecedet. 

{. 70. Ut haec ad datum Lunae cum Sole aspectum accommodari 
queant, ponamus longitudinis Solis 'Y^ sinum esse = F, cosinum = f 
longitudinis vero Lunae 'Y' D sinum esse = G, cosinum = g ; atque incli- 
nationis eclipticae Sl "^r sl sinum = M, cosinum = m. His positis erit 
Q = M F, et R = M G ; atque ascensionis rectae Solis 'Y^ S tangens re- 

perietur = !!!L_, Lunae vero ascensionis rectae «Y^ L tangens = . 

Subtrahatur ascensio recta Solis ab ascensione recta Lunae, et diiferentiae 
sinus sit = K, cosinus = k. Cum igitur anguli P D sit sinus = K 

et cosinus = k, anffuli vero A P D sinus = — iP P ZJZI 

pr 

ob V = 1, et cosinus = — P R - W (p P — R R) ^ erit anguli A P 

pr 

sinus=.TJ^ + ^^)^(PP-^^)-^P^V + KPR etcosinus=t= 

(K-^kV)V(pp.- RR)-KPRV-kPR . .,^^ ^^^ 

pr 
substitutis, simulque sinu V tanquam valde parvo considerato, reperietur si- 
nus V = (KPR + kV(pp-RR))q(KqV(pp-RR)-kPRq+PQr) 

4 r r (p p — R R) 

Sub aequatore autem, quo fit P = 0, V = — liLS : ex quo pro aequatore 

4 r r 



t 



296 INQUISITIO PHYSICA IN CAUSAM 

regula superior a distantia Solis a meridiano petita simul ad difFerentiain 
ascensionalem Solis et Lunae potest accommodari, ita ut maneat invariata. 
Sed ad praesens institutum, quo tantum veritatem causae fluxus ac refluxus 
maris exhibitae declarare annitimur, non opus est haec pluribus persequi, 
quippe quae potissimum ad accuratissimas aestus marini tabulas supputan- 
das pertinent, quae*res in proposita quistione illustrissimae Academiae non 
contineri videtur. 



CAPUT SEXTUM. 

De vero cestu Maris, quaieniis d Terris non turhatur, 

§. 71. (ciu^ hactenus ex viribus Solis ac Lunae circa aestum maris fusius 
deduximus, ea hypothesi nituntur, assumta, qua aquam inertiae expertem 
posuimus : quamobrem non est mirandum si plerique effectus assignati 
cum phaenomenis minus congruant, atque adeo pugnare videantur ; quod 
si enim inter se prorsus convenirent, theoria non solum noii eo consensu 
confirmaretur, sed potius omnino subverteretur, cum quihbet facile agnos- 
cat ob aquae inertiam determinationibus exhibitis ingentem mutationem 
inferri debere. Quae autem ex deductis conclusionibus maxime ab expe- 
rientia dissentiunt, potissimum quantitatem elevationis aquae ac temporis 
momentum, quo tam summa maris elevatio quam ima depressio contin- 
gere solet, respiciunt. Nusquam enim ubi quidem mare est Hberum 
atque apertum, tam exiguum discrimen inter fluxum ac refluxum in aquae 
altitudine observatur, quale in praecedentibus definivimus, quatuor scilicet 
pedum tantum ; quae elevatio insuper tamen maxima est deprehensa, ac 
tum soliim oriunda, quando tum regio prope aequatorem est sita, quam 
vires luminarium inter se maxime conspirant. Experientia namque con- 
stat, plerisque in locis, si aestus contingat maximus, aquam non solum ad 
altitudinem duplo majorem, sed etiam quadruplam, imo nonnullis in locis 
adeo decuplam attolli ; quanquam haec enormis elevatio non soli inertiae 
aquae, sed maximam partem vicino continenti ac httorum situi est tribu- 
enda, uti in sequenti Capite clarissime monstrabitur. Deinde etiam 
quod ad tempus attinet, nusquam illis ipsis momentis, quae assignavimus, 
fluxus ac refluxus unqo.am contingunt, nec etiam tempestatibus hic defi- 
nitis fluxus maximi vel minimi, sed ubique tardius evenire constanter 



FLUXUS AC REFLUXUS MARIS. 297 

observantur; cujus quidem retardationis causa in ipsa aquae inertia posita 
esse prima etiam fronte perspicitur. 

§. 72. Quantumvis autem agitatio mans in praecedentibus Capitibus 
determinata ab observationibus dissentiat, tamen complures circumstantiae 
sese jam praebuerunt, experientiae tantopere consentaneae, ut amplius du- 
bitare omnino nequeamus, quin in viribus Solem Lunamque respicienti- 
bus, quas non temere assumsimus, sed aliunde existere demonstravimus, 
vera et genuina aestus maris causa contineatur. Hanc ob rem jam merito 
suspicari licet, dissensiones quae inter theoriam nostram, quatenus eam 
assumtae hypothesi superstruximus, et experientiam intercedunt, ab aquae 
inertia aUisque circumstantiis, quarum nullam adhuc rationem habuimus, 
proficisci. Quocirca si omnia inertiae ratione habita ad observationes 
propiiis accedant, id quidem nostrae theoriae maximum afferet firmamen- 
tum, atque simul omnes aUas causas, quae praeter has vel sunt prolatae 
vel proferri possunt, excludet, irritasque reddet. Cum igitur consensum 
hujus theoriae cum phaenomenis, mox simus evidentissime ostensuri, 
quasstioni ab inclyta Academia propositae ex asse satisfecisse jure nobis 
videbimur: ciim non solum nullas vires imaginarias effinxerimus, sed 
etiam virium Lunam Solemque respicientium existentiam ahunde dilu- 
cide evicerimus. Neque vero in hoc negotio cum plerisque Anglorum 
ad qualitates occultas sumus delapsi, veriim potius causam istarum virium 
modo rationah et legibus motus consentaneo in vorticibus constituimus, 
quorum formam atque indolem luculenter exphcare possemus ; idque fe- 
cissemus, nisi ab aUis cum jam satis esset expositum, tum etiam ab iUus- 
trissima Academia in praesente quaestione non requiri videatur. 

§. 73. Dum igitur hactenus aquae omnem inertiam cogitatione ademi- 
mus, ipsi ejusmodi quaUtatem affinximus, qua viribus soUicitantibus subito 
obsequeretur, seque in instanti in eum statum reciperet, in quo cum viri- 
bus in aequiUbrio consisteret; hocque pacto aquam non soliim subito 
omnis motus capacem posuimus, sed etiam ita comparatam, ut quovis 
momento omnem pristinum motum amittat. Longe aUter autem res se 
habet, si inertiae ratio in computum ducatur ; haec enim efficit ut primo 
aqua non subito se ad eum situm componat, quem vires intendunt, sed 
pedetentim per omnes gradus medios ad eum accedat; deinde vero ea- 
dem inertia in causa est, quod aqua, cum in statum aequiUbrii pervenerit, 
ibi non acquiescat, sed ob motum insitum ukra progrediatur, quoad om- 
nem motum a potentiis renitentibus amittat. Ex quo perspicuum 
est, admissa inertia aquae, a potentiis soUicitantibus motum omnino 
diversum actu imprimi debere ab eo, quem reciperet, si inertia privata 



298 



INQUISITIO PHYSICA IN CAUSAM 




esset; cujus discriminis ratio exemplo corporis penduli commode ob 

oculos poni potest. Ponamus enim corpus pendulum O C »b gravitatem 

situm tenens verticalem, a vi quapiam in latus 

secundum directionem C M sollicitari. Si 

nunc hoc pendulum inertia careret, seu ejus- 

modi esset indolis, cujus aquam hactenus su- 

mus contemplati, tum subito situm O M acci- 

peret, in quo haec vis cum gravitate aequili- 

brium teneret. At cum pendulum inertia 

praeditum consideratur, post aliquod demum 

tempus elapsum ad situm O M perveniet: ac 

deinde quia motu acceierato eo pertingit, ibi 

non quiescet, sed ultra excurret, puta in N 

usque, ita ut spatium C N fere sit duplo majus 

spatio C M, prouti calculus clare indicat. 

Propter inertiam igitur penduhim primum 

tardius vi sollicitanti obtemperat, atque a situ aequiUbrii recedit ; deinde 

vero etiam magis recedit, majoremque excursionem conficit, quam si 

inertia careret; quse sunt effi ipsae duae res, in quibus theoria ante expo- 

sita ab experientia maxime dissentire deprehensa est. 

§. 74. Si nunc istud penduH exemplum ad nostrum casum aestus maris 
transferamus, primo ingens siraiUtudo in situ penduh verticah ac statu 
maris naturah, quem obtinet remotis potentiis externis, observatur. Nam 
quemadmodum pendulum, si in quamcunque plagarn de situ verticaii 
dechnetur, propria vi gravitatis se in eundem recipit, ita etiam aqua, si 
ex situ suo aequihbrii depellatur, vi gravitatis se ad eundem componit, ac 
praeterea pariter ac pendulum oscillationes peragit, cujusmodi oscillatio- 
num casus in aqua observati passim inveniuntur expositi. Deinde etiam 
simih modo, quo pendulum, mare quo magis ex situ suo naturaU fuerit 
deturbatum, eo majorem habebit vim sese in situm aequiUbrii restituendi. 
Quod si igitur mare a viribus externis, SoUs sciUcet ac Lunae, mox ele- 
vetur mox deprimatur, necesse est ut inde motus osciUatorius seu reci- 
procus oriatur aestui maris omnino similis, qui autem per leges motus 
difficulter definiri queat accurate quidem ; nam vero proxime, hoc non 
adeo erit difficile. Duae autem sunt res, quae absolutam ac perfectam 
totius motus determinationem summopere reddunt difficilem, quarum 
altera physicam spectat, atque in ipsa fluidorum natura consistit, quorum 
motus difficuher ad calculum revocatur, prascipue si quasstio sit de 
ampUssimo oceano, qui aUis in locis elevetur, aliis vero deprimatur. 



M 



FLUXUS AC REFLUXUS MARIS. 



299 



Altera autem difficultas in ipsa analysi est posita, eo quod iste motus 
rnaris reciprocus prorsus sit diversus ab omnibus oscillationibus a mathe- 
maticis adhuc consideratis : vires enim Lunae ac Solis mare soUicitantes 
neque a situ corporis oscillantis, neque ab ejus celeritate pendent, uti 
id usu venit in omnibus oscillationum casibus etiam nunc expositis, sed 
eae vires a situ luminarium respectu Terrae, ideoque a tempore determi- 
nantur, cujusmodi oscillationes ncmo adhuc, quantum quidem constat, 
calculo subjecit. 

§. 75. Quod quid&m ad priorem difficultatem physicam attinet, res hoc 
quidem tempore fere desperata videtur ; quamquam enim ab aUquo tem- 
pore theoria motus aquarum ingentia sit assecuta incrementa, tamen ea 
potissimum motum aquarum in vasis et tubis fluentium respiciunt, neque 
vix ullum commodum inde ad motum oceani definiendum derivari 
potest. Quamobrem in hoc negotio ahud quicquam prsestare non licet, 



A 




1\ 



m: 



nisi ut hypothesibus effingendis, quae a veritate quam minime abludant, 
tota quaestio ad considerationes pure geometricas et analyticas revocetur : 
akeram autem difficultatem mathematicam, etiamsi difficiUimis integra- 
tionibus sit involuta, tamen feliciter superare confidimus. Considero 
sciUcet superficiem aquse R S, quae hoc in situ aequiUbrium teneat cum 
rehqua aqua, remotis viribus externis ; his vero accedentibus alternis 
vicibus attollatur in A, deprimaturque in B. Quod si igitur aqua in M 
usque sit depressa, atque externae vires Solis ac Lunae subito cessarent, 
tum vi gravitatis propriae conaretur sese elevare usque in situm R S 
naturalem, isteque conatus eo erit major, quo majus fuerit spatium C M 
quo a situ naturaU distat. A veritate itaque non multum recedemus, si 
hanc vim ipsi spatio M C ponamus proportionalem : quamobrem posito 
spatio M C = s erit vis, quas aquae superficiem in M usque depressam 

attollet = — , quae hypothesis ad veritatem eo propius accedit, quod sponte 



300 



INQUISITIO PHYSICA IN CAUSAM 



indicat, si aquae superficies supra C jam sit elevata, tum vim fieri negati- 
vam, adeoque aquam deprimere. Praeterea vero eadem hypothesis con- 
firmatur pluribus phaenomenis aquae nisum respicientibus, ita ut de ejus 
veritate amplius nuUum dubium supersit. 

§. 76. Ponamus jam aquam in M constitutam urgeri a sola Luna, atque 
ut calculus per se molestus minus habeat difficultatis, sit locus C sub ipso 




m: 



aequatore situs, Lunaeque declinatio nulla, ex quo Luna in circulo maxi- 
mo per loci zenith transeunte asquatore scilicet circumferetur: sit EGFH 
iste- circulus, cujus radius ponatur = 1, atque E F repraesentet horizon- 
tem, et G zenith. Positis his, sit Luna in T dum maris superficies ver- 
satur in M, ita ut P T = y exprimat sinum altitudinis Lunae super hori- 

unde vis Lunae mare attollens erit = \li£l.LlZ — l = 7^ , 

2b3 h 



zonte ; 



posito brevitatis gratia h pro 



2b 



in M duphci vi attolletur, sciUcet vi 



Hanc ob rem ergo superficies maris 
=3« A -j U-IZ—. Quod si ergo 



ponamus aquam in M jam habere motum sursum directum, cujus celeritas 
tanta sit quanta acquiritur lapsu gravis ex altitudine v, atque spatium 
M m = — d s tempusculo infinite parvo absolvatur, habebitur per prin- 

cipia motus dv = — dsT— + ^ ^ — \ Ponamus porro tempus 
Vg h ^' 

ab ortu Lunae in E jam elapsum, quod arcui E T est proportionale, 

esse = z, quae httera ipsum arcum E T simul denotet, erit y = sin. z 

sciUcet sinui arcus z, hoc enim modo sinus ac cosinus arcuum sumus in- 

dicaturi : unde orietur 1 — 2 y y = cos. 2 z, atque 3yy — l=i — 

/ s 1 3 \ 

I cos. 2 z, hincque d V = — ds (^ h «T "" 2Ti ^^^' ^ ^/ 

o 

§.77. Cum igitur elementum temporis sit = d z, erit ex natura motus 



FLUXUS AC REFLUXUS MARIS. 301 

d z = — , atque v = -^ — ,, ; unde sumto elemento d z pro constante, 

V V d z - 

fietdv=ii±i^ = — ds (— + -V ?^cos. 2z),atque2dds 

dz^ vjj: 2h2n / 

, sdz^ , dz"(l — 3cos. 2z) .^ 4.- j ^ * ^- ^ 

+ + i — — 1 = 0, quae aequatio duas tantum contmet 

variabiles s et z, et propterea si debito modo integretur, indicabit situm 
seu statum aquae ad quodvis tempus. Quoniam autem haec aequatio est 
difFerentiahs secundi gradus, atque insuper arcus et sinus arcuum continet, 
facile intelUgitur ejus integrationem minus esse obviam ; interim tamen 
cum alterius variabihs s plus una dimensione nusquam adsit, ea per 
methodos mihi famihares tractari poterit. Soleo autem, quoties ejus- 
modi occurrunt, initio eos terminos in quibus akera variabihs s omnino 
non inest, rejicere ; unde haec consideranda venit aequatio 2 d d s + 

^ :0, quae per d s multiplicata iit integrabihs, existente integrah d s - + 



g 
s s d z 

2 g 



= cdz^obdz constans. Hinc porro ehcitur d z ^ 



d s V 2 ff ^ Z ... ,1 , 

— — 2 — , atque ■■■ = arcui cuius smus est — ., ex quo ob- 

V (2 c g — s s) ^ V 2 g '' \^ 2 c g ^ 



z 



tinetur s = V 2 c ij^. sin. ■■ , Cosnito autem hoc valore, idonea nas- 



s d z ^ 



citur substitutio facienda pro aequatione proposita 2 d d s + — -f 



d z2(l — 3cos. 2 z) ^ z 
— = 0, nat enim s = u sin. — = 

V $ 

c-n ^ .^^^^ ^ . 11 11. z 2dudz 
^"^' ./-7r~ •" ~r^ "^^^' , ? atque d d s = d d u sm. A -.. x 



-^ = 0, fiat enim s = u sin. — =, erit d s = d u X 

^ n >^ 2 g 



g V2g >v/2g ' ^^2g' V2g 

z u d 



cos. 



^ o^TT s^"- 7-7k — Quibus valoribus substitutis emerffet ista 

g ^ g V 2 g ° 



V2ir -j^ v^g 



>-«ii • z 4dudz z dz"(l — 3 cos. 2 z) 

aequatio 2 d d u sm. ■■ A cos. -~-=--^ 4- ^^ ^ ' 

^ V2g^V2gV2g^ 2h 

= 0, in qua hoc commode accidit, ut ipsa variabihs u non insit, sed tantum 

ejus difFerentiaha. 

§. 78. Quod si ergo ponatur d u = p d z, erit d d u = d p d z, et 

aequatio nostra transibit in sequentem differentialem primi gradus tantum, 

2 d p sin. „^ 4- ^X^ cos. -^ + dz (l-~3cos.2z) ^^, 
V 2 g V 2 g V 2 g 2 h 

. integrabihs reddi invenitur, si muhiphcetur per quantitatem quampiam ex 
I Voi- iir. Y 



302 INQUISITIO PHYSICA IN CAUSAM 

z et constantibus compositam, eo quod p plures una dimensiones liabet 
nusquam. Ad integrationem autem absolvendam notandum est hujus 
aequationis d p -f- P Z d z =: 2 d z, in qua Z et 2 functiones quascunque 

ipsius z denotent, integrale esse e*^ ^ ^ ^ ■=. f ^J ^sdz. Re- 

ducta autem nostra a?quatione ad lianc formam, habetur d p + 

2 p d z cos. ^ 

V 2 ^ d z (3 cos. 2 z — 1) ., , ^ , 
— — , ideoque Z d z = 



\/ 2 g sin. j 4 h sin. — =L 

\/ 2 g V 2 

2 d z cos. — "-— 2 difF. sin. 



a/ 2 ir sin. —^rz^=^ 



V 2 Q V 2 ff 

^ = ^-^ ; atque hinc y Z d z = 



sm. 



V 2 g V 2 g 

^i • 2 ^ fZ d z / . zv^T^,. •• 1 

2 J()o\ sm, - — --; et e = f sm. | . Ex his sequitur mteo;rale 

^V2ff VV2ir/ ^ 



2 



(Z \^ i z 

sin. -^= 1 = _I_ /^d z sin. — =:^ (3 cos. 2 z — 1 ) 
V2g/ ^h-^ V2g^ 

= — /d z sin. — = cos. 2 z — /*d z sin. J , ad quas integra - 

4 h^ V 2 g 4 h'^ V 2 g 

tiones perficiendas notetur essey'*^ z sin. a z = C — — - cos. a z, atque 

CC 

/d z sin. a z. cos. : z = C - ^sin.az. sin. ez^acos.ccz.cos.ez . ^^ 



his itaque conficietur p /sin. \^ = C + ^ cos. — 

^ VV2g; 4h V2g 

7 1 7 5? 

/2 sin. — sin. 2 z + — ^= cos. cos. 2 z"\ 

V V2g V2g V2g J 



/_ — 4^ 4 h 

\2c: J 



atque p = 
— 4^ 4 h 

2g 

V 2 g. cos.— J==. (4 g sin. -^1:=^ sin.2z + V"2^. cos. -^=^cos.2 z^ 
C V2gV V2g ^ V2g / , 



/sin. -1=.V 4hrsin.--=1 4 h(l — 8 g^fsin. -^l' 
(, V2(v; L V2gJ ^l V2gJ 



/ 



§. 59. Cum autem posuissemus d u = p d z, erit u = / p d z = 

z 
Cdz 



Sm. =; 



/•d z V 2 g, COS. — ^=r Q 

—,4-/ ^: - ,Vd =^ X 

= •/ 4 h fsin. ^ 1 



[ 



FLUXUS AC REFLUXUS MARIS. 303 

[Z . Z T 

4 ff sin. , ■ sin. 2 z 4- v 2 xr. cos. — = cos. 2 z I 

2 — . Hae autem for- 

(l-8g)- [sin.-^] 

o 

mulae omnes sunt absolute integrabiles, prodibitque u r= D — - 

C cos. — ' 

V 2 g g 3 g cos. 2 z 

2 z + ~ ' ^^ ^^°^ 

sin. — : 2 h sin. — = 2 h (1 — 8 fr) sin. — 

V 2 g V 2 g ^ ^^ V 2 g 

Z Z 7 

tandem resultat s = u sin. = D sin. — ■ + C cos. 



V2g ^ ^ g ^ ^ g 

_B.. + ^ ^^^' — 5, quae est a^quatio generalis ad quodvis tempus z sta- 
2 h 2h(i— 8g) ^ 1 & ^ t 

tuni aquae, seu distantiam ejus supremae superficiei a C indicans, ubi 

constantes C et D ex dato maris statu ad datum tempus definiri oportet. 

Quod si igitur ponamus motum aquae jam ad uniformitatem esse deduc- 

tum, ita ut aqua omnibus diebus, quando Luna in T versatur, in eodem 

loco M versetur, necesse crit ut valor ipsius s maneat idem, etsi arcus z 

integra peripheria 2 t vel ejus muhiplo augeatur. At posito z + 2 cr 

loco z, terminus cos. 2 z manet quidem invariatus, at D sin. — l 

V2g^ 

C cos. -^L^ fit = D sin. z_+Jj _^ q cqs. ^-±=£=5, quae gequaHtas 
V 2 g V 2 g V 2 g ^ ^ 

adesse non potest nisi vel - sit numerus integer, vel C et D = 0. 

. V 2g 

Cum itaque g determinari non Hceat, quia jam est datum, ponendum ei'it 

C = et D = 0, ita ut ista habeatur aequatio s = ^ + ^ g ^os. 2 z 

^ 2h 2h(l-8g) 

ex qua faciUime ad quodvis tempus status maris cognoscetur: valores 

scihcet affirmativi ipsius s dabunt situm aquae infra situm naturalem C, 

negativi vero supra C. 

$. 80. Cognito autem spatio s per tempus z, celeritas quoque maris 

qua in M ascendit reperietur ex aequatione d z = IZ — ^ erit enim V v = 

V V 

— ds 



\ 



__ 3 ff sin. 2 z ..,,.. ^ 

—7-^^ y-s ^, quae expressio ipsi celeritati, qua aquae superficies, 

dum in M versatur, elevatur, est proportionalis : haec ergo celeritas aquse 
semper est ut sinus dupli arcus E T, vel etiam ut sinus dupli teniporis, 
quo Luna a transitu per meridianuni abest, tempore sciUcet in arcum 
asquatoris converso. Hinc igitur celeritas aquae eiit nulla si Luna fuerit; 

Y 2 



304 INQUISITIO PHYSICA IN CAUSAM 

vel in E vel in G vel in F vel in H, hoc est, vel in horizonte vel in meri- 
diano : quare cum his temporibus aqua vel maxime sit elevata vel maxime 
depressa, una Lunae revolutione aqua bis elevabitur, bisque deprimetur, 
ideoque bini fluxus binique refluxus contingent. Aqua quidem maxime 
erit depressa iis ipsis momentis, quibus Luna ad horizontem appellit, tum 

enim fit cos. 2 z = 1 ; atque spatium C B erit = s = g ( -r ^ g) ^^ 

2(l-«g) 
maxima elevatio incidet in ipsos Lunae transitus per meridianum, quibus 

est cos. 2 z = — 1 : ac tum altitudo C A erit = — s = g (2 4 g) 

h (1 — 8 h) 
Quanquam autem haec momenta cuih experientia non satis conveniunt, 
tamen ea hypothesi assumtae plane congruunt, qua posuimus Lunam 
solam agere, ac perpetuo in ipso aequatore versari, ex quo sestus se tan- 
dem ad summam regularitatem componat necesse est. Quod si enim 
Luna& declinatio ponatur variabiHs, atque Sol insuper agat, aestus jam 
formati perpetuo turbabuntur, ex quo ob aequabihtatem continuo sublatam 
effectus tardiores necessario consequi debebunt. Praeterea quoque nul- 
lam adhuc motus maris horizontaUs habuimus rationem, cum enim aqua 
ad aestum formandum motu horizontaU progredi debeat, perspicuum esl; 
hinc retardationem in aestu oriri oportere. 

5. 8L Si aqua, uti in praecedentibus Capitibus posuimus, ineitia care- 

ret, tum foret ex aequatione prima d v = — d s (— + ^^ ) perpe- 

Vg h J 

tuo s = SJ ZZ Z_Z2, quia aqua tum quovis momento cum viribus soUi- 

citantibus in aequiUbrio consisteret. Maxima igitur depressio etiam tum 
Lunae horizontaU responderet, cum est y = (T, foretque spatium depres- 

sionis C M = -§- ; maxima vero elevatio, quae circa Lunae appulsum ad 
h 

meridianum continget, fiet per spatium C N = — -s ob y = 1. Quare si 

aqua inertia careret, foret spatium M N, per quod aqua motu reciproco 
agitaretur, = — i; inertia autem admissa agitationes perficientur in 

spatio majore A B = ^ , cujus excessus super spatium M N 

erit = i-S_,. Quantitas itaque aestus pendet a valore Utterae s; 

h(l — 8g) ^ ^ ^ 

qui quidem semper est affirraativus; nam si foret g = 0, quod evenit si 



FLUXUS AC REFLUXUS MARIS. 



305 



gravitatis vis esset infinite magna respectii virium Lunae et Solis, tum 
etiam nullus aestus oriretur ; deinde quo magis 8 g ad 1 accedit, eo major 
prodibit aestus, qui adeo in infinitum excrescere posset si foret 8 g = 1 ; 
hoc quippe casu vis Lunae gravitatem superaret, omnesque aquas ad 
Lunam attraheret ; quod autem fieri non potest, multo minus autem esse 
potest 8 g p> 1, quod tamen si eveniret, maxima elevatio appulsui Lunae 
ad horizontem, maximaque depressio Lunae ni,eridianum occupanti re- 
sponderet. 

§. 82. Cum igitur aqua, si inertia careret, agitetur per spatium M N 

= — b., supra autem §. 41. eadem hac hypothesi, qua tam locus quam 

Luna in aequatore ponitur, aquam elevari supra Hbellam per. spatium 

2,260 pedum, infra eam vero deprimi spatio 1,112 pedum, erit — ^ 

h 

= 3,372 pedum, ideoque -S. = 1,124 pedum = 1 pedum. Quoniam 

h 8 

vero valor ipsius g cum unitate comparatur, ideo venit, quod tempus per 

ipsum arcum circuli cujus radius est = 1 expressimus : hinc itaque valor 

ipsius g respectu unitatis definietur tempore eodem modo expresso, quo 

aqua in M usque depressa sola vi gravitatis se in C restitueret, quod 



A 



£1 



rM 



» 




tempus ex circumstantiis facile poterit aestimari : prodibit autem per cal- 

culum tempus hujus restitutionis = J_ V 2 g, denotante t: semi-periphe- 

z . . . ^ 

riam circuli radium = 1 habentis, seu tempus duodecii?! horarum luna- 

12 
rium. Quod si igitur restitutio ponatur actu fieri tempore — horarum, 

n 

erit _ = - — ^ ^ et g = , ex quo perspicuum est, quo citius aqua se 

propria sua vi restituere valeat, eo miniis excessurum esse spatium A B 

Y3 



306 



INQUISITIO PHYSICA IN CAUSAM 



spatium M N, Cum autem de hac restitutione iion satis tuto judicare 
queamus, praestabit ex observationibus rationem spatii A B ad M N 

proxime assumere. Si enim ponamus esse A B = 2 M N, erit 



1— 8g 
= 9 et 



= 6, erit ff = X ; sin autem sit A B = 3 M N, fiet r 

*= ^^ 1 — 8 g 

g = j% : at posito A B = 4' M N, erit g = /^ . Quoniam igitur aqua 

ob inertiam fere duplo majus spatium absolvcre poni potest, assumamus 

g = 5^(j- seu n = 6, ita ut aqua propria vi gravitatis tempore circiter 2 




R 



m 



B 



horarum in statum naturalem se restituere valeat. Posito autem g = yjj, 
fiet = 5, 4; ; spatiumquc A B = 6 pedum proxime. Ne autem trac- 



l-8g 



tatio nimis fiat specialis, retineamus litteram n, cujus valorem esse circiter 
6 vel 5 notasse sufficiet, qui valor satis prope ad aestimationem accedit : ita 

ut sit g = et A B = ^'^ f pedum : unde satis patet n neces- 

n n n n — 16 

sario esse debere t> 4, eritque adeo vel 5 vel 6. 

§.83. Tentemus nunc idem hoc Problema in sensu latiori, ac ponamus 

regionis C elevationis poli sinum esse = P, cosinum = p ; Lunae vero 

declinationis borealis sinum esse = Q, cosinum = q; Lunamque super 

Terra jam per meridianum transiisse, ab eoque distare angulo horario 

= z, ita ut z ut ante tam tempus quam arcum circuli radii = 1 designet; 

quod si nunc arcus z cosinus ponatur = t, erit sinus altitudinis Lunae 

super horizonte = t p q + P Q; ideoque vis Lunae mare eleyans= -tjX 

(3(tpq + PQ)-l) = ^P^q^tt + 6pqPQt + 3P^Q--l ^ 

h 

posito ut ante = _L. Quoniam vero est t = cos. z erit 2 1 1 — 1 = 

^ 2b^ h 



FLUXUS AC REFLUXUS MARIS. 307 

cos. 2 z et 1 1 = ^+ cos. z^ ^^ ^^^ ^.g L^j^gg ^^j mare elevandum ha ■ 

bebitur = 3p^q^cos.2z 6pqPQcos.z 3p^q^+ 6 P^Q^-2 

2h h 2h 

Ponamus nunc superficiem aquas in M versari, existente C M = s, et 
celeritatem ejus qua actu ascendit debitam esse altitudini v, erit d v = 

— d s { — + vi Lunae ), ciim vero sit d z = ZZ seu V v = — — = 

V o- / V V dz 

o 

ipsi celeritati ascensus erit v = _i-fi_Lf , posito d z constante : hinc igi- 

d z 

tur emerget ista sequatio 2dds4-dz^f_ + ^ ^ — -^-— r 

o 

6 p q P Q cos. 2 z , 3p^q^cos.2z x relationem inter tempus z et 
^ h ^ 2h >^ 

statum maris s continens. 

§. 84. Quod si nunc haec aequatio eodem modo tractetur, quo superior, 
ea pariter bis integrari posse deprehendetur, integrationibus autem sin- 
gulis debito modo absolutis, et constantibus ita determinatis ut motus 

a. -f • •. — g(3p^q2 + 6 P^Q^— 2) 
aquse fiat uniformis, reperietur s = ^ — t- — i '— — 

6 g p q P Q cos. z _ 3 g p ^ q ^ cos. 2 z ^^ eeleritas ascensus V v = 

h (1 — 2 g) 2 h (1 - 8 g) 

^_^^ -_6gpqPQsin.z __ 3gp^q^sin.2z ^ ^^^ ^^^^^ ^.^ 

d z h (1 — 2 g) h (1 — 8 g) 

sin.2z = 2sin. z cos. z, celeritas duobus casibus evanescit, quorum primus 

est si sin. z = 0, alter si cos. z = ZI J^Li — II — Bl ; ilU casus dabunt 

pq(l-2g) 

aquam summam, hi vero imam. Hinc igitur patet aquam summam con- 

tingere debere iis ipsis momentis, quibus Luna per meridianum transit, 

imam vero non tum, cum Luna horizontem attingit ; namque Luna hori- 

P O 

zontem attingit, si est cos. z = _r, aqua vero est ima si est cos. z = 

p q 

— P Q (1 — 8 g) ^ — ^ P Q posito g = yV- Hic autem idem est 
p q (1 _ 2 g) 8 p q 

notandum quod supra, scilicet nos posuisse motum aquse esse uniformem 
seu quotidie sui similem, Lunamque in echptica locum tenere fixum, seu 
saltem suam dechnationem non variare. Quoniam vero ob variabihtatem 
deciinationis Lunae, itemque ob actionem Schs, iste motus perpetuo tur- 
batur, atque insuper motus maris horizontahs nulki adhuc habita est 

Y4 



308 INQUISITIO PHYSICA IN CAUSAM 

ratio, facile intelligitur, tam jfluxus quam refluxus tardius venire debere, 
quam quidem ex his formulis sequitur. 

§. 85. Bini ergo una Lunae revolutione contingent fluxus, alter si Luna 
super liorizonte ad meridianum appellit, alter si sub Terra ; priori casu est 
cos. z = 1 , et cos. 2 z = 1 , hoc itaque tempore mare supra libellam C ele- 

vabitur per spatium g(3 P^q^ + 6 P^ Q^-2) 3^p^q^ 6gPqPQ 

2 h 2hl(l-8g) h(l — 2g) 

Dum autem Luna sub horizonte meridianum attingit, tum aqua elevabitur 

per spatium g (3 P^q^ + 6 P^ Q^^ 2) _3jp^^_ _ 6^g_pq P_Q 

2h 2h(l— 8g) h(l— 2g)' 

propter cos. z = — 1 ac cos. 2 z = 1 hoc casu : harum igitur altitudi- 

num difFerentia est = E_3 ^ : atque mare in transitu Lunae per 

h(l-2g) ^ ^ 

meridianum supra horizontem altius elevatur, si decHnatio Lunae sit bo- 

reahs ; contra vero si decHnatio fuerit australis, major maris elevatio 

respondebit appulsui Lunae ad meridianum infra horizontem. Luna vero 

in ipso aequatore versante, ambo fluxus inter se erunt aequales. Ratione 

autem elevationis poH, horum binorum fluxuum successivorum insequalitas 

erit maxima sub elevatione poH 4)5°. pro his enim regionibus fit p P maxi- 

mum ; atque in aHis regionibus eo minor erit inaequalitas, quo magis fue- 

rint a latitudine 45". remotas. Mare autem maxime deprimetur, si fuerit 

cos. z = ^LA i ; quo valore substituto, reperietur aqua infra 

pq(l-'ig) ^ 

libellara C subsideie per spatium = ^gP'^' _ g(3pV + 6FQ^-2) 

2h(l— 8g) 2h 

+ >^ — -* — \ _si ; omnino igitur aqua in sestu movebitur per spa- 

^ h (1 — 2 g) - o 1 

h (l_8g)-h (l-2g) h(l-2g)^ ^ 

signorum ambiguorum superius + valet si Luna super horizonte, alte-' 
rmn vero — si Luna sub horizonte in fluxu meridianum attingit. 

§. 86. Si aqua inertia careret, tum superiorc Lunae transitu per meridi- 

3 ^D G 4- P O) ^ 1 

anum elevaretur supra libeHam C per spatium = — vFjl JE. — ^J g, 

h 

inferiori vero transitu per meridianum elevaretur ad altitudinem 
3 (Pq — I Q) — 1 g^ quarum altitudinum discrimen est = ^M — ^ ; 

ita ut discrimen admissa inertia majus sit parte circiter octava, quam 
idem discrimen si inertia tollatur. Maxime autem deprimetur aqua 




FLUXUS AC IIEFLUXUS MARIS. 309 

sublata inertia, si fuerit cos. z = ~ — ^, tumque infra libellam erit con- 

pq 

stituta intervallo r= ^ ; ex quo spatium, per quod sestus maris fit sublata 

3p2q' + 3 P2Q2+ 6pq PQ . .., -j 

mertia, prodit = — * — — r-^ — ^^= — ^—^ — g ; cum igitur idem 

A- .•- V Sgp^q^ , 6ffpqPQ 
spatmm concessa mertia, sit , ^^ ^ — ^ — r- ± ~-°-i— i-— —JL + 
^ h (1 — 8 g) h (1 — 2 g) 

—2 _r 1 ^% erit excessus hujus spatii super illud = = — s — t — i 

h(l-2g)^ ' J F P h(l-8g) 

— 12ff^P-Q"(l +g) , 12g2pqPQ 

p ^ \, ^ - + - -9— i— i — !2. Fieri ergo potest ut spa- 

h(l_2g)^ - h(l-2g) ^ ^ i 

tium, in quo aestus maris continetur, majus sit sublata inertia, quam si 
ea aquae tribuatur, id quod evenlet si 1 — \ — £L_si f> — £ l_ vel 

P Q (1 — 2 e) V 2 , , P Q ^ , 256 

— -I^ > °' , hoc est i — ^ > V rril, posito g = 0, ; 

pq'" V(H-g)(l_8g)' pq^ .^^ . 

quod vero si evenit, Luna ne quidem hbrizontem in cursu diurno attingit, 
ac propterea aquam non deprlmit. Ex quo sequitur sestum ubique ab 
inertia aquae augeri : erit autem ad usum magis accommodate spatium 

q O" 

A B, per quod mare agitatur, ita expressum ut sit A B = ^ X 

I p q + __3^-i — ~ — Bl\ , ubi signorum ambiguorum superius transitum 

o 

Lunae per meridianum super horizonte, inferius vero sub horizonte 
respicit. 

§. 87. Ciim sit — ^ = 3,372 pedum, Luna mediocrem a Terra distan- 
h 

tiam tenente, atque g sit circlter /j vel yb l ^^'it posito g = /j spatium 

A B = y (P 4 i f ^ Q) ^ ^^372 pedum;at facto g = -^\. erit spatium 

A B = f (p q + I P Q) 2, 3,372 pedum. Ex his colligitur aestum fore 

maximum pro eadem elevatione poli, si fuerit tangens declinationis Lunae 

P P 

= 5 — casu g = 2^ vel = I — casu g = yV : horum autem casuum prior 

veritati magls videtur consentaneus, atque hanc ob rem valorem g = ^^ 
retineamus : hinc igitur sequitur sub (i quatore aestum fore maximum si 
Luna nullam habeat declinationem, atque simul pro quacjue regione de- 
clinatio Lunae poterit assignari, cui maximus sestus respondeat : uti ex 
adjecto laterculo apparet. 



310 



INQUISITIO PHYSICA IN CAUSAM 



Elevatio Poli. Decli?iado 



0«. 

5^ 
10«. 
15«. 
20«. 
25«. 



0«. 

2'\ 
4«. 
6«. 
8«. 
11«. 



O^ 
8'. 

19'. 

33\ 

52'. 

18'. 



ElevatioPoli. Declifiatio ]) 



30". 
35«. 
40«. 

45«. 
50«. 

55«. 



13'. 
16«. 
19«. 
23'\ 

27«. 



54'. 
42'. 
46'. 
11'. 
3'. 



inaxima. 



Elevatio Poli. Declinatio ]) 

GQ\ 

65\ 

70^ 

75^. 

80«. 

85«. 



In locis ergo ultra 45«. ab aequatore remotis aestus erit maximus, si Luna 
maximam obtineat declinationem, si quidem fuerit g = /j, ac si per ob- 
servationes constet cuinam Lunae declinationi maximus asstus respondeat, 
tum inde valor litterae g innotescet : quoniam autem sub elevatione poli 
50«. aestus maximi nondum maximae declinationi respondere observantur, 

ponamus id evenire sub elevatione poli 60«. reperietur ^- = \ 

1 — 2 g 

atque g ~ toj unde ipsius g tuto hi limites constitui posse videntur ^V ^t 

•j^ ; ex hac vero hypothesi valor yq multo propius ad veritatem accedit ; 

interim tamen etiamnum nil definimus, sed observationes hunc in finem 

soUicite institutas expectamus. 

§. 88. Quod si autem ponamus g = yq, tum bini aestus successivi, dum 

Luna in maxima decHnatione versatur, eo magis ad aequalitatem perdi> 

centur, quo ipsa theoria ad experientiam propiiis accedit; cum enim sit 

. P O fl 8 o") \ ^ 

horum binorum aestuum major ad minorem uti / p q + __2Li »i \ 

ad J p q — — ^zl ZI ^ j, haec ratio eo propiiis ad aequalitateni acce- 

det, quo minor fuerit fractio — — — i, fit autem haec fractio = i si pona- 

1 — 2 8 

tur g = yiy. Hac itaque hypothesi erit quantitas aestus majoris = 

(p q + i P Q) ^. 16. 86 pedum minoris vero = (p q — i P Q) ^. 16. 

86 pedum. At inter hos binos aestus aqua humillima non medium inter- 

jacet, sed minori est vicinior, neque tamen tanta inaequalitate binos 

fluxus dirimit, quam fieret, si ima aqua Lunae horizontali responderet. 

Si enim tempus medium inter binos fiuxus ponatur z, erit cos. z = 0, at 

temporis, quo refluxus fluxum majorem insequitur, cosinus est = 

p o . . . . • P o 

-^, ejusque ergo intervalli a tempore medio sinus est = -^ qua^ 

4 p q 'i P q 

expressio adeo sub elevatione poli 60". pro maxhna Lunae declinatione 

28«. tantum fit = 13°. unde refluxus a tempore intcr fluxus medio circiter 

54' aberrabit : minor vero erit aberratlo, quo propius cum rcgio Terrae 



FLUXUS AC REFLUXUS MARIS. 311 

tiim Luiia ad aequatorem versentur, id quod cum experientia mirifice 
convenit. Quoniam autem haec ex valore ipsius g assumto consequun- 
tur, imprimis notari oportet, litteram g non posse absolute determinari, 
sed ejus quantitatem, quippe quae mobilitatem totius oceani spectat, cum 
ab extensione tiim etiam profunditate maris pendere; ex quo variis in 
locis hsBc eadem littera g, varias significationes sortietur. 

§. 89. Ex solutione horum duorum Problematum, quae quidem in se 
spectata non solum sunt attentione digna, sed etiam ciim analysin tum 
etiam motus scientiam amplificant, quamvis ea casum propositum non 
penitus exhauriant, tamen motus in praecedentibus Capitibus definitus 
multo magis cum experientia conciliatur, id quod theoriae nostrae jam 
insigne addit firmamentum. Simili autem modo vis a ^ole profecta cum 
inertia aquae potest conjungi, atque aestus maris definiri, quatenus a sola 
vi SoHs oritur, quibus duobus effectibus conjungendis judicare Hcebit, 
quantus aestus quovis tempore et quovis loco debeat evenire. In hoc 
quidem Capite cogitationes adhuc ab omnibus obstacuhs a Terra et litto- 
ribus oriundis prorsus abstrahimus, atque universam Terram undiquaque 
aqua circumfusam ponimus; ex quo regulas hinc natas praecipue ejus- 
modi observationibus, quae in ampUssimo oceano apud exiguas Insulas 
sunt institutag, conferri conveniet. Quoniam autem nondum motus aquae 
progressivi, quo alternative ad loca, in quibus fluxus et refluxus accidit, 
progreditur et recedit, rationem habuimus, necesse est ut etiam hunc 
motum et phaenomena inde orta contemplemur. Ac primo quidem facile 
inteUigitur, cum ob inertiam aquae tum etiam aha impedimenta motui 
opposita, aquam tam tardius elevari quam deprimi oportere, quam ex 
aliatis hactenus consequitur: unde fluxus non ad transiius Lunae per 
meridianum contingent, sed ahquanto serius evenient, omnino uti experi- 
entia testatur. 

§. 90. Haec autem retardatio praecise ad calculum revocari non potest, 
quia a motu aquae ejusque profunditate plurimum pendeat, prouti etiam 
videmus in diversis locis eam vehementer esse diversam, atque ahis locis 
fluxum contingere post Lunae culminationem tribus horis nondum elapsis, 
aliis vero locis plus quam duodecim horis tardius venire, quae quidem 
insignis retardatio Terrarum positioni est adscribenda; interim tamen 
hinc sufficienter constat motum maris admodum posse impediri. Pro 
eodem vero loco satis luculenter perspicitur, quo major atque altior fluxus 
evenire debeat. eo tardiiis eundem accidere oportere. Quod si enim 
aestus contingat infinite parvus, dubium est nuUum, quin is stato tempore 
adveniat, cum impedimentis hoc casu ne locus quidem concedatur agendi : 



312 INQUISITIO PHYSICA IN CAUSAM 

unde dilucide sequitur sestus eo tardiiis advenire debere, quo sint majores. 
Atque hoc ipsum experientia confirmat, qua constat aestus majores, qui 
circa novilunia ac plenilunia contingunt, tardius insequi transitum Lunai 
per meridianum, quam asstus minores, qui circa quadraturas contingunt. 
Cum enim Luna in quadraturis circiter 6 horis tardius respectu Solis per 
meridianum transeat, quam in syzygiis, sestus tamen non 6 horis tardius, 
sed tantum circiter 5j horis tardiiis accidit. Videtur vero etiam calculus, 
qui pro utraque vi Solis ac Lunse conjunctim institui potest simili modo, 
quo pro sola vi Lunae fecimus, ejusmodi retardationem majorem in syzy- 
giis quam in quadraturis indicare, etiamsi eum ob summas difficultates ad 
finem perducere non valuerimus ; interim tamen satis planum est praeci- 
pu^m ejus causam in ipsa natura aquas esse quaerendam. Haec autem 
allata ratio retardatiohis a Flamstedio maxime probatur, quippe qui ob- 
servavit maximam retardationem non tam syzygiis luminarium, neque 
minimam quadraturis respondere, sed iis tempestatibus, quibus aestus 
soleant esse maximi et minimi, id quod demum post syzygias et quadra- 
turas contingit. 

§. 91. Ad hanc autem fluxuum a syzygiis ad quadraturas accelera- 
tionem, respectu transitus Lunae per meridianum, ac retardationem a 
quadraturis ad syzygias, plurimum quoque vis Solis conferre videtur. 
Supra enirn jam indicavimus post syzygias fluxum transitum Lunae per 
meridianum antecedere debere, ob Solem tum jam versus horizontem 
declinantem ; unde etiam, stabilita inertia, diebus novilunia ac plenilunia 
sequentibus aestus maris citius insequi debet transitum Lunae per meri- 
dianum, quam in ipsis syzygiis, id quod etiam observationes mirifice 
confirmant; inter fluxum enim quintum et sextum post syzygias retar- 
datio respectu Solis tantum 17 minut. deprehenditur, cum tamen Luna 24? 
minut. retardetur. Hanc ob rem a Sole detcrminatur aestus ad actionem 
virium magis exacte sequendam, quae determinatio cum duret usque ad 
quadraturas, mirum non est, quod aestus tum respectu Lunae citius con- 
tingant, magisque ad calculum accedant. Conti'arium evenit in progressu 
a quadraturis ad syzygias, quo tempore aestus a Sole continuo retardan- 
tur, hocque necessario efficitur, ut tandem in ipsis. syzygiis fluxus tardius 
insequatur Lunae cuhninationem quam in quadraturis. Hanc autem 
rationem cum magnitudine aestus conjungendam esse putamus ad haec 
phaenomena perfecte exphcanda, saepissime enim in hac quaestione plures 
causae ad eundem effectum producendum concurrunt ; hoc autem est id 
ipsum quod calculus ille summopere implicatus et molestus quasi per 
transennam ostendere visus est. 



FLUXUS AC REFLUXUS MARIS. 



313 



§. 92. Quo aiitem tam de his phaenomenis quam reUquis certius et 
solidiiis judicare queamus, ipsum motum progressivum, quem aqua ab 
aestu recipit, investigabimus. Cum enim aqua eodem loco nunc elevetur, 
nunc subsidat, necesse est ut priori casu aqua aliunde affluat, posteriori 
vero ab eodem loco defluat, unde nomina fluxus ac refluxus origi- 
nem traxerunt. Repraesentet igi- 

tur tempore quocunque figura a^ 

A D B E statum aquae totam 
Terram ambientis, ita ut in locis 
A et B aqua maxime sit elevata, 
in locis vero mediis ab A et B 
aequidistantibus, maxime depres- 
sa. Post ahquod tempus trans- 
feratur aestus summus ex A et B 
in a et b, sitque a D b E figura 
aquae Terram circumdantis : hoc 
igitur tempore necesse est, ut a 
parte oceani D F defluxerit aquae 
copia F A M D m f, in partem 
vero F E tantundem aquae af- 
fluxerit, portio scilicet FaNEne: 
simili modo portio E G decrevit 

copia aqu^ E P B G g p, portioque G D augmentum accepit G b Q D q d. 
Si nunc ponamus portionem F M m transire in locum F N n, ac por- 
tionem E P p in E N n deferri, satis clare motum aquae })rogressivum 
intelligere licebit. Cum enim motus aquae summae A fiat ab ortu in oc- 
casum, aqua quae circa A versus orientem scilicet ab M ad N usque est 
sita, in occasum movebitur : similiterque ea quae huic e diametro est op- 
posita et spatium P Q occupat. Contra vero reliqua aqua in M Q et N P 
contenta in ortum promovebitur. Verum celeritas ubique non erit 
eadem ; in punctis enim M, N, P et Q quippe Hmitibus inter motus ver- 
sus ortum et obitum, celeritas erit nulla, deinde ab M usque ad F crescet 
ubique ita ut incrementa celeritatis in punctis mediis ut A sint differentiis 
A f proportionalia : ab F vero usque ad N celeritas decrescere debet, et 
deci-ementum celeritatis in e erit ut a e ; simiUque modo comparatus erit 
motus in rehquis portionibus figura? propositae. 

§. 93. Si haec diligentius prosequamur ac punctum a ipsi A proximum 
ponamus, reperiemus in loco quocunque M fore intervallum M m sinui 
dupU anguli M C ^ proportionale. Quare si anguli A C M sinus pona- 




314 



INQUISITIO PHYSICA IN CAUSAM 



tur = X, cosinus = y, ac celeritas quam aqua in M habet, versus occa- 
sum = u erit d u ut 2 x y. Cum autem elementum arcus A M sit ut 

d X 

; nam figuram instar circuli considerari licet : erit d u ut 2 x d x, 

g 
atque u proportionale erit ipsi 
2 X X — 1 ejusmodi adjecta con- 
stante, ut ubi M m est maximum, 
ibi celeritas evanescat. Hanc ob 
rem erit celeritas in loco quo- 
cunque M, quam aqua versus 
occidentem habebit, uti cosinus 
dupli anguli M C A. Maxima 
igitur aquas celeritas versus occi- 
dentem erit in iis locis, in quibus 
aqua maxime est elevata; huic- 
que celeritati sequalis est ea, qua 
aqua in locis ubi maxime est de- 
pressa, versus orientem promove- 
tur; si quidem heec in circulo 
fieri concipiamus, nam in sphaera 
motus aliquantum diversus erit, 

sed tamen hinc intelligi poterit. At in locis quae ab A et B 4<5 grad. 
distant, ob cosinum dupH anguli = 0, aqua omnino nullum habebit mo- 
tum horizontalem. Ex his igitur non solum motus aquae progressivus 
cognoscitur, quo alterna elevatio ac depressio producitur, sed etiam 
luculenter perturbationes, quae a Terris, Httoribus" atque etiam a fundo 
maris proficisci possunt, perspiciuntur. Ceterum quanquam sectio nostra 
plana A D B E aequatorem sokim denotare videtur, tamcn eadem ad 
parallelum quemvis significandum satis commode adhiberi potest : 
quin etiam motus pro sphaera hinc satis distincte colligi poterit, operae 
enim pretium non judicamus, per solidorum introductionem hanc rem 
cognitu tanto difficiliorem reddere. 

§. 94. Eo minus autem hujus accuratae inquisitioni insistemus, quod 
celeritas progressiva insupei' a proftmditate maris pendeat. Quod si 
enim ponaRius m n jam esse maris fundum, ita ut profunditas maris in M 
major non esset c|uam M m, tam isti aquae tantus motus inesse deberet, 
quo ea, dum fluxus ex A in a transit, ex situ n F M m in situm m F N n 
transferri posset. Hic autem motus quamvis sit difformis et per totam 
massam hiaequabiUs, tamen si tota translatio spectetur, totus motus ex 




FLUXUS AC REFLUXUS MARIS. 315 

spatio a centro gravitatis interea percurso est aestimandus. Hoc igitur 

casu, quo Terrae superficiem solidam ad m n usque pertingere ponimus, 

reperietur centrum gravitatis massae n F M m fere aeque celeriter promo- 

veri debere ac punctum A, ex quo ejus celeritas tanta esse deberet, qua 

tempore unius horae spatium fere 1 5 graduum percurrere posset, quae cele- 

ritas undique foret enormis ac stupenda. At si mari profunditatem majo- 

rem tribuamus, scilicet ad ^ v usque, tum illa celeritas multo fiet minor, 

decrescet namque in eadem ratione in qua profunditas crescit. Cum igitur 

celeritas maris, quae ante in se spectata inventa est cosinui dupli anguli 

M C A proportionalis, eo fiat minor, quo majorem mare habeat profun- 

ditatem, tenebit ea in quoque loco rationem compositam ex ratione 

directa cosinus dupU anguli M C A atque ex inversa profunditatis. 

§. 95. Datur autem alius modus celeritatem maris horizontalem, posita 

scilicet, ubique profunditate eadem, determinandi, qui tamen ad diversas 

profunditates patet, si cum ratione invenienda conjungamus reciprocum 

profunditatum uti fecimus ; deduciturque hic modus ex motu maris verti- 

cali, quo modo ascendit modo descendit, qui jam supra est definitus. 

Primo enim manifestum est, si mare ubique eadem celeritate, (posita 

profunditate ubique fequali) in eandem plagam promoveretur, tum etiam 

altitudinem mansuram esse eandem ubique, neque ullam mutationem in 

elevatione aquae orturam esse. At si aqua motu inaequabili progrediatur, 

manifestum est iis in locis, ubi celeritas diminuitur, aquam turgescere 

atque adeo elevari debere, quoniam plus aquae afiluit quam defluit ; 

contra vero ubi celeritas aquae crescat, ibi aquam subsidere oportere. 

Quare ciim elevatio et depressio maris a motus progressivi horizontalis 

inaequalitate pendeat, licebit pro quovis loco hanc inaequalitatem definire, 

ex motu ascensus et descensus cognito. Cum enim celeritas ascensus 

sit decremento celeritatis progressivse sequalis, celeritas descensus vero 

incremento celeritatis progressivae, ex dato motu verticali ratio motus 

horizontalis definiri poterit. Invenimus autem supra §. 84?, si Luna 

a meridiano versus occasum jam recessit angulo z, hoc est cum regio 

proposita ab ea, in qua aqua est summa, versus orientem secundum 

longitudinem distet angulo z, fore celeritatem qua aqua ascendit = 

— 6 ff p q P Q sin. z 3 ff p ^ q ^ sin. 2 z ^ ^ i • i v .♦ 

p_E_3 :i_ — _2-E — J: — : — - — . Quare cum huic ceieritati 

h (1 — 2 g) li (1 — 8 g) 

ascensus proportionale sit decrementum motus horizontahs, erit ipsa 

celeritas horizontahs versus occasum ut ^ ^ P 3 "^ ^ ^ 4- 

2h 



316 



INQUISITIO PHYSICA IN CAUSAM 



6p;pqPQcos.z 3g p^q^cos.2z ^^.^^ ^^-^ differentiale nega- 

h(l-2g) 2h(l-8g) 

tive sumtum et per d z divisum dat ipsam celeritatem ascensus. Quoniam 
autem haec expressio simul exhibet spatium, quo mare supra libellam ele- 
vatur, erit celeritas maris in quovis loco versus occidentem proportionalis 
elevationi supra libellam, et inverse profunditati maris, quae est vera 
regula pro motu maris, tam verticali quam horizontali, definiendo ; atque 
ita priori modo insufficienti supersedere potuissemus. 

§. 96. Consideremus ergo motum, quo aqua tam verticaliter quam 
horizontaliter promovetur a fluxu usque ad refluxum, indeque ad sequen- 
tem fluxum, idque sub aequatore, dum Luna pariter in sequatore versa- 
tur : erit itaque celeritas ascensus ut — sin. 2 z, celeritas autem horizon- 




talis versus occasum ut 15 cos. 2 z + 1 posito g = nyj cui expressioni 
simul altitudo aquae supra libellam est proportionalis. Quod si ergo 
superficies Terrae seu perimeter aequatoris in 24< partes aequales divida- 
tur, atque in locis A et B aqua sit maxime elevata, in C et D vero 
minime, numeri 1, 2, 3, &c. designabunt ea Terrae loca in quibus ante 
unam vel duas vel tres vel, &c. horas lunares aqua maxime fuit elevata, 
tribuendo uni horae lunari 62 minuta. In tabula ergo annexa exhi- 
betur motus tam verticalis, quam horizontalis, ad singulas horas post 
fluxum elapsas. 



FLUXUS AC REFLUXUS MARIS. 



317 



Horco post Fluxum. 


1 

2 
3 

4 
5 
6 

7 

8 

9 
10 
11 
12 



Celeritas Maris verticalis. 



0,000 
0,500 
0,860 
1,000 
0,860 
0,500 
0,000 
0,500 
0,860 
1,000 
0,860 
0,500 
0,000 



desceRdit. 

descendit. 

descendit. 

descendit. 

descendit. 

descendit. 

ascendit. 

ascendit. 

ascendit. 

ascendit. 

ascendit. 

ascendit.. 

descendit. 



Celeritas Maris horizo7italis. 



1,067 
0,927 
0,567 
0,067 
0,432 
0,792 
0,932 
0,792 
0,432 
0,067 
0,567 
0,927 
1,067 



in occasum. 
in occasum. 
in occasum. 
in occasum. 
in ortum. 
in ortum. 
in orium. 
in ortum. 
in ortum. 
in occasum. 
in occasum. 
in occasum. 
in occasum. 



Facile autem intelligitur pro regionibus ab sequatore remotis, praecipue si 

Luna habeat declinationem, tum utrumque motum magis fore irregularem, 

atque mox ascensum citius absolvi mox vero descensum ; totus autem 

motus facilius ex ipsis formulis datis cognoscetur. Hic denique profun- 

ditatem ubique eandem posuimus ; quod si enim esset diversa, motus 

horizontalis simul rationem inversam profunditatis tenebit. 

§. 97. Denique antequam hoc Caput iiniamus, notari oportet, neque 

maximos sgstus iis ipsis temporibus evenire posse, quibus vires Solis et 

Lunae maxime vigent, nec minimos sestus tum, cum vis a Luna et Sole 

nata est debilissima, sed aliquanto tardius. ^stus enim magnitudo non 

sokim a quantitate virium sollicitantium pendet, uti id usu veniret, si aqua 

inertia careret, sed insuper a motu jam ante concepto. Quod si enim 

ante mare omnino quievisset, tum primus certe sestus oriundus admodum 

futurus esset exilis, etiamsi vires soUicitantes essent maximae ; sequentes 

vero aestus continuo crescerent, donec tandem post tempus infinitum 

magnitudinem assignatam obtinerent, si quidem vires sollicitantes idem 

robur perpetuo servarent : atque hoc idem evenire debet, si aestus prae- 

cedentes tantum fuerint minores, quam is qui viribus sollicitantibus con- 

venit. Quare cum asstus novilunia ac plenilunia praecedentes sint mino- 

res, ii quidem his temporibus ab auctis viribus augebuntur, non vero 

subitc) totam suam quantitatem consequentur, atque hanc ob rem aestus 

etiamnum post syzygias augmenta accipient, donec ob tum secutura virium 

decrementa, aestus iterum decrescere incipiant. Ita tempore novilunio- 

rum et pleniluniorum non tam ipsi aestus quam incrementa eorum censen- 

da sunt maxima, quatenus scUicet aestus praecedentes maxime deficiunt, 
VOL. III. z 



318 INQUISITIO PHYSICA IN CAUSAM 

ab iis qui sequi deberent ; ex quo manifestum est non illos aestus, qui in 
ipsis syzygiis luminarium contingunt, esse maximos, sed sequentes esse 
niajores. Hocque ideni intelligendum est de sestibus minimis, qui non in 
ipsas quadraturas incidunt, sed tardius sequuntur: unde ratio luculenter 
perspicitur, cur aestus tam maximi quam minimi non ipsis syzygiarum et 
quadraturarum tempestatibus respondeant, sed serius observentur, tertii 
. scilicet demum vel quarti post ha^c tempora. 



CAPUT SEPTIMUM. 

Ea:pUcaiio p^^cedpuorimi FhcenGmenorum circa JEstum Maris 

ohservalorum, 

§. 98. XN praecedentibus Capitibus fusius exposuimus effectus, qui in 
mari a viribus illis duabus, quarum altera versus Lunam est directa, 
aitera versus Solem, produci debent ; eosque cum per calculum analyti- 
cum, tum per solida ratiocinia ita determinavimus, ut de corum existentia 
dubitari omnino non liceat, si quidem illoe vires admittantur. At vero 
istas vires in mundo existere non solum per alia phaenomena evidentissime 
probavimus, sed etiam earum causam physicam assignavimus, quam in 
blnis vorticibus, quorum alter circa Solem, alter circa Lunam sit consti- 
tutus, posuimus, quippe quoe est unica ratio cum gravitatem tum etiam 
vires; quibus planetae in suis orbitis circa Solem continentur, explicandi. 
Quin etiam haec ipsa phaenomena internam vorticum structuram et indo- 
leni commonstrarunt; ob eaque vortices ita comparatos esse statuimus, ut 
vires centrifugae decrescant in duplicata ratione distantiarum a centris 
eorumdem. Quare ciim in his viribus nihil gratuito assumserimus, si 
efFectus ex iis oriundi cum phaenomenis aestus maris conveniant, certissime 
nobis persuadere poterlmus, in assignatis viribus veram aestus maris cau- 
sam contineri ; absonumque omnino fore, si causam aestus maris in ahis 
viribus imaginariis anquiiere vellemus. Quamobrem in hoc Capite con- 
stituimus omnes efFectus, qui in supcrioribus Capitibus sparsim sunt eruti, 
conjunctim et ordine proponere, summumque eorum consensum cum ex- 
perientia declarare. Quoniain autem nondum impedimentorum a littori- 
bus Terrisque oriundorum rationem habuimus, facile intelhgitur, hinc ex- 
chidi adliuc debere ejusmodi anomalias aestus maris, quae evidentlssime a 
Tenis conllngentibus ortum habeant, cujusmodi sunt aestus vel veliemen- 



FLUXUS AC REFLUXUS MARIS. 319 

ter enormes vel vix serisibile's, uti in Mari Mediterraneo, vel insignes 
retardationes eorum, quibus rebus explicandis sequens Caput ultinmm 
destinavimus : ita in lioc Capite tantum ea sestus maris phaenomena ex- 
plicanda suscipimus, quae in portubus amplissimum oceanum respicienti- 
bus vel insulis observari solent in oceano sitis. 

§. 99. Si omnes proprietates, quibus jfluxus ac refluxus maris praeditus 
esse observatur, distincte enumerare atque exponere velimus, deprehen- 
demus eas ad tres classes revocari debere. Ad primam scilicet classem 
referenda sunt phsenomena, quae in uno sestu in se spectato conspiciuntur, 
cum ratione temporis tum etiam ratione quantitatis ; haecque phagnomena 
commodissime sub varietatibus diurnis comprehendi possunt, quatenus ea 
se offerunt observatori, qui per integrum tantum diem observationes in- 
stituit, neque ea cum aliis phaenomenis aliis temporibus occurrentibus com- 
parat. Secunda classis complectitur varietates menstruas, quae sese 
observatori per integrum mensem sestum maris contemplanti offerunt, 
quorsum pertinent sestus maximi minimique, item retardationes modo 
majores modo minores. Tertia denique classis comprehendit varietates 
annuas ac plusquam annuas, quae sequuntur vel varias Lunae a Terra 
distantias, vel Solis; vel etiam luminarium declinationem. Hanc ob rem 
phaenomena uniuscujusque classis recensebimus, atque quomodo singula 
cum theoria tradita congruant, ostendemus. Hic vero, ut jam est moni- 
tum, a perturbationibus quae a Terris ac littoribus provenire possunt, 
animum prorsus abstinemus, eas sequenti Capiti reservantes. Multo mi- 
ntis vero ad ventum hic respicimus, quo aestus maris cum ratione magni- 
tudinis tum temporis plurimum affici observatur; sed tantum ejusmodi 
phaenomena explicare hic conabimur, qu£e memoratis perturbationibus 
minime sint obnoxia. 

§, 100. Quod igitur ad primam classem attinet, praecipuum phaenome- 
num in hoc consistit, quod ubique in amplissimo oceano quotidie bini 
maris fluxus seu elevationes, binique refluxus seu depressiones observen- 
tur, atque tempus inter binos fluxus successivos circiter 12. hor. 24?'. 
deprehendatur. Huic vero phoenomeno, si ulli ahi, per theoriam nos- 
tram plenissime est satisfactum, ubi ostendimus maximam aquae elevatio- 
nem deberi transitui Lunae per meridianum tam supra quam infra Ter- 
ram : ex quo cum Luna una revolutione diurna bis ad ejusdem loci meri- 
dianum appellat intervallo temporis circiter 12 hor, 24'. necessario sequi- 
tur una revolutione Lunae circa Terram binos fluxus tanto tempore a se 
invicem dissitos oriri debere, quemadmodum hoc ipsum calculus tam pro 
hypothcsi aquos inertia carentis, quam admissa inertia, clarissime indica-. 

z 2 



520 INQUISITIO PHYSICA IN CAUSAxM 

vit. Simul autem ex iisdem determinationibus intelligitur sub ipsis poiis 
nuilum omnino aestum dari diurnum, in regionibus vero a polis non pro- 
cul remotis, ubi luminaria vel non oriuntur vel non occidunt, quotidie 
unum tantum fluxum unicumque refluxum contingere debere; quae con- 
sequentia theoriae, etsi observationibus nondum satis est comprobata, 
tamen quia ex iisdem principiis sequitur quae institutis observaticnibus 
satisfaciant, nulli amplius dubio subjecta videtur. In locis autem sequatori 
propioribus, quibus quotidie bini fluxus totidemque refluxus eveniunt, 
momentum, quo aqua maxime deprimitur non satis exacte medium inter- 
jacere observatur inter fiuxuum momenta, sed mox priori mox posteriori 
est propius, quod phainomenum cum nostra theoria apprime congruit ; 
ostendimus enim momentum refluxus non exacte tempori medio intcr 
fluxus respondere, nisi vel locus situs sit sub aequatore, vel Lunae decii- 
natio fuerit nuUa, sed modo priori modo posteriori fluxui esse propius. 

§, 101. Secundum phaenomenum huc redit, ut ubique locorum fluxus 
post transitum Lunae per meridianum venire observetur, idque aliquot 
horarum spatio, in portubus versus apertum oceanum patentibus. Nam 
in regionibus quae cum oceano non hberrime communicantur, sed ad 
quas aqua juxta littora deferri debet, multo tardius aestus advenit, quae 
retardatio si fere ad 12 horas ascendit, in causa esse solet, ut hujusmodi 
in locis fluxus ante transitum Lunae per meridianum venire videatur. 
Ita ad Portum Gratiae videri posset fluxus 3 horis Luiiae culminationem 
antecedere, cum tamcn, re bene considerata, a prascedente culminatione 
oriatur, atque adeo eam 9 fere horis demum sequatur, uti apparebit si 
aestuum momenta, quae successive ad littora Britanni^ Minoris et Nor- 
manniae observantur continuoque magis retardantur, attentius inspiciantur. 
Deberet quidem ubique fluxus in ipsos Lunae transitus per meridianum 
incidere, imo quandoque ob Solem prascedere, non solum demta inertia, 
sed etiam ea posita, si tantum aquas motus verticalis spectetur ; at si etiam 
motus horizontalis ratio" habeatur, tum dilucide ostendimus fluxum per- 
petuo retardari, ac demum post Lunae transitum per meridianum evenire 
debere. Tempus quidem hujus retardationis, cum sit admodum variabile 
pluribusque circumstantiis subjectum, non definivimus, interim tamen id 
ex §. 82. colhgi poterit, remotis externis impedimentis : cum enim inven- 
erimus aquam propria vi gravitatis sese in situm aequilibrii recipere 

tempore — horarum, ac numerum n esse circiter 5 vel 6, manifestum est 
n 

tanto etiam temporc opus esse, quo aqua eum situm quem vires inten- 

dunt, induat, ex quo fluxus circiter 2 horas vel 2^ horas post transitum 



FLUXUS AC REFLUXUS MARIS. S21 

Lunae per meridianum contingere debebit, id quod cum observationibus 
in oceano libero institutis egregie convenit; hancque idcirco praecipuam 
hujus retardationis causam merito assignamus. 

§. 102. Tertium phaenomenon suppeditat scstus magnitudo, quae autem 
tam diversis locis quam diversis tempestatibus maxime est mutabilis. 
Interim tamen exceptis enormibus illis aestubus, qui nonnullis in portubus 
observari solent, reliqui cum nostra theoria egregie consentiunt; inertia 
enim sublata, invenimus sub asquatore maximum aestum fore per spatium 
^'irciter 4 pedum, ab inertia autem hoc intervallum augeri ita ut duplo, 
vel triplo, vel etiam quadruplo et plus fiat majus, prout valor ipsius g (vid. 
§. 82.) minor fucrit vei major, quippe qui a facultate oceani sese propria 
sua vi in statum aequilibrii restituendi pendet; ex quo sub aequatore spa- 
tium per quod maximus £estus agitatur ad 8, 12, 16 et plures pedes ex- 
surgere potest, In regionibus autem ab aequatore remotis invenimus 
magnitudinem aestus tenere rationem duplicatam cosinuum elevationis 
poli, unde sub elevatione poli 45°., magnitudo aestus circiter duplo erit 
minor quam sub ipso £Equatore; cujus veritas in locis a littoribus aliquot 
milliaria remotis per experientiam eximie comprobatur. Deprehenditur 
Ijt» enim ubiquc in locis a httoribus remotis aestus multo minor quam ad 
littora; cujus discriminis causa in sequenti Capite dilucide indicabitur. 
Quinetiam in medio mari plerumque aestus adhuc minor observatur, quam 
haec regula requirit; id autem ostendetur a non satis ampla oceani ex- 
tensione secundum longitudinem proficisci, quemadmodum in Oceano 
Atlantico qui versus occidentem littoribus America? ; versiis orientem 
vero littoribus Africae et Europae terminatur, quae amplitudo non est 
satis magna, ut integram aestus quantitatem suscipere queat. 

§. 103. Quartum phaenomenon varietates menstruas respicit, atque 
ostendit aestus, qui circa plenilunia et novilunia contingunt, inter reliquos 
ejusdem mensis esse maximos, aestus vero circa quadraturas luminarium 
minimos ; quae inaequalitas cum theoria nostra ad amussim quadrat. 
Cuni enim aestus maris non solum ab ea vi, quae vortici Lunam ambienti 
competit, oriatur, sed etiam a vi Solem spectante pendeat, quae ceteris 
paribus circiter quadruplo minor est vi Lunae, manifestum est aestum 
maris maximum esse debere, si ambae vires inter se conspirent, atque 
aquam simul vel elevent vel deprimant, id quod accidere ostendimus tam 
pleniluniis quam noviluniis. Deinde simili modo, quoniam istas vires 
inter se maxime discrepant in quadraturis, quibus temporibus dum aqua 
a Luna maxime elevatur, simul a Sole maxime deprimitur ac vicissim, 
perspicuum est iisdcm temporibus sestum mininuim esse dcbere. Praeterea 

Z 3 



322 INQUISITIO PHYSICA IN CAUSAM 

vero ipsum discrimen cum theoria exacte convenit ; in pluribus enim por- 
tubus aestus maximos et minimos ad calculum revocavimus, atque ex 
relatione eorum relationem inter vires Lunse ac Solis investigavimus ; 
liincque perpetuo eandem fere rationem inter vires Solis ac Lunag abso- 
lutas elicuimus, quemadmodum id fecit Newtonus ex observationibus 
Bristolii et Plymouthi, nos vero in Portu Gratiae institutis, conclusioni- 
bus mirifice inter se congruentibus : quahs consensus profecto expectari 
non posset, si theoria veritati non esset consentanea. Neque etiam aliae 
theoriae adhuc productae, cujusmodi sunt Galilsei, Wallisii atque Cartesii^ 
qui causam in pressione Lunse collocavit, huic phsenomeno perfecte satis- 
faciunt, sed potius prorsus evertuntur. 

§. 104. Quintum phaenomenon in hoc consistat, quod unius mensis 
intervallo maximi aestus non sint ii, qui novikmia ac pleniUmia proxime 
insequuntur, sed sequentes tertii scilicet circiter vel quarti, similique in- 
tervalio sestus mininii demum post quadraturas contingunt. Hujus autem 
phaenomeni ratio in §. 97. fusius est exposita, ubi ostendimus, cum aestus 
ante syzygias incidentes essent minores, maximam vim a Sole et Luna 
ortam non subito aestum maximum producere valere, sed tantum mare 
ad eum statum solicitare. Cum igitur post syzygias vis aestum efficiens 
sensibiliter non decrescat, aestus etiamnum post hoc tempus incrementa 
capiet, atque ideo demum post syzygias fiet maximus ; similisque est ratio 
diminutionis sestuum, quae etiamnum post quadraturas contingere debet, 
ita ut aestus minimi demum post quadraturas eveniant. Hujusmodi autem 
retardationes effectuum a viribus in mundo existentibus provenientium 
quotidie abunde experimur: ob similem enim rationem singulis diebus 
maximum calorem non in ipso meridie sentlmus, etiamsi hoc tempore vis 
Solis calefaciens sine dubio sit maxima, sed demum ahquot horis post 
meridiem, atque propter eandem causam neque solstitii aestivi mom.ento 
maximus calor annuus sentitur, neque tempore solstitii hybenii frigus 
summum, sed utrumque notabiliter tardius. 

§. 105. Sextum phaenomenon in hoc ponimus, quod momenta fluxuum 
tempore syzygiarum multo strictius ordinem tenere observantur, quam 
circa quadraturas. Hic vero ante omnia animadvertendum est praeci- 
puam sensibilem anomaham in momentis a^stuum inde originem trahere, 
quod haec momenta ex tempore solari atque a vero meridic seu transitu 
Solis per meridianum soleant computari, cum ea potius a transitu Lunae 
per meridianum pendeant. Quod si autem ad has observationes tempus 
lunare a transitu Lunae per meridianum computandum adhibeatur, irre- 
gularitates apparentes maximam partem evanescent, hoc vcro multo magis 



FLUXUS AC REFLUXUS MARIS. 323 

in fluxubus circa syzygias quam quadraturas : in quadraturis enim quo- 
niam, dum Luna per mcridianum transit, Sol non semper in horizonte 
versatur, sed vel ad horizontem demum accedit vel jam ab eo recedit, 
necesse est ut illo casu fluxus citius, hoc vero tardius contingat : quod 
discrimen cum partim ab elevatione poli, partim a dechnatione hmiinarium 
pendeat, momenta fluxuum in quadraturis magis irregularia reddit : inte- 
rim tamen habita harum circumstantiarum ratione satis prope definiri 
potest. Circa tcmpora fluxuum autem, qui in noviluniis ac pleniluniis 
incidunt, hac sola correctio seu reductio ad transitum Lunae per meridia- 
num omnem fere anomaham toUit, quorsum spectat regula a ccleb. Cas- 
sino in Mem. 1710. tradita, qua pro totidem horis, quibus pleniiunium 
seu novilunium. vel ante meridiem vel post incidit, totidem bina minuta ad 
tempus fluxus medium vel addere vel ab eo subtrahere jubet, quippe quae 
ex motu Lunae est petita. Interim tamen hac correctione adhibita ahqua 
anomaha superesse deprehenditur, cujus autem ratio ex nostra theoria 
sponte sequitur. Quando enim syzygia ante meridiem celebratur, tum 
dum Luna per m.eridianum transit, Sol jam ante eum est transgressus, 
atque ideo jam horizonti appropinquat, ex quo necesse est ut fluxus 
citius eveniat, quam prima regula sola adhibita indicat. Atque etiam 
idem in tabuhs fluxuum Dunkerquae et in Portu Gratiae observatorum, 
Mem. 1710. insertis, manifesto conspicitur : quando enim novihmium 
pleniluniumve pluribus horis ante meridiem accidit, tum fluxus citiiis 
advenisse observatur, quam caleulus Cassinianus indicabat; contra veio 
tardius si syzygioe demum pluribus horis post meridiem inciderint, cujus 
majoris retardationis causa in Sole tum adhuc ab horizonte recedente est 
quaerenda. 

§. 106. Septimum phoenomcnon suppeditat diversa retardatio fluxuum 
in syzygiis luminarium et quadraturis respectu appulsus Lunae ad meri- 
dianum; tardius scihcet ubique locorum fluxus, qui in syzygiis contin- 
gunt, insequuntur culminationem Lunas, quam ii, qui circa quadraturas 
vcniunt. Hujus autem phaenomeni duplex causa potest assignari, qua- 
rum prima a sola quantitate aestuum petitur, quia enim aestus syzygiarum 
multo sunt majores quam aestus quadraturarum, consentaneum videtur 
illos tardius venire quam hos. Altera vero causa quae hoc phaenomenon 
multo distinctius explicat, imllique dubio locum relinquit, nostrae theoriae 
omnino est propria, priorique longe est praeferenda. Ponamus enim t 
esse tempus, quo in noviluniis ac plenihmiis fluxus post appulsum Lunae 
ad meridianum venire solet; sequentibus igitur diebus hoc tempus t 
continuo diminuctur, quia tum Sol, dum Luna in meridiano versatur, 

Z 4 



S24. INQUISITIO PHYSICA IN CAUSAM 

mare jam deprimit ; quae diminutio cum duret fere usque ad quadraturas, 
necesse est ut his temporibus fluxus multo citius post culminationem 
Lunae sequantur, viribusque sollicitantibus magis obtemperent, uti hoc 
fusius §.91. explicavimus, unde tempus retardationis in quadraturis tan- 
tum erit t — ^. Post quadraturas autem Sol exerit contrarium effectum, 
atque adventum fluxus continuo magis retardat, idque aequaU modo, quo 
ante acceleraverat, ex quo usque ad sequentem syzygiam intervallum 
t — & iterum ad t usque augebitur. Hujusque phaenomeni soKus expli- 
catio suflicere posset ad veritatem theoriae nostrae evincendam, cum id 
omnibus aliis theoriis expHcatu sit insuperabiie ; neque a nemine adhuc 
saltem probabilis ejus causa sit assignata. 

§. 107. Octavum phsenomenon petamus ex inaequalitate duorum 
fluxuum sese immediate insequentium, quorum alter transitui Lunoe 
superiori per meridianum respondet, alter inferiori, quae inaequahtas 
maxime observatur in regionibus ab sequatore multum remotis, ac tum 
cum Lunse declinatio est maxima. Theoria quidem declarat Lunam, 
etiamsi in ipso aequatore versetur, tamen majori vi gaudere ad mare 
movendum, quando super horizonte meridianum attingit, quam infra 
horizontem ; at discrimen sub aequatore tam est exiguum, ut vix in sensus 
occurrere queat, integrum enim digitum non attingit (§. 4).); atque in 
regionibus ab aequatore remotis fit multo minus. Vera igitur hujus phae- 
nomeni ratio in altitudine Lunae meridiana seu distantia ab horizonte 
continetur ; hinc enim sequitur quo major fuerit differentia inter distan- 
tias Lunae ab horizonte, dum per meridianum transit tum super horizonte 
tum sub horizonte, eo majorem esse debere difl^erentiam inter binos fluxus 
successivos, ex quo perspicuum est istam diflerentiam versus polos con- 
tinuo crescere debere, si quidem Luna habeat declinationem. Quod si 
ergo Luna habuerit declinationem boreaiem, tum in regionibus septen- 
trionalibus fluxus erit major qui transitum Lunae per meridianum superi- 
orem sequitur, alter vero sequens, qui transitui inferiori respondet, minor. 
Contra autem si Lunae dechnatio fuerit austrahs, appulsui Lunae ad 
meridianum superiori fluxus succedet minor, inferiori vero major ; hanc- 
que differentiam Flamstedius observavit diligenter, nuUumque est dubium, 
quin ea per copiosissimas observationes, quas Academia celeberrima 
Regia Parisina collegit, omnino confirmetur. In hoc autem negotio 
indoies fluxuum probe est inspicienda, quoniam aliquibus in portubus 
tantopere retardantur, ut sequentibus Lunae transitibus per meridianum 
sint propiores, quam illi, cui suam originem debent; ita Dunkerquae 
circa syzygias fluxus circiter meridie observari solet, neque vero iUi ipsi 



FLUXUS AC REFLUXUS MAKIS. 325 

transitui Lunas per meridianum est tribuendus qui eodem tempore flt, 
sed praecedenti, prouti successiva retardationis incrementa ad littora 
Galliae et Belgii borealia evidentissime testantur, Quare si verbi gratia 
Dunkerquae quis hujusmodi observationes perlustrare voluerit, is quemque 
fluxum non cum transitu Lunae per meridianum proximo comparet, sed 
cum eo qui propemodum 1 2 horis ante contigit ; ahoquin enim contraria 
phaenomena esset deprehensurus. 

§. 108. Commodus hic nobis praebetur locus explicandi transitum a 
binis aestubus, qui quotidie in regionibus extra circulos polares sitis eve- 
niunt, ad singulos aestus, qui secundum theoriam nostram in regionibus 
polaril)us contingere debent. Quoniam enim theoria nostra monstrat, in 
zonis temperatis et torrida quotidie duos fluxus observari debere, in zonis 
frigidis autem unum tantum, transitio subitanea a binario ad unitatem 
maxime mirabilis ac paradoxa videri posset. Sed quia, si fluxus bini 
successivi inter se sunt inaequales, refluxus aquae seu maxima depressio 
fluxui minori est vicinior, bini sestus quoque successivi ratione temporis 
inter se erunt inaequales, si quidem voce aestus intelligamus motum aquae 
a summa elevatione ad imam depressionem usque, ac vicissim. Quo 
magis itaque ab sequatore versus polos recedatur, eo major deprehendetur 
inter binos aestus successivos inaequalitas, cum ratione magnitudinis tum 
temporis, major enim diutius durabit quam minor, ambo vero simul 
ubique absolventur tempore 1 2 horarum, cum 24«'. circiter : quod si itaque 
in eas regiones usque perveniatur, in quibus Luna utraque vice vel super 
horizonte vel sub horizonte meridianum attingit, aestus minor omnino 
evanescet, solusque major supererit, qui tempus 12 h. 24'. adimplebit. 
Ex quibus perspicuum* est, si Luna habeat declinationem, inaequalitatem 
binorum aestuum successivorum ad poios accedendo continuo fieri majo- 
rem, atque tandem minorem omnino evanescere debere, quod cum 
evenit, bini aestus in unum coalescunt. 

§. 109. Explicatis anomahis aestus maris menstruis, pervenimus ad 
anomalias annuas vel plusquam annuas, ac nonum quidem phaenomenon 
desumimus ex variatione aestus, quae a diversis Lunte a Terra distantiis 
proficiscitur. Observantur enim aestus ubique majores ceteris paribus, in 
iisdem scilicet luminarium aspectibus iisdemque decUnationibus, si Luna 
in suo perigaeo versetur, minores vero, Luna in apogaeo existente. 
Egregie autem haec conveniunt cum nostra theoria, qua demonstravimus 
Lunae vires ad mare movendum decrescere in triplicata ratione distan- 
tiarum Lunae a Terra : quod si igitur Luna versetur in perigaeo, fluxus 
debebunt esse majores, quam si Luna apogaeum occupat. Pra^terea etiam 



326 INQUISITIO PHYSICA IN CAUSAM 

tabula quam celeb. Cassini in Mem. 1713. pro diversis Luna^ a Terra 
distantiis ex plurimis observationibus Brestiae institutis coUegit, satis ac- 
cunite cum theoria nostra conspirat, etiamsi enim pro Luna perigaea mi- 
iiorem elevationem aquae tribuat, quam ista ratio requireret, tamen discri- 
men valde est exiguum : quin etiam facile concedetur Lunam perigaeam 
totum suum efFectum non tam cito consequi posse, quem consequei-etur, 
si Luna perpetuo in perigso versaretur. Aliter autem Luna apogaea est 
comparata, quse ad diminuendum aestum maris tendit, cum enim niare ob 
inertiam et impedimenta ipsum ad diminutionem aestus sit proclive, sine 
ulla resistentia Luna in apogaeo constituta efFectum suum exeret. Huc 
etiam pertinet, quod pariter celeb. Cassini se observasse testatur, similem 
differentiam etsi multo minorem a variis Solis a Terra distantiis produci, 
id quod nostrae theoriss non solum est consentaneum, sed inde etiam ipsa 
quantitas hujus diffcrentiae potest definiri. 

§. 110. Denique decimum phaenomenon sese nobis contemplandum 
offert, quo vulgo statui solet aestus tam noviluniorum quam plenilunio- 
rum, qui contingunt circa aequinoctia, caeteris esse majores, etiamsi ob- 
servationes hanc regulam non penitus confirment ; quamobrem videamus 
quomodo aestus casteris paribus comparatus esse debeat pro diversis Lunae 
declinationibus. Ac primo quidem ex nostra theoria (J. 87.) aestus dum 
Luna in sequatore versatur, maximos esse non posse, nisi in locis sub 
ipso aequatore sitis : atque eodem loco tabellam adjecimus, ex qua patet, 
cuinam Lunae declinationi maximi (Estus respondeant. Ita pro elevatione 
poli 50^. aestus maximi incidunt Lunae declinationi 27°. si quidem g 
ponatur = ^j ; at posito g = j\j, quod probabilius videtur, prodit Lunae 
decHnatio maximum aestum producens circiter 16". id quod mirifice con- 
venit cum observationibus ad httora GalKae septentrionaha institutis, 
quibus constat maximos syzygiarum aestus mensibus Novembri et Feb- 
ruario accidere solere, quibus temporibus Luna fere assignatam obtinet 
dechnationem. At quod forte ilU reguls?, qua Lunae in aequatore ver- 
santi maximi aestus adscribi solet, ansam praebuisse videtur, est modus 
aestuum quantitates definiendi pecuHaris ac satis perversus; cum cnim 
crederent plerique observatores causis ahenis tribuendam esse inaequahta- 
tem, quae inter binos aestus successivos intercedat, veram aquae clevatio- 
nem accuratius definire sunt arbitrari, si sumerent medium inter binos 
fluxus successivos, Quod si autem hoc modo quique aestus aestimentur, 
tum utique maximi aestus in a^quinoctia incidere observabuntur, id quod 
etiam nostrae theoriae maxime est conforme, exceptis tantum regioni- 
bus poUs vicinioribus. Cum cnim positis sinu elevationis poU =^ P, 



FLUXUS AC REFLUXUS MARIS. 327 

cosinu = p, sinu dcclinationis Luna3 = Q, cosinu = q, major oestus fiat 

per spatium ll Tp q + ^ Q (^ — ^ S\\ minor vero per spa- 

^ ^ h(l-8g)V^ ^ l—2gJ 

^^^^i^^iy^^- ^V^s^ ^' ^^- '''^ '-'' '-' ^^^^^ 

aestum maris mensurandi modum quantitas asstus — ^ 



h (1 — 8 g) 

rp^^q^ + (1 -8g)^P^QS^ Sg /._^Q2 + 

V^ ^ (1 — 2 g) 2 J h (1 — 8 g) l^ l ^ -r 

\L^ El -_.zLA ; ex qua expressione perspicitur maximos asstus ubi- 

que, si quidem modo recensito mensurentur, Lunag in ipso aequatore 

desenti respondere, nisi sit ^ ZZ ^ > p ", hoc cst nisi tanffens ele- 

° ^ (1 -^ 2 g) - -^ "" 

vationis poH major sit quam — " " : his scihcet regionibus etiam Luna 

dechnans ab sequatore majores aestus producet. At si ponatur g = -^^, 
prodit elevatio poh, ubi regula prolata fahere incipit, 66^ ; sin autem 
ponatur g = 3^^, fit elevatio poh major quam 58°; at posito g = iVj 
provenit poh elevatio 76", Cum igitur in locis pohs tam vicinis observa- 
tiones institui non soleant, satis tuto affirmare licet, maximos sestus men- 
struos accidere circa sequinoctia, si quidem quantitas aestus quotidie 
mensuretur per medium arithmeticum inter spatia, quae duo sestus succes- 
sivi conficiunt. 

§. 111. Quid nunc ahud de theoria nostra sit sentiendum, nisi eam 
veram et genuinam aestus maris causam, qualis ab illustrissima Academia 
Regia in proposita quasstione desideratur, in se complecti, non videmus ? 
Non solum enim onmia pha^nomena, quae in aestu maris observantur, 
clarc et distincte explicavimus, sed etiam existentiam actualem earum 
virium, quibus hos efFectus adscribimus, evidentissime deraonstravimus ; 
ex quo efficitur causam a nobis assignatam, non tantum omnibus pliaeno- 
menis satisfacere, sed etiam esse unicam quae cum vera consistere queat. 
Quod si enim quispiam alias vires excogitet, quibus seque omnia phasno- 
mena explicare posset, etiamsi hoc fieri posse minime concedamus, ejus 
certe explicatio subito concideret et everteretur a viribus nostriE tlieoriae, 
quas aliunde in mundo existere abunde constat ; quoniam ab illis viribus 
imaginarhs hisque realibus conjunctim effectus duphcatus consequi debe- 
ret, quem experientia aversatur. Nunc igitur nobis summo jure asserere 
posse videmur, vcram acstus maris cau jam in duobus vorticibus esse posi- 



328 INQUISITIO PHYSICA IN CAUSAM 

tam, quorum alter circa Solem, alter circa Lunam agitetur, atque uterque 
ejus sit indolis, ut vires centrifugae decrescant in duplicata ratione distan- 
tiarum a centris utriusque vorticis : quas proprietas obtinetur, si celeritas 
materiai subtilis gyrantis in quoque vortice teneat rationem reciprocam 
subduplicatam distantiarum. Neque vero hi duo vortices ad libitum sunt 
excogitati, sed ille qui Solem circumdat est is ipse, qui omnes planetas in 
suis orbitis continet ; alter vero Lunam circumdans, etsi ejus vis nisi in 
asstu maris non sentitur, tamen sine ulla haesitatione admitti potest, cuin 
certo constet Terram, Jovem ac Saturnum similibus vorticibus esse 
cinctos, unde ejusmodi vortices nuUi omnino corpori mundano denegari 
posse videntur. Parcius quidem hic materiam de vorticibus tractavimus, 
etiamsi in illis veram aestus maris causam ponamus ; hoc autem de indus- 
tria fecimus, cum hoc argumentum jam toties sit tractatum ac fere exhaus- 
tum ; neque nobis persuadere possumus, si hac occasione doctrinam de 
vorticibus etiam melius, quam etiamnum a q'\oquam est factum, expedire- 
mus, ob eam rem praemium nobis tributum iri. 



CAPUT OCTAVUM. 

De JEstus Maris 'perturhatione a Terris ac littoribus oriundd, 

}. 112. -L ERVENiMUS taudem ad ultimam nostrae disquisitionis partem, 
qutE praecipua est, in qua theoriam expositam ad statum Telkiris, in quo 
revera reperitur, debito modo accommodabimus. Hactenus enim, quo 
ardua ista disquisitio faciUor redderetur ab omnibus circumstantiis exter- 
nis quibus efFectus a viribus Solis ac Lunae oriundis vel turbari vel deter- 
minatu difficiliores reddi possent, cogitationem abstraximus. Primo 
scilicet non solum totam Terram ex aqua conflatam posuimus, sed etiam 
inertiam aquae mente sustuHmus, ut eo pauciores res in computum du- 
cendae superessent. Deinde inertiae quidem habuimus rationem, ac prse- 
cedentes determinationes debito modo correximus, verum totam Terram 
aqua undiquaque circumfusam assumsimus, seu etiamnum anomahas a 
Terris negleximus. Nunc itaque nostra theoria eo est perducta, ut nihil 
ampHus adjicere necesse foret, si quidem aestus maris a Terris httori- 
busque sensibiliter non afficeretur ; nisi forte anomaiiae quaedam a ventis 
oriundae commemorari deberent, quas autem motu aquae perspecto facile 



FLUXUS AC REFLUXUS MARIS. 329 

adjudicantur, atque ad omnes theorias seque pertinent. Quaniobrem ulti- 
mum hoc Caput destinavimus explicationi phaenomenorum quorumdam 
singularium, quorum causa non tam in ipsa aqua viribusque eam sollici- 
tantibus, quam in Terra continenti littoribusque est quaerenda : hac enim 
parte absohita nihil ampUus restare videtur, quod vel ad theqriae nostrae 
confirmationem, vel ad omnium phsenomenorum adasquatam exphcatio- 
nem desiderari queat. Quamvis enim illustrissima Academia totum hoc 
argumentum non penitus exhauriri jubeat, cum adhuc nonnuUas quaes- 
tiones de eodem in posterum proponere constituisset, tamen quia hoc 
tempore vera causa physica desideratur, veritatem nostrae theoriae non 
satis confirmari arbitramur, nisi ejus convenientiam cum omnibus phaeno- 
menis dihicide ostenderemus, cum si vel unicum phaenomenon refragare- 
tur, eo ipso tota theoria subverteretur ; quam ob causam prohxitatera 
nostras tractationis, atque transgressionem hmitum praescriptorum nobis 
sine difficukate condonatum iri confidimus. 

§. 113. Primum autem perspicuum est, motum maris horizontalem quo 
vel versiis orientem vel occidentem progreditur, ob Terram interpositam 
non solum perturbari, verum etiam quandoque prorsus impediri debere. 
Supra enim ostendimus, si tota Terra aqua esset circumfusa, tum ubique 
ad fluxum formandum aquam ab oriente advehi debere, ante refluxum 
autem versus ortum defluere. Quod si ergo oceanus versus orientem 
Terris terminetur, fieri omnino nequit tempore fluxus ad haec littora 
aqua ab oriente aflluat, quo ipsp cursus aquae naturahs penitus impedie- 
tur. Quoniam autem vires Sohs ac Lunas nihilomimis his in regionibus 
mare attollere conantur, effectum consequi non poterunt, nisi aqua ab 
occidente afreratur : sic quando ad httora Europae aqua a viribus Sohs ac 
Lunae elevatur, aqua ab occidente eo deferatur necesse est, ab iis scihcet 
regionibus, ubi aqua eodem tempore deprimetur ; quod idem fieri debet 
ad littora Africae et Americae occidentalia. Contra vero ad httora Asiae 
et Americae orientaha aqua naturah motu feretur, atque in fluxu ab 
oriente adveniet, in refluxu vero versus orientem recedet. Vires namque 
Sohs ac Lunae motum aquae horizontalem non per se determinant, sed 
eatenus tantum, quatenus aliis in locis aquam attoUunt, ahis vero eodem 
tempore deprimunt; atque aqua ob propriam gravitatem eum sehgit 
motum, quo facihime a locis quibus deprimitur, ad loca quibus attoUitur 
promoveatur : quamobrem iste motiis maxinie a Terris oceanum inclu- 
dentibus determinetur necesse est. Hinc igitur perspecta positione litto- 
rum cujusvis maris llicile definiri poterit, a quanam plaga aqua in fluxu 
venire, quorsumque in refluxu decedere debeat, si modo elevationes et 



S30 INQUISITIO PHYSICA IN CAUSAM 

depressiones aqiiae per totum mare attente considerentur : tota enim liaBC 
quEestio pertinebit ad hydrostaticam. 

§. 114. Cum igitur ad littora Europae aqua elevari nequeat, nisi 
affluxus ab occidente fiat copiosus, ad littora quos versus occidentem res- 
piciunt aqu^ directe ab occidente adveniet, quae autem littora ad aliam 
plagam sunt disposita, aquae cursus versus orientem directus inflectetur 
juxta littora, priusquam eo pertingat, omnino uti inspectio mapparum 
docebit. Quoniam vero iste aquae juxta littora fluxus tantam celeritatem, 
quantam habet Luna, recipere nequit, necesse est, ut fluxus ad littora 
maojis ad orientem sita tardius advehatur. Haec autem versus littora 
orientaliora retardatio maxime perspicua est in portubus Galliae, Belgii, 
Anghae, et Hiberniae ; cum enim ad ostia fluviorum Garumnae et Ligeris, 
quae versus oceanum amplissimum patent, tempore pleniluniorum ac 
noviluniorum fluxus adveniunt hora tertia pomeridiana, quae retardatio 
naturalis censeri potest, neque littoribus adhuc turbata; hinc aqua de- 
mum ad httora Britanniae Minoris ac Normanniae progreditur ; atque 
idcirco his in regionibus fluxus tardius evenire observantur. Sic ad 
Portum S. Malo tempore syzygiarum fluxi\^s demum hora sexta sequitur, 
ad ostia vero Sequanae usque ad horam nonam retardatur : atque ita 
porro retardatio augetur, donec tandem in Freto Gallico Uunkerquae et 
Ostendae media nocte incidat. Ex hac vero retardatione innotescit cele- 
ritas aquse, qua juxta Uttora progreditur, eaque tanta deprehenditur qua 
una hora spatium circiter (f) 8. milliarium conficiat. Denique aqua tan- 
tam fere viam absolvere debet usque ad Dublinum, quantam ad Fretum 
Gallicum, ex quo fluxus etiam Dublini hora circiter decima pomeridiana 
observari solet. Atque simili modo retardatio fluxuum ad littora aHarum 
regionum sine ulla difficultate explicari poterit. 

§. 115. Quod autem ad quantitatem aestus maris ad Uttora attinet, 
facile inteUigitur aestum maris ad littora majorem esse debere, quam in 
medio mari. Primo enim aqua cum impetu ad littora aUidit, ex quo 
aUapsu solo jam intumescentia oriri debet. Deinde quoniam aqua eadem 
celeritate, quam habebat oceano, ubi maxima est profunditas, progredi 
conatur, ad Uttora locaque vadosa vehementer inturgescet, tantum enim 
fere aquae ad Uttora ajBTertur, quantum sufficeret ad spatium, quod Terra 
occupat, inundandum. Tertio iste aquae affluxus in sinibus vadosis multo 
adhuc magis increscere debet, eo quod aqua his in locis jam multum ap- 

(f ) Ita legitur in exemplari Parisino, procul rectissima, quae horis 7 a fluxu percurruntur, 

dubio mendose, sed locum restituere non sumus qui ideo 70 milliaria singulis horis ad miniinum 

aiisi ; ab ostio Garumnac ad Dublinum quin- emetiretur; unde 80 miiliaria pro 8 milliaribus 

genla circiter Italica milliaria numerantur via scribenda conjcctamur. 



FLl/XUS AC REFLUXUS MARIS. 331 

pulsa ad latera diffluere nequit, si quidem sinus directe versus eam pla- 
gam pateat, unde aqua advebitur. Ex his igitur non solum ratio patet, 
cur aqua fere ubique ad littora ad multo majorem altitudinem elevetur, 
quam in medio mari, sed etiam cur Bristolii tam enormis fluxus circa 
syzygias luminarium observetur ; cum enim in hac regione littus sit valde 
sinuosum ac vadosum, aqua maxima vi appellitur, neque ob sinuositatem 
tam cito diffluere potest. Atque ex his principiis non erit difficile ratio- 
nem inconsuetorum aestuum, qui passim in variis portubus animadvertun- 
tur, indicare atque explicare; quamobrem hujus generis phaenomenis 
explicandis diutius non immoramur, cum consideratio littorum et fluxus 
aquae eo sponte quasi manuducat. 

§. 116. Quamvis autem tam affluxus aquae ex Oceano Atlantico, quam 
refluxus per Fretum Galliam ab Anglia dirimens, ingenti fiat celeritate, 
tamen cum versus Belgium foederatum mare mox vehementer dilatetur, 
ab isto alterno fluxu ac refluxu altitudo maris in Oceano Germanico sen- 
sibiliter mutari nequit. Atque hanc ob causam statui oportet, in hoc 
mari aestum proficisci maximam partem ab affluxu et refluxu aquae circa 
Scotiam, ubi communicatio hujus maris cum Oceano Atlantico multo 
major patet; quam sententiam magnopere confirmat ingens aestuum retar- 
datio ad littora Belorii et Anffliae orientalia observata : ad ostia scilicet 
Thamisis pertingit fluxus elapsis jam duodecim horis post transitum Lunae 
per meridianum, atque Londinum usque tribus fere horis tardius defertur ; 
quod phasnomenon consistere non posset si aqua per Fretum GalUcum 
solum moveretur, cum jam inipso Freto duodecim horis retardeturfluxus. 
Interim tamen negari non potest quin communicatio Maris Germanici 
cum Oceano Atlantico per Fretum Gallicum aestum quodammodo afficiat, 
atque fluxum qui circa Scotiam advehitur vel adjuvet vel turbet, prout hi 
ambo motus ad mare elevandum ac deprimendum vel magis inter se con- 
spirent vel minus. Simul autem hinc inteUigitur aestum maris ex Oceano 
Atlantico neque cum Mari Mediterraneo neque cum Mari Baltico com- 
municari posse, cum intervallo sex horarum per Freta Herculea et Ore- 
sundica tantum aquae in haec maria neque affluere queat neque inde refluere, 
ut sensibiHs mutatio in altitudine aquae oriri queat. Quamobrem in istius- 
modi maribus quae a vasto oceano tantum angustis fretis separantur, aes- 
tus omnino nuUus contingere potest, nisi forte talia maria Terris inclusa 
ipsa tam sint ampla, ut vires SoHs ac Lunae aestum peculiarem in iis pro- 
ducere queant; qua de re mox videbimus. 

§. 117. Quemadmodum autem vidimus in Mari Germanico dupUcem 



332 INQUISITIO PHYSICA IN CAUSAM 

aestum, quorum alter, qui quidem longe est minor, per Fretum Gallicum, 
alter circa Scotiam advehitur ex eodem Oceano Atlantico: ita propter 
singularem littorum quorumdam situm mirabilia plissnomena in aestu 
maris evenire possunt. Quod si enim littus quodpiam ita fuerit compara- 
tum, ut sestus in id duplici via vel ex eodem oceano, vel ex diversis com- 
municetur, ratione temporis, quo bini isti sestus adveniunt, insignes dis- 
crepantiae oriri poterunt. Nam si per utramque viam fluxus eodem tem- 
pore advehatur, atque adeo simul refluxus congruant, sestus multo majo- 
res existere debebunt. Sin autem eo tempore, quo per alteram viam 
fluxus advenit, ex altera via refluxus incidat, tum aestus omnino destrue- 
tur si quidem per utramque viam aqua aequaliter vel afiluat vel defluat. 
Ad hoc vero non suflicit ambae viae sint aequales, sed etiam requiritur ut 
bini aestus successivi sint aequales, id quod evenit si Luna vel non habeat 
declinationem, vel littus in aequatore fuerit positum. Quod si autem ea- 
dem duplici communicatione posita, tam Luna habeat declinationem, 
quam iittus notabiliter ab aequatore sit motum, tum ob inaequalitatem 
binorum aestuum sese insequentium, fluxus majores ex altera via adveni- 
entes, superabunt refluxus minores eodem tempore per alteram viam 
factos, atque hoc modo in tah littore singulis diebus non bini fluxus, sed 
unus tantum accidet; hancque rationem allegat Newtonus sestus illius 
singularis Tunquini observati, ubi si Luna in aequatore versatur, nullus 
aestus deprehenditur, sin autem Luna habeat declinationem, unicus tan- 
tum una Lunae revolutione circa Terram. Nos autem mox hujus mira- 
bihs phaenomeni aliam magis naturalem nostrasque theoriae conformem 
indicabimus causam. 

§. 118. Hactenus aestum maris, quemadmodum in amphssimo oceano a 
viribus ad Lunam ac Solem tendentibus producatur, atque vario Httorum 
situ cum ratione quantitatis tiim retardationis diversimode turbetur, 
sumus contemplati, neque necesse esse duximus ventoruni marisque cur- 
suum propriorum rationem habere : cum satis pronum sit perspicere, 
quomodo his rebus aestus maris tam augeri vel diminui, quam accelerari 
vel retardari debeat. Superest igitur ut exponamus, quomodo in satis 
amplo tractu maris, qui ab oceano vel omnino est sejunctus, vel per an- 
gustum tantum canalem conjunctus, pecuUaris aestus a viribus Lunae ac 
Solis produci queat. Perspicuum enim est, si talis tractus secundiim 
longitudinem ultra 90 gradus pateat, sestum pari modo generari debere, 
ac in amphssimo oceano, qui totam Tellurem ambire ponitur. Nam 
quoniam extensio tanta est, ut vires Lunae et Solis in eo tractu simul 
maximam ac minimam aquae altitudinem inducere queant, necesse est 



FLUXUS AC REFLUXUS MARIS. 333 

etiam, ut aqua alio in loco tantum elevetur, inque alio tantum deprimatur, 
quantum fieret, si iste tractus omnino non esset terminatus. At si iste 
tractus tam fuerit parvus ut singulae partes asqualibus fere viribus simul 
vel attollantur vel deprimantur, nulla sensibilis mutatio oriri poterit. 
Aqua enim uno in loco attolli nequit nisi in alio subsidat et contra, si 
quidem eadem aquae copia in eo tractu perpetuo conservetur. Atque 
haec est ratio ut in Mari Baltico, Caspio, Nigro, aliisque minoribus lacu- 
bus nullus omnino aestus deprehendatur. 

§, 119. Quod si autem istiusmodi maris tractus tantum spatium occu- 
pet, ut vires attollentes et deprimentes in extremitatibus sensibiliter diffe- 
rant, tum necesse est ut non solum aqua in altero extremo elevetur in 
alteroque deprimatur, sed etiam ut differentia inter aquae altitudines tanta 
sit, quanta in aperto oceano eidem virium differentiae respondet. Quamo- 
brem definiri coHveniet, quanta in diversis Terrae locis eodem tempore 
in altitudinibus aquae a viribus Lunae ac Solis produci queat. Ne autem 
calculus nimium fiat proiixus, solam Lunae vim in computum ducemus, 
quippe quae vim Solis multum excedit ; et quoniam effectu Lunae cognito 
facile est Solis effectum aestimando vel adjicere vel auferre. Repraesentet 
ergo' P L p 1 superficiem Terrae cujus poli 
sint P et p, atque M et N sint duo ter- 
mini in eodem maris tractu assumti, in 
quibus quantum maris altitudo quovis 
tempore differat, sit investigandum. Re- 
praesentet porro L 1 parallelum, in quo 
Luna moveatur hoc tempore, sitque Luna 
in L ; atque exprimet angulus L P M 
tempus, quod post Lunae transitum per 
meridianum termini M est praeterlapsum, 
angulus vero L P N tempus post transi- 
tum Lunae per meridianum alterius termini N. Ductis autem circulis 
maximis P M et P N, erit arcus P M complementum latitudinis loci M, 
arcus P N vero loci N, angulus vero M P N dabit differentiam longitu- 
dinis locorum M et N ; quae proinde omnia ponuntur cognita. 

§. 120. Ducantur jam ex loco Lunae L ad terminos M et N circuli 
maximi L M et L N, exhibebuntque isti arcus complementa altitudinum, 
quibus hoc tempore Luna in locis M et N supra horizontem elevata con- 
spicitur. Ponatur arcus P L sinus = q, cosinus = Q, erit Q sinus 
decUnationis boreaHs Lunae, si quidem Q habeat valorem affirmativum, 
ac P polum borealem denotet. Deinde ponatur arcus P M sinus = p, 

VoL, III. A a 





334 INQUISITIO PHYSICA IN CAUSAM 

cosinus = P, erit P sinus elevationis poli pro loco M ; similique modo 

sit arcusP N sinus = r et cosiiius = R, ita ut R sit sinus elevationis 

poli loci N : denique sit anguli M P N sinus = M et cosinus = m, an- 

guli vero L P M sinus = T, cosinus =: t ; unde erit anguli L P N 

cosinus = m t — M T. Ex his per trigo- 

nometriam sphaericam reperietur sinus 

altitudinis Lunac supra horizontem loci 

M seu cosinus arcus LM = tpq-f-QP: 

pro loco N vero erit altitudinis Lunae 

sinus = (m t — M T) q r + Q R. 

Quare si, ut supra, vis absoluta ad 

Lunam urgens ponatur = L et distan- 

tia Lunae a Terra = b, erit altitudo ad 

quam aqua in M elevari deberet = 

MMt Pq + P QR)J-J), et altitudo 

ad quam aqua in N elevari deberet = I> (3 ((m t-M T) q r+Q R)^-l) 

utroque casu supra Ubellam naturalem. Si ergo illa expressio Kanc 

S L 

excedat, aqua in M altius erit elevata quam in N intervallo X 

((t p q + P Q) 2 — . ((m t — M T) q r + Q R) ^), hascque expressio, 
quando fiet negativa, indicabit, quanto aqua in N altius consistat quam jn 
M. In hoc vero negotio inertiam aquae neg]igimus, quoniam tantum 
proxime phaenomena hujusmodi casibus oriunda indicare annitimur ; si 
enim hanc materiam perfecte evolvere vellemus, integro tractatu foret 
opus. 

§. 1 2 L Ponamus tractum nostrum maris ab oriente N versus occiden- 
tem M sub eodem parallelo extendi, ita ut elevatio poU in locis M et N 
sit eadem ; erit adeo R = P, et r = p. Transeat nunc Luna per meri- 
dianuni loci M supra Terram, ita ut sit T = 0, t = 1 ; hoc ergo tempore 

magis erit elevata in M quam in N intervallo ((p q+P Q) ^ — mpq 

+ PQ)2) =^Jl (M2p2q^ + 2(1— m)pqPQ). At quando Luna 
2 b*^ 

per meridianum loci N supra Terram transit, aqua tantundem magis erit 

elevata in N quam in M. Ex quo sequitur, dum Luna a meridiano loci 

N ad meridianum loci M progreditur, aquam in M sensim elevari per 

spatium ? P^^^ (M ^ p q + 2 (1 — m) P Q) interea vero in N tantundem 

A O 



FLUXUS AC REFLUXUS MARIS. 



335 



subsidere. Sin autem Luna infra Terram a meridiano loci K^ ad meri- 
dianum loci M progrediatur, aqua in M elevabitur interea per spatium 

= P 3 (M^pq — 2(1 — m)P Q), per tantumque spatium aqua in N 

^ o 

subsidet. Ponamus nunc angulum L P M esse 90 graduum, seu ques- 

tionem institui, cum Luna jam ante sex horas meridianum loci M sit 

transgressa, atque obtinebitur difFerentia inter aquae altitudines in iocis M 

et N = Hl (P 2 Q 2 — (P Q — M p q)) = 2_iiPS (2 M P Q — 

M ^ p q). Sex autem horis, antequam Luna ad meridianum loci M apel- 

lit, aqua in N magis erit elevata quam in M intervallo = ^3-X 

^ 

(2 M P Q -|- M ^ p q). Sequuntur haec si inertia aquse negligatur ; at 

inertia admissa ex praecedentibus satis clarum est, cum has differentias 

majores esse debere, tum tempora mutationum tardius sequi debere. 

§. 122. Quoniam vero in hoc maris tractu perpetuo eadeni aquae quaii- 

titas contineri debet, necesse ut quantum aquae una parte supra libellam 

attollatur, tantundem ea in reliqua parte infra libellam deprimatur. Quo 

igitur hinc altitudinem maris quovis loco exacte determinemus, ponamus 

tractum nostrum secundum lonffitudinem terminari binis meridianis P M 

o 

et P N, secundum latitudinem vero binis 

parallehs M N et m n, positaque Luna in L 

sit sinus P L = q, cosinus = Q; sinus 

L P M = T, cosinus = t. Porro sit sinus 

arcus P M = p, cosinus = P, sinus Pm = r, 

cosinus = R, atque anguli M P N sinus= M 

et cosinus = m. Prseterea sit elevatio in M 

dum Luna in L versatur, supra hbellam = a, 

ita ut hoc loco suprema aquae superficies a 

centro Terroe distet intervallo = 1 + a, 

unde ciim sinus altitudinis Lunae in M sit 

= t p q -h P Q, erit gravitatio totius columnae aqueoe ab M ad centrum 

Tevvfe = (^ + «) " "" ' 4. L (1 - 3 (t p g -}- P Q) ) _ 1 




n + 1 



2b 



1 -^n 



+ « + 



L(l 



^ ("^ P q + P Q) )^ prouti supra §. 43. et 44. demonstravimus. 

Consideretur jam iocus quicunque X in nostro tractu, in quo aqua supra 
libellam sit elevata spatio = 9 ; ac ducto per hunc locum meridiano P R, 
nt anguli L P R sinus = X, cosinus = x ; arcus P X sinus = z et co- 



336 INQUISITIO PHYSICA IN CAUSAM. 

siims = Z, unde gravitatio columnae aqueae ex X ad centrum Terrae per- 
tingentis erit = — i_ +f+ ^(^-^{^(^^^+QZ)'') ^ Ciim iglturhsec 

gravitatio aequalis esse debeat illi, orietur tp = a + — __ ((x q z + Q Z) ^ 

(t p q -f P Q) -), ex qua formula si modo constaret elevatio aquae in 

M, simul innotesceret elevatio vel depressio in quovis loco X. 

§. 123. Ciim ergo in X aqua supra libellam elevetur spatio <p, in ele- 
mento tractus infinite parvo X Y y x, plus inerit aquae, quam in statu 
naturali, et quidem quantitas X Y, X x. <p, 
cujus elementi integrale per totum tractum ^.-^M^ 

sumtum debet esse = 0, ex quo valor ipsius y^n^^j^ 

a innotescet. Erit autem angulus R P r = 

, hincque arculus X x = _, at ele- '^ 

X x 

1 7 

mentum X Y = , ex quo infinite parvum 

X 

rectangulum X Y y x = , in quo 

ergo excessus aquae supra statum naturalem 

est = <P^^^\7. ^ dJC ^^ ^ 2; + IL^Z ((X q z + Q Z) 2 _ (t p q 

x X 2 b ' 

-1 P Q) ^)), quae formula bis debet integrari. Ponatur primo X constans, 
et integratione absoluta reperietur in elemento R S s r excessus aquae 

supra statum naturalem == — (a (R — P) + Ali (q 2 ^ 2 (R _ p) _ 

X Zi Xi 

^'q' (R 3 _ p 3) __ 2_x_Qq (r s _ p 3) ^ Q_' ( j^ 3 _ p 3) __ (t p q 
o o o 

+ P Q) ^ (R — P))). Integretur hasc formula denuo ut integrale ad 

totum tractum M N n m extendatur, prodibitque incrementum aquag, 

3 L 

quod toti tractui accessisse oporteret, = a (R — P) A sin. M -] x 

Jj o 

^q ^ (3 (R — P) — (R ^ — P ')) (^ ^ ^^ — 2TT) — 2M2Tt) + 

^Q^iy^-V') (T-Mt-mT) + qMR-P) Asin.M + 
3 ^ 2 

(3Q2-_i)(R3__p3) ^ ^.^^ M — (t p q + P Q) 2 (R — P) A sin. M), 
6 

cjuae adeo quantitas debet esse = : unde oritur a = ^ ^ (t p q + P Q) ^ 

2 b^ 




= « + ^((ts-TS)qz + QZ)2-^(tpq+PQ)^ quare 



FLUXUS AC REFLUXUS MARIS. 337 

, L(l — 3Q^) ( R^ + PR + P^) _ 3Lq^ 3 L 

"*" ib^ 4b^ "*" 2b^(R — P)Asin.M 

. q ^ (3 (R - P) - (R ^ - P ^)) (2 M 2 T t - M m (1 - 2 T T)) + 

^JliP '-^'') (T - M t - m T)). 

§. IS^. Cognita igitur vera elevatione aquae in M supra libellam, quam 
ante posuimus = a, hinc intelligetur vera aquae elevatio supra libellam in 
loco quocunque X. Ponatur enim sinus anguli M P X == S et cosinus 
= s, erit sin. LPR=X = Ts + tSetx::::::ts — TS, manenti- 
busque arcus P X sinu = z et cosinu = Z, erit elevatio aquae in X = 9 

|^((ts_TS)qz + QZ) = _|i^ 

loco a valore invento substituto, reperietur aqua in X supra libellam 

3 L 
attolli actu per spatium = — — _- ((t s — T 8) q z + Q Z) ^ + 

L(l— 3Q-)(R^ + PR + P^) __ 3Lq ^ 3L 

4 b 3 4 b ^ "^ 2 b ^ (R — P) A sin. M 

(q.l(J_(R-P)-R--Pl)(2M^Tt-Mm(l-2TT)) + 

2 Q q Cp 3 X ^) 

(T — Mt — mT)). Quod si ergo ponatur tractus 

noster ita augeri ut totam Tellurem ambiat, orietur casus jam supra trac- 
tatus ; quoniam enim fit M N = 360^. seu A sin. M = 2 t denotante 1 : 
'x rationem diametri ad peripheriam, erit M = et m = 1 : prseterea 
vero quia M in polum australem p, m vero in borealem P incidit, erit 
P = ^? P = — Ij r = et R = + 1 : si hi valores substituantur, pro- 

dibit elevatio aquae in X = JL_ (3 ((t s — T S) q z + Q Z) ^ — 1), 

qua? cxpressio, quia t s — T S denotat cosinum anguli L P X atque 
(^ s — T S) q z + Q Z sinum altitudinis Lunae supra horizontem in X, 

cum superioribus formulis exactissime convenit : si quidem terminus -^ 

negUgatur. Haec vero eadem ipsa expressio quoque emergit, si tantum 
alterum hemisphaeiium vel boreale vel australe ponatur aqua totum cir- 
cumfusum, manent enim omnia ut ante, nisi quod fiat p = 1 et P = : 
utroque enim casu. fit R ^ + P R + P 2 =: 1 ; ultimusque terminus ob 
M = utroque casu evanescit. 

§. 125. Ponamus nunc tractum maris secundum longitudinem M N 
usque ad 180 gradus extendi, erit M=Oetm = — letA sin. M = «-, 



338 



INQUISITIO PHYSICA IN CAUSAM 



denotat enim A sin. M semper arcum circuli, qui mensura est anguli M PN; 
hinc si brevitatis gratia ponatur sinus anguli, quo Luna in X supra hori- 
zontem elevata apparet, = v, erit aquae elevatio in X supra Hbellam = 



3L 



+ 



L (1 — 3 Q Q) (R ^ + P R + P -) 3 L q q 



2 b^ 
2LTQq(p^^r 
(R — P) b 3 7r 
esse circumfusum, fiet p = 0, P = 



4 b^ 4b3 * 

. Ponamus porro integrum hemisphaerium L Plp aqua 
1, r = et R = 1 ; unde elevatio aquae 




in X erit = — - — ^— = L omnino ac si tota Terra aqua cincta esset, uti 

2 b ^ ^ 

in praecedentibus Capitibus posuimus, vel 

quod eodem redit, dummodo omnis aqua 

super Terra mutuam habeat. communicatio- 

nem satis amplam. Quod si autem tractus 

noster maris tantum ad sequatorem usque 

porrigatur a polo P, ita ut quartam super- 

ficiei terrestris partem solum obtegat, tum 

erit p= 1, P = 0, r = etR = l, hoc itaque 

casu aqua in X elevabitur ad aUitudinem = 

L(3 v^ — 1) , 2LTQq 

-A__ .^ + ^^, ex quo perspi- 

citur hoc casu elevationem in X majorem, quam si tota Terra aqua esset 
circumdata, si expressio T Q q habeat valorem affirmativum, minorem 
vero si T Q q habeat valorem negativum. Sed hmites huic qusestioni 
praescripti non permittunt hinc plura consectaria deducere, cum debita 
evolutio satis amplum tractatum requirat, neque theoria ulteriori confirma- 
tione indigeat. Quocirca coronidis loco duos tantum casus evolvemus, quo- 
rum altero latitudo tractus ponetur infinite parva, altero vero longitudo : 
quippe qui ad phaenomena quaedam singularia expUcanda inservire 
poterunt. 

§. 126. Ponamus igitur latitudinem M m infinite esse parvam, seu 
R = P et r = p, reperietur aquae in X elevatio supra libellam = 



3 L 



+ 



3 L(p^ — q" — 3P^Q-) 



+ 



3 L 



p q 



{ V q 

\ 2 



2b2 • 4b^ '2b^A sin. M V 2 

(2 M"Tt— Mm(l— 2TT)) + 2 P Q (T — M t — m T)). Consi- 
derenms autem elevationem in M, ubi cum sit v = t p q -f- P Q, erit ea = 
3Lpq(2ttpq + 4tPQ — pq) , SLpq ,^ .^o TV/f 2 ^r . _ 

TF^ +4b^Asin.M^P'^^^^^ ^' 

M m (1 — 2 T T)) + 4 P Q (T — M t — m T)). Transeat nunc Luna 



FLUXUS AC REFLUXUS MARIS. 339 

per meridianum loci M supra Terram, erit T = 0, et t = 1, atque ele- 

.• • Tvyr j-v^ 3 L p q (p q + 4 P Q) , SLpq ,,;r 

vatio m M prodibit = ^—^-^^~}-^ -^ -\ , ■ ^ . ^ A^^ P Q 

^ 4 b -^ 4 b -^ A sm. M^ ^ ^ 

+ 4 M P Q) ; at si per eundem meridianum infra Terram transeat, erit 

aouae elevatio - gLpq(pq — 4PQ) _ 3Lpq (M m d a — 
aquae elevatio ^-p _____ ^m m p q 

4 M P Q). Quod si autem Luna versus ortum a meridiano distet an- 
gulo horario 90 graduum, seu circiter 6 horis ante appulsum Lunae ad 
meridianum in M superiorem, erit T = — 1 et t = 0, unde elevatio erit 

= =l?ilP!l! + _4^lEil (p q M m - 2 P Q _ rn)) , sex 
4 b ^ 2 b ^ A sm. M ^ ^ ^ ^^ ' 

vero horis post transitum Lunae per meridianum loci M versus occasum, 

erit altitudo aquae in M supra libellam = ~ — r u--^- + ^ . ^. .^-^ ^^ 
^ 4 b " 2 b ^ A sm. M 

(2pqMm — 2PQ(1 + m)). 

§. 127. Tribuamus huic tractui longitudinem 90 graduum, tit sit 

M = 1, m = 0, et A sin. M = — , unde oritur elevatio aquae in M = 

3Lpq(2ttpq + 4tPQ-pq) 3Lpq^ p 

4b'' 2^b^^^^ ^ .^ 

Quae si etiam declinatio Lunae ponatur = 0, fiet = ?JLE — q (^tt 1) 

^b"' 

+ E S existente q = 1, unde apparet maximam elevationem 

non accidere cum Luna per meridianum loci M transit, sed tardius, et 
quidem si dupli anguli L P M sinus fuerit = — , hoc est fere una hora 



post transitum Lunae per meridianum, hoc igitur casu fluxus in M una 
fere hora tardius observetur, quam si tota Terra aqua esset circumfusa. 

Dum autem Luna per meridianum superius transit, erit elevatio = EP, 

4 b'' 

quae etiam valet si Luna infra Terram meridianum attingat ; at sex horis 

vel ante vel post, quando Luna in horizonte versatur, erit aqua^ depressio 

= 3Z — P P . Unde intelligitur in tali maris tractu pariter quotidie 

binos fluxus totidemque refluxus accidere debere, atque aestum propemo- 
dum fore similem aestui generali, nisi quod majoribus anomaUis sit 
obnoxius, praecipue si Luna habeat declinationem. 

§. 128. Hinc explicari potest ratio aestus, qui in Mari Mediterranqp 



340 



INQUISITIO PHYSICA IN CAUSAM 



observatur, et qui in ipso hoc mari generatur. Ciim enim longitudo 
hujus maris ne 60 quidem gradus attingat, aestus erunt multo minores; 
decrescunt enim si cum longitudo diminuatur, tum elevatio poli augeatur. 
Quod si ergo in his formulis angulus M P N ponatur ferc 60 graduum, 
atque elevatio poli debita introducatur, reperientur quidem aestus bini 
quotidie evenire debere, qui autem futuri sint multo minores, quam in 
medio mari, et pluribus anomaliis subjecti, quas quidem omnes ex for- 
mulis definire licebit. Quoniam ergo tam exigui asstus a ventis et cursu 
aquae, qui in hoc mari notabilis deprehenditur, vehementer turbantur, ad 
pleraque littora hujus maris vix usquam aestus regularis observabitur. 
Excipi autem debet Mare Adriaticum, quod cum sinum formet amplum, 
advenientem aquam meUus colliget, atque elevationem multo sensibilio- 
rem parietur, a quo aestus maris Venetiis observatus originem habet. 
Tametsi enim Mare Mediterraneum non solum, satis amplam habeat 
latitudinem, sed etiam vehementer inaequalem, tamen ejusmodi marium 
aestus»admodum exquisite ex praesenti casu, quo latitudinem omnino 
negUgimus, coUigi potest, quia extensio maris in longitudinem praecipuam 
causam aestuum binorum singuKs diebus evenientium continet, neque 
extensio latitudinis multum conferat. 

§. 129. Ponamus nunc tractus nostri maris longitudinem evanescere, 
totumque tractum in eodem meridiano P p ab M usque ad N extendi, 
ita ut sit M = 0, m = 1 ; sinus autem ele- 
vationis poli in M sit = P, cosinus = p, in 
N vero sit sinus elevationis poli = R, cosi- 
nus = r. Ex his si Luna in L versetur, ob 
A sin. M = M, erit in M elevatio aquae 



supra libellam 



^ 3 L (t p q + P Q) 
2b"^ 



L(1^3Q^)(P^ + PR + R^) __ 3Lq^ 
4b^ 4b2 

■ ^ (qM3 



' 4b^ 

(2TT— 1) 



p2_pR_RR)x 



4Qqt(p^-r^)_ X. 




R 



2 b 



((ttqq-QQ)(R-+PR-~2P-) + ^Qq^(^PPy_:^^^P^P--P^) . 

Quod si nunc ponatur aiter terminus N ultra aequatorem versus austrum 
situs, ita ut sinus elevationis poli australis in N duplo major sit quam 
sinus elevationis borealis in M, seu R = — 2 P et r = V {l — 4 P ^), 
erit R^+ PR — 2P~ = 0, atque elevatio aquae in M supra libellam erit 



FLUXUS AC REFLUXUS MARIS. 34.1 

= ztJ^3l (9 P ^ p 4- p ^ — r ^). Ex hac igitur formula sequitur, si Luiiae 

declinatio sit nulla seu Q = 0, tum nullum omnino aestum in M obser- 
vari debere. Quod si autem Luna habeat borealem, tum ad transitum 

Lunae per meridianum superiorem aquam attolli ad spatium = -. gp X 

(9 p 2 p _^ p 3 — j. 3^ . ^t ^i^yj^ Luna in alterutro circulo horario sexto 
versetur, tum aquam ad libellam naturalem fore constitutam ; Luna 
autem infra horizontem ad meridianum appeliente, aquam infra Ubellam 

depressum iri per spatium = ^^ (QP^p + p^ — r^); contrarium 

denique fore sestum, si Luna habeat decHnationem australem. In tali 
igitur maris tractu quotidie semel tantum aqua affluet, semelque refluet, 
si quidem Luna habeat decHnationem ; nam si Luna sequatorem occupat, 
aestus omnino erit nullus. 

§. 130. Ex hoc casu aptissime expUcari posse videtur phaenomenon 
illud aestus singularis, qui in portu Tunquini ad Batsham observatur, ubi 
omnino ut in praesente casu dum Luna in aequatore versatur, mare nul- 
him aestum sentit ; at dum Luna removetur ab aequatore vel versus bo- 
ream vel versus austrum, quotidie aqua semel tantum affluit semelque 
refluit, prorsus ut calculus monstravit ; scilicet si Lunae dechnatio fuerit 
borealis, aqua versus Lunae occasum, hoc est post transitum Lunae per 
meridianum super horizonte, affluit, versiis ortum vero defluit, quae retar- 
datio ab inertia aquae et motu ad Httora provenire intelligitur ut supra. 
Contra vero si Lunse declinatio sit austraHs, aqua deprimitur Luna ad 
occasum incHnante, Luna autem oriente, attoHitur: quae phaenomena 
apprime conveniunt cum casu modo exposito. Est praeterea elevatio poH 
Tunquini 20°. 50'. boreaHs, atque mare utrinque cum Peninsulis tum In- 
suHs ab utroque Oceano Pacifico et Indico fere prorsus separatur, saltem 
ut Hbera communicatio non adsit : praeterea hic idem maris tractus, qui 
versus boream ad Httora Regni Tunquini terminatur, extenditur ultra 
aequatorem ad gradus circiter 45. cujus latitudinis sinus circiter duplo 
major est, quam sinus latitudinis boreaHs 20^ 51'.: quocirca ex his cir- 
cumstantiis per nostram theoriam eadem ipsa singularia phaenomena aestus 
maris observari debent, quas actu observantur : atque hoc modo si uHuiu 
adhuc dubium circa nostram theoriam reHquum fuisset, id resolutione 
hujus mirabiHs phaenomeni funditus sublatum iri confidimus. 

FINIS PRIM^ PARTIS TOMI TERTII. 



INDEX PROPOSITIONUM 



IN 



VOLUMINIS III. PARTE I. 



Pag. 



PROP. 



THEOR. I. 



Vires quibus planetJB circuinjoviales pcrpe- 
tuo retrahuiUur a motibus rectilineis tt in 
orbibus suis retinentur, rcspicere centnur» 
Jovis, et esse reciproce ut quadrata distan- 
tiarum locorum ab eodem centro 17 

PROP. II. THEOR. II. 

Vires, qtiibus planeta? primarii perpetuo re- 
trahuntur amotibusrectiHneisetinorbibus 
suis retinentur, rospicere Solem, et esse 
reciproce ut quadrata distantiarum ab ip- 
sius centro ibid. 

PROP. III. THEOR. III. 



Vim, qua Luna retinetur in orbe suo, re- 
spicere Terram et esse reciproce'ut qua- 
dratum distantia) locorum ab ipsius cen- 
tro. 



18 



PROP. IV. THEOR. IV. 



Lunam gravitare in Terram, et vi gravitatis 
retrahi semper a motu rectilineo, et in 
orbe suo rctineri 19 

PROP. V. THEOR. V. 

Planetas circumjoviales gravitare in Jovem, 
circumsaturnioE in Saturnum et circum- 
solares in Solem, et vi gravitatis suas re- 
trahi sempcr a motibus rectilineis, et iri 
orbibus curvilineis retineri 24 

PROP. VL THEOR. VI. 

Corpora omnia in planetas singulos gravi- 
tare et pondera eorum in eundem quem- 
vis planetam, paribus distantiis a centro 
planetaj proportionalia esse quantitati 
materic^ in singulis 25 

PROP. VIL THEOR. VIL 



G ravitatem in corpora universa fieri, eamque 
proportionalem esse quantitati materiae in 
sinKuIis 



ras. 



PROP. VIIL THEOR. VIIL 

Si gioborum duorum in se mutuo gravitan- 
tium materia, undique in regionilnis quaj 
a centris a;(jualiter distanr, houiogcnea sit : 
erit pondus globi alterutrius in aiterum 
reciproce ut quadratum distantiie inter 
centra 

PROP. IX. THEOR. IX. 



34 



Gravitatem pergendo a supcrficiebus plane- 
tarum deorsiim decrescere in ratione dis- 
tantiarum a centro quamproxime 40 



PROP. X. * THEOR. X. 
Motus planetarum in ccelis diutissime con- 



servari posse. 



PROP. XL THEOR. XL 



ibid. 



Commune centrum gravitatis Terrae, Solis 
et planetarum omnium quiescere 44 

PROP. XIL THEOR. XIL 

Solem mota perpetuo agitari ; scd nunquam 
longe discedere a communi gravitatis 
centro*planetarum omnium ibicl 

PROP. XIIL THEOR. XIIL 

Planetoe moventur in ellipsibus umbilicum 
habentibus in centro Solis, et radiis ad 
ceutrum illud ductis areas describunt 
temporibus proportionales 45 

PROP. XIV. THEOR. XIV. 

Orbium aphelia et nodi quiescunt 47 

PROP. XV. PROBL. L 
Invenire orbium principales diametros 50 

PROP. XVI. PROBL. IL 

Invenirc orbium eicentricilatcs et aphelia.. ibid. 

i 2 



344. 



INDEX PROPOSITIONUM. 



Tag. 



PROP. XVII. THEOR. XV. 



Planetarum motus diurnos uniformes esse, 
et librationem I.un» ex ipsius motu diur- 
no oriri 51 

PROP. XVIII. THEOR. XVI. 

Axes planetarum diametris qqa? ad eosdem 
axes normaliter ducuntur minores esse... 54 

PROP. XIX. PROBL. III. 

Invenire proportionem axis planetae ad dia- 
metros eidem perpendiculares. 55 

PROP. XX. PROBL. IV. 

Invenire et inter se comparare pondera cor- 
poruni in Ttrrae iiujus regionibus diversis. 78 



Pac 



PROP. XXL THEOR. XVIL 



Puncta asquinoctialia regredi, et axem Ter- 
rffi singulis revolutionibus annuis nutando 
bis inclinari in eclipticom et bis redire ad 
positionem priorem 88 

PROP. XXIL THEOR. XVIIL 

Motus omnes lunares omnesque tnotuum in- 
a^qualitatcs ex allatis principiis consequi.. 89 

PROP. XXIIL PROBL. V. 

Motus inasquales satcllitum Jovis et Satur- 
ni a motibus lunaribus derivare 90 

PROP. XXIV. THEOR. XIX. 

Fluxum et refluxum maris ab actionibus 
Solisac Luna3 oriri. 93 



GLASGVM: 

ANDREAS ET JOANNES M. DIINCAN, 
AcadeniitE Tt/j>oi',raphi. 



UNIVERSITY OF CALIFORNIA LIBRARY 
BERKELEY 

Retum to desk from which borrowed. 
This book is DUE on the last date stamped below. 



ASTRDNDMY LIBRIARY 



LD 21-100m-ll,'49(B7146sl6)476 



Mf^Hi.ft^ 



YC 102242 



V. 3